Werk:Stoicheia/Buch III./20. Lehrsatz
Der Winkel im Mittelpunkt über einem Kreisbogen ist das Doppelte des Winkels in einem Punkt auf der Kreislinie.
Wenn im Kreis ABC im Mittelpunkt der Winkel BEC und in einem Punkt auf der Kreislinie der Winkel BAC über dem gleichen Kreisbogen stehen, dann, sage ich, ist BEC gleich dem doppelten BAC.
Denn wird der Radius EA bis F verlängert, dann ist EA gleich EF, somit ist der Winkel EAB gleich EBA und deshalb die Winkel EAB und EBA zusammen gleich dem doppelten EAB.
Da am Dreieck EAB der äußere Winkel gleich den beiden innen gegenüber liegenden Winkeln zusammen ist, ist der Winkel BEF gleich den Winkeln EAB und EBA zusammen. Also ist der Winkel BEF gleich dem doppelten EAB. Aus den gleichen Gründen ist der Winkel FEC gleich dem doppelten EAC und ist BEC gleich dem doppelten BAC.
Wird nun der Winkel BDC am Punkt D der Kreislinie angelegt und DE bis G verlängert, dann ist ebenso zu zeigen, dass der Winkel GEC gleich dem doppelten GDC ist. Also ist dann der Winkel GEB gleich dem doppelten GDB und damit ist BEC gleich dem doppelten BDC.
Deshalb ist der Winkel im Mittelpunkt über einem Kreisbogen gleich dem doppelten Winkel in einem Punkt auf der Kreislinie, was zu zeigen war.