Werk:Stoicheia/Buch III./22. Lehrsatz

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Im Viereck aus Sehnen sind gegenüber liegende Winkel gleich zwei rechten Winkeln.

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Wenn dem Kreis ABCD ein Sehnenviereck ABCD eingeschrieben ist, dann, sage ich, sind gegenüber liegende Winkel gleich zwei rechten Winkeln.

Es ist AC und BD zu ziehen. Da im Dreieck die drei Winkel gleich zwei rechten sind, sind die Winkel CAB, ABC und BCA zusammen gleich zwei rechten.

Da CAB und BDC Winkel im selben Kreisabschnitt BADC sind, sind sie gleich.

Da ACB und ADB Winkel im selben Kreisabschnitt ADCB sind, sind auch sie gleich.

ADC ist somit gleich den Winkeln BAC und ACB zusammen. Zu beidem der gleiche Winkel ABC hinzugenommen, sind die Winkel ABC, BAC und ACB zusammen gleich ABC und ADC zusammen.

Da ABC, BAC und ACB zusammen gleich zwei rechten Winkeln sind, sind auch ABC und ADC zusammen gleich zwei rechten.

Ebenso ist zu zeigen, dass BAD und DCB zusammen gleich zwei rechten Winkeln sind.

Deshalb sind im Viereck aus Sehnen gegenüber liegende Winkel gleich zwei rechten, was zu zeigen war.