Werk:Stoicheia/Buch III./24. Lehrsatz
Ähnliche Kreisabschnitte mit gleichen Grundseiten sind gleich.
Wenn auf gleichen Grundseiten AB und CD ähnliche Kreisabschnitte AEB und CFD errichtet sind, dann, sage ich, ist der Kreisabschnitt AEB gleich CFD.
Wie wenn die Kreisabschnitte AEB und CFD übereinander gelegt würden, sieht man, dass wenn der Punkt A mit C und die Strecke AB mit CD übereinstimmt, dann auch der Punkt B mit D übereinstimmt.
Es stimmt aber dann auch der Kreisbogen AEB mit dem Kreisbogen CFD überein.
Denn wenn nicht, liegt der Kreisbogen CFD dann ganz oder teilweise innerhalb oder außerhalb von AEB. Liegt der Kreisbogen CFD ganz innerhalb oder außerhalb AEB, können, da sie ähnlich sind, die Kreisabschnitte AEB und CFD, somit die Grundseiten AB und CD nicht gleich sein. Da AB gleich CD ist, liegt der Kreisbogen CFD nicht innerhalb oder außerhalb von AEB.
Liegt der Kreisbogen CFD teilweise innerhalb und teilweise außerhalb von AEB, wie in CGD, dann schneiden sich die Kreise in mehr als zwei Punkten, was nicht möglich ist.
Stimmen also die Grundseiten AB und CD überein, dann stimmen auch die Kreisbögen AEB und CFD über. Da sie übereinstimmen, sind sie auch gleich.
Deshalb sind ähnliche Kreisabschnitte über gleichen Grundseiten gleich, was zu zeigen war.