Werk:Stoicheia/Buch III./35. Lehrsatz
Das Rechteck aus den Abschnitten einer Geraden, die im Kreis von einer anderen geschnitten wird, ist gleich dem aus den Abschnitten der anderen Geraden.
Wenn im Kreis ABCD die Gerade AC im Punkt E die Gerade BD schneidet, dann, sage ich, ist das Rechteck aus AE mit EC gleich dem Rechteck aus DE mit EB.
Denn schneiden sich AC und BD im Mittelpunkt E des Kreises ABCD, dann ergibt AE mit EC das gleiche was DE mit EB ergibt, denn AE, EC, DE und EB sind gleich.
Schneiden sich AC und BD nicht im Mittelpunkt F des Kreises ABCD, sondern im Punkt E, dann sind von F aus die Senkrechten FG und FH auf AC und BD zu errichten und FB, FC und FE zu ziehen.
Da die Senkrechte durch den Mittelpunkt, auf einer Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt geht, die Gerade in zwei gleiche Teile teilt, ist AG gleich GC.
Da AC in G in zwei gleiche und in E in zwei ungleiche Teile geteilt ist, ist das Rechteck aus AE mit EC zusammen mit dem Quadrat über GE gleich dem Quadrat über GC [wie II.5.].
Beidem das gleiche Quadrat über GF hinzugefügt, ist das Rechteck aus AE mit EC zusammen mit den Quadraten über GE und GF gleich den Quadraten über CG und GF zusammen.
Es ist das Quadrat über FE gleich den Quadraten über EG und GF zusammen und es ist das Quadrat über FC gleich den Quadraten über FG und GC zusammen.
Also ist das Rechteck aus AE mit EC zusammen mit dem Quadrat über FE gleich dem Quadrat über FC.
Da FC und FB gleich sind, ist das Rechteck aus AE mit EC zusammen mit dem Quadrat über EF gleich dem Quadrat über FB.
Aus den gleichen Gründen ist das Rechteck aus DE mit EB zusammen mit dem Quadrat über FE gleich dem Quadrat über FB.
Also ist das Rechteck aus AE mit EC und das Quadrat über FE zusammen gleich dem Rechteck aus DE mit EB und das Quadrat über FE zusammen.
Beidem das gleiche Quadrat über FE weggenommen, ist das Rechteck aus AE mit EC gleich dem Rechteck aus DE mit EB.
Deshalb ist das Rechteck aus den Abschnitten einer Geraden, die im Kreis von einer anderen geschnitten wird, gleich dem Rechteck aus den Abschnitten der anderen Geraden, was zu zeigen war.