Werk:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/Circulus infinitus.

3.1.2. Circulus infinitus.

Mittelalterliche Approximationsmathematik?

Nikolaus’ Überlegungen zum Wesen der Kontingenzwinkel können nur unter bestimmten Voraussetzungen Gültigkeit haben. Es ist zunächst natürlich nichts dagegen einzuwenden, beliebige Geraden als Kurven mit dem Krümmkreisradius $\rho =\mathrm{\infty }$ zu definieren. Die Krümmung k der entsprechenden Raumkurve als der reziproke Wert von ρ ist dann $k=\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$, der Kreisbogen vollständig ausgestreckt. Problematisch aber ist Nikolaus’ Vorgabe, Kreis und Gerade in einen durchgängigen funktionalen Zusammenhang zu setzen, also einen Ausgangskreis, für den r stetig anwächst, beim Grenzübergang ∞ = r zur Gerade umzudeuten. Nikolaus vollzieht dabei die folgende, einfache Grenzwertüberlegung: Für r→ ∞ soll jeder Punkt des Kreisbogens auf einer Geraden (der Tangente ab ) zu liegen kommen. Wir würden heute sagen, er nimmt an, dass in diesem Extremfall Kreis- und Geradenfunktion in jedem Punkt identisch sind.

Natürlich deckt sich die hier zugrundegelegte formale Darstellung nicht ganz mit der graphischen Darstellung bei Nikolaus. Dieser geht ja nicht von konzentrischen Kreisen aus, sondern legt die Kreisperipherien an den gemeinsamen Tangentenpunkt ·b·, so dass die zu den einzelnen Kreisbögen gehörenden Mittelpunkte sich reziprok zur jeweiligen Krümmung immer weiter von der gemeinsamen Tangente entfernen. Im Endergebnis stellt sich aber in jedem Falle eine wichtige Bedingung ein: Nikolaus muss voraussetzen, dass sich beim Übergang zum Unendlichen tatsächlich alle geometrischen Spezifika seiner Figuren auflösen, und alle beteiligten Größenverhältnisse in eins fallen. Rechnerisch heißt das, dass mit dem Übergang zum unendlichen Kreisradius der positive Segmentwinkel gleich ‚0’ werden muss. Dann aber können die Peripheriepunkte des Kreisbogens nicht der unendlichen Gerade, sondern gewissermaßen nur einem Punkt, dem ins Unendliche projizierten Tangentenpunkt ·b·, zugeordnet werden. Das ließe sich gut mit der Definition vom singulären ‚Punkt im Unendlichen‘ innerhalb der inversen Geometrie in Einklang bringen – Nikolaus derart fortgeschrittene Konzeptionen zuzuschreiben wäre aber natürlich ein unhaltbarer Anachronismus. An der ändert dies genauso wenig am symbolsprachlichen Eindrücklichkeit der Überlegung, noch an dem Umstand, dass Nikolaus hier intuitiv in Bereiche vorstößt, die auch heute noch als Grundsatzfragen die ohnehin unscharfen Begrenzungen zwischen Philsophie und höherer Mathematik verschwimmen lassen.

Dennoch: Nikolaus’ Bezugspunkt ist ausdrücklich die unendlich ausgedehnte Gerade. Die Koinzidenz von Gerade und Kreisbogen, wie er sie vorschlägt, ist, das sollte hier verdeutlicht werden, keine mathematische Notwendigkeit, sondern ein aus vorrangig spekulativ-philosophischen Erwägungen gewonnenes Diktum. Dabei kann, sofern die Überlegung in kartesische Koordinaten übertragen wird, dann auch von einem attingere, also dem im symbolmathematischen Sinne schrittweisen Annäherungsprozess der ratio, keine Rede mehr sein: Der kennzeichnende Segmentwinkel bleibt für r ≠ ∞ in jedem Falle konstant. Der Übergang zum Unendlichen muss als tatsächlich vollzogen, der als unendlich konnotierte Angleichungsprozess als abgeschlossen gedacht werden. Das entspricht zwar prinzipiell auch dem Vorgehen der infinitesimalen Methode, in der ja gleichsam infinite Iterationen in einem Grenzwert abgeschlossen werden. Insofern aber der limes der cusanischen Überlegung ins Unendliche selbst gelegt wird, sind seine Ausführungen letztlich als rein ‚metaphorisch‘ und nicht im Sinne einer approximationsmathematischen Methode zu verstehen.

Man darf allerdings nicht außer Acht lassen, dass sich Nikolaus mit seiner Überlegung, dass mit der Ausstreckung der Kreisperipherie die Kontingenzwinkel schrumpfen, durchaus im Einklang mit weit verbreiteten Lehrmeinungen seiner Zeit befindet. Es ist letztlich müßig zu fragen, auf welche Vorlagen er sich dabei berufen haben könnte. Eine autoritative Quelle lässt sich für die Kontingenzwinkelfrage insgesamt nicht ausmachen. Mit einiger Wahrscheinlichkeit kannte Nikolaus die entsprechenden Passagen aus den Elementa und dem zugehörigen Kommentar des Proklos (410–485) zum ersten Buch. Ob er mit den Überlegungen Bradwardines aus der Geometria speculativa vertraut war, wie Hofmann vermutet hat, lässt sich anhand der bisher bekannten Quellen nicht sagen. Auch die Abhandlung De arte mensurandi des Johannes de Muris (auch: Jean de Muris, 1290–1351) wäre eine denkbare Quelle, allerdings lassen sich die hierin ebenfalls enthaltenen Ausführungen zur Geometrie der Möndchen nach Hippokrates von Chios (um 470 v. Chr.–um 410 v. Chr.) nicht mit Nikolaus’ späteren Ansätzen zu einer Quadratura circuli per lunulas zur Deckung bringen. Interessant ist immerhin, dass Nikolaus die sehr vorsichtigen Ausführungen Oresmes in dessen Abhandlung zu den Formlatituden (latitudines formarum), Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, entweder nicht kannte oder bewusst übergangen hat.

Oresme zufolge ist die Krümmung von Kreisen unterschiedlicher Größe nämlich stets gleich:

Sed tamen posito [...] quod intensio curvitatis attenditur penes semid[i]ametri parvitatem, sequitur inde quod omnium circumferentiam circularium curvitatis sunt simpliciter equales, quoniam […] si aliqua qualitas sit intensior alia et illa alia sit proportionaliter extensior seu magis extensa, ille due sunt simpliciter coequales.

Oresme führt in diesem Zusammenhang auch die pseudo-archimedische Schrift De curvis superficiebus an:

Nunc autem ita est quod proportio circumferentiarum in quantitate est sicut proportio semid[i]ametrorum circulorum quorum sunt circumferentie, ut patet per quintam conclusionem Archimenidis de curvis superficiebus. Ergo curvitas duple circumferentie est duplo extensior quam curvitas circumferentie subduple et per positum eadem curvitas duplae circumferentie est duplo remissor. Igitur simpliciter loquendo curvitas duple circumferentie et curvitas sub duple circumferentie sunt equales, et sic de aliis. Ergo omnium circumferentiarum circularium curvitates sunt equales [...].

Wenn sich also verschiedene Kreise quantitativ unterscheiden (also über Radius bzw. Umfang), so sind sie qualitativ (in Hinblick auf Krümmungsgrad (curvitas)) doch gleich. Diese qualitative Fassung des Krümmungsbegriffs ist entscheidend. Sie zeigt unter anderem deutlich, wie weit die mittelalterliche Mathematik von einer modernen Definition geometrischer Figuren als Punktmengen noch entfernt ist. Damit aber wird das Problem der Kontingenzwinkel letztlich zur Glaubensfrage. Nikolaus und Oresme argumentieren mit qualitativen Aussagen, die auf Intuitionen bezüglich einer zahlenmäßig unbestimmten Größe, der Kreiskrümmung, beruhen. Im Zusammenhang mit den cusanischen Quadraturtraktaten wird uns das noch beschäftigen.

Dennoch: Nikolaus Grundidee, dass im Unendlichen Gerades und Gekrümmtes zusammenfallen könnten, ist keineswegs trivial und blieb bis weit in die Neuzeit hinein ein zentraler Diskussionsgegenstand, insbesondere im Vorfeld der Entwicklung des Differentialkalküls. Noch Kepler verweist in einem Schreiben an den Arzt Johan Georg Brengger 15. April 1608 auf Nikolaus’ Ausführungen zur Angleichung von Kreisbogen und Tangente aus De docta ignorantia. Für Kepler lieferte Nikolaus mit seinem Beitrag eine gute Referenzquelle für seine eigenen Überlegungen zur Geometrie der Indivisiblen. Keplers im ersten Theorem der Nova Stereometria doliorum vertretene Meinung, dass man ein (infinitesimal) kurzes Kreissegment (näherungsweise) als gerade Linie annehmen darf, da im Verlaufe der Darlegung der Kreis in kleinste Bogen zerschnitten wird, welche Geraden gleichgesetzt werden, war unter seinen Zeitgenossen keineswegs unumstritten, bedeutete sie doch die Aufhebung des von den antiken Geometern für unauflösbar gehaltenen Gegensatzes von gekrümmt und gerade im Unendlichen. So kritisierte der Astronom und Mathematiker Paul Guldin (eigentlich: Habakuk Guldin, 1577–1643) Kepler, da der geometrische Beweis fehle, wonach ein kreisförmiger Bogen, ganz gleich wie klein er auch sei, mit einer geraden Linie gleichgesetzt werden könne.

Natürlich betrachtet Nikolaus an der fraglichen Stelle unendlich ausgedehnte, nicht infinitesimale Größen – und wäre im Übrigen Keplers Argumentation zu diesem Zeitpunkt so sicher nicht gefolgt. Wichtig ist aber die prinzipielle Annahme, dass im Unendlichen geometrische Gegensätze als aufgelöst betrachtet werden können.

Man sieht, dass Nikolaus’ Spekulationen über geometrische Unendliche nicht allein auf ein spezifisch mittelalterliches Problemdenken verweisen, sondern eine mathematische Grundlagendiskussion berühren, die von der Antike bis in die Neuzeit mehr oder weniger kontinuierlich geführt wurde.