Werk:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/Londoner Skizzen.

Autographe Notizen und Skizzen des Nikolaus von Kues im cod. Harl. 3631, fol. 112^r

EIN FRÜHER BEITRAG ZUR SEHNENRECHNUNG IM COD. HARL. 3631

Die Londoner Sammlung Harl. 3631 enthält neben den genannten noch weitere, trotz ihrer Kürze im vorliegenden Zusammenhang bedeutsame Schriftstücke. Ganz am Ende finden sich, auf zwei separate Blätter verteilt, Raitungen des Koblenzer Stiftes zu St. Florin aus den Jahren 1424 und 1431. Es ist ein Glücksfall, dass auch diese vergleichsweise unbedeutenden Einträge erhalten geblieben sind, denn die auf ihnen vermerkten Datierungen lassen auch Rückschlüsse auf die übrigen Stücke der Sammlung zu. Der Grund hierfür liegt in einem weiteren Schriftstück, einer geometrischen Notiz von Nikolaus’ Hand, die sich auf fol. 112^r, in der (nachträglichen) Reihenfolge der Folianten also auf der Vorderseite der Zehntliste aus dem Jahre 1424, findet.

Es gibt kaum einen vernünftigen Grund, anzunehmen, dass die Skizzen mit den knappen Erläuterungen nicht in zeitlicher Nähe zu den beiden anschließenden Abschnitten des Codex angefertigt wurden. Damit sollten erstere aber nicht viel später als 1431 entstanden sein. Wären sie erheblich jünger, also deutlich nach 1431 angefertigt worden, dann wäre nicht ganz einsichtig, warum Nikolaus es noch für notwendig befand, neben Blatt fol. 112^r‒v auch noch Blatt fol. 113^r‒v, das als Verwaltungsnotiz sicher nur von zeitlich begrenzter Relevanz war, gemeinsam mit den Schriften Abū-Maʻšars abzulegen, denn die eigentliche Verbindung der beiden Blätter 112r‒v und 113r‒v mit diesen Texten bildet natürlich die geometrische Skizze, und nicht die vollkommen sachfremden Raitungen. Die zunächst unscheinbare Notiz erweist sich bei näherer Betrachtung als ein interessantes Bindeglied zwischen Nikolaus’ frühen astronomischen Interessen und seinen späteren Beiträgen auf dem Feld der Kreisquadratur.

Die knappen Randbemerkungen neben den geometrischen Figuren beziehen sich alle auf die untere beschriftete Kreisfigur (siehe die obige Abbildung). Verschiedene Sehnen sind eingezeichnet, die jeweils Dreiecke zwischen dem Kreismittelpunkt ·b·, Punkt ·c· auf der Kreisperipherie und verschiedenen ebenfalls der Peripherie liegenden Punkten aufspannen. Beschriftet sind die zu ∢abc (=120°), ∢dbc (=110°) und ∢ebc (=90°) gehörigen Sehnen. Eingezeichnet, aber nicht eigens beschriftet sind ferner die Sehnen zu ∢bcg und ∢bcf, die, wie die zugehörigen Notizen zeigen, um ·b· Winkel von 70° respektive 60° bilden. Vier Grundannahmen hat Nikolaus mit der Skizze verknüpft, die ich hier nach der Übertragung von Hallauer wiedergebe:

·ad· tertia ·ae·, ·gf· tertia ·ef·, angulus ·gbc· est minus ⅓ recto plus tertia tertie.

Offensichtlich will Nikolaus hier auf eine zweifache Winkeldrittelung hinaus. Möglicherweise hat er gewusst, dass nur die Drittelung von bestimmten Winkeln, wie dem von 90°, mit elementargeometrischen Mitteln möglich ist, dass aber zugleich bestimmte Winkel nicht konstruierbar sind – obwohl der entsprechende algebraische Unmöglichkeitsbeweis, einen beliebigen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal zu dritteln, noch rund 400 Jahre auf sich warten lassen sollte. Nikolaus schreibt weiter:

·abc· rectus cum ⅓ quare quadratum ·ac· videlicet duo cum dimidio laterum.

Nach dem Kosinussatz ist:

${\overline{ac}}^2={\overline{ab}}^2+{\overline{bc}}^2-2\cdot \overline{ab}\cdot \overline{bc}\cdot \cos \alpha ={\overline{ab}}^2+r^2-2\cdot \overline{ac}\cdot r\cdot \cos 120^{\circ }=2-2\cdot \cos 120^{\circ }$ (mit α = ∢abc, r = 1).

Demnach ist ${\overline{ac}}^2=3(da\cos 120^{\circ }=-0,5)$, genau so, wie von Nikolaus angegeben. Es folgt:

angulus ·dbc· est rectus cum 1$\frac{1}{3}$ recti minus $\frac{1}{3}$ tertie.

Hier soll augenscheinlich deutlich gemacht werden, dass durch zweifache Drittelung des 90°-Winkels Teilwinkel erreicht werden, aus denen der (in Frage stehende) Winkel von 110° zusammengesetzt werden kann, nämlich durch:

$90^{\circ }+\frac{90^{\circ }}{3}+\frac{\frac{(90^{\circ }}{3})}{3}=90^{\circ }+30^{\circ }+10^{\circ }=100^{\circ }$

Nikolaus wusste wohl, dass für die Dreiteilung des 90°-Winkels einfache elementargeometrische Lösungen existieren. Dass durch die weitere Drittelung schließlich mit 30° ein Winkel erreicht wird, dessen Drittel (10°) selbst nicht mehr mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, war ihm vielleicht auch klar, oder doch zumindest, dass bis zu diesem Zeitpunkt keine allgemeine Lösung zur Winkeldrittelung gefunden worden war. Der Zusammenhang dieser elementaren Überlegungen mit der nachfolgenden Berechnung der Kreissehne zum Mittelpunktswinkel ∢dbc = 110° bleibt aber völlig im Dunkeln. Nikolaus beendet seine Überlegungen nun mit der Feststellung: Quare quadratum ·dc· videlicet quadrata aliorum cum dimidio minus dimidio dimidii. Was Nikolaus sich bei dieser Näherungsregel gedacht hat, lässt sich nicht mit Bestimmtheit sagen. Entscheidend ist vor allem die Frage, welche Größen sich hier hinter dem Begriff aliorum verbergen. Die Bestimmtheit, mit der Hallauer seine eigene Lesart des Verhältnissatzes dargelegt hat, steht in krassem Gegensatz zur Ambivalenz des Vorgebrachten. Er schreibt:

[…] aliorum bezieht sich auf latera 1 und 2. $d{c}^2=\text{das Ganze}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{4}\text{von}2=2,5$

Sieht man einmal von der etwas eigentümlichen formalen Darstellung ab, muss man sich schon fragen, woher Hallauer den Bezug auf latera 1 und 2 nimmt, der sich so aus dem Textstück wirklich nur mit viel Fantasie herauslesen lässt. Wie Hallauer selbst anmerkt, beruhen seine eigenen Ausführungen auf einer Deutung von Joseph Hofmann. Hallauer hat wohl einige wesentliche interpretative Zwischenschritte ausgelassen, weshalb leider völlig offen bleibt, wie der eigentlich immer besonders sorgfältige Cusanus-Exeget Hofmann zu seiner Auslegung gekommen ist. In jedem Falle gewinnt man aber insgesamt den Eindruck, als hät-ten Hallauer und Hofmann sich bei ihrer Analyse an dem mit modernen Mitteln zu gewinnenden Referenzwert orientiert und versucht, die cusanische Näherung auf diesen Wert hin auszurichten. Ob der so gewonnene Wert von 2,5, wie Hallauer angibt – ein für die Zeit befriedigender Wert gewesen wäre, muss man bezweifeln, zumindest wenn man die Genauigkeit der ptolemäischen und einiger der bekannteren arabischen Sehnentafeln zum Maßstab nimmt.

Prinzipiell ist es angesichts der vagen Vorlage natürlich hilfreich, ausgehend von einem möglichst exakten Vergleichswert zunächst verschiedene mögliche Deutungen des Verhältnissatzes durchzuspielen. Dabei muss aber gerade auf die auffallend umständliche Formulierung geachtet werden: Warum schreibt Nikolaus aliorum cum dimi diominus dimidio dimidii und nicht einfach, wie es doch naheliegend wäre, aliorum cum dimidio dimidii? Man könnte die Syntax des Satzes nämlich auch anders als Hallauer/Hofmann fassen: aliorum steht hier sicher als Verkürzung für aliorum laterum, also die Seiten $\overline{bd}$ und $\overline{bd}$, die gleich dem Radius und damit im Einheitskreis gleich 1 zu setzen sind.

Das zweite quadrata, das Hallauer nicht eigens erwähnt, bezieht sich ebenfalls auf diese beiden Strecken. Wichtig ist nun aber die Frage, wie sich der Begriff dimidium hier einfügt. Es spricht nicht dagegen, dass Nikolaus zu beiden quadrierten Seiten $\frac{1}{2}$ (bzw. jeweils die Hälfte der fraglichen Seiten) addiert wissen wollte.

Zieht man von der hieraus zu bildenden Summe

${\overline{ac}}^2+\frac{1}{2}\overline{bd}+{\overline{bc}}^2\frac{1}{2}=1^2+\frac{1}{2}+1^2+\frac{1}{2}=3$

ein dimidium dimidii ab, erhält man 2,75. Die so erreichte Näherung würde gegenüber dem tatsächlichen Wert 2,68 erheblich genauer als der von Hallauer/Hofmann angegebene Wert − und ist zugleich nicht weniger wahrscheinlich.

Zugegeben: Nikolaus’ Näherungsregel ist sehr undeutlich formuliert, und nur mit einigem Wohlwollen lässt sie sich überhaupt in eine konkrete Form fassen. Man darf aber nicht übersehen, dass es sich bei dem kurzen Abschnitt im Londoner Codex sicher nur um eine Gedankennotiz handelt, die kaum Rückschlüsse auf Nikolaus’ eigentliche Absicht, geschweige denn seine mathematische Befähigung zulässt. Es bleibt aber zumindest festzustellen, dass der Aufriss keineswegs einen klassischen Versuch zur Winkeldrittelung darstellt, wie Hallauer angibt. Es wird ja keineswegs auf geometrisch-konstruktive Verfahren zur Dreiteilung von Winkeln eingegangen. Alles, was Nikolaus zur Drittelung des 30°-Winkels zu sagen hat, ist letztlich, dass die so gewonnen Drittel je 10° betragen müssten – sicher keine revolutionäre Einsicht! Nikolaus wollte auf etwas ganz anderes hinaus: Wir haben es im Cod. Harl. 3631 mit einem Beitrag zur Sehnenrechung und nicht mit einem Beitrag zur Winkelteilung zu tun. Zwar scheint Nikolaus – möglicherweise mit Blick auf Ptolemäus’ iteratives Verfahren zur Sehnenberechnung mittels fortwährender Winkelteilungen – auf einen Zusammenhang zwischen dem Problem der Winkeldrittelung und der Berechnung von Sehnen hinauszuwollen.

Wie er sich das aber genau vorstellte, kann man auf der Grundlage der Notiz nicht mehr rekonstruieren. Wichtiger als der konkrete Ertrag ist der Kontext, in dem die Berechnungsskizze auftritt.