triangulus (Cusanus)
Als mathematisches Aenigma spielt das Dreieck, das einfachste (ebene) Polygon, im Werk des Nikolaus Cusanus eine herausragende Rolle. Dabei werden die unterschiedlichsten philosophischen bzw. theologischen Themen illustriert, variiert also der symbolische Gehalt je nach dem jeweiligen Anliegen. Zwar erwähnt Cusanus das Dreieck zuweilen auch lediglich als eine neben anderen geometrischen Figuren, z.B. Kreis, Linie, Dreieck (De beryllo n. 56), doch bezieht er sich häufiger auf spezielle, mathematische Eigenschaften des Dreiecks. Insbesondere nimmt er Bezug auf die basalen Sätze der Euklidischen Geometrie, dass „die Summe zweier Seiten eines Dreiecks nicht kleiner sein kann als die dritte“ (Dreiecksungleichung; z.B. De docta ignorantia n. 37) und dass jedes Dreieck „drei Winkel besitzt, die zwei rechten gleich sind“ (Winkelsummensatz; z.B. ibd.). Außerdem fasst Cusanus das Dreieck als „erste Figur“ (De possest n. 44), „vollkommenste geradlinige Figur“ (De docta ignorantia n. 27) und „einfachstes Element“ (De docta ignorantia n. 60, De beryllo n. 59) bzw. „Prinzip“ (De coniecturis n. 92, Sermo XXII n. 19) aller Polygone auf. Bei letzteren ist neben der mathematischen Tatsache, dass sich alle Polygone in Dreiecke zerlegen lassen, sicherlich auch an eine Parallele zu den Elementardreiecken in Platons Timaios zu denken.
Im philosophischen Kontext wird unter anderem an Hand der Übereinstimmung von „unendlicher Linie“ und „unendlichem Dreieck“ die Coincidentia oppositorum in einer längeren Passage der docta ignorantia (De docta ignorantia n. 37-39) für den Intellekt aufgezeigt: „Gäbe es eine unendliche Linie, so wäre sie Gerade, Dreieck, Kreis und Kugel“ (De docta ignorantia n. 35). Für die Vorstellungskraft sei dies wegen der qualitativen Verschiedenheit von Linie und Dreieck unbegreiflich, für den Intellekt hingegen leicht fasslich, da es ohnehin nur ein einziges Unendliches gäbe. Zur Unterstützung der Einsicht, beschreibt Nikolaus einen Aufstieg vom quantitativ bestimmten Dreieck zum ‚unendlichen Dreieck‘. Hierbei sehe man, dass dieses aus drei unendlichen, in Eins fallenden Seiten (ist eine Seite unendlich, so müssen es wegen der Dreiecksungleichung die anderen ebenfalls sein) und drei koinzidierenden maximalen, d.h. gestreckten Winkeln der Größe 180°, (auf Grund des Winkelsummensatzes) bestehe. Es falle also mit der unendlichen Linie zusammen (die ihrerseits mit unendlichem Kreis und unendlicher Kugel zusammenfalle). Die beigefügte geometrische Illustration legt es nahe, dass man sich gleichschenklige Dreiecke mit wachsendem Winkel an der Spitze (bis zum Grenzfall 180°) und entsprechend schrumpfenden Basiswinkeln (bis zum Grenzfall 0°) vorstellen soll, bei denen gleichzeitig die Basis und – auf Grund der Dreiecksungleichung auch – die Schenkel bis zu unendlicher Länge wachsend. Das ‚unendliche Grenzobjekt‘ ist dann eine unendliche Linie, in der man aber noch drei aufeinander liegende, unendliche Seiten und in jedem Punkt eine Ecke mit 180°-Winkel „sehen“ kann. Zu beachten ist, dass Nikolaus die ‚unendlichen‘ Analoga mathematischer Objekte ausdrücklich nicht als Gegenstände der Mathematik ansieht, und sie sprachlich auch nur im Irrealis bezeichnet.
Die theologische Übertragung weist dann den einzelnen geometrischen Figuren unterschiedliche Aspekte des Gotteskonzeptes zu: „[D]as schlechthin Größte [ist] das größte Linienhafte dergestalt, daß wir es Wesenheit nennen können; es ist das Dreieckhafte so, daß es Dreiheit genannt werden kann; das Kreishafte so, daß es Einheit und das Kugelhafte auf eine Weise, daß es wirkliche Existenz genannt werden kann“ (De docta ignorantia n. 55). Mit der Dreiecksform ist also augenfällig eine trinitarische Symbolik verbunden, die vor allem in De docta ignorantia betont und an die Tradition angeschlossen wird: „[E]rfahrene Männer verglichen ein Dreieck mit drei gleichen Seiten und rechten Winkeln mit der über alles gepriesenen Dreifaltigkeit“ (De docta ignorantia n. 34). Mit der Elementarität des Dreiecks motiviert Nikolaus, dass das mit dem Kleinsten übereinstimmende „Größte dreifach ist und nicht vierfach, fünffach oder mehrfach“ (De docta ignorantia n. 59, vgl. auch das Argument für einen dreienigen Ursprung der Mathematik in de possest n. 44). Zugleich zeigt das Ineinsfallen der drei Seiten und Winkel, dass „das eine ohne Vervielfachung dreifach“ ist (De docta ignorantia n. 57).
Darüber hinaus symbolisiert das unendliches Dreieck auch alle anderen triadischen Strukturen als „das einfachste Maß alles dessen, was dreifach Bestand hat, wie es die Tat-Handlungen sind, die in Möglichkeit, Gegenstand und Wirklichkeit dreifach bestehen; ähnlich ist es mit Schau, Einsicht, Wollen, Ähnlichkeit, Unähnlichkeit, Schönheit, Verhältnisbeziehung, Korrelation, natürlicher Bestrebung und allem anderen, dessen Seinseinheit in Vielheit besteht, wie es grundsätzlich Sein und Tätigkeit der Natur sind, die in der Korrelation des Handelnden, Leidenden und des aus beiden gemeinsam Entspringenden entstehen“ (De docta ignorantia n. 62).
Eine genauere (im Vergleich zur docta ignorantia von qualitativ anderen endlichen Dreieckes ausgehende) Handführung zur Vorstellung des ‚unendlichen Dreiecks‘ gibt Cusanus in De venatione Sapientiae; man erschaue in diesem „Gott sowohl vor dem Werden-Können wie vor dem Unmöglichen in einer Weise, als sei er dasjenige, dem das Unmögliche erst nachfolgt“ (De venatione sapientiae n. 74). Könnte man das „erste Prinzip bildlich darstellen, so wäre er ein vollkommenes Dreieck aus drei vollkommenen Seiten“ (ibd.). Um dieses Dreieck im Intellekt zu erreichen, werden endliche (gleichschenklig, rechtwinklige) Dreiecke (vgl. Abbildung) mit wachsenden Schenkeln betrachtet. Die durch den Krümmungskreis gemessenen Hornwinkel chi und cgi nähern sich einem rechten Winkel, je größer die Seite ch wird, der Kreisbogen hig nähert sich dann einer Geraden. Das ‚unendliche Dreieck‘ hat schließlich drei gleiche, unendliche Seiten und drei gleiche – für sich betrachtet zunächst – rechte Winkel. Da im rechtwinkligen Dreieck die Summe der Winkel an der Hypothenuse den von den Katheten eingeschlossenen Winkel ergeben, ist dieser Winkel zugleich ein doppelter rechter Winkel und somit die Summe aller Winkel (Winkelsummensatz); was aber für den einen Winkel gilt, das gilt für alle gleichermaßen: „So ist jeder Winkel gleich dem anderen, gleich den beiden anderen und gleich allen dreien. Dieses Dreieck wäre damit die Einfaltung aller darstellbaren Figuren“ (De venatione sapientiae n. 76).
Der Bezug der unendlichen Vernunft zu den einzelnen Spezies wird in einer ausführlichen Passage in De beryllo an Hand des Dreiecks erläutert (De beryllo n. 58-62). Im endlichen, bzgl. der Fläche begrenzten Dreieck leuchte als erster endlicher Fläche der maximale Winkel, 180°, unvermindert auf: „Jedes Dreieck aber hat drei Winkel, die zwei rechten gleichkommen, also strahlt in jedem Dreieck unversehrt der unendliche Ursprung aller Winkel wider“ (De beryllo n. 58). Im Ganzen eines jeden Dreiecks ist also der gestreckte Winkel, der zugleich als maximal, 180°, und minimal, 0°, bezeichnet werden kann, für das mathematische Auge sichtbar. Außerdem sei das Dreieck nicht in kleinere Polygone zerlegbar, daher unvergänglich. Dreiecke gebe es schließlich in großer Verschiedenartigkeit, spitzwinklige, stumpfwinklige, rechtwinklige etc., die jedoch als Dreiecke – nicht quantitativ bzgl. der Fläche, aber etwa bzgl. der Winkelsumme und der Seitenzahl – gleichgroß sind (De beryllo n. 61). Analog werden die vielen verschiedenen Spezies als in der Dignität gleichgroße, „vollendete erste Substanzen“ gedacht, in denen „der ganze erste Ursprung mit seiner Unvergänglichkeit und Größe in endlicher und begrenzter Weise widerstrahlt.“ (De beryllo n. 59).
In ganz anderem Kontext wird der Winkelsummensatz in De coniecturis zur Abgrenzung von intelletus, ratio und sensus ins Spiel gebracht (De coniecturis n. 80-82). Dieser Satz wird durch die ratio in seiner Notwendigkeit erfasst (allerdings kann etwa der Schüler nur das „dass-ist“ dieses Satzes erfassen ohne den rationalen Grund dafür zu kennen, vgl. De genesi n. 169). Unter der Voraussetzung einer Koinzidenz von Gegensätzlichem, etwa von Dreiheit und Einheit oder von rechtem und nicht-rechtem Winkel, also im Bereich des intellectus ist der Satz nicht mehr gültig; dies trifft aber auch im Bereich des sensus zu, für den es die genaue Gleichheit von drei Winkeln mit zwei rechten, ja nicht einmal einen genauen rechten Winkel gibt. Die Mathematik wird hier also als Bereich der ratio – mit ihrer eigenen Wahrheit – par excellence ausgezeichnet; alle mathematischen Sätze seien schließlich daraus abzuleiten: „Daß man alles auf dieses Prinzip der zu vermeidenden Koinzidenz der Gegensätze zurückführen muß, bedeutet das hinreichende Begründetsein aller durch die ratio erforschlichen Künste“ (De coniecturis n. 81). Es schließt sich hieran eine fachmathematische Spekulation über die Möglichkeit der Kreisquadratur (bzw. der Verhältnisbestimmung von Radius und Umfang) unter der kontrafaktischen (infinitesimalen?) Voraussetzung einer Gleichheit zweier Dreiecksseiten mit der dritten. Im Trialogus des possest (De possest n. 43) wird der Winkelsummensatz ebenfalls als Beispiel genauer Erkenntnis (eines mathematischer Sachverhaltes) angeführt. Die mathematischen Gegenstände werden im Anschluss als Schöpfungen der menschlichen ratio charakterisiert, die sie gerade deswegen genau erkennen kann und die ihr dann als Werkzeuge für ihre Arbeit, „Bauen, Messen“ (ibd.), also zur – nie ganz genauen, gleichwohl annähernden „Erkenntnis aller Werke Gottes“ (ibd.) und zur Konstruktion von Artefakten zur Verfügung stehen.
Eine (Platonische) Idee des Dreiecks findet man etwa in de possest: „Wie die Figur (figura) des Dreiecks dem Dreieck Sein gibt, so gibt die menschliche Form (forma) oder Spezies (species) dem Menschen das Sein.“ (De possest, n. 43) Nur selten wird diese Idee jedoch durch Substantivierung expliziert, der Terminus triangularitas findet sich außer in dem mathematischen Traktat de circuli quadratura „Trigoni enim esse extra triangularitatem nequaquam esse potest“ (De circuli quadratura, n. 55) lediglich in einer kurzen Bemerkung im Dialog Idiota de mente: „Wollte ich die Dreieckigkeit sichtbar machen, so würde ich eine Figur bilden, in der ich drei Winkel anbringe, damit in der Figur, die sich so verhält und so gestaltet ist, die Dreieckigkeit widerstrahlt; mit ihr ist das Wort verbunden, das als «Dreieck» festgesetzt ist.“ (De mente, n. 70). Die Idee eines „allgemeinen Dreiecks“ wird etwa in De theologicis complementis genauer charakterisiert: „Während er das quantitativ bestimmte Dreieck zeichnet, schaut [der Mathematiker] nicht auf dieses, sondern auf das von aller Quantität und Qualität, Größe und Vielheit schlechthin losgelöste Dreieck. Wenn er daher ein quantitatives Dreieck zeichnet, erhält dieses seine Quantität nicht vom Urbild, und er beabsichtigt auch gar nicht, ein quantitatives Dreieck hervorzubringen; die Quantität, ohne die es nicht sinnlich werden kann, tritt vielmehr hinzu, da er das Dreieck, welches er im Geist entwirft, nicht als sinnliches zeichnen kann“ (De theologicis complementis, n. 5). Das von aller unterscheidenden Quantität abgelöste Urbild kommt mit dem Urbild jeder anderen (polygonalen) Figur überein: „Das Dreieck, auf das er blickt, ist weder groß noch klein, noch durch Größe oder Vielheit bestimmt. Es ist demnach unendlich. Darum ist jenes unendliche Dreieck, das Urbild, in dem der Geist das darzustellende Dreieck erblickt, von jenem Urbild nicht verschieden, auf das er hinschaut, wenn er ein Viereck oder Fünfeck oder einen Kreis “ (ibd.). Dieses einheitliche Urbild identifiziert Nikolaus als Gleichheit: „Es ist also eine einzige unendliche Gleichheit des Seins, auf die ich schaue, wenn ich die verschiedenen Figuren aufzeichne.“ In theologischer Wendung zieht Cusanus schließlich von der schaffenden Tätigkeit des Mathematikers eine Parallele zum göttlichen Schöpfungsprozess: „Zu sich selbst gewendet schafft also der Schöpfer alles, wenn er es schafft, da er selbst jene Unendlichkeit ist, welche die Gleichheit des Seins ist.“ (ibd.)
Abschließend sei noch daran erinnert, dass die Figura Paradigmatica, auch wenn von zwei Pyramiden gesprochen wird, im zweidimensionalen Druck aus zwei einander durchdringenden Dreiecke gebildet ist.
Wichtige Belegstellen:
De Beryllo n. 58-62
De coniecturis n. 80-82
De Docta Ignorantia n. 34, 37-40, 55-62
De Venatione Sapientiae n. 74-77
13.9.2010
zuletzt bearbeitet: 13.09.2010