Ellipse

Ellipse agr.-lat.-deu. Wrtdtng:: räumlich 'Inleib, Inleibung, Einlassung'

• Ellipse f.
• in der Geometrie ‘geschlossene ebene Kurve, für deren sämtliche Punkte die Summe der Abstände von zwei festen Brennpunkten konstant ist’,
• in der Sprachwissenschaft ‘Auslassung von weniger wichtigen, aus dem Zusammenhang leicht ersichtlichen Redeteilen’.
  • Anm. KF: agr. πᾰρᾰ́λειψῐς paráleipsis entspricht 'Beilassung, Auslassung'
• Lat. ellīpsis ‘Mangel, das Auslassen eines Wortes’
  • ist Entlehnung von gleichbed. grie. élleipsis (ἔλλειψις),
    • einem Deverbativum zu grie. ellé͞ipein (ἐλλείπειν) ‘zurücklassen, mangeln, fehlen’,
      • aus grie. en (ἐν) ‘darin’ und lé͞ipein, leípein (λείπειν) ‘verlassen, zurücklassen, fehlen, schwinden’.
  • Lat. ellīpsis wird in nhd. Texte aufgenommen und bezeichnet
    • in mathematischen Schriften (nach dem Gebrauch bei Kepler u. a.)
      • den „unvollkommenen“ Kreis, dem die gleichmäßige Rundung „fehlt“ (1. Hälfte 16. Jh.),
    • und in grammatischen Schriften (nach antikem Vorbild) die Ersparung von Redeteilen (17. Jh.).
    • In beiden Verwendungen eingedeutscht zu Ellipse im 18. Jh.

Ellipse

Ellipse mit Mittelpunkt $M$, Brennpunkten $F_1$ und $F_2$, Scheitelpunkten $S_1,\dots ,S_4$, Hauptachse (rot) und Nebenachse (grün)

Ellipse als Kegelschnitt.
Die Mittelachse des Kegels ist so weit geneigt, dass sich die Ellipse in der Seitenansicht von rechts in wahrer Größe zeigt.

Ellipsen (von altgriechisch ἔλλειψις élleipsis, deutsch ‚das Unterlassen, Ausbleiben, Zurückbleiben‘) sind in der Geometrie spezielle geschlossene ovale Kurven. Sie zählen neben den Parabeln und den Hyperbeln zu den Kegelschnitten. Eine anschauliche Definition verwendet die Eigenschaft, dass die Summe der Abstände eines Ellipsenpunktes von zwei vorgegebenen Punkten, den Brennpunkten, für alle Punkte gleich ist. Sind die Brennpunkte identisch, erhält man einen Kreis.

Jede Ellipse lässt sich in einem geeigneten kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

oder eine Parameterdarstellung

$x(t)=a\cos (t)$

$y(t)=b\sin (t)$

beschreiben. Hieran erkennt man, dass man eine Ellipse als einen an der $x$-Achse um $a$ und an der $y$-Achse um $b$ gestreckten Einheitskreis auffassen kann.

Die Ellipse wurde von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.) eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die Exzentrizität $\epsilon <1$.

Ellipsen treten nicht nur als ebene Schnitte eines Kegels auf. Auch auf Zylindern, Ellipsoiden, Hyperboloiden und elliptischen Paraboloiden gibt es Ellipsen.

In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten keplerschen Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (siehe Ellipse (Darstellende Geometrie)).

Definition einer Ellipse als geometrischer Ort

Ellipse: Definition mit Leitkreis

Ellipse als spezielle Hypotrochoide bei q=2 (Animation)

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu definieren. Neben der üblichen Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich, eine Ellipse als Schnittkurve zwischen einer entsprechend geneigten Ebene und einem Kegel zu bezeichnen (siehe 1. Bild) oder als affines Bild des Einheitskreises.

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte $P$ der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten $F_1$ und $F_2$ gleich einer gegebenen Konstante ist. Diese Konstante wird üblicherweise mit $2a$ bezeichnet. Die Punkte $F_1$ und $F_2$ heißen Brennpunkte:

$E=\{P\mid |P{F}_2|+|P{F}_1|=2a\}$

Um eine Strecke auszuschließen, setzt man voraus, dass $2a$ größer als der Abstand $|F_1{F}_2|$ der Brennpunkte ist. Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist $E$ ein Kreis mit Radius $a$. Dieser einfache Fall wird in den folgenden Überlegungen oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.

Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{F_1{F}_2}$ heißt Mittelpunkt der Ellipse. Die Gerade durch die Brennpunkte ist die Hauptachse und die dazu orthogonale Gerade durch $M$ die Nebenachse. Die beiden Ellipsenpunkte $S_1$ und $S_2$ auf der Hauptachse sind die Hauptscheitel. Der Abstand der Hauptscheitel zum Mittelpunkt ist $a$ und heißt die große Halbachse. Die beiden Ellipsenpunkte $S_3$ und $S_4$ auf der Nebenachse sind die Nebenscheitel, und ihr Abstand zum Mittelpunkt ist jeweils die kleine Halbachse $b$. Den Abstand $e$ der Brennpunkte zum Mittelpunkt nennt man die lineare Exzentrizität und $\epsilon =e/a$ die numerische Exzentrizität. Mit dem Satz des Pythagoras gilt $a^2=e^2+b^2$ (siehe rechts in der oberen Zeichnung, wo $a$ (grün) die Hypotenuse und $b$ und $e$ die Katheten des entsprechenden rechtwinkligen Dreiecks sind).

Die Gleichung $|P{F}_2|+|P{F}_1|=2a$ kann man auch so interpretieren (siehe Zeichnung Definition mit Leitkreis): Wenn $c_2$ der Kreis um $F_2$ mit Radius $2a$ ist, dann ist der Abstand des Punktes $P$ zum Kreis $c_2$ gleich dem Abstand des Punktes zum Brennpunkt $F_1$:

$|P{F}_1|=|P{c}_2|$

$c_2$ heißt Leitkreis der Ellipse bzgl. des Brennpunktes $F_2$. Diese Eigenschaft sollte man nicht verwechseln mit der Leitlinieneigenschaft einer Ellipse (s. unten). Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist eine Ellipse die Äquidistanz-Kurve zu jedem ihrer Brennpunkte und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.

Mit Hilfe Dandelinscher Kugeln beweist man:

Jeder Schnitt eines Kegels mit einer Ebene, die die Kegelspitze nicht enthält, und deren Neigung kleiner als die der Mantellinien des Kegels ist, ist eine Ellipse.

Ellipse in kartesischen Koordinaten

s. Ellipse in kartesischen Koordinaten

Eigenschaften

s. Ellipse (Eigenschaften)

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

s. Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Peripheriewinkelsatz und 3-Punkteform für Ellipsen

s. Ellipsen (Peripheriewinkelsatz und 3-Punkteform)

Ellipsen zeichnen

s. Ellipse (Ellipsen zeichnen)

Würfel mit Kreisen in Vogelperspektive

Ellipsen treten in der darstellenden Geometrie als Bilder von Kreisen auf. Es ist also wichtig, geeignete Werkzeuge zur Verfügung zu haben, mit denen man Ellipsen zeichnen kann. Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Verfahren, mit denen Ellipsen gezeichnet werden:

• einzelne Punkte, die man mit einem Kurvenlineal zu einer glatten Kurve verbindet,
• stetige Konstruktionen, die man technisch als Ellipsenzirkel realisieren kann und
• eine Approximation einer Ellipse mit Hilfe ihrer Scheitelkrümmungskreise und eines Kurvenlineals.

Den meisten Ellipsenzirkeln liegen die unten beschriebenen zwei Papierstreifenmethoden zugrunde. Diese waren schon den Griechen (Archimedes und Proklos) bekannt, wie man auch und vieles andere mehr in dem eigenständigen Artikel Ellipsograph des Archimedes nachlesen kann. Wenn kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, ist die Approximation mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise die schnellste und beste Methode, eine Ellipse zu zeichnen.

Für jede hier beschriebene Methode ist die Kenntnis der beiden (Symmetrie-)Achsen und der Halbachsen $a,b$ erforderlich. Ist dies nicht der Fall, was in der darstellenden Geometrie oft vorkommt, so muss man wenigstens den Mittelpunkt und zwei konjugierte Halbmesser kennen. Mit Hilfe der Rytz-Konstruktion lassen sich dann die Scheitel und damit die Achsen und Halbachsen ermitteln. Nur die Parallelogramm-Methode (s. unten) bietet die Möglichkeit, zu zwei konjugierten Halbmessern direkt (ohne Rytz) einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren.

Gärtnerkonstruktion

Die definierende Eigenschaft einer Ellipse – die Summe der Abstände zu zwei Punkten ist konstant – nutzt die Gärtnerkonstruktion als einfache Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen. Hierzu benötigt man einen Faden der Länge $2a$ und zwei Reißbrettstifte (oder Nägel, Stifte, …), um die beiden Enden des Fadens in den Brennpunkten der zu zeichnenden Ellipse zu befestigen. Führt man einen Stift mit Hilfe des gespannten Fadens (s. Bild) über die Zeichenfläche, so entsteht die durch die Länge des Fadens und die Lage der Brennpunkte definierte Ellipse. Diese einfache Methode gibt Gärtnern die Möglichkeit, ellipsenförmige Beete anzulegen, was der Methode den Namen gab.

Ellipse: Gärtnerkonstruktion

Eine Variation der Gärtnerkonstruktion zur Konstruktion konfokaler Ellipsen geht auf den irischen Bischof Charles Graves zurück.

Antiparallelogramm

Konstruktion über das Antiparallelogramm

Beim Abrollen eines Antiparallelogramms zeichnet der Schnittpunkt der beiden langen Stäbe eine Ellipse (blau im Bild). Die Enden des kurzen statischen Stabs definieren die Brennpunkte der Ellipse. Durch die symmetrische Geometrie ergibt sich theoretisch auch um den kurzen umlaufende Stab eine Ellipse (im Bild grün). Diese Konstruktionsvariante ist mit der Gärtnerkonstruktion verwandt. Betrachtet man nur den Anteil innerhalb der statischen Ellipse und ersetzt die beiden inneren Teilstücke der Stäbe mit einer Schur, ergibt sich die äquivalente Gärtnerkonstruktion. Die Mechanik des bewegten Antiparallelogramms ist ein Koppelgetriebe. Die innere Ellipse entspricht der Rastpolbahn, die äußere Ellipse ist die Gangpolbahn des umlaufenden kurzen Stabs.

Ellipsenzirkel des Frans van Schooten

Ellipsenzirkel des Frans van Schooten
(▶ Animation ansehen)

Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE in LIBER IV die Methode Gärtnerkonstruktion und ein paar Seiten weiter einen Ellipsenzirkel. Basis für den Ellipsenzirkel ist die Gärtnerkonstruktion.

• Anzumerken ist: In der nebenstehenden originären Darstellung Ellipsenzirkel des Frans van Schooten kann die Ellipsenlinie nicht durch den Scheitelpunkt $K$ gezogen werden, sondern nur, z. B. im Uhrzeigersinn, bis die Führungsschiene $|GH|$ an der Zirkelnadel im Punkt $I$ der Raute anliegt. Damit der Ellipsenzirkel eine komplette Ellipsenlinie zeichnen kann (auch durch die Scheitelpunkte $L$ und $K$), ist es erforderlich, dass zumindest einmal die Einstechposition der Zirkelnadeln $H$ und $I$ in den Brennpunkten der Ellipse getauscht wird.

Prinzipskizze, Ellipsenzirkel des Frans van Schooten.
Die Kurve ist eine exakte Ellipse.

Die Hauptelemente des rautenförmigen Ellipsenzirkels sind die fünf gleich langen Stäbe mit ihren Gelenkpunkt-Abständen $|OI|$, $|IP|$, $|PG|$, $|GO|$ und $|GH|$ als Führungsschiene sowie der deutlich längere Diagonalstab ab $O$ durch $P$ mit dem Klemmelement $Q$ für den Spielausgleich. Die Führungsschiene mit dem Gelenkpunkt-Abstand $|GH|$ und der Diagonalstab überkreuzen sich im Punkt $E$ und sind über Führungsnuten mithilfe eines sogenannten Gleitsteins dreh- und schiebbar verbunden. In diesem Gleitstein ist auch der Zeichenstift und ggf. der Handgriff montiert. Der zweite Gleitstein befindet sich im Gelenkpunkt $P$. In den Gelenkpunkten $H$ und $I$ des Ellipsenzirkels sind die Zirkelnadeln befestigt.

Die Länge z. B. des Stabes $|IO|$ ist gleich der Länge der Hauptachse $|KL|$. Der Abstand der Gelenkpunkte $H$ und $I$ bestimmt die Länge der Nebenachse. Je kleiner dieser Abstand ist, umso mehr ähnelt die Ellipse einem Kreis.

Betrachtet man eine Hälfte der Raute $OIPG$, d. h. das gleichschenklige Dreieck $IGO$, so ist der Diagonalstab ab $O$ durch $P$ als Mittelsenkrechte $M_S$ des Gelenkpunkt-Abstandes $|GI|$ erkennbar, die den Stab mit Gelenkpunkt-Abstand $|GH|$ in $E$ schneidet. Dadurch entsteht das zweite gleichschenklige Dreieck $EIG$ mit den Schenkeln $|EG|$ und $|EI|$. Wird nun der Ellipsenzirkel von Hand bewegt, durchläuft der Punkt $G$ den Kreis $k_1$ um den Punkt $H$ mit dem Radius $|GH|$ (gleich $|KL|$), dabei wirkt der Diagonalstab mit seinem Gelenkpunkt-Abstand $|OP|$ konstant als Mittelsenkrechte der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke $IGO$ und $EIG$. Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Ellipsenzirkels gilt

$|GH|=|EH|+|EG|=|EH|+|EI|.$

Werden in die weiter oben beschriebene Definition einer Ellipse als geometrischer Ort die Bezeichnungen der betreffenden Punkte, u. a. die Brennpunkte $H$ und $I$, aus der Darstellung des Ellipsenzirkels eingesetzt, ergibt sich

${\mathrm{Def}}_E=\{E\mid |EH|+|EI|=|GH|\}.$

Damit wird aufgezeigt: Die mit dem rautenförmigen Ellipsenzirkel gezogenen Kurven sind Ellipsen.

Um eine Ellipse zu zeichnen, sticht man zuerst zur Lagefixierung des Ellipsenzirkels die Zirkelnadeln der Gelenkpunkte $H$ und $I$ in die Brennpunkte der Ellipse und zieht anschließend mithilfe des Handgriffs oder ggf. nur mit dem Zeichenstift die Ellipsenlinie.

Parameterdarstellung mit Sinus und Kosinus

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinusfunktion. Wegen ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ beschreibt

$(a\cos t,b\sin t),0\le t<2\pi$

die Ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$ Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich die folgenden Ellipsenkonstruktionen leicht verstehen.

Punktkonstruktion nach de La Hire

Die nach Philippe de La Hire (1640–1718) benannte Punktkonstruktion benutzt die beiden Scheitelkreise, das sind die Kreise um den Mittelpunkt der Ellipse mit den Halbachsen $a,b$ als Radien. Der Parameter $t$ wird hier als der Steigungswinkel eines von $M$ ausgehenden Strahls interpretiert. Mit der in der Zeichnung angegebenen Methode wird ein Punkt mit den Koordinaten $(a\cos t,b\sin t)$, also ein Ellipsenpunkt, konstruiert. Dieses Konstruktionsverfahren war allerdings auch schon in der Spätantike bekannt und ging damals auf Proklos Diadochos (412–485) zurück.

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  Ellipsenkonstruktion nach Diadochos
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  Animation der Methode von Diadochos

Papierstreifenmethoden

Die beiden Papierstreifenmethoden verwenden zwei weitere Möglichkeiten der geometrischen Interpretation des Parameters $t$ der obigen Parameterdarstellung einer Ellipse. Sie liefern die Grundlagen der meisten Ellipsenzirkel.

1. Methode

Die erste Methode verwendet einen Papierstreifen der Länge $a+b$. Der Punkt, in dem sich die Halbachsen treffen, wird mit $P$ markiert. Wenn der Streifen nun so bewegt wird, dass die beiden Enden jeweils auf einer Achse gleiten, überstreicht der Punkt $P$ die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Parameterdarstellung $(a\cos t,b\sin t)$ und der Interpretation des Parameters als Winkel des Papierstreifens mit der $x$-Achse (s. Bild).

Eine weitere technische Realisierung des gleitenden Streifens kann man auch mit Hilfe eines Paares cardanischer Kreise erreichen (s. Animation). Der große Kreis hat den Radius $a+b$.

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  Ellipse: 1. Papierstreifenmethode
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  Ellipsen (rot, cyan) mit cardanischen Kreisen

Eine Variation der 1. Papierstreifenmethode geht von der Beobachtung aus, dass der Mittelpunkt $N$ des Papierstreifens sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $\frac{a+b}{2}$ bewegt. Man kann also den Papierstreifen in der Mitte (Punkt $N$) trennen und an dieser Stelle ein Gelenk einfügen und den zuvor auf der $y$-Achse gleitenden Punkt in den Mittelpunkt der Ellipse verlegen. Nach dieser Operation bleibt das abgeknickte Ende des Papierstreifens fest (im Punkt $M$) und der unveränderte Teil des Streifens samt dem Punkt $P$ bewegt sich wie zuvor. Der Vorteil dieser Variation ist: Man benötigt nur einen technisch anspruchsvollen Gleitschuh. Auch gegenüber der cardanischen Realisierung der 1. Papierstreifenmethode ist diese Variation technisch einfacher.
Man beachte, dass immer dasjenige Ende des Streifens, das auf der Nebenachse gleitet, in den Mittelpunkt verlegt wird!

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  Abgeknickter Papierstreifen
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  Animation mit abgeknicktem Papierstreifen

Ellipse: 2. Papierstreifenmethode

2. Methode:

Die zweite Papierstreifenmethode geht von einem Papierstreifen der Länge $a$ aus. Man markiert den Punkt, der den Streifen in zwei Teile der Längen $b$ und $a-b$ zerlegt. Der Streifen wird so auf den Achsen positioniert, wie im Bild zu sehen ist. Der Teil, der die Länge $a-b$ besitzt, liegt zwischen den Achsen. Das freie Ende $P$ beschreibt dann die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Zeichnung: Der Punkt $P$ kann durch die Parameterdarstellung $(a\cos t,b\sin t)$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ der Steigungswinkel des Papierstreifens.

Diese Methode benötigt zu ihrer technischen Realisierung auch zwei Gleitschuhe, ist aber flexibler als die erste Papierstreifenmethode. Sie ist die Grundlage für viele Ellipsenzirkel (s. Weblink Ellipsenzirkel).

Bemerkung: Auch hier ist eine Variation durch Abknicken des Streifenteils zwischen den Achsen möglich. Es ist dann, wie bei der ersten Methode, nur ein Gleitschuh nötig.

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  Animation der 2. Papierstreifenmethode
• 
  Ellipsenzirkel von Benjamin Bramer
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  Abgeknickter Papierstreifen

Approximation einer Ellipse mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise

Approximation mit Scheitelkrümmungskreisen

Aus der Formelsammlung (s. unten) ergibt sich:

Der Krümmungsradius für die Hauptscheitel $S_1,S_2$ ist $\frac{b^2}{a},$

der Krümmungsradius für die Nebenscheitel $S_3,S_4$ ist $\frac{a^2}{b}.$

Die Zeichnung zeigt eine einfache Methode, die Krümmungsmittelpunkte $M_1=(a-\frac{b^2}{a},0),M_3=(0,b-\frac{a^2}{b})$ des Scheitels $S_1$ und des Nebenscheitels $S_3$ zeichnerisch zu bestimmen:

1. Markiere den Hilfspunkt $H=(a,b)$ und zeichne die Gerade $S_1{S}_3$.
2. Zeichne die Gerade durch $H$, die senkrecht zur Geraden $S_1{S}_3$ verläuft.
3. Die Schnittpunkte $M_1,M_3$ dieser Geraden mit den Ellipsenachsen sind die gesuchten Krümmungsmittelpunkte (Beweis: einfache Rechnung).

Die Krümmungsmittelpunkte der restlichen Scheitel ergeben sich aus Symmetrie. Man zeichnet die beiden restlichen Scheitelkrümmungskreise. Mit Hilfe eines Kurvenlineals lässt sich dann eine gute Näherung der Ellipse zeichnen.

Steiner-Erzeugung einer Ellipse (Parallelogramm-Methode)

Ellipse: Steiner-Erzeugung

Steiner-Erzeugung als Animation

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten $S_1,S_2$ (alle Geraden durch den Punkt $S_1$ bzw. $S_2$) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung $\pi$ des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln $S_1,S_2$ aus. Sei nun $P=(0,b)$ der obere Nebenscheitel der Ellipse und $A=(-a,2b),B=(a,2b)$. Dann ist $P$ der Mittelpunkt des Rechtecks $S_1,S_2,B,A$. Wir unterteilen die Rechteckseite $\overline{AB}$ in $n$ gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen $A{S}_2$ auf die Strecke $\overline{S_{2}B}$ (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in $S_1$ und $S_2$. Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden $S_1{B}_i$ und $S_2{A}_i$ liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte $C_1,\dots$ lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.

Bemerkung:
a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für $P$ einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name Parallelogramm-Methode.
b) Den Beweis dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)

Auch für Parabel und Hyperbel gibt es Steiner-Erzeugungen.

Ellipsen in der Computergrafik

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht oder gedehnt, mit anderen Worten: anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus. Die Punkte werden also numerisch berechnet und gezeichnet.

Beispiele

• Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse, präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.
• In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten Keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte ruht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft je nach Energie Ellipsen-, Parabel- oder Hyperbelbahnen.

• 
  Steiner-Inellipse (blau) mit Steiner-Ellipse (rot)
• 
  Beispiel einer Inellipse

• Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung des Pendelfadens nicht nur in einer Ebene erfolgt.
• In der Dreiecksgeometrie gibt es Steiner-Ellipsen, Inellipsen (Steiner-Inellipse, Mandart-Ellipse).

Formelsammlung (Ellipsengleichungen)

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0|0)$,

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Aufgelöst nach $y^2$:

$y^2=b^2(1-\frac{x^2}{a^2})=\frac{(a^2-x^2)(a^2-e^2)}{a^2}=(a^2-x^2)(1-{\epsilon }^2)$

Die letzte Form ist praktisch, um eine Ellipse mit Hilfe der beiden Bahnelemente, numerische Exzentrizität und große Halbachse, darzustellen.

Mittelpunkt $(x_0|y_0)$, Hauptachse parallel zur $x$-Achse:

$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1.$

Ellipsengleichung (Parameterform)

Mittelpunkt $(0|0)$, Hauptachse als $x$-Achse:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cos t\\ b\sin t\end{array}\right)\text{mit}0\le t<2\pi .$

Mittelpunkt $(x_0|y_0)$, Hauptachse parallel zur $x$-Achse:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0+a\cos t\\ y_0+b\sin t\end{array}\right)\text{mit}0\le t<2\pi .$

Mittelpunkt $(x_0|y_0)$, Hauptachse um $\alpha$ bezüglich $x$-Achse rotiert:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0+a\cos t\cos \alpha -b\sin t\sin \alpha \\ y_0+a\cos t\sin \alpha +b\sin t\cos \alpha \end{array}\right)\text{mit}0\le t<2\pi .$

Ellipsenkonstruktion nach Diadochos / de la Hire

Dabei bezeichnet $t$ den Parameter dieser Darstellung. Dieser entspricht nicht dem Polarwinkel $\phi$ zwischen der $x$-Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den jeweiligen Ellipsenpunkt führt, sondern z. B. dem Polarwinkel zwischen der $x$-Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und dem affinen Punkt $A$ des Ellipsenpunktes $P$ auf dem Umkreis der Ellipse führt (vgl. nebenstehende Abbildung zur Konstruktion nach Proklos Diadochos / Philippe de la Hire).

$y^{\prime }=\frac{a}{b}y=x\frac{a}{b}\tan \phi =x\tan t=a\sin t⟹\left(\begin{array}{c}x\\ y^{\prime }\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right)$

In der Astronomie heißt dieser Parameter bei Keplerellipsen die exzentrische Anomalie, bei Meridianellipsen in der Geodäsie heißt er parametrische oder reduzierte Breite, vgl. Referenzellipsoid.

Für nicht rotierte Ellipsen, also $\alpha =0$, hängt der Polarwinkel $\phi$, der durch $\tan \phi =y/x$ definiert ist, mit dem Parameter $t$ zusammen über:

$\tan \phi =\frac{b}{a}\tan t=\sqrt{1-{\epsilon }^2}\tan t$

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. des Mittelpunkts)

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r(\phi )=\frac{ab}{\sqrt{a^2{\sin }^2\phi +b^2{\cos }^2\phi }}=\frac{b}{\sqrt{1-{\epsilon }^2{\cos }^2\phi }}\in [b,a]\text{mit}0\le \phi <2\pi$

Exzentrische Anomalie $t$ und wahre Anomalie $\phi \mathrm{R}$ bzgl. des rechten Brennpunkts sowie wahre Anomalie $\phi \mathrm{L}$ bzgl. des linken Brennpunkts als Funktion des Polarwinkels $\phi$ für verschiedene numerische Exzentrizitäten $\epsilon$

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel der Polarkoordinaten, wobei der Mittelpunkt der Ellipse bei $(0|0)$ und ihre Hauptachse entlang der $x$-Achse liegt:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\frac{b}{\sqrt{1-{\epsilon }^2{\cos }^2\phi }}\left(\begin{array}{c}\cos \phi \\ \sin \phi \end{array}\right)\text{mit}0\le \phi <2\pi$

Herleitung

Aus der Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten $(x/a{)}^2+(y/b{)}^2=1$ und der Parametrisierung der kartesischen in Polarkoordinaten $x=r\cos \phi$ und $y=r\sin \phi$ folgt:

$\frac{r^2{\cos }^2\phi }{a^2}+\frac{r^2{\sin }^2\phi }{b^2}=1⟹r^2(b^2{\cos }^2\phi +a^2{\sin }^2\phi )=a^2{b}^2$

Umstellen und Radizieren liefert den Radius abhängig vom Polarwinkel.

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. eines Brennpunkts)

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts (Halbparameter $p=b^2/a$):

$r_{\mathrm{R}}({\phi }_{\mathrm{R}})=\frac{a^2-e^2}{a+e\cos {\phi }_{\mathrm{R}}}=\frac{p}{1+\epsilon \cos {\phi }_{\mathrm{R}}}\in [r_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}},r_{\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{o}}]\text{mit}0\le {\phi }_{\mathrm{R}}<2\pi$

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r_{\mathrm{L}}({\phi }_{\mathrm{L}})=\frac{a^2-e^2}{a-e\cos {\phi }_{\mathrm{L}}}=\frac{p}{1-\epsilon \cos {\phi }_{\mathrm{L}}}\in [r_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}},r_{\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{o}}]\text{mit}0\le {\phi }_{\mathrm{L}}<2\pi$

Der Wertebereich der Radien erstreckt sich von der Periapsisdistanz $r_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}}$ bis zur Apoapsisdistanz $r_{\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{o}}$, die folgende Werte haben:

$r_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}}=\frac{p}{1+\epsilon }=a(1-\epsilon ),r_{\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{o}}=\frac{p}{1-\epsilon }=a(1+\epsilon )$

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel ${\phi }_{\mathrm{R}}$ bzw. ${\phi }_{\mathrm{L}}$ der Polarkoordinaten, wobei der rechte Brennpunkt der Ellipse bei $(e|0)$, der linke Brennpunkt bei $(-e|0)$ liegt:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}e\\ 0\end{array}\right)+\frac{p}{1+\epsilon \cos {\phi }_{\mathrm{R}}}\left(\begin{array}{c}\cos {\phi }_{\mathrm{R}}\\ \sin {\phi }_{\mathrm{R}}\end{array}\right)\text{mit}0\le {\phi }_{\mathrm{R}}<2\pi$

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-e\\ 0\end{array}\right)+\frac{p}{1-\epsilon \cos {\phi }_{\mathrm{L}}}\left(\begin{array}{c}\cos {\phi }_{\mathrm{L}}\\ \sin {\phi }_{\mathrm{L}}\end{array}\right)\text{mit}0\le {\phi }_{\mathrm{L}}<2\pi$

Der Winkel ${\phi }_{\mathrm{R}}$ bzw. ${\phi }_{\mathrm{L}}$, je nachdem, welcher Pol Bezugspunkt ist, heißt in der Astronomie die wahre Anomalie.

Herleitung

Man betrachtet ein Dreieck, das von den beiden Fixpunkten $F_{\mathrm{L}}$, $F_{\mathrm{R}}$ und einem beliebigen Punkt $P$ auf der Ellipse aufgespannt wird.

Die Abstände zwischen diesen Punkten betragen: $\overline{F_{\mathrm{L}}{F}_{\mathrm{R}}}=2e$ sowie $\overline{F_{\mathrm{L}}P}=r_{\mathrm{L}}$ und nach der Definition der Ellipse $\overline{F_{\mathrm{R}}P}=2a-r_{\mathrm{L}}$. Der Winkel bei $F_{\mathrm{L}}$ sei ${\phi }_{\mathrm{L}}=\mathrm{\angle }{F}_{\mathrm{R}}{F}_{\mathrm{L}}P$. Mit dem Kosinussatz gilt nun:

$(2a-r_{\mathrm{L}}{)}^2=(2e{)}^2+r_{\mathrm{L}}^2-2(2e)r_{\mathrm{L}}\cos {\phi }_{\mathrm{L}}⟹r_{\mathrm{L}}(a-\underset{a\epsilon }{\underbrace{e}}\cos {\phi }_{\mathrm{L}})=\underset{pa}{\underbrace{a^2-e^2}}$

Analog verläuft die Herleitung für den rechten Pol. Die Abstände lauten $\overline{F_{\mathrm{L}}{F}_{\mathrm{R}}}=2e$ und $\overline{F_{\mathrm{R}}P}=r_{\mathrm{R}}$ und $\overline{F_{\mathrm{L}}P}=2a-r_{\mathrm{R}}$. Der Winkel bei $F_{\mathrm{R}}$ sei $\pi -{\phi }_{\mathrm{R}}=\mathrm{\angle }P{F}_{\mathrm{R}}{F}_{\mathrm{L}}$, da ${\phi }_{\mathrm{R}}=\mathrm{\angle }(S_{\mathrm{R}},F_{\mathrm{R}},P)$ definiert ist, wobei $S_{\mathrm{R}}$ den rechten Hauptscheitel markiert.

$(2a-r_{\mathrm{R}}{)}^2=(2e{)}^2+r_{\mathrm{R}}^2-2(2e)r_{\mathrm{R}}\underset{-\cos {\phi }_{\mathrm{R}}}{\underbrace{\cos (\pi -{\phi }_{\mathrm{R}})}}⟹r_{\mathrm{R}}(a+\underset{a\epsilon }{\underbrace{e}}\cos {\phi }_{\mathrm{R}})=\underset{pa}{\underbrace{a^2-e^2}}$

Alternative Herleitung

Durch Gleichsetzen der zweier Darstellungen von $r_{\mathrm{L}}^2-r_{\mathrm{R}}^2$ erhält man:

$\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{L}}^2-r_{\mathrm{R}}^2=[y^2+(x+e{)}^2]-[y^2+(x-e{)}^2]=4ex=4a\epsilon x\\ r_{\mathrm{L}}^2-r_{\mathrm{R}}^2=(r_{\mathrm{L}}+r_{\mathrm{R}})(r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}})=2a(r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}})\end{array}\}⟹r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}}=2\epsilon x$

Dies entspricht einerseits mit $r_{\mathrm{R}}=2a-r_{\mathrm{L}}$ und $x=r_{\mathrm{L}}\cos {\phi }_{\mathrm{L}}-e$

$2r_{\mathrm{L}}-2a=2\epsilon (r_{\mathrm{L}}\cos {\phi }_{\mathrm{L}}-e)⟹r_{\mathrm{L}}(1-\epsilon \cos {\phi }_{\mathrm{L}})=a-\epsilon e\equiv p$

und andererseits mit $r_{\mathrm{L}}=2a-r_{\mathrm{R}}$ und $x=r_{\mathrm{R}}\cos {\phi }_{\mathrm{R}}+e$:

$2a-2r_{\mathrm{R}}=2\epsilon (r_{\mathrm{R}}\cos {\phi }_{\mathrm{R}}+e)⟹r_{\mathrm{R}}(1+\epsilon \cos {\phi }_{\mathrm{R}})=a-\epsilon e\equiv p$

Formelsammlung (Kurveneigenschaften)

Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0|0)$, Hauptachse als $x$-Achse, Berührpunkt $(x_B|y_B)$:

$\frac{x_{B}x}{a^2}+\frac{y_{B}y}{b^2}=1⟺\frac{x_B(x-x_B)}{a^2}+\frac{y_B(y-y_B)}{b^2}=0$

Mittelpunkt $(x_0|y_0)$ Hauptachse parallel zur $x$-Achse, Berührpunkt $(x_B|y_B)$:

$\frac{(x_B-x_0)(x-x_0)}{a^2}+\frac{(y_B-y_0)(y-y_0)}{b^2}=1$

Tangentengleichung (Parameterform)

Ein (unnormierter) Tangentenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

$\overrightarrow{T}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\begin{array}{c}a\cos t\\ b\sin t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-a\sin t\\ b\cos t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-ay/b\\ bx/a\end{array}\right)$

Die Tangentengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei $(0|0)$, Hauptachse als $x$-Achse und Berührpunkt bei $(x_B|y_B)$:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-a{y}_B/b\\ b{x}_B/a\end{array}\right)\text{mit}\mu \in ℝ$

Beziehung zwischen Polar- und Normalenwinkel

Die Winkel der Ellipsentangente

Zwischen Polarwinkel $\phi$ und Normalenwinkel $\beta$ und Ellipsenparameter $t$ besteht folgender Zusammenhang (siehe nebenstehende Grafik)

$\tan \phi =\frac{b}{a}\tan t=\frac{b^2}{a^2}\tan \beta =(1-{\epsilon }^2)\tan \beta$

Herleitung

Der Zusammenhang des Polarwinkels $\phi$ und dem Steigungswinkel der Normalen $\beta$ (siehe Grafik rechts) lässt sich z. B. so finden:

Auflösen der Tangentengleichung nach $y$

$y=\frac{b^2}{y_B}-\frac{b^2{x}_B}{a^2{y}_B}x$

ergibt die Tangentensteigung $\tan (\alpha )=-\tan (\pi -\alpha )=\mathrm{\Delta }y/\mathrm{\Delta }x$ als Koeffizient von $x$ zu

$\tan \alpha =-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_B}{y_B}=-\frac{b^2}{a^2}\frac{1}{\tan \phi }.$

Mit $\tan \alpha =\tan (\beta +\pi /2)=-1/\tan \beta$ erhält man den gesuchten Zusammenhang zwischen $\beta$ und $\phi$.

Normalengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0|0)$, Hauptachse als $x$-Achse, Berührpunkt $(x_B|y_B)$:

$(1-\frac{y}{y_B})\frac{b^2}{a^2}+\frac{x}{x_B}=1$

oder auch

$b^2(\frac{y}{y_B}-1)=a^2(\frac{x}{x_B}-1)$

Normalengleichung (Parameterform)

Ein (unnormierter) Normalenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

$\overrightarrow{N}=\left(\begin{array}{c}b\cos t\\ a\sin t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}bx/a\\ ay/b\end{array}\right)$

Die Normalengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei $(0|0)$, Hauptachse als $x$-Achse und Berührpunkt bei $(x_B|y_B)$:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}b{x}_B/a\\ a{y}_B/b\end{array}\right)\text{mit}\mu \in ℝ$

Krümmungsradien und -mittelpunkte

Krümmungsradius im Punkt $(x_p|y_p)$:

$r=a^2{b}^2{(\frac{x_p^2}{a^4}+\frac{y_p^2}{b^4})}^{3/2}=\frac{1}{a^4{b}^4}\sqrt{{(a^4{y}_p^2+b^4{x}_p^2)}^3}$

Mittelpunkt des Krümmungskreises, Krümmungsmittelpunkt $M(\xi |\eta )$:

$\xi =\frac{e^2{x}_p^3}{a^4}\eta =-\frac{e^2{y}_p^3}{b^4}|e^2=a^2{\epsilon }^2=a^2-b^2$

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Hauptscheitel $(\pm a|0)$:

$r_{\mathrm{H}}=p=\frac{b^2}{a}{M}_{\mathrm{H}}(\xi =\pm \frac{e^2}{a}|\eta =0)$

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Nebenscheitel $(0|\pm b)$:

$r_{\mathrm{N}}=\frac{a^2}{b}{M}_{\mathrm{N}}(\xi =0|\eta =\pm \frac{e^2}{b})$

Formelsammlung (Flächeninhalt und Umfang)

Flächeninhalt

Mit den Halbachsen $a$ und $b$:

$A=\pi ab=\pi a^2\sqrt{1-{\epsilon }^2}$

Ist die Ellipse durch eine implizite Gleichung

$\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2+1=0$

gegeben, dann beträgt ihr Flächeninhalt

$A=\frac{2\pi }{\sqrt{4\alpha \gamma -{\beta }^2}}.$

Ellipsensektor

Für eine Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$ und einen Sektor, der mit der großen Halbachse den Winkel $\phi \in ]0,\frac{\pi }{2}[$ einschließt, gilt:

$A_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}}=\frac{ab}{2}\arctan (\frac{a}{b}\tan (\phi ))$

Beschreibt man den Ellipsensektor statt durch den Polarwinkel durch den Parameter $t$ aus der Parameterdarstellung $(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$, so erhält man die Formel

$A_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}}=\frac{ab}{2}t.$

Umfang

Formel

Der Umfang $U$ einer Ellipse mit großer Halbachse $a$ und kleiner Halbachse $b$ berechnet sich zu

$U=4a\cdot E(\epsilon )$,

wobei $E(k)$ für das vollständige elliptische Integral zweiter Art steht. Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ berechnet sich bei Ellipsen als

$\epsilon =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$.

Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs $U=k\cdot a$ mit $k=4E(\epsilon )$

Man beachte, dass bei der numerischen Berechnung elliptischer Integrale mittels Funktionsbibliotheken verschiedene Parameterkonventionen Verwendung finden.

Herleitung

Ellipsen mit gleichem Umfang

Der Umfang $U$ einer Ellipse kann nicht exakt durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Er kann aber mithilfe eines Integrals dargestellt werden, das daher elliptisches Integral genannt wird.

Die Formel für die Bogenlänge $L$ einer Kurve $𝒞$ lautet

$L=\underset{𝒞}{\int }|{\gamma }^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$.

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung $(a\cos t,b\sin t),0\le t<2\pi ,$ ergibt sich unter Berücksichtigung der Symmetrie für den Umfang $U$

$U=4{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{a^2\cdot {\sin }^{2}t+b^2\cdot {\cos }^{2}t}\mathrm{d}t$.

Ausklammern von $a^2$, Verwendung von ${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$ und ${\epsilon }^2=1-\frac{b^2}{a^2}$ führt zu

$U=4a\cdot {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-{\epsilon }^2\cdot {\cos }^{2}t}\mathrm{d}t.$

Durch die Substitution $\vartheta =\frac{\pi }{2}-t,\mathrm{d}t=-\mathrm{d}\vartheta$ erhalten wir die folgende Form:

$E(\epsilon )={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-{\epsilon }^2\cdot {\sin }^2\vartheta }\mathrm{d}\vartheta$.

Das Integral $E(\epsilon )$ nennt man vollständiges elliptisches Integral zweiter Art.

Der Umfang $U$ der Ellipse ist damit

$U=4a\cdot E(\epsilon ),\epsilon =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$.

Der Umfang $U$ hängt also von der numerischen Exzentrizität $\epsilon$ und der großen Halbachse $a$ ab. Mithilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität $\epsilon$ der Wert des Faktors $k=4E(\epsilon )$ für den Umfang $U=k\cdot a$ abgelesen werden. $k$ liegt für jede Ellipse zwischen den Extremfällen $k=4$ ($\epsilon =1$, entartete Ellipse als Linie) und $k=2\pi$ ($\epsilon =0$, Ellipse wird zum Kreis).

Aus dieser Formel resultiert jene zusätzliche Formel für den Umfang, die sowohl für den Fall a > b als auch für den Fall a < b reell ist:

$U=4(a+b)E\left(\frac{a-b}{a+b}\right)-\frac{8ab}{a+b}K\left(\frac{a-b}{a+b}\right)$.

Das Integral K nennt man vollständiges elliptisches Integral erster Art.

Reihenentwicklung

$\begin{array}{cc}U& =4aE(\epsilon )=\\ & =2a\pi (1-\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\prod _{j=1}^i\frac{2j-1}{2j}\right)}^2\frac{{\epsilon }^{2i}}{2i-1})=\\ & =2a\pi [1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\epsilon }^2-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{{\epsilon }^4}{3}-\dots -{\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}\right)}^2\frac{{\epsilon }^{2n}}{2n-1}-\dots ]\end{array}$

Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ ist gleich dem elliptischen Modul vom vollständigen Elliptischen Integral zweiter Art!

Für $\epsilon$ nahe 1 konvergiert diese Reihenentwicklung extrem langsam. Es empfiehlt sich daher eine numerische Integration, z. B. nach dem Romberg-Verfahren.

Eine Reihe, die schneller konvergiert, beruht auf der Gauß-Kummer-Reihe. Für eine Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$ (mit $a>b$) wird der Landensche Tochtermodul von der numerischen Exzentrizität $\epsilon$, also der Modul $\lambda :=\frac{a-b}{a+b}=(1-\sqrt{1-{\epsilon }^2})(1+\sqrt{1-{\epsilon }^2}{)}^{-1}$ definiert. Dann ergibt sich:

$\begin{array}{cc}U& =\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{n})}^2{\lambda }^{2n}\\ & =\pi (a+b)(1+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{(n+1)2^{2n+1}}\right)}^2{\lambda }^{2n+2})\\ & =\pi (a+b)(1+\frac{{\lambda }^2}{4}+\frac{{\lambda }^4}{64}+\frac{{\lambda }^6}{256}+\frac{25{\lambda }^8}{16384}+\cdots +{\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdots (2n+2)}\right)}^2{\lambda }^{2n+2}+\cdots )\end{array}$

Näherungen

Näherung mit Hilfe des arithmetischen Mittels der Halbachsen

$U\approx \pi (a+b)$

Genauigkeit dieser Formel

Exz. ε	q = b / a	Fehler
= 0,000	1,000	0 (Kreis: exakt)
< 0,051	> 0,9987	< 10−7
< 0,090	> 0,996	< 10−6
< 0,1582	> 0,9874	< 10−5
< 0,277	> 0,961	< 0,01 %
< 0,46	> 0,885	< 0,1 %
< 0,75	> 0,66	< 1 %
< 0,83	> 0,55	< 2 %
< 0,927	> 0,37	< 5 %
< 0,978	> 0,21	< 10 %
< 0,999	> 0,044	< 18,3 %
< 1,000	> 0,000	< 21,46 %

Näherung mit Hilfe des quadratischen Mittels der Halbachsen

$U\approx 2\pi \sqrt{\frac{1}{2}(a^2+b^2)}=\pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$

$U\approx 2\pi \sqrt{\frac{1}{2}(a^2+a^2(1-{\epsilon }^2))}=2\pi a\sqrt{1-\frac{{\epsilon }^2}{2}}$

Genauigkeit dieser Formel

Exz. ε	q = b / a	Fehler
= 0,000	= 1,0000	0 (Kreis: exakt)
< 0,016	> 0,9999	< 10−9
< 0,026	> 0,9997	< 10−8
< 0,047	> 0,9989	< 10−7
< 0,084	> 0,9965	< 10−6
< 0,149	> 0,9888	< 10−5
< 0,262	> 0,9651	< 0,01 %
< 0,450	> 0,8930	< 0,1 %
< 0,720	> 0,6937	< 1 %
< 0,808	> 0,5891	< 2 %
< 0,914	> 0,4037	< 5 %
< 0,977	> 0,2104	< 10 %
< 1,000	> 0,0000	< 14,91 %

Näherungsformel nach Srinivasa Ramanujan

$U\approx \pi ((a+b)+\frac{3(a-b{)}^2}{10(a+b)+\sqrt{a^2+14ab+b^2}})=\pi (a+b)(1+\frac{3{\lambda }^2}{10+\sqrt{4-3{\lambda }^2}})$ mit $\lambda :=\frac{a-b}{a+b}$

Diese Näherung ist in einem weiten $\epsilon$-Bereich von $0\le \epsilon \le \mathrm{0,9}$ sehr genau und ergibt im ganzen Bereich stets einen etwas zu kleinen Wert, der monoton mit $\epsilon$ zunimmt.

Der relative Fehler beträgt:

Bereich	rel. Fehler
0,0000 ≤ ε ≤ 0,8820	< 10−9
0,8820 < ε ≤ 0,9242	< 10−8
0,9242 < ε ≤ 0,9577	< 10−7
0,9577 < ε ≤ 0,9812	< 10−6
0,9812 < ε ≤ 0,9944	< 10−5
0,9944 < ε ≤ 0,9995	< 10−4
0,9995 < ε ≤ 1,0000	< 0,000403

Für $\epsilon =\lambda =1$ erhält man statt 4 den nur geringfügig zu kleinen Wert $\frac{14}{11}\pi =3,99839\dots$

Schriftzeichen

Unicode enthält im Block Verschiedene Symbole und Pfeile vier Ellipsensymbole, die als Grafikzeichen oder Schmuckzeichen in beliebigem Text (auch Fließtext) verwendet werden können:

Unicode	Zeichen	Name	LaTeX
U+2B2C	⬬	black horizontal ellipse (Vollflächige horizontale Ellipse)	\EllipseSolid
U+2B2D	⬭	white horizontal ellipse (Hohle horizontale Ellipse)	\Ellipse
U+2B2E	⬮	black vertical ellipse (Vollflächige vertikale Ellipse)	Anm.
U+2B2F	⬯	white vertical ellipse (Hohle vertikale Ellipse)	Anm.

 

Durch Rotation der horizontalen Variante mit Hilfe des Paketes rotating, das bei den üblichen LaTeX-Distributionen vorinstalliert ist.

LaTeX kennt außerdem noch eine hohle horizontale Ellipse mit Schatten rechts: \EllipseShadow.

Siehe auch

• Ellipsoid
• Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der Planeten um die Sonne
• Fokaloid
• Homöoid
• Konfokale Kegelschnitte
• Mittlere Bewegung
• Rotationsellipsoid
• Steiner-Ellipse
• Superellipse
• Tangente (Winkelhalbierende)

Weblinks

Wiktionary: Ellipse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Ellipsen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Ellipse. In: MathWorld (englisch).
• mathematische-basteleien.de

Berechnungen

• Formeln zum Ellipsenumfang mit Beispielrechnung
• Website zum Berechnen eines Ellipsenumfangs
• Tangenten und Schnitt mit einer Geraden (JavaScript)
• Ellipsenberechnung aus zwei Größen bzw. aus zwei, vier oder fünf Punkten; Tangenten, Normalen

Konstruktion

Für alle folgenden Links wird ein Java-Plug-in benötigt.

• Webseite mit der Möglichkeit, Ellipsenkonstruktionen interaktiv auszuprobieren
• Ellipsenzirkel

Literatur

• Achim Ilchmann: Die Ellipse im protestantischen Kirchenbau: Die Kirche „Zur Gotteshilfe“ in Waltershausen. In: Insitu 2024/2, S. 241–247.
• Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 55–66.
• Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.