Bloch-Kugel

Die Bloch-Kugel (nach ihrem Entwickler Felix Bloch) ist eine grafisch-geometrische Darstellung in der Quantenmechanik. Sie stellt die Überlagerungen der Zustände eines Zweizustandssystems (beispielsweise eines Qubits) als Punkte auf einer Kugeloberfläche dar.

Anschauliche Darstellung

Bloch-Kugel

Die Vektoren, die zu den Polen der Bloch-Kugel zeigen, sind die Vektoren der vorgegebenen Basis. Punkte, die auf dem Äquator der Bloch-Kugel liegen, entsprechen jenen Zuständen, die zu gleichen Anteilen aus beiden Basiszuständen bestehen. Die Punkte, die auf der oberen Halbkugel liegen, setzen sich zum größeren Teil aus dem Basiszustand des oberen Basisvektors zusammen, und Punkte auf der unteren Halbkugel setzen sich zu einem größeren Teil aus dem unteren Basiszustand zusammen.

In der rechten Abbildung sind eingezeichnet:

• die Standardbasis-Vektoren $|0⟩,|1⟩$ (für Spin-Systeme wählt man gewöhnlicherweise $|0⟩=|z+⟩,|1⟩=|z-⟩$)
• der Bloch-Vektor $|\psi ⟩$, der wie folgt definiert ist:

$\begin{array}{cc}|\psi ⟩& =\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{\mathrm{i}\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩\\ & =\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+(\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi )\sin \frac{\theta }{2}|1⟩\end{array}$

Mit $0\le \theta \le \pi$ und $0\le \varphi <2\pi$ erhält man so alle Zustände, bei denen die Betragsquadrate der Koeffizienten als Wahrscheinlichkeiten mit der Summe eins interpretiert werden können. Der Koeffizient bei $|0⟩$ wird auf reelle Werte eingeschränkt, um den physikalisch nicht vorhandenen Freiheitsgrad einer gemeinsamen komplexen Phase beider Komponenten zu eliminieren.

Der Bloch-Vektor entspricht dem Eigenvektor $|n+⟩$ des Spinoperators ${\hat{S}}_{\overrightarrow{n}}=\overrightarrow{n}\cdot \hat{\overrightarrow{s}}\stackrel{.}{=}\frac{\hslash }{2}(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })$ in $\overrightarrow{n}$-Richtung, wobei

• die Richtung $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \cdot \cos \varphi \\ \sin \theta \cdot \sin \varphi \\ \cos \theta \end{array}\right)$ im realen Anschauungsraum durch die Winkel $\theta ,\varphi$ vorgegeben wird und
• $\hat{\overrightarrow{s}}\stackrel{.}{=}\frac{\hslash }{2}\cdot \overrightarrow{\sigma }=\sum _{i\in \{x,y,z\}}{\overrightarrow{e}}_i\frac{\hslash }{2}\cdot {\sigma }_i$ der Spinoperator-Vektor ist.

Der Eigenvektor $|n+⟩$ ist kein Vektor im Anschauungsraum, in dem z. B. die Richtung $\overrightarrow{n}$ liegt. Stattdessen ist er Element des Raumes, der durch die Eigenvektoren des Operators ${\hat{S}}_{\overrightarrow{n}}$ aufgespannt wird.

Zusammenhänge

Mit der Riemannschen Zahlenkugel

Die Linearkombination der den beiden Polen zugeordneten Zustandsvektoren (nachfolgend durch $|\uparrow ⟩$ und $|\downarrow ⟩$ bezeichnet) kann, weil es bei einem Quantenzustand nicht auf die Phase ankommt und der Betrag des Ergebnisses auf eins normiert wird, mit einer komplexen Zahl $c$ dargestellt werden:

$|\mathrm{\Psi }⟩=\frac{|\uparrow ⟩+c|\downarrow ⟩}{\sqrt{1+{\left|c\right|}^2}}$

Der Zähler dieses Bruches ist ein Vektor; der Nenner eine für die Normierung erforderliche Zahl.

Die Bloch-Kugel kann so auf die Riemannsche Zahlenkugel für die komplexe Zahl $c$ abgebildet werden.

Mit der Poincaré-Kugel

Eng verwandt mit der Bloch-Kugel ist die Poincaré-Kugel, die zur Darstellung der Polarisation von Transversalwellen (z. B. Licht) und für die mean-field Beschreibung größerer Spinsysteme verwendet wird.

Reine und gemischte Zustände

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und bilden zusammen mit der Einheitsmatrix $E$ eine Basis des Vektorraums der komplexen $2\times 2$-Matrizen. Die Dichtematrix eines Qubits kann bezüglich einer festen Basis immer dargestellt werden als

$\rho =\frac{1}{2}(E+x{\sigma }_x+y{\sigma }_y+z{\sigma }_z)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1+z& x-\mathrm{i}y\\ x+\mathrm{i}y& 1-z\end{array}\right)$

Fasst man $(x,y,z)\in {ℝ}^3$ als Vektor im ${ℝ}^3$ auf, dann ist $\rho$ immer dann positiv semidefinit, also eine zulässige Dichtematrix, wenn $(x,y,z)$ in der abgeschlossenen Einheitskugel des ${ℝ}^3$ liegt. Den Vektor $(x,y,z)$ nennt man den Bloch-Vektor. Der Zustand ist genau dann rein, wenn der Bloch-Vektor die Länge eins hat, also auf der Kugeloberfläche liegt.

Zwei reine Zustände sind orthogonal, wenn ihre Bloch-Vektoren sich an genau gegenüberliegenden Punkten auf der Bloch-Kugel befinden. In der Mitte der Blochkugel liegt der vollständig gemischte Zustand, dessen Blochvektor der Nullvektor ist.

Bildet man eine Mischung aus einem Anteil $p$ des Zustands mit Bloch-Vektor $\overrightarrow{v}$ und einem Anteil $1-p$ des Zustands mit Bloch-Vektor $\overrightarrow{w}$, dann wird das Gemisch durch den Bloch-Vektor $p\cdot \overrightarrow{v}+(1-p)\cdot \overrightarrow{w}$ beschrieben. Man kann also alle Zustände als Konvexkombination reiner Zustände schreiben, und die Bloch-Kugel zeigt auch, dass der Zustandsraum eine konvexe Menge ist, deren Extremalpunkte die reinen Zustände sind.

Geometrische Deutung

Sind $|\uparrow ⟩$ und $|\downarrow ⟩$ Spinzustände zur Spinquantenzahl ¹⁄₂, etwa Parallelstellung und Antiparallelstellung eines Elektrons im Magnetfeld, dann zeigt im Überlagerungszustand der Erwartungswert des (vektoriellen) Spinoperators in die Richtung, die der zugeordnete Punkt auf der Bloch-Kugel andeutet.

Weblinks

Commons: Bloch spheres – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Bloch Sphere. In: MathWorld (englisch).

Bloch-Kugel

Polarisationszustände auf der Bloch-Kugel

Die Zustände eines einzelnen (unverschränkten) Qubits lassen sich als Punkte auf der Oberfläche einer Kugel im dreidimensionalen Raum darstellen. Diese Oberfläche nennt man nach Felix Bloch Bloch-Kugel oder -sphäre. Besonders deutlich sieht man das am Spin-1/2-Teilchen, wo der Punkt auf der Kugel angibt, in welche Richtung man mit Sicherheit Spin up messen wird. Die Äquivalenz gilt aber für alle Zweizustandssysteme. Das Bild rechts zeigt, wie die oben beschriebenen Polarisationszustände auf der Bloch-Kugel angeordnet werden können. Beispielsweise entspricht der „Nordpol“ hier der vertikalen und der „Südpol“ der horizontalen Polarisation. Allgemein entsprechen zueinander orthogonale Zustände einander gegenüberliegenden Punkten auf der Bloch-Kugel.

Kugelkoordinaten

Setzt man den Zustand $|1⟩$ an den „Nordpol“ der Kugel, und sind $\theta$ und $\varphi$ die Winkel des Punktes in Kugelkoordinaten (siehe Bild links), so wird der zugehörige Zustand durch den Vektor

$|\psi ⟩=\sin (\theta /2){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\varphi /2}|0⟩+\cos (\theta /2){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi /2}|1⟩$

beschrieben.

Auch die Punkte im Inneren der Kugel lassen sich interpretieren: Man kann ihnen Qubits zuordnen, über deren Zustand man keine vollständige Information hat. Die kartesischen Koordinaten des Punktes in der Kugel sind dann gerade die Faktoren $c_i$ vor den Pauli-Matrizen in der Gleichung (*). Der Mittelpunkt der Kugel entspricht somit einem Qubit, über das man überhaupt nichts weiß; je weiter man sich vom Mittelpunkt entfernt, desto größer wird das Wissen über den Zustand des Qubits. Diese Kugel ist in gewisser Weise das Analogon zum Wahrscheinlichkeits-Intervall [0,1] für das klassische Bit: Die Punkte am Rand geben die möglichen exakten Zustände des Bits (0 oder 1) bzw. des Qubits an (in der Quantenmechanik spricht man auch von „reinen Zuständen“), während die Punkte im Inneren unvollständiges Wissen über das Bit/Qubit repräsentieren (in der Quantenmechanik spricht man hier von „gemischten Zuständen“). Der Punkt in der Mitte repräsentiert in beiden Fällen komplettes Unwissen über das System (beim Bit: Wahrscheinlichkeit 1/2).

Darstellung des Messvorgangs mit der Bloch-Kugel

Auch der Vorgang des Messens lässt sich anhand der Bloch-Kugel schön darstellen: Im Bild „Darstellung des Messvorgangs mit der Bloch-Kugel“ kennzeichnet der kleine rote Punkt einen möglichen Zustand des Qubits. In diesem Fall sitzt der Punkt außen auf der Kugel, es handelt sich also um einen reinen Zustand; das Verfahren funktioniert aber auch für gemischte Zustände. Da die Eigenzustände der Messung zueinander orthogonal sind, also auf der Bloch-Kugel einander gegenüberliegen, definiert die Messung eine Gerade durch den Mittelpunkt der Kugel (im Bild durch die blaue Linie gekennzeichnet). Man betrachtet nun entlang dieser Geraden den Durchmesser (im Bild grün/weiß) durch die Kugel und projiziert den Punkt, der das aktuelle Wissen über das Qubit darstellt, senkrecht auf diese Strecke (die Projektion ist hier durch die rote Ebene und die gelbe Linie markiert; der Schnittpunkt der gelben Linie mit dem Durchmesser ist der projizierte Punkt). Diese Strecke lässt sich dann direkt als Wahrscheinlichkeitsintervall für das Messergebnis ansehen. Wenn man das Messergebnis nicht ausliest, dann gibt dieser Punkt innerhalb der Kugel in der Tat auch die neue Beschreibung des Systems an; nach Auslesen des Messergebnisses liegt der Punkt selbstverständlich (wie auch beim normalen Bit) an einem Ende der Strecke. Setzt man z. B. im Bild an den „Nordpol“ der Kugel den Zustand $|1⟩$ und an den „Südpol“ den Zustand $|0⟩$, dann ist das Verhältnis der Länge des weißen Teils des Durchmessers (vom Südpol bis zum Schnittpunkt mit der Ebene) zum Gesamtdurchmesser gerade die Wahrscheinlichkeit, das Qubit nach der Messung im Zustand $|1⟩$ zu finden, wenn der Zustand vorher durch den roten Punkt gegeben war (hinterher sitzt der Zustand in diesem Fall natürlich auf dem Nordpol).

Einige Physiker vermuten in diesem Zusammenhang zwischen Qubits und Punkten im dreidimensionalen Raum den Grund dafür, dass unser Raum dreidimensional ist. Prominenter Vertreter dieser Idee ist die Ur-Theorie von Carl Friedrich von Weizsäcker. Weizsäckers Ur ist dabei im Wesentlichen das, was heute Qubit genannt wird.