natürliche Zahl

natürliche Zahl

• natürliche Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen
  • diese Zahlen direkt aus dem Zählen von Gegenständen entstanden der „natürliche“ Umgang mit Mengen ist bei 1 zu zählen zu beginnen.
• Schon in der Antike (etwa bei Euklid) wurden diese Zahlen als Einheiten betrachtet.
• Interessanterweise galt die 1 bei den alten Griechen oft gar nicht als Zahl, sondern als der Ursprung oder die „Monade“, aus der alle Zahlen erst entstehen.
  • Die Null war damals als eigenständige Zahl noch völlig unbekannt – man brauchte sie schlicht nicht, um vorhandene Dinge zu zählen.
• Bis ins 19. Jahrhundert war man sich weitgehend einig: Die natürlichen Zahlen beginnen bei 1.
  • Logik: Man kann nichts „natürlich“ zählen, was nicht da ist. Null beschreibt einen Zustand (Leere), keine Menge beim Zählen.
  • Heute: In der Schule und in vielen Bereichen der Zahlentheorie bleibt man oft dabei: N = {1, 2, 3, ...}.
• Das Oxford English Dictionary verzeichnet „natural number“ im Englischen ab 1763;
  • MacTutor nennt als frühe feste Definition die Encyclopaedia Britannica von 1771, wo mit „natural numbers“ die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, … gemeint sind.
• Für das Französische gibt es eine ältere Parallele nombre naturel schon im 17. Jahrhundert.
  • Das spricht dafür, dass der Terminus geschaffen wurde, um die „gewöhnlichen“ Zählzahlen von anderen, späteren Zahlarten abzugrenzen: Brüchen, negativen Zahlen, irrationalen Zahlen, imaginären Zahlen usw.
• Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wollten Mathematiker wie Giuseppe Peano und Richard Dedekind die Mathematik auf ein solides logisches Fundament stellen. Dabei spielten zwei Entwicklungen eine Rolle:
  • Die Mengenlehre: Wenn man Zahlen über Mengen definiert, fängt man beim Einfachsten an: der leeren Menge. Die Zahl, die beschreibt, wie viele Elemente die leere Menge hat, ist die 0. Es ergab für die Logiker also total Sinn, mit der Null als „kleinstem Baustein“ zu beginnen.
    • Giuseppe Peano stellte in seiner Arithmetik von 1889 – unabhängig von Dedekinds Arithmetik – die ersten formalen Axiome für die natürlichen Zahlen auf, die als Peano-Axiome berühmt wurden.
      • In seiner ersten Fassung (1889) fing er noch bei 1 an, später merkte man aber, dass viele mathematische Formeln eleganter sind, wenn die 0 dabei ist (z. B. als neutrales Element der Addition).
    • Richard Dedekind gab 1888 in der Schrift Was sind und was sollen die Zahlen? die erste exakte Einführung der natürlichen Zahlen durch Axiome.
  • Die Peano-Axiome: Peano definierte die natürlichen Zahlen formal.

Weil sich beide Sichtweisen etabliert haben, gibt es heute keinen weltweiten, alles entscheidenden Standard. Es kommt ganz darauf an, in welchem „Club“ man unterwegs ist:

Bereich	Bevorzugte Definition	Warum?
Schule / Alltag	N beginnt bei 1	Intuitives Zählen lernen.
Informatik	N beginnt bei 0	Indizes von Listen fangen fast immer bei 0 an.
Mengenlehre	N beginnt bei 0	Die leere Menge ist der natürliche Startpunkt.
Zahlentheorie	Oft ab 1	Viele Sätze über Primzahlen etc. werden mit der 0 unnötig kompliziert.

Begriffsgeschichte

Hinter dem Begriff "natürliche Zahl" steckt eine tiefere, ontologische und oer kosmologischen Weltsicht, die bis in die Antike zurückreicht, besonders in neupythagoreischen und platonisierenden Kreisen.

Der Begriff „natürliche Zahl“ ist die Übersetzung des lateinischen „numerus naturalis“. Dieser wiederum geht auf die spätantiken Kommentare zur griechischen Mathematik zurück, insbesondere auf Nicomachos von Gerasa (ca. 60–120 n. Chr.). Nicomachus behandelt die Arithmetik nicht bloß als Rechenkunst, sondern als grundlegende Wissenschaft, weil Zahl für ihn dem kosmischen Aufbau vorausliegt; die SEP fasst das so, dass Arithmetik nach Nicomachus bereits im Geist des Demiurgen als Plan der Weltordnung vorhanden sei.

Nicomachos schrieb die Arithmetike eisagoge (Einführung in die Arithmetik). Er benutzte dort nicht den Begriff „natürliche Zahl (φυσικὸς ἀριθμός)“ als feststehenden Namen für eine Menge, sondern sprach von der „physike taxis“ (φυσικὴ τάξις) – der natürlichen Ordnung.

• Die Bedeutung: Im neu-pythagoreischen Weltbild des Nicomachus galten die Zahlen 1, 2, 3... nicht als menschliche Erfindung, sondern als die Ur-Bausteine des Kosmos.
  • Nicomachus begegnet die Idee einer „natürlichen Ordnung“ (taxis physikē bzw. in Übersetzung „natural order“) zunächst im Zusammenhang mit der Ordnung von Zahlenverhältnissen und Progressionen, nicht als fertiger Mengenname für {1,2,3,…}.
• „autophyēs“ (αὐτοφυής): Ein wichtiger griechischer Begriff in diesem Kontext ist autophyēs, was so viel wie „selbstgewachsen“ oder „von Natur aus entstanden“ bedeutet. Damit grenzte man die einfache Zahlenfolge (1, 2, 3...) von Zahlen ab, die durch menschliche Operationen oder geometrische Anordnungen „künstlich“ erzeugt wurden (wie Brüche oder figurierte Zahlen wie Quadratzahlen).

2. Boethius und die Fixierung des Begriffs

Der entscheidende Moment für die westliche Welt war das Werk von Boethius (ca. 480–524 n. Chr.). Er übersetzte und bearbeitete Nicomachus für das lateinische Mittelalter. In seinem Werk De Institutione Arithmetica etablierte er den Begriff:

„Numerus naturalis“

Boethius nutzte diesen Begriff, um die „natürliche Reihe“ der Zahlen zu beschreiben, wie sie unmittelbar aus der „Monas“ (der Eins) hervorgehen. In seiner Sicht war diese Abfolge gottgegeben und bildete das Fundament der Musik, Astronomie und Geometrie (das Quadrivium).

• Boethius verwendet in De institutione arithmetica ausdrücklich die lateinische Form „naturalis numerus“ bzw. eng verwandte Wendungen wie „in naturali constitutione numeris“ und „Disponatur enim numerus naturalis hoc modo“. Das ist als Textbefund klar.

3. Warum „natürlich“ im Gegensatz zu was?

Um zu verstehen, warum man sie „natürlich“ nannte, muss man wissen, was damals als „unnatürlich“ oder zumindest „abgeleitet“ galt:

Begriff	Status in der Antike/Mittelalter
Natürliche Zahlen	Primär. Sie entstehen durch die reine Wiederholung der Einheit. Sie sind „natürlich“, weil sie die Ordnung des Geistes und der Welt widerspiegeln.
Brüche (Rationes)	Sekundär. Sie galten nicht als „Zahlen“, sondern als Verhältnisse (Logos/Ratio). Ein Bruch war eine Beziehung zwischen zwei natürlichen Zahlen, kein eigenständiges Objekt.
Figurierte Zahlen	Geformt. Zahlen, die man sich als Dreiecke oder Quadrate angeordnet vorstellte, galten als „geometrisch behandelt“ und nicht mehr als rein „natürlich“ in ihrer linearen Abfolge.

4. Die „Sonderrolle“ der Null und der Eins

Dass wir heute darüber diskutieren, ob die 0 dazu gehört, liegt an einem radikalen Bruch mit dieser Tradition:

• Die 1: Für die Griechen (und Boethius) war die 1 keine Zahl. Sie war der Ursprung (Samen) aller Zahlen. Eine Zahl wurde definiert als eine „Menge von Einheiten“. Da die 1 keine Menge ist, konnte sie keine Zahl sein. Erst später wurde sie als „erste natürliche Zahl“ in die Reihe aufgenommen.
  • „der Natur der Zahl und der Ordnung der Wirklichkeit ursprünglich zugehörig“. Das ist deutlich näher an einer platonisch-neupythagoreischen Weltsicht, als an der modernen erklärung, man würde sie des Zählens willen "natürlich" nennen, was offenbar eher eine nachgeschobene Erklärung für die Bennenung ist um die Konvention der Nomenklatur zu erhalten.
• Die 0: Die Null war für die antike Philosophie ein Paradoxon. Das „Nichts“ kann keine „Natur“ haben. Daher war die Null in der numerus naturalis-Definition des Mittelalters völlig undenkbar.

5. Die moderne Wende: Von der Ontologie zur Mengenlehre

Warum wir heute oft die 0 dazuzählen, hat nichts mehr mit der „Natur des Kosmos“ zu tun, sondern mit logischer Effizienz. Im 19. Jahrhundert (Peano, Dedekind) definierte man Zahlen nicht mehr über ihre „Wesenheit“, sondern über Axiome.

Man stellte fest, dass die Mathematik „eleganter“ funktioniert, wenn man mit dem leeren Zustand (der Null) beginnt. Der Begriff „natürlich“ blieb dabei eher als historisches Fossil erhalten, während sich sein Inhalt von der kosmischen Ordnung zur mengenlehre-basierten Logik verschob.

Zusammenfassend: Man nannte sie „natürlich“, weil man glaubte, sie seien die selbstgewachsene, unverfälschte Grundstruktur der Realität, die existiert, bevor der Mensch anfängt, Verhältnisse zu bilden oder Formen zu messen.

Die negativen Zahlen wurden historisch viel später akzeptiert als die natürlichen Zahlen, weil sie noch "unnatürlicher" schienen. Man nannte sie im Mittelalter oft numeri ficti (erfundene Zahlen) oder numeri absurdi. Für einen Kaufmann machte es Sinn, 3 Äpfel zu haben, aber "-3 Äpfel" klang wie reine Mystik oder Zauberei.

Anm. KF:Ich sehe negative Zahlen an sich nicht grundlegend als mindernd sondern als mehren des Minderen an. Das ist ein feiner aber entscheidender Unterschied, wenn man die Null als nicht überschreitbare Grenze nimmt, schließlich kann man nicht "negative Äpfel" in einem Sack haben.

Natürlichen Zahl

Die natürlichen Zahlen sind die grundlegenden Zahlen. Ihre Benutzung steht in direktem Zusammenhang mit der elementaren Handlung des Zählens.

ℕ

Der Buchstabe N mit
Doppelstrich steht für die
Menge der natürlichen Zahlen.

Die natürlichen Zahlen (ℕ) sind Teil der ganzen Zahlen (ℤ), die Teil der rationalen Zahlen (ℚ), die wiederum Teil der reellen Zahlen (ℝ) sind.

Die dabei global benutzten Zahlzeichen sind

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 usw.,

wobei die zugehörigen deutschsprachigen Grundzahlwörter

eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn, elf, zwölf, dreizehn usw.

sind.

Je nach Definition kann auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gezählt werden. Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation zusammen eine mathematische Struktur, die als kommutativer Halbring bezeichnet wird.

Bezeichnungskonventionen

Für die Menge der natürlichen Zahlen wird das Formelzeichen $\mathbb{N}$ verwendet. In der weitverbreiteten Zeichenkodierung Unicode ist das Zeichen im Unicodeblock Buchstabenähnliche Symbole zu finden und hat den Codepoint U+2115 (ℕ).

Sie umfasst entweder die positiven ganzen Zahlen (also ohne die 0)

$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$

oder die nichtnegativen ganzen Zahlen (also inklusive der 0)

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$.

Beide Konventionen werden uneinheitlich verwendet. Die ältere Tradition zählt die Null nicht zu den natürlichen Zahlen (die Null wurde in Europa erst ab dem 13. Jahrhundert gebräuchlich). Diese Definition ist gängiger in mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie, in denen die Multiplikation der natürlichen Zahlen im Vordergrund steht. In der Logik, der Mengenlehre und der Informatik ist dagegen die Definition mit Null gebräuchlicher und vereinfacht die Darstellung. Nur mit letzterer Konvention bilden die natürlichen Zahlen mit der Addition ein Monoid. Im Zweifelsfall ist die verwendete Definition explizit zu nennen.

Für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null führte Dedekind 1888 das Symbol N ein. Sein Symbol wird heute oft als Buchstabe N mit Doppelstrich stilisiert ($\mathbb{N}$ oder $\mathrm{I}\mathrm{N}$). Ab 1894 gebrauchte Peano für die natürlichen Zahlen mit Null das Symbol N₀, das heute ebenfalls stilisiert und nach Peano durch ${\mathbb{N}}_0:=\mathbb{N}\cup \{0\}$ definiert wird.

Wird jedoch das Symbol $\mathbb{N}$ für die natürlichen Zahlen mit Null verwendet, dann wird die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null mit ${\mathbb{N}}_{+}$, ${\mathbb{N}}^{+}$, ${\mathbb{N}}^{\ast }$, ${\mathbb{N}}_{>0}$, ${\mathbb{N}}_1$ oder $\mathbb{N}\setminus \{0\}$ bezeichnet. Die DIN-Norm 5473 „Logik und Mengenlehre; Zeichen und Begriffe“ verwendet zum Beispiel $\mathbb{N}$ für die nichtnegativen ganzen Zahlen (also mit Null) und ${\mathbb{N}}^{\ast }$ für die positiven ganzen Zahlen. Deutsche Schulbücher orientieren sich in einigen Bundesländern an dieser DIN-Norm, in anderen, z. B. in Bayern, nicht.

Letztlich ist es eine Frage der Definition, welche der beiden Mengen man als natürlicher ansehen und welcher man somit diese Bezeichnung als sprachliche Auszeichnung zukommen lassen will.

Axiomatisierung

Richard Dedekind definierte 1888 erstmals die natürlichen Zahlen implizit durch Axiome. Unabhängig von ihm stellte Giuseppe Peano 1889 ein einfacheres und zugleich formal präzises Axiomensystem auf. Diese sogenannten Peano-Axiome haben sich durchgesetzt. Während sich das ursprüngliche Axiomensystem in Prädikatenlogik zweiter Stufe formalisieren lässt, wird heute oft eine schwächere Variante in Prädikatenlogik erster Stufe verwendet, die als Peano-Arithmetik bezeichnet wird. Andere Axiomatisierungen der natürlichen Zahlen, die mit der Peano-Arithmetik verwandt sind, sind beispielsweise die Robinson-Arithmetik und die primitiv rekursive Arithmetik.

Man kann die Peano-Axiome auch als Definition der natürlichen Zahlen auffassen. Eine Menge der natürlichen Zahlen ist dann eine solche Menge, die den Peano-Axiomen genügt. Wichtig ist, dass es unendlich viele solcher Mengen gibt. Jedoch verhält sich jede dieser Mengen völlig gleich, die Elemente sind lediglich anders bezeichnet. In der Mathematik sagt man, die Mengen sind isomorph. Dieses Resultat nennt man auch den Eindeutigkeitssatz von Dedekind. Dadurch hat man sich insbesondere konventionell geeinigt, „die natürlichen Zahlen“ zu sagen, obwohl es streng genommen unendlich viele solcher Mengen gibt.

Ein wenig abstrakter kann man ein „Objekt natürlicher Zahlen“ in jedem Topos $𝒞$ axiomatisieren, nämlich als ein Tripel $(N\in 𝒞,z:1\to N,s:N\to N)$, für das gilt: Für jedes Objekt $A\in 𝒞$ und alle Pfeile $y:1\to A$, $r:A\to A$ gibt es genau einen Pfeil $h:N\to A$ mit $h\circ z=y$ und $h\circ s=r\circ h$.

Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen

John von Neumann gab eine Möglichkeit an, die natürlichen Zahlen durch Mengen darzustellen, d. h., er beschrieb ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen.

$\begin{array}{cccccc}0& :=& & \{\}& & =\mathrm{\emptyset }\\ 1& :=0^{\prime }& & =\{0\}& & =\{\mathrm{\emptyset }\}\\ 2& :=1^{\prime }& & =\{0,1\}& & =\{\mathrm{\emptyset },\{\mathrm{\emptyset }\}\}\\ 3& :=2^{\prime }& & =\{0,1,2\}& & =\{\mathrm{\emptyset },\{\mathrm{\emptyset }\},\{\mathrm{\emptyset },\{\mathrm{\emptyset }\}\}\}\\ & ⋮& & & & \\ (n+1)& :=n^{\prime }& & =\{0,1,\dots ,n\}& & =n\cup \{n\}\end{array}$

Zur Erklärung: Für das Startelement, die „0“, ist die leere Menge $\mathrm{\emptyset }$ gewählt worden. Die „1“ ist hingegen die Menge, welche die leere Menge als Element enthält. Dies sind verschiedene Mengen, denn die leere Menge „0“={} enthält kein Element, wohingegen die Menge „1“={$\mathrm{\emptyset }$} genau ein Element enthält.

Die Nachfolgermenge ist definiert als die Vereinigung der Vorgängermenge und der Menge, die die Vorgängermenge enthält. Die Menge, die die Vorgängermenge enthält (sie ist also nicht leer), und die Vorgängermenge sind disjunkt, deshalb ist jede Nachfolgermenge von der Vorgängermenge verschieden. Hieraus ergibt sich insbesondere die Injektivität der so definierten Nachfolgerfunktion. Somit genügt diese den Peano-Axiomen.

Die Existenz jeder einzelnen natürlichen Zahl ist mengentheoretisch schon durch recht schwache Forderungen gesichert. Für die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sowie ${\mathbb{N}}_0$ benötigt man jedoch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ein eigenes Axiom, das sogenannte Unendlichkeitsaxiom.

Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion (Wegfall des fünften Peano-Axioms bzw. Zulassung von weiteren Zahlen ohne Vorgänger) ergibt die Ordinalzahlen.

Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen

Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen. Als Alternative kann man beim Körper $ℝ$ der reellen Zahlen axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von $ℝ$ definieren. Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge.

Eine Teilmenge $M$ von $ℝ$ heißt induktiv, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. $0$ ist Element von $M$.
2. Ist $x$ Element von $M$, so ist auch $x+1$ Element von $M$.

Dann ist ${\mathbb{N}}_0$ der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von $ℝ$.

Alternativ kann man die natürlichen Zahlen auch per Monoidmonomorphie in den Körper der reellen Zahlen einbetten. Das gilt aber nur, wenn man die 0 als Element der natürlichen Zahlen betrachtet. Es ist anzumerken, dass man die natürlichen Zahlen somit nur als eine Teilmenge der reellen Zahlen interpretiert, diese aber streng genommen keine sind. Auf die gleiche Weise bettet man die natürlichen Zahlen in andere bekannte Zahlenbereiche ein, wie zum Beispiel in die rationalen Zahlen.

Der hier übliche kanonische Monomorphismus ist folgendermaßen gegeben:

$\mathbb{N}\to ℝ,n\mapsto n\cdot 1$,

wobei $n\cdot 1$ hier als die n-fache Addition des multiplikativ neutralen Elementes der reellen Zahlen zu verstehen ist und die reellen Zahlen als additives Monoid aufzufassen sind. Dass es sich bei obiger Abbildung um einen Homomorphismus handelt, ist unmittelbar ersichtlich; ebenso die Injektivität. Folglich lassen sich die natürlichen Zahlen mit dem Bild obiger Abbildung (und damit als Teilmenge der reellen Zahlen) identifizieren.

Völlig analog kann man sie auch beispielsweise in den Ring der ganzen Zahlen, den Körper der rationalen Zahlen oder in den Körper der komplexen Zahlen einbetten.

Siehe auch

• Liste besonderer Zahlen
• Monoid
• Zahlensystem

Literatur

• Fachredaktionen des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Schlag nach! 100000 Tatsachen aus allen Wissensgebieten. [Red. Bearb.: Michael Matthes]. 11., neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1976, ISBN 3-411-01198-X, S. 15 ff. 
• Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= vieweg studium – Grundkurs Mathematik. Band 58). Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden 1985, ISBN 3-528-07258-X. 
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Band 6). 4. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, ISBN 3-525-40527-8. 
• A. G. Hamilton: Numbers, sets and axioms: the apparatus of mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney 1982, ISBN 0-521-24509-5. 
• Johannes Lenhard, Michael Otte (Hrsg.): Einführung in die mathematische Philosophie. F. Meiner, Hamburg 2002, ISBN 3-7873-1602-7.
• Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. Drei-Masken, München 1919; F. Meiner, Hamburg 2006, ISBN 3-7873-1602-7.
• Wolfgang Rautenberg: Messen und Zählen. Heldermann Verlag, Lemgo 2007, ISBN 978-3-88538-118-1. 
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 2. Auflage. BI-Wiss.-Verlag, Mannheim 1994, ISBN 3-411-14842-X.
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. 8. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0, S. 53 ff. (Eintrag 0723.00010 in der Datenbank zbMATH Open). 

Weblinks

Wikibooks: 𝐌𝐀𝐓𝐄𝜇α𝖳ℝ𝑖𝑥: Mathematik für die Schule – Zahlenmengen

Wiktionary: natürliche Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen