Werk:Die mathematischen Schriften/Von den Geometrischen Verwandlungen

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Gründet auf dem Werk „De geometricis transmutationibus“ Nikolaus von Kues
25. September 1445 n. Chr. hrsg.  
Entwurf Liste Werke von Josepha Hofmann 

6. Mai 2026 n. Chr. erst.  
14:00 Uhr
unüberarbeitet
ungeprüft

(De geometricis transmutationibus)

Paulus, dem Arzt aus Florenz, dem Sohn des Magisters Dominikus, dem untadeligen und hochgelehrten Mann, widmet Nikolaus von Cues seine Abhandlung

Über die Geometrischen Verwandlungen

Wohl haben die Alten, mit starkem Forschergeist begabt, in unermüdlichem Fleiß versucht, viel damals Verborgenes für sich und die Nachwelt ans Licht zu bringen; wohl haben sie in den meisten hohen und schönen Künsten mit Erfolg gearbeitet, aber in einigen der höheren Wissenszweige haben sie nicht alles Erstrebte erreicht. Der beste Erhalter aller Dinge hat es nämlich so bestimmt, damit die göttliche Kraft des Erkennens in uns nicht erlahme, sondern durch immer lebhafteres Interesse auf das noch Verborgene, aber der Erkenntnis Zugängliche gelenkt werde. Wir geben uns leidenschaftlich der Erforschung des Dunkels hin, damit wir uns um so ruhiger der Stärke unseres Geistes erfreuen. Unter den Aufgaben, die bisher den geometrischen Spekulationen hindernd im Wege standen, blieb vornehmlich eine auch von allen denen ungelöst, deren Geisteskraft uns die überkommenen Bücher gewissenhaft wiedergeben, nämlich: Zwischen einer geraden und einer gekrümmten Linie Gleichheit herzustellen oder eine Verwandlung ineinander zu lei-#sten. So kam es, daß es vielen, ja fast allen, die sich dieser Untersuchung widmeten, nach unermeßlichen Mühen schien, der Weg zur Einsicht in diesen Sachverhalt sei uns entrückt, und zwar wegen der Unmüglichkeit des Unterfangens, da die Natur der Koinzidenz einer solchen Gegensätzlichkeit widerstrebe. Ich aber glaube, die Schwierigkeit dieses Unternehmens liegt vielmehr in einem zu geringen Verständnis, in mangelnder Sorgfalt und im Fehlen der äußersten Aufmerksamkeit, wie sie eine völlig ungelöste Aufgabe erfordert. Daher widmete ich, um das Gesuchte zu erlangen, all meine Mußezeit des höheren Zweckes willen in harter und sorgfältiger Arbeit einer neuen Kunst, bis ich endlich für alle meine Überlegungen die nachstehende einfache Lösung gewinnen konnte. Weil ich aber glaubte, in einer so wichtigen und bisher unbekannten Kunst— von der nicht nur die endgültige Meisterung der geometrischen Verwandlung abhängt, sondern die vielmehr gleichzeitig den Zugang zu höheren Wissenszweigen bildet —, mich nicht auf meinen unklaren und schwachen Verstand allein verlassen zu dürfen, hielt ich es für angemessen, mich an Dich, einen erfahrenen Schiedsrichter und Eiferer für die Wahrheit zu wenden und die Erfindung meinem alten bewährten Freund darzulegen, damit sie von dem gerechtesten Richter geprüft werde. Hochgeschätzter Freund, selbst wenn Du Dich gerade mit Dingen von größerer Wichtigkeit beschäftigst, so weise doch diese Zeilen nicht als schwerfällig und unklar von Dir! Sie sind nicht umfangreich zu lesen und leicht zu verstehen. Je stärker Du Dich mir aus unserer Knaben- und Jugendzeit durch das Band der Freundschaft und eine herzliche Zuneigung verbunden fühlst, um so genauer bitte ich Dich, auf die Berichtigung zu achten und eine Verbreitung (es sei denn verbessert) nicht zuzulassen.

Nach fast zahllosen Ansätzen, mit denen ich mich mühte (allerdings immer vergeblich), zu der vorgesetzten Kunst zu gelangen, hat sich mir durch den Rückgriff auf das in meiner Schrift über die Wissende Unwissenheit angewendete Prinzip endlich ein Weg aufgetan. Die Kunst, die ich suche, leistet außerdem in der Geometrie schon Überlieferten die Verwandlung des Gekrümmten in das Gerade und des Geraden in das Gekrümmte. Da zwischen diesen Größen kein rationales Verhältnis bestehen kann, muß sich das Geheimnis hier in einer Koinzidenz der Extreme verbergen. Da diese Koinzidenz im Maximum statthat (wie anderweitig dargetan wird) und das Maximum der unbekannte Kreis ist, wird hier gezeigt, daß sie im Minimum — das ist das Dreieck — aufgesucht werden muß.

Vieleckfiguren mit gleichlangen Seiten nennt man isopleure; wenn sie bei gleicher Seitenlänge den nämlichen Umfang haben, heißen sie isoperimetrisch . Unter allen isoperimetrischen Figuren hat bekanntlich das Dreieck die kleinste Fläche. Da eine isoperimetrische Figur um so mehr Fläche einschließt, je mehr Winkel sie hat, wird der Kreis unter allen isoperimetrischen Figuren die größte Fläche haben. Durch Vervielfachen der Winkel kann man ihn nicht erreichen, wie man auch bei der Zahl nicht zu einem Maximum kommen kann. Kein Vieleck kann zum isoperimetrischen Kreis ein rationales Verhältnis haben.

Weil aber die Flächendifferenz umfangsgleicher Figuren der Differenz der Halbmesser ihrer einbeschriebenen Kreise entspricht (wie schon früher bekannt war), deshalb wird weder der einbeschriebene Kreis, der kleiner ist, noch der umbeschriebene Kreis, der größer ist, zum isoperimetrischen ein rationales Verhältnis haben. Die Differenz der Halbmesser besagter Kreise ist beim Dreieck am größten, bei anderen Vielecken wird sie schrittweise kleiner. Beim isoperimetrischen Kreis fallen die Halbmesser zusammen, da hier Inkreis, Umkreis und Kreis selbst zusammenfallen. Es ist also zu untersuchen, durch welche Kunst wir zur Koinzidenz und zu unserm Ziel gelangen können.

Um der gesuchten Kunst zu genügen, scheint Folgendes erforderlich zu sein: Erstens: Zu einer gegebenen geraden Linie ist eine gleichgroße gekrümmte anzugeben. Zweitens: Nach dem Verhältnis einer gekrümmten zu einer gekrümmten Linie ist eine gerade zu einer geraden anzugeben. Drittens: Zwischen gegebene Strecken sind zwei Proportionale einzuschieben. Viertens: Nach dem Verhältnis zweier gegebener Strecken ist zu einer dritten gegebenen Strecke eine vierte zu ermitteln. Das Erste war bisher unbekannt, das Zweite noch nicht in Erwägung gezogen, das Dritte nur von wenigen und unklar in Angriff genommen, das Vierte schon von vielen klar entwickelt. Diese vier Punkte umfassen alles, was der erstrebten Kunst der Verwandlung förderlich ist, wie ich durch Setzung eben der erforderlichen Prämissen im einzelnen (exemplaribus subsumtionibus) darzulegen versuchen will.

Erste Prämisse

Es wird allgemein zugestanden, daß es eine gekrümmte Linie geben kann, die weder größer noch kleiner ist als eine gegebene Strecke. Allerdings behaupen nicht alle Gelehrten, daß sich diese Strecke auch angeben lasse. Es ist also grundsätzlich möglich, daß der Umfang eines gegebenen Vielecks weder größer noch kleiner ist als der Umfang eines gewissen Kreises, so daß diese Figuren isoperimetrisch sind. Aber wie sich dieser Umfang angeben läßt, das wollen wir untersuchen.

Da bei einem regelmäßigen Vieleck der Umkreis um so größer und der Inkreis um so kleiner ist, je weniger Winkel das Vieleck hat, kann wohl niemand bestreiten, daß der Inkreis eines jeden Vielecks kleiner und der Umkreis größer ist als der zu diesem Vieleck isoperimetrische Kreis. Deshalb liegt der isoperimetrische Kreis zwischen Umkreis und Inkreis, und sein Halbmesser ist größer als der Inkreishalbmesser eines jeden regelmäßigen isoperimetrischen Vielecks und kleiner als jeder Umkreishalbmesser Was wir suchen, wird sich nach vielen schwierigeren Darlegungen als einfache Folgerung aus dem nachstehenden Satz ergeben:

Einem Kreis sei ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben. Der Halbmesser des zu diesem Dreieck isoperimetrischen Kreises verhält sich zu der Linie, die den Umkreismitlelpunkt mit dem die Dreieckseite viertelnden Punkt verbindet, wie 5 zu 4.

Abb. 8

Es sei um $a$ als Mittelpunkt ein Kreis gezeichnet; ihm werde Dreieck $bcd$ einbeschrieben. Die Seite $bc$ sei durch die Punkte $e$, $f$, $g$ in vier gleiche Abschnitte zerlegt. Ich behaupte: Wenn die Gerade von $a$ nach $e$ um ein Viertel ihres Betrages verlängert wird — die neue Strecke sei $ah$ — dann ist ah der Halbmesser des Kreises, der zum Dreieck umfangsgleich ist.

Diese Behauptung läßt sich auf folgende Weise sehr leicht als richtig erweisen: Es steht fest, daß die von $a$ nach $f$ gezogene Gerade der Halbmesser des Inkreises ist, und zwar der kleinste in allen isoperimetrischen Vielecken. Die von $a$ nach $b$ gezogene Gerade ist der Umkreishalbmesser, und zwar der größte in allen isoperimetrischen Vielecken. Wenn man von $a$ nach $i$, einem nahe bei $f$ gelegenen Punkt, eine Gerade zieht und sie im Verhältnis der Strecke $if$ zur Seite $a$ verlängert, dann ist die neue Strecke $ak$ offenbar kleiner als der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises, da dieser von allen Inkreishalbmessern in regelmäßigen Vielecken der größte ist. Entsprechend, wenn man von $a$ nach $l$, einem nahe bei $b$ gelegenen Punkt, eine Gerade zieht und sie im Verhältnis der Strecke $if$ zur Seite $bc$ verlängert, dann ist die neue Strecke $am$, wie von selbst klar ist, größer als der gesuchte Halbmesser, da dieser unter allen Umkreishalbmessern an regelmäßigen Vielecken der kleinste ist. Man kann also aus $a$ nach einem bestimmten zwischen $l$ und $i$ gelegenen Punkt eine Gerade ziehen, die, im Verhältnis des zwischen diesem Punkt und dem Punkt $f$ gelegenen Abschnitts zur Seite $bc$ verlängert, die gesuchte Strecke ergibt. Ebenso: wenn die Strecke $ai$ im Verhältnis des Abschnitts $ib$ zur Seite $bc$ verlängert wird, dann ist offenbar die neue Strecke an kleiner als die gesuchte; wenn $al$ im Verhältnis des Abschnitts $lb$ zur Seite $bc$ verlängert wird, dann ist die neue Strecke $ao$ sicherlich größer als die gesuchte. Zwischen $l$ und $i$ muß also ein Punkt liegen von folgender Eigenschaft: Wenn man die Verbindungslinie dieses Punktes mit $a$ verlängert im Verhältnis des zwischen diesem Punkt und $b$ liegenden Abschnitts zur Seite $bc$, dann ist die verlängerte Strecke gleich der gesuchten. Es findet sich ein Punkt — nennen wir ihn $i$ —, so beschaffen, daß die verlängerte Strecke $ai$ immer kleiner bleibt als die gesuchte Strecke, gleichgültig, ob man $ai$ im Verhältnis des gegen $b$ hin liegenden Abschnitts zur Dreieckseite verlängert, oder im Verhältnis des gegen $f$ hin liegenden Abschnitts zur Dreieckseite. Es findet sich ferner ein anderer Punkt — sagen wir $l$ —, derart, daß die verlängerte Strecke $al$ immer größer bleibt als die gesuchte Strecke, gleichgültig ob man $al$ im Verhältnis des einen oder anderen Abschnitts zur Dreieckseite verlängert. Und ebenso gibt es einen dritten Punkt von folgender Beschaffenheit: Wenn man ihn mit dem Mittelpunkt verbindet und diese Verbindungslinie verlängert im Verhältnis des einen oder anderen Abschnitts zur Dreieckseite, dann ist die verlängerte Strecke weder größer noch kleiner als die gesuchte. Dieser Punkt muß notwendig $e$ sein, da in ihm allein die Verlängerung im einen oder anderen Verhältnis die nämliche werden kann.

Ebenso kann man sagen: Wenn $ai$ im Verhältnis $fi:bc$ verlängert wird, ist es kleiner, und wenn es im Verhältnis $lf:bc$ verlängert wird, ist es ebenfalls kleiner. Wenn $al$ im Verhältnis von $i{f}^2:i{f}^2$ verlängert wird, ist es größer, und wenn es im Verhältnis von $lf:bc$ verlängert wird, ist es ebenfalls größer. Es muß also einen Punkt zwischen $1$ und $i$ geben, so daß die aus $a$ an ihn gezogene Linie, wenn sie nach den beiden genannten Verhältnissen verlängert wird, weder größer noch kleiner ist als die gesuchte Strecke, und dieser Punkt muß $e$ sein. Man kann auch ein drittes Verhältnis hinzufügen. Wenn $ai$ verlängert wird im Verhältnis $i{f}^2:b{f}^2$ und im Verhältnis $if:bc$ und im Verhältnis $bi:bc$, so ist es immer kleiner. Wenn al nach diesen Verhältnissen verlängert wird, ist es immer größer. Es muß also einen Punkt geben von folgender Eigenschaft: Wenn man aus dem Mittelpunkt zu diesem Punkt eine Gerade zieht und sie nach den angegebenen Verhältnissen verlängert, ist die entstehende Strecke weder größer noch kleiner, und dieser Punkt ist $e$, gleichweit entfernt von $b$ und $f$.

Bewiesen wird dies auf folgendem Wege: Es ist klar, daß in jedem isoperimetrischen Vieleck die Linie, die vom Mittelpunkt zur Seitenmitte gezogen wird, der Halbmesser des Inkreises ist. Entsprechend dem größeren Flächeninhalt eines Vielecks kommt dieser Halbmesser dem Halbmesser des isoperimetrischen Kreises stetig näher. Die Linie, die vom Mittelpunkt zum Endpunkt einer Seite gezogen wird, ist der Halbmesser des Umkreises. Er wird stetig kleiner, wenn die Vieleckfläche stetig wächst. Es muß also zwischen diesen zwei Punkten — dem Endpunkt und dem Mittelpunkt der Seite — ein Punkt liegen, so daß, wenn die Verbindungslinie zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt des Umkreises in einem bestimmten Verhältnis verlängert wird — nämlich im Verhältnis des Quadrates des Abschnitts, der zwischen diesem Punkt und der Seitenmitte liegt, zum Quadrat der halben Seite oder im Verhältnis dieses Abschnitts zur Seite —, daß dann die verlängerte Strecke gleich dem Halbmesser des isoperimetrischen Kreises ist. Daran kann kein Zweifel bestehen. E s trifft sich aber, daß dieser Punkt in allen Vielecken von den beiden anderen Punkten, nämlich vom Endpunkt und vom Mittelpunkt der Seite, verschiedenen Abstand hat. Er nähert sich der Seitenmitte und rückt vom Endpunkt ab, je größer die Vieleckfläche wird. Wie sich also dieser Punkt in Vielecken mit wachsender Fläche der Seitenmitte stetig nähert bis zum Zusammenfallen dieser drei Punkte im größten Vieleck, so rückt er notwendig in den Vielecken mit geringerer Fläche von der Seitenmitte ab, bis er im kleinsten Vieleck von beiden Punkten den größten Abstand hat. Dieser mittlere Punkt, der von den beiden Endpunkten in gleicher Weise den größtmöglichen Abstand hat, ist der Punkt $e$, in dem für das Dreieck, der kleinsten derartigen Figur, das Gesuchte erreicht ist. Deshalb fällt jeder Halbmesser eines jeden Umkreises in eine Linie vom Mittelpunkt $a$ nach einem bestimmten Punkt der Strecke be, die nach den oben angeführten Verhältnissen des bei b liegenden Abschnitts verlängert ist. Und $ae$, auf diese Weise verlängert, ist die kleinste aller derartigen Strecken und daher der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises, da dieser Halbmesser von allen Umkreishalbmessern der kleinste ist. Mit ihm fällt der größte der Inkreishalbmesser zusammen. Im Punkt $e$ findet also die Koinzidenz der von $f$ nach $e$ hin aufsteigenden Inkreishalbmesser und der von $b$ nach $e$ hin absteigenden Umkreishalbmesser statt, wenn die Verlängerungen in den angegebenen Verhältnissen der Abschnitte nach $e$ einerseits und nach $f$ andererseits ausgeführt wurden.

Zweite Prämisse

Ich erwähnte schon früher, man müsse vorausschicken, wie sich zwischen einer Strecke und einer Strecke das Verhältnis auffinden läßt, das zwischen einer Gekrümmten und einer Gekrümmten besteht; denn, wie sich im Folgenden zeigt, kann man die erstrebte endgültige Meisterung der Kunst der Verwandlung nur leisten, wenn sich dieses Verhältnis herstellen läßt. Bei diesen Untersuchungen habe ich ein geradliniges Dreieck im Auge. Ich ziehe von einem Teilpunkt der einen Dreieckseite nach dem entsprechenden Teilpunkt einer zweiten Dreieckseite eine Gerade, die zur letzten Dreieckseite parallel ist und zu ihr im nämlichen Verhältnis steht wie der Abschnitt der ersten Seite, von dem aus die Linie gezogen war, zur ganzen ersten Seite. Und etwas Ähnliches wie hier an einer geradlinigen Seite untersuchte ich an einem Bogen. Dabei bemerkte ich: wenn ich ein Dreieck zeichne mit einer gekrümmten Seite und einer geradlinigen, dann kann man von einem Abschnitt der gekrümmten Seite zum entsprechenden Abschnitt der geradlinigen Seite keine Gerade ziehen, die zur dritten geradlinigen Seite das nämliche Verhältnis hat. Wenn nämlich die gebogene Seite konvex gekrümmt ist, dann ist klar, daß die Verbindungslinie zwischen ihrem Mittelpunkt und dem Mittelpunkt der geradlinigen Seite größer ist als die Hälfte der das Dreieck schließenden dritten Geraden. Wenn aber die gebogene Seite konkav gekrümmt ist, muß die obige Verbindungslinie notwendig kleiner sein. Entsprechendes gilt, wenn auch die dritte Seite gebogen ist. Wenn sie gekrümmt ist wie die andere Seite, konvex oder konkav, je nachdem die andere konvex oder konkav ist, dann ist die aus entsprechenden Abschnitten gezeichnete Linie größer oder kleiner, wie im vorhergehenden Fall. Wenn aber die dritte Seite konvex ist, während die andere konkav ist, und wenn die beiden Bögen gleichen Kreisen angehören und überdies gleich sind, dann muß die Linie, die durch entsprechende Abschnitte der Bögen gezogen ist, notwendig größer sein als die Strecke, die nach dem Verhältnis erwartet wird. Denn wenn den Bögen Sehnen unterspannt werden, bilden sie den gleichen Winkel wie die Bögen, und die Sehnen der halben Bögen bilden wiederum den gleichen Winkel. Die Sehnen der halben Bögen sind größer als die halben Sehnen der ganzen Bögen. Es ist einleuchtend, daß die von Mitte zu Mitte gezogene Strecke größer ist, entsprechend dem Überschuß der Sehne des halben Bogens über die Halbsehne des ganzen Bogens

Es müßte also die eine gekrümmte Seite kürzer sein; die konkave kann aber nicht kürzer sein. Wenn nämlich diesen Bögen Sehnen unterspannt würden, wäre der Winkel der Sehnen kleiner als der Winkel der Bögen, und jener kleiner als der Winkel, der aus den Sehnen der halben Bögen entsteht. Also wäre die von Abschnitt zu Abschnitt gezogene Strecke größer als die gesuchte. Deshalb muß notwendig das gesuchte Dreieck aus drei Seiten bestehen, deren zwei Seiten gekrümmt und von ungleicher Länge sind, und zwar so, daß die größere Seite ein größerer Abschnitt des Kreisumfangs ist und die Fläche konkav schließt, während die andere gekrümmte Seite ein kleinerer Abschnitt des nämlichen Kreisumfangs ist und die Fläche konvex begrenzt; die dritte Seite sei eine Gerade. Wenn man diesen gekrümmten Seiten die Sehnen unterspannt, dann muß notwendig der Winkel der Sehnen größer sein als der Winkel der Bögen, und der Winkel der Sehnen der halben Bögen größer als der Winkel der Bögen und kleiner als der Winkel der Sehnen der ganzen Bögen, und zwar um so kleiner, je mehr die Sehnen der halben Bögen die halben Sehnen der ganzen Bögen übertreffen. Auf diesem Wege schien es mir möglich zu werden, daß in dem schon genannten gegebenen Dreieck die durch die Abschnitte gezogenen Strecken kleiner und größer und gleich sein können zu den gesuchten. Daher stellte ich mir die Aufgabe, ein Dreieck zu suchen, dessen geradlinige Seite der Halbmesser des Kreises ist, dem die gekrümmten Seiten angehören, und dessen größere gekrümmte Seite ein Viertelkreis ist.

Datei:Die mathematischen Schriften Zur Einführung Abb. 2.png

Abb. 9.

Ich habe also um den Mittelpunkt $a$ den Viertelkreis $be$ beschrieben und um $e$ den Halbkreis $ade$. Ich halbiere den Bogen $bc$ im Punkte$f$ und beschreibe um $f$ den Halbkreis $gh$, dessen Halbmesser gleich dem halben $ac$ sei; um $b$ beschreibe ich den circulus occultus $ik$ und suche auf ihm einen Punkt, um den ich einen Bogen beschreiben kann, der von $b$ ausgehend durch den kleineren Halbkreis $gh$ hindurch zum größeren Halbkreis $ade$ verläuft so, daß der Schnittpunkt dieses Bogens mit dem Halbkreis $gh$ der Mittelpunkt des ganzen Bogens sei, gleichweit entfernt von $b$ und $m$, dem Schnittpunkt des Bogens mit $de$. Ich ziehe die Gerade $cm$ und habe das gesuchte Dreieck $cbm$. Auf der Suche nach dem Punkt $m$ fand ich, daß er notwendig von $d$ um den halben Bogen $bc$, d.h. den halben Quadranten, entfernt sein muß; denn dieser Punkt liegt zwischen dem nächst- und dem entferntestmöglichen.

Setzt man nämlich den Zirkel auf dem Umfang des circulus occultus $aki$ ein, z.B. im Punkte $a$, dann ist der nächstgelegene Punkt der Punkt $d$, der auf den Bogen $bc$ fällt. Setzt man den Zirkel im Schnittpunkt des arcus occultus $aki$ mit $de$ ein, d.h. in $i$, und beschreibt man den Bogen $bn$, dann ist $n$ der entfernteste Punkt; auf dem Bogen de ist kein Punkt weiter von $d$ entfernt. Es steht aber fest, daß $d$ und $n$ auf dem Bogen $de$ um einen Viertelkreis entfernt sind. Der Mittelpunkt dieses Abstandes ist $m$; in ihm sind die Extreme auf die mittlere Gleichheit gebracht. Auf diesem Wege gelangte ich zu dem gesuchten Dreieck. Danach bemerkte ich Folgendes: Wenn man die Gerade $cm$ unbegrenzt verlängert und aus $i$ durch $f$ ebenfalls eine Gerade zieht, dann müssen sich diese Geraden in einem Punkte schneiden; denn sie sind nicht parallel. Den Schnittpunkt bezeichne ich mit $o$. Nun habe ich beobachtet, daß alle Verbindungslinien der entsprechenden Abschnitte in ihrer Verlängerung mit diesen beiden Geraden zusammenlaufen müssen, und zwar mit beiden gleichzeitig. Deshalb treffen sich alle in einem Punkt. Wenn man also aus $o$ durch irgendeinen Abschnitt des Quadranten $bc$ eine Gerade zum Bogen $bm$ zieht, dann verhält sich der zwischen den beiden Bögen liegende Abschnitt dieser Geraden zu $cm$ wie das Bogenstück zwischen $b$ und dem Schnittpunkt der Geraden mit dem Bogen zum ganzen Viertelkreis $bc$, d.h. Bogen $bf$ verhält sich zum Viertelkreis $bc$ wie die Strecke $fl$ zur Strecke $cm$. Und ein solches Verhältnis war gesucht.

Dritte Prämisse

Abb. 10

Als Drittes muß ich vorausschicken, wie man zwischen gegebenen Strecken zwei mittlere Proportionale findet. Dies ist schon lange wohlbekannt. Wenn die beiden gegebenen Strecken den Durchmesser eines Kreises ausmachen und von einer Sehne senkrecht geschnitten werden, dann ist die Halbsehne das geometrische Mittel zwischen den beiden Strecken, da die Halbsehne notwendig das geometrische Mittel zwischen dem Pfeil und dem Reststück des Durchmessers ist. Wenn sich also zwei Linien von unbestimmter Länge, wie z. B. $ab$ und $cd$, senkrecht im Punkte $e$ schneiden – die kleinere von $e$ nach $d$ hin liegende Strecke bezeichne ich mit $ef$, die größere von $e$ nach $a$ hin liegende Strecke bezeichne ich mit $eg$ —, und wenn ich zwei Halbkreise zeichne, einen um den Mittelpunkt $k$ auf $ec$, den anderen um den Mittelpunkt $h$ auf $ea$, dann ist Folgendes zu bemerken: Der Halbkreis mit dem Mittelpunkt auf $ea$ schneidet den andern Halbkreis im Punkt $l$ auf $eb$ und im Punkt $i$ auf $ec$. Niemand kann sich darüber im Unklaren sein, daß $ei$ und $el$ nach der vorausgehenden Regel von der einzigen mittleren Proportionalen die Mittel sind zwischen $ef$ und $eg$.

Abb. 10.

Damit Du in der praktischen Anwendung diese Mittel leicht finden kannst, nimm einen Gnomon an und eine Gerade, die mit einem Schenkel des Gnomons einen rechten Winkel bilden soll. Nach dem Vorhergehenden nimm ferner zwei sich senkrecht schneidende Gerade von unbestimmter Länge an,

Lege den rechten Winkel des Gnomons auf $eb$ und lasse den einen Schenkel durch $f$ hindurchgehen. Dann merke: Wo der zweite Schenkel die Gerade $ec$ schneidet, lege die Gerade senkrecht zu diesem Schenkel. Wenn diese letzte Gerade durch $g$ hindurchgeht, hast Du das Gesuchte. Wenn nicht, dann verschiebe den Gnomon auf $eb$, bis die letzte Gerade durch $g$ geht. Dann hast Du die beiden gesuchten Mittel. Wenn sich einer die Mühe nehmen will, lassen sich noch weitere Methoden angeben. Da die vorliegende Methode einleuchtend ist, mag sie für den Augenblick genügen.

Wie man zu drei gegebenen Strecken die vierte in fortlaufender Proportion finden kann, darf ich übergehen, da es schon lange und auch aus dem Vorhergehenden handgreiflich ist.

Vierte Prämisse

ghghViertens, wie sich im Verhältnis zweier gegebener Strecken zu einer dritten gegebenen die vierte finden läßt, ist in der Praxis schon fast allen bekannt. Man kann diese vierte Strecke finden vermittels zweier ähnlicher Dreiecke mit einem gemeinsamen Winkel. Es sei $ab$ die erste, $cd$ die zweite, $ef$ die dritte Strecke. Verbinde $ab$ und $cd$ zu einem beliebigen Winkel $ghi$ und schließe das Dreieck. Dann verlängere die Seite $gh$ die gleich $ab$ ist, und trage auf ihr $gk$ gleich $ef$ ab. Ziehe zu $hi$ die Parallele $kl$ und verlängere $gi$ bis zum Schnitt in $m$. Nur ein Unwissender kann bestreiten, daß sich $km$ zu $gh$ — $gk$ ist gleich $ef$ verhält wie $hi$ — $hi$ ist gleich $cd$ — zu $gh$; $gh$ ist aber gleich $ab$. Soviel sei über das gesagt, was vorauszuschicken ist.

1. Kapitel: Über die Verwandlung von Linien in einander

Jede Verwandlung an geometrischen Figuren ist entweder die Verwandlung einer Linie in eine Linie oder einer Fläche in eine Fläche oder eines Körpers in einen Körper. Es sind also drei Kapitel der Reihe nach an Hand von Beispielen zu behandeln.

Wenn Du eine Strecke in eine gekrümmte Umfangslinie verwandeln willst, dann bilde aus der Strecke ein Dreieck oder ein anderes regelmäßiges Vieleck und ermittle dazu nach der ersten Prämisse den isoperimetrischen Kreis. Der Umfang dieses Kreises ist gleich der gegebenen Strecke.

Wenn Du eine Strecke in einen beliebigen bestimmten Bruchteil eines Umfangs verwandeln willst , dann verwandle sie in den Umfang eines Vollkreises, und aus dem Verhältnis dieses Kreises zu dem gegebenen Bruchteil erreichst Du das Gesuchte; denn das Verhältnis der Kreisumfänge ist gleich dem der Halbmesser.

Wenn Du eine gegebene Strecke in einen Viertelkreis verwandeln willst, dann ist der Viertelumfang eines Kreises vom vierfachen Halbmesser das Gesuchte.

Wenn Du eine gegebene Strecke in den Bogen eines gegebenen Kreises verwandeln willst, dann verwandle sie zuerst in einen Kreisumfang, und aus dem bekannten Verhältnis der Kreishalbmesser läßt sich das Gesuchte ermitteln.

Wenn Du eine Kreislinie in eine Strecke verwandeln willst, dann wird Dir dies nur mit Hilfe der vierten Prämisse gelingen, Darin haben sich aber, wie ich feststellen konnte, fast alle geirrt. Eine gekrümmte Linie läßt sich in eine Strecke verwandeln nur aus dem Verhältnis zu einer Strecke, die in eine gekrümmte Linie überführt ist. Wenn Du Dir also eine solche Verwandlung zum Ziel setzest, dann verwandle zuerst eine Gerade in einen Kreisumfang und bezeichne den Halbmesser dieses Kreises als erste Linie. Ein Drittel oder einen anderen Bruchteil der in einen Kreisumfang verwandelten Strecke nimm als zweite Linie, und als dritte den Halbmesser des Kreises, der ausgestreckt werden soll. Dann schließe die ähnlichen Dreiecke, die einem gemeinsamen Winkel anliegen, so daß die dem gemeinsamen Winkel gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Die eine der beiden Parallelen ist der nämliche Bruchteil der gesuchten Strecke wie die andere Parallele der gegebenen, in eine Kreislinie verwandelten Strecke, d.h. ein Drittel, wenn der gegebene Bruchteil ein Drittel war; wenn es ein anderer war, dann ein anderer. Nach diesem Verfahren ist also die Verwandlung einer Kreislinie in eine Strecke bekannt und ebenso die Ausstreckung eines bekannten Kreisbogens.

Abb. 13

Wenn ein gegebener Bogen auszustrecken ist, dessen Verhältnis zum Umfang Du nicht kennst, dann wende die zweite Prämisse an. Lege aus dem Schnittpunkt $o$ durch den gesuchten Bogen oder einen bestimmten Teil von ihm eine Gerade bis zum zweiten Bogen und halte die zwischen den beiden Bögen liegende Strecke fest. Dann nimm den Kreishalbmesser als erste Linie, den gestreckten Quadranten oder einen bestimmten Bruchteil von ihm als zweite und die zwischen den beiden Bögen liegende Strecke als dritte. Nach der vierten Prämisse kannst Du vermittels ähnlicher Dreiecke die gesuchte Strecke finden. Und nur auf diesem Wege läßt sich das Gesuchte erreichen, auf dem Du auch eine gegebene Strecke in den Bogen eines gegebenen Kreises verwandeln kannst, auch dann, wenn das Verhältnis dieses Bo-gens zum Umfang nicht bekannt ist. Durch die vorstehende Überlegung ist es aber möglich. Den Kreishalbmesser nimm als erste Dreieckseite, den ausgestreckten Quadranten als zweite und schließe das Dreieck. Es sei z.B. $ab$ der Halbmesser, $bc$ der ausgestreckte Viertelkreis, und $ac$ schließe das Dreieck. Nun sei $ed$ die gegebene Strecke oder ein Bruchteil von ihr und verlaufe in diesem Dreieck parallel zu $bc$. Dann trage auf $bc$ von $b$ aus die Strecke $bf$ gleich dem Halbmesser $ab$, ziehe $af$ und bezeichne den Schnitt mit $de$ als Punkt $g$. Dann erinnere Dich an die zweite Prämisse und lege aus dem Schnittpunkt eine Gerade so, daß zwischen die Bögen eine Strecke zu liegen kommt, die gleich der Strecke $dg$ ist. Und dies ist der Bogen, der gleich der gegebenen Strecke ist, oder ein Bruchteil des gesuchten Bogens, wenn Du mit einem Bruchteil der Strecke gearbeitet hattest. Nach dieser Methode kann man auch eine gegebene Kreislinie und einen beliebigen Kreisbogen in einen Bogen eines beliebigen gegebenen Kreises verwandeln, indem man die gegebene Kurve zuerst in eine Strecke verwandelt und dann nach der soeben behandelten Methode diese Strecke in den Bogen eines gegebenen Kreises. Damit ist der Abschnitt über die Verwandlung von Linien ausreichend behandelt.

2 . Kapitel: Über die Verwandlung Ton Flächen

Um die Verwandlung von Flächen ausreichend und doch ohne überflüssige Breite zu behandeln, übergehe ich die bekannte Verwandlung geradlinig begrenzter Flächen. Daß man ein Dreieck in mehrere Dreiecke zerschneiden kann, daß man jedes Dreieck in ein Rechteck und jedes Rechteck in ein Quadrat verwandeln kann, daß sich mehrere Quadrate zu einem einzigen vereinigen lassen, daß sich ein Dreieck in beliebig viele zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke zerlegen läßt und daß sich schließlich ebenso wie das Dreieck und das Quadrat alle regelmäßigen und nichtregelmäßigen Vielecke in andere Figuren überführen lassen, das alles ist Dir aus den Elementen der Geometrie und aus dem Verhaltnis der Kreise und Quadrate bekannt, und so kann ich es übergehen, da ich allgemein Bekanntem nicht etwas Abgedroschenes hinzufügen will. Das, was ich schon vorher behandelt habe, erschließt die leichte Faßlichkeit dieses Abschnittes.

Wenn Du eine Kreisfläche in eine geradlinig begrenzte Fläche verwandeln willst, dann strecke zuerst die Kreislinie aus, errichte hierauf in einem Endpunkt das Lot gleich dem Kreishalbmesser und schließe das Dreieck. Damit ist die Kreisfläche in eine Dreieckfläche verwandelt. Wenn Du die Kreisfläche in ein Rechteck oder ein Quadrat verwandeln willst, ist dies aus dem Dreieck leicht zu machen.

Der Kreis wird quadriert, indem man das geometrische Mittel zwischen dem Halbmesser und der Hälfte der ausgestreckten Umfangslinie zur Quadratseite nimmt. Strengere Geometer haben nachgewiesen, daß durch Multiplikation des Halbmessers mit der halben Umfangslinie eine Rechteckfläche entsteht, die weder größer noch kleiner ist als die Kreisfläche. Das Produkt aus dem Inkreishalbmesser eines regelmäßigen Vielecks und seinem halben Umfang ist gleich der Vieleckfläche. Das Produkt aus dem Umkreishalbmesser und dem halben Vieleckumfang ist größer als die Vieleckfläche und kleiner als die Fläche des Umkreises. Das Produkt aus dem Inkreishalbmesser und dem halben Umfang ist immer gleich der Vieleckfläche, also größer als die Fläche des Inkreises. Das Produkt aus Halbmesser und halbem Kreisumfang kann demnach weder größer noch kleiner sein als die Kreisfläche. Wenn Du eine geradlinig begrenzte Fläche in eine Kreisfläche verwandeln willst, dann verwandle zuerst eine Kreisfläche nach dem schon Gesagten in ein Vieleck, z.B. in ein Quadrat. Den Halbmesser dieses Kreises nimm als eine Seite, die Quadratseite als die andere, und nachdem Du die gegebene Rechteckfläche in ein Quadrat verwandelt hast, nimm diese Quadratseite als dritte Strecke. Dann findest Du nach der vierten Prämisse die vierte Strecke, und diese ist der Halbmesser des gesuchten Kreises.

Merke, daß man die Ausstreckung einer Kreislinie nur durch die Verwandlung einer Strecke in eine Umfangslinie erreicht. Umgekehrt gewinnt man die Verwandlung einer geradlinig begrenzten Fläche in eine Kreisfläche nur mittels der Überführung einer beliebigen Kreisfläche in eine geradlinig begrenzte Fläche. Das Geheimnisvolle, das hinter diesem Sachverhalt steckt, ist für die vorliegende Aufgabe belanglos.

Wenn Du einen beliebigen Kreisausschnitt, gleichgültig ob er zur ganzen Kreisfläche in einem rationalen Verhältnis steht oder nicht, verwandeln willst, so kannst Du den Bogen ausstrecken und den Halbmesser mit der Hälfte dieses Bogens multiplizieren.

Wenn Du einen Kreisabschnitt in eine geradlinig begrenzte Fläche verwandeln willst, dann ziehe zuerst die Radien nach den Endpunkten des begrenzenden Bogens und verwandle den ganzen Ausschnitt nach dem schon Gesagten in eine Kreisfläche; verwandle ferner das von den Radien und der Sehne eingeschlossene Dreieck in eine zur ersten Kreisfläche konzentrische und ziehe diese von der ersten ab. Nun ist der Kreisabschnitt in den zwischen den beiden Kreislinien liegenden Ring verwandelt, und dieser läßt sich in eine Rechteckfläche überführen, indem man jeden der beiden Kreise in ein Quadrat verwandelt und die Quadrate subtrahiert. Die Quadratdifferenz ist gleich dem Kreisabschnitt; sie läßt sich in ein Quadrat und nach den hinreichend dargelegten Methoden in einen Kreis verwandeln. Und damit ist die Methode zur Verwandlung von Flächen genugsam durch Beispiele belegt.

Über das hinaus, was die Kunst der geometrischen Verwandlung als notwendig erfordert, ließe sich noch ein anderes, bisher Verborgenes anfügen, nämlich, wie sich um einen Kreismittelpunkt ein Winkel beschreiben läßt als geometrisches Mittel zwischen einem gegebenen Winkel und dem doppelten des gegebenen, und dies nach der zweiten Prämisse. Es läßt sich nämlich eine Strecke geben, die sich zur gegebenen verhält wie die Quadratseite zur Diagonale. Beide Strecken kann man in Bögen des nämlichen Kreises verwandeln. Zieht man die Radien nach den Endpunkten der Bögen, dann müssen sie notwendig Winkel im Verhältnis der Bögen erzeugen.

Abb. 14.

Wenn Du eine Fläche in beliebig viele zerlegen willst, und zwar so, daß sie unter sich und zur ganzen Fläche kein rationales Verhältnis haben, aber eine Teilfläche zu einer anderen addiert einen rationalen Bruchteil der ganzen Fläche ergibt, dann verwandle die Ausgangsfläche in einen Halbkreis, falls sie nicht schon diese Form hat, und ziehe die Sehne eines Quadranten parallel zum Durchmesser; diese Strecke heiße das Mittel der Teilung (medium divisionis). Von dieser Sehne aus ziehe nach beiden Seiten in gleichem Bogenabstand parallel größere und kleinere in beliebiger Anzahl; die entstehenden Kreiszonen haben weder unter sich noch zum Ganzen Fläche kein rationales Verhältnis haben, aber eine Teilfläche zu einer anderen addiert einen rationalen Bruchteil der ganzen Fläche ergibt, dann verwandle die Ausgangsfläche in einen Halbkreis, falls sie nicht schon diese Form hat, und ziehe die Sehne eines Quadranten parallel zum Durchmesser; diese Strecke heiße das Mittel der Teilung (medium divisionis). Von dieser Sehne aus ziehe nach beiden Seiten in gleichem Bogenabstand parallel größere und kleinere in beliebiger Anzahl; die entstehenden Kreiszonen haben weder unter sich noch zum Ganzen ein rationales Verhältnis. Wenn man aber zwei solche Zonen, die vom medium divisionis gleichen Abstand haben sollen, zusammennimmt, dann ist diese Summe der nämliche Teil der Halbkreisfläche, den der Bogen zum Umfang ausmacht. So kann man also von der halben Halbkreisfläche einen beliebigen Bruchteil abschneiden. Der Beweis dafür ist folgender: Die Dreiecke aus den Radien und den um gleiche Bögen vom medium divisionis abstehenden Sehnen sind notwendig gleich. Das größte Dreieck ist dasjenige, das aus den Radien und der Sehne, die medium divisionis heißt, gebildet wird. Man kann eine Fläche auch so in Teilflächen auflösen, daß die Summe aus zwei solchen Teilflächen zur Ausgangsfläche kein rationales Verhältnis hat; dann nämlich, wenn die zum medium divisionis parallel gezogenen Sehnen von diesem medium um Bögen abstehen, die zum Umfang kein rationales Verhältnis haben. Daraus kannst Du alles Weitere nach Belieben ableiten.

3. Kapitel: Über die Verwandlung ron Körpern

Schließlich bleibt uns noch die Verwandlung von Körpern an Hand von Beispielen darzulegen. Körper werden in Körper verwandelt nach den schon bekannten Grundsätzen. Ein Quader wird folgendermaßen in einen Kubus überführt: Wenn die Grundfläche noch kein Quadrat ist, dann wird sie durch das geometrische Mittel aus ihren ungleichen Seiten quadriert. Zwischen die so gefundene Quadratseite und die Höhe des Körpers werden nach der dritten Prämisse zwei mittlere Proportionale eingeschoben. Ist die Höhe des Körpers größer als die Seite des Grundflächenquadrats, dann ist das kleinere Mittel die Seite des gesuchten Kubus; ist die Quadratseite größer als die Höhe, dann ist das größere Mittel die gesuchte Seite. Sind Quadratseite und Höhe gleich, dann war es schon ein Kubus. Wenn ein Zylinder gegeben ist, dann wird der Grundkreis quadriert und auf die eben behandelte Weise fortgefahren.

Wenn Du einen Kubus in eine Kugel verwandeln willst, so verwandle ein Seitenflächenquadrat des Kubus in einen Kreis. Dies ist dann der Größtkreis der gesuchten Kugel.

Wenn Du mehrere Kuben zu einem einzigen vereinigen willst, dann gehe so vor: Angenommen, die Kuben seien gleich. Eine Strecke gleich der Seite der Kuben nimm als die eine kleinere Linie, eine Strecke gleich der Summe aller Kubenseiten nimm als die andere größere Linie und schiebe nach der dritten Prämisse zwischen beide zwei mittlere Proportionale ein. Die kleinere der beiden gegebenen Strecken ist die Seite des Grundflächenquadrates, und daher ist die Aufgabe die nämliche, wie wir sie, den quadratischen Quader betreffend, schon behandelt haben.

Wenn Du zwei ungleiche Kuben zu einem einzigen vereinigen willst, so verwandle zuerst den kleineren Kubus in einen quadratischen Quader derart, daß eine Kante gleich der Seite des größeren Kubus wird, und zwar auf folgende Weise: Verlängere die Seite des größeren Kubus um die Seite des kleineren und suche zwischen beiden das geometrische Mittel; dann bestimme eine weitere Strecke als vierte Proportionale zur größeren Seite, zum geometrischen Mittel und zur kleineren Seite. Diese so gefundene Strecke ist die Seite des Grundflächenquadrates eines Quaders, der die Seite des größeren Kubus zur Höhe hat. Dies ergibt sich durch Umkehren des Verfahrens bei der Verwandlung des Quaders. Hernach suche ein Quadrat, das gleich ist der Summe aus dem Quadrat des größeren Kubus und dem Grundflächenquadrat des eben entstandenen Quaders, und vereinige den größeren Würfel mit dem Quader zu einem einzigen quadratischen Quader, dessen Grundseite länger ist als die ursprüngliche. Diesen Quader verwandle schließlich nach der schon gegebenen Regel in einen Kubus. Damit ist ein Weg gegeben, beliebig viele Kuben, gleichgültig ob sie gleich oder ungleich sind, zu einem einzigen zu vereinigen und schließlich in eine Kugel zu verwandeln. Ebenso kann man auch mehrere Kugeln zu einer einzigen vereinigen und in einen Kubus oder einen Quader verwandeln.

Wenn Du einen hohen Quader in einen niederen oder einen niederen in einen hohen verwandeln willst, dann verwandle ihn zuerst in einen Kubus, trage die Höhe, die der neue Körper haben soll, an, verlängere sie um die Seite des Kubus und bilde das geometrische Mittel und suche schließlich eine Größe, die zu diesen dreien in fortlaufender Proportion steht. Diese vierte Strecke ist die Seite des Grundflächenquadrates des Quaders mit der vorgeschriebenen

Höhe

Angenommen, Du willst aus mehreren Quadern mit gleicher oder ungleicher quadratischer Grundfläche einen einzigen quadratischen Quader von gegebener Höhe bilden. Haben sie alle die gleiche Grundfläche, dann nimm in Deiner Vorstellung diese Grundfläche, addiere die Höhen und verwandle diesen Quader in einen Kubus, den Kubus in einen quadratischen Quader von der gegebenen Höhe. Sind die Grundflächen ungleich, dann vereinige sie zu einem einzigen Quader, verwandle den Quader in einen Kubus und diesen nach Wunsch in einen hohen oder niedrigen Quader. Dabei ist aber Folgendes zu beachten: Wenn man einen Kubus in einen quadratischen Quader verwandeln soll, dessen Quadratseite größer ist als seine Höhe, dann verbinde die Grundkante [des gegebenen Kubus] mit der gegebenen kleineren Höhe und bilde das geometrische Mittel. Nunmehr kannst Du eine vierte Strecke finden, die sich zu diesem Mittel verhält wie die Kante des Kubus zur Höhe des gesuchten Körpers, und diese zuletzt gefundene Strecke wird die Seite des Grundflächenquadrates des Körpers, in den Du die anderen verwandeln wolltest. Wenn D u aber wolltest, daß die Höhe des gesuchten Körpers größer sei als die Quadratseite seiner Grundfläche, dann verlängere die Höhe um die Seite des Kubus, suche das geometrische Mittel, und die vierte fortlaufende Proportionale nach der Seite des Kubus ist die gesuchte Strecke.

Wenn Du aber eine Kugel in eine Pyramide verwandeln willst, dann mache die Grundfläche der Pyramide gleich der Oberfläche der Kugel und ihre Höhe gleich dem Halbmesser.

Angenommen, es stellt Dir einer die Aufgabe: Gegeben sind zwei Kugeln, von denen die größere doppelt so groß ist wie die kleinere. Verwandle sie in einen Zylinder. Die Zylinderhöhe sei der Durchmesser der größeren Kugel, die Grundfläche sei ihr Größtkreis. Dieser Zylinder ist gleich den beiden Kugeln. Ein Zylinder mit dem Durchmesser als Höhe und dem Größtkreis als Grundfläche ist ein und einhalbmal so groß wie die Kugel.

Solches mehr und was bei regelmäßigen Körpern mittels geometrischer Verwandlung von Figuren geschehen kann, magst Du Dir aus diesen Lehren selbst ableiten.