Werk:Dedomena/LXIV.
In einem stumpfwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Seite, die dem gegebenen stumpfen Winkel gegenüber liegt, größer als die Quadrate über den Seiten, die den stumpfen Winkel einschließen, zusammen und der Unterschied steht zum Dreieck in einem Verhältnis, das gegeben ist.
Wenn im stumpfwinkligen Dreieck ABC mit dem gegebenen stumpfen Winkel ABC die Seite BC um BD verlängert und im Punkt A die zu CD senkrechte AD errichtet wird, dann, sage ich, ist das Verhältnis des Unterschieds, um den das Quadrat über AC größer ist als die Quadrate über AB, BC zusammen, zum Dreieck ABC gegeben.
Denn, da der Winkel ABC gegeben ist, ist der Winkel ABD gegeben. Da auch der Winkel ADB gegeben ist, ist auch der übrige Winkel DAB in diesem Dreieck und somit seine Konfiguration gegeben. Damit ist das Verhältnis AD zu DB gegeben.
Das Verhältnis AD zu DB ist gleich dem Verhältnis des Rechtecks aus AD mit BC zum Rechteck aus DB mit BC und ist deshalb gegeben.
Also ist auch das Verhältnis des doppelten Rechtecks aus DB mit BC zum Rechteck aus AD mit BC gegeben.
Das Verhältnis des Rechtecks aus DA mit BC zum Dreieck ABC ist gegeben [wie Stoicheia I.41.], also ist das Verhältnis des doppelten Rechtecks aus DB mit BC zum Dreieck ABC gegeben.
Das Quadrat über AC ist um das doppelte Rechteck aus DB mit BC größer als die Quadrate über AB, BC zusammen [wie Stoicheia II.12.]. Deshalb ist sein Verhältnis zum Dreieck ABC gegeben.