Werk:Dedomena/LXXXVI.
Zwei Strecken, die einen angegebenen Winkel einschließen und eine angegebene Fläche ergeben, von denen das Quadrat über der einen um eine Größe, die zum Quadrat über der anderen in einem angegebenen Verhältnis steht, größer ist als das Quadrat über der anderen, sind gegeben.
Wenn die Fläche AC über den Strecken AB, BC gegeben ist, die den gegebenen Winkel ABC einschließen, und das Quadrat über CB um eine gegebene Größe, die zum Quadrat über BA in einem gegebenen Verhältnis steht, größer ist als das Quadrat über AB, dann, sage ich, ist sowohl AB wie BC gegeben.
Denn da das Quadrat über CB größer ist als das Quadrat über AB, sei es um das Rechteck aus CB mit BD größer; das Verhältnis des übrigen Rechtecks aus DC mit CB zum Quadrat über AB ist somit gegeben.
Das Rechteck aus AB mit BC und das Rechteck aus CB mit BD ist gegeben, also ist ihr Verhältnis gegeben.
Da sich das Rechteck aus AB mit BC zum Rechteck aus CB mit DB verhält wie AB zu BD, ist das Verhältnis AB zu BD und damit das Verhältnis des Quadrats über AB zum Quadrat über BD gegeben.
Da das Verhältnis des Quadrats über AB zum Rechteck aus BC mit CD gegeben ist, ist somit das Verhältnis des Rechtecks aus BC mit CD zum Quadrat über DB und damit das Verhältnis von vier Rechtecken aus BC mit CD zusammen mit dem Quadrat über BD zum Quadrat über BD gegeben.
Die vier Rechtecke aus BC mit CD zusammen mit dem Quadrat über BD sind gleich dem Quadrat über BC, CD zusammen [wie Stoicheia II.8.]. Somit ist das Verhältnis des Quadrats über BC, CD zusammen zum Quadrat über BD und somit das Verhältnis von BC, CD zusammen zu BD gegeben. Damit ist das Verhältnis CB zu BD gegeben [wie VI.].
Es verhält sich CB zu BD wie das Rechteck aus CB mit BD zum Quadrat über BD, womit das Verhältnis des Rechtecks aus CB mit BD zum Quadrat über BD gegeben ist. Das Rechteck aus CB mit BD ist gegeben, somit auch das Quadrat über BD und damit auch BD und deshalb auch BC.
Das Rechteck AC mit dem Winkel an B ist gegeben, also ist AB gegeben. Deshalb ist sowohl AB wie BC gegeben.