Werk:Dedomena/X.

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Ist eine Größe um eine angegebene Größe größer als die, die zu einer anderen in einem angegebenen Verhältnis steht, dann ist die Größe gegeben, um die sie zusammen mit der anderen größer ist als die, die im gegebenen Verhältnis zur anderen Größe steht
und
sind zwei Größen zusammen um eine angegebene Größe größer als die, die zu einer der beiden Größen in einem angegebenen Verhältnis steht, dann ist entweder die Größe gegeben, um die die eine der beiden Größen größer ist als die, die zur anderen im gegebenen Verhältnis steht, oder es ist die Größe gegeben, die um die eine der beiden Größen größer ist als die, die zur anderen im gegebenen Verhältnis steht.

Wenn die Größe AB größer ist als die Größe, die zu BC in einem gegebenen Verhältnis steht, dann, sage ich, ist die Größe gegeben, um die AC größer ist als die, die zu CB im gegebenen Verhältnis steht.

Denn ist AB größer als die Größe, die zu BC in einem gegebenen Verhältnis steht, dann sei sie um AD größer. Damit ist das Verhältnis der restlichen Größe AD zu CB das bereits gegebene Verhältnis.

Da die Größe BD gegeben ist, ist dann das Verhältnis CA zu CB gegeben, wobei CA um CD größer ist als AD, das zu CB im bereits gegebenen Verhältnis steht.

Ist aber AC um eine gegebene Größe größer als die, die zu CB in einem gegebenen Verhältnis steht, dann, sage ich, ist entweder die Größe gegeben, um die AB größer ist als die, die zu BC im gegebenen Verhältnis steht oder es ist die Größe gegeben, die um AB größer ist als die, die zu BC im gegebenen Verhältnis steht.

Denn ist AC um eine gegebene Größe größer als die Größe, die zu BC in einem gegebenen Verhältnis steht, dann kann diese Größe weggenommen werden, wobei die von AC verbleibende Größe entweder größer oder nicht größer ist als AB.

Ist sie nicht größer als AB, dann verbleibe die Größe DC, womit das Verhältnis der Größe zu BC gegeben ist.

Also ist DB die Größe, um die DC größer ist als die Größe CB, zu der DC im gegebenen Verhältnis steht.

Ist sie aber größer als AB, dann verbleibe die Größe EC, womit das Verhältnis EC zu CB und das umgekehrte Verhältnis BC zu CE gegeben ist.

Damit ist das Verhältnis BC zu BE und die Größe EB gegeben.

Deshalb ist BE die Größe, um die BC größer ist als die Größe EC, die zu BC im gegebenen Verhältnis steht.

Anmerkung:

Ist BD : BC gegeben:
ist AC = AD + DC und AC = AB + BC, dann ist AD + DC > BD + AB. Ist EC : BC gegeben:
ist AB + BC > BE + EC und AC = DC + AD, dann ist BC = BE + EC.