Werk:Dedomena/XXV.
Der Schnittpunkt zweier gegebener Geraden ist gegeben, wenn ihre Lage angegeben ist.
Wenn die Lagen der beiden, sich im Punkt E schneidenden Geraden AB, CD gegeben sind, dann, sage ich, ist der Punkt E gegeben. Denn wenn nicht, liegt der Punkt E an einem anderen Ort. Dann liegt auch eine der Geraden AB, CD wo anders, was nicht möglich ist. Deshalb ist der Punkt E gegeben.
Anmerkung:
Es ist nicht plausibel anzunehmen, dass Euklid zwar die Lage gegebener Punkte, Strecken, Geraden und Winkel zueinander korrekt behandelt, aber keine Möglichkeit gehabt habe, diese graphisch darzustellen. Apollonius aus Perga (ca. -250 bis -200), von dem bekannt ist, dass er in Alexandria lange mit den Nachfolgern des Euklid studierte, hat erste Angaben zu Koordinatensystemen veröffentlicht, die 1637 von René Descartes mit einer Koordinatenachse und 1649 von Frans van Schooten mit zwei Koordinatenachsen allgemein eingeführt wurden.
Ein Punkt P hat die Koordinaten P: (x; y).
Eine Gerade G hat dann die explizite Darstellung
G: y = m ∙ x + b, für alle x > 0.
Der Wert m heißt Steigung, der Wert b heißt y-Achsenabschnitt der Geraden G.
Da hier die Koordinaten als Werte ausschließlich positive rationale Zahlen annehmen, werden Gerade mit negativer Steigung als Strecken, die übrigen als Halbgerade oder Strahlen dargestellt.
Eine Strecke ist eine Gerade zwischen zwei Endpunkten.
Ist der eine Endpunkt A: (xA; yA) und der andere Endpunkt B: (xB; yB), dann ist die Strecke H: y = m ∙ x + b mit xA ≤ x ≤ xB.
Sind die Geraden
AB: y = mAB ∙ x + bAB und
CD: y = mCD ∙ x + bCD,
dann liegt der Schnittpunkt E auf der x-Koordinate x = (bCD – bAB) / (mAB – mCD) und auf jeder der beiden Geraden.