Werk:Stoicheia/Buch I./45. Lehrsatz
Ein Parallelogramm mit gegebenem Winkel errichten, das einer gegebenen gradlinigen Figur gleich ist.
Es seien das Polygon ABCD und der gradlinige Winkel E gegeben. Es soll ein der gradlinigen Figur ABCD gleiches Parallelogramm mit dem Winkel E errichtet werden.
Es ist DB zu ziehen und ein dem Dreieck ABD gleiches Parallelogramm FKHG mit dem Winkel HKF, der dem Winkel E gleich ist, zu errichten. Sodann ist an die Seite GH das dem Dreieck DBC gleiche Parallelogramm GHML mit dem Winkel GHM, der dem Winkel E gleich ist, anzufügen.
Der Winkel E ist gleich HKF und gleich GHM, somit ist der Winkel HKF gleich GHM. Beiden der gleiche Winkel KHG hinzugefügt, ist dann FKH und KHG zusammen gleich KHG und GHM zusammen.
Die Winkel FKH und KHG zusammen sind gleich zwei rechten, also sind auch KHG und GHM zusammen gleich zwei rechten.
Da GH im Punkt H mit KH und HM die Winkel nicht nach derselben Seite bildet, liegen KH und HM auf derselben Geraden.
Die Parallelen KM und FL werden von GH geschnitten, es sind deshalb die wechselseitigen Winkel MHG und HGF gleich. Beiden der gleiche Winkel HGL hinzugefügt, ist dann MHG und HGL zusammen gleich HGF und HGL zusammen.
Die Winkel MHG und HGL zusammen sind gleich zwei rechten, also sind auch HGF und HGL zusammen gleich zwei rechten.
FG und GL liegen deshalb auf derselben Geraden.
FK ist der HG gleich und parallel, auch HG ist der ML gleich und parallel, also ist auch KF der ML gleich und parallel.
Da sie die Strecken KM und FL an ihren Endpunkten verbinden, sind auch diese gleich und parallel. KFLM ist deshalb ein Parallelogramm.
Das Dreieck ABD ist gleich dem Parallelogramm GFKH und das Dreieck DBC gleich dem Parallelogramm GHML, damit ist ABCD gleich dem Parallelogramm KFLM.
Also ist das der gradlinigen Figur ABCD gleiche Parallelogramm KFLM mit dem Winkel FKM, der gleich E ist, errichtet, was auszuführen war.