Werk:Stoicheia/Buch I./46. Lehrsatz

Über einer geraden Strecke das Quadrat beschreiben.

Es sei eine gerade Strecke AB gegeben. Es soll das Quadrat über AB beschrieben werden.

Zu errichten ist auf AB im Punkt A die Senkrechte AC, auf ihr die Strecke AD gleich AB zu schneiden, parallel zu AB im Punkt D die Gerade DE zu ziehen und parallel zu AB in B die Gerade BE.

Das errichtete Parallelogramm ist ADEB, damit ist AB gleich DE, AD gleich DE, also auch AB gleich AD.

Somit sind BA, AD, DE und EB gleich und das Parallelogramm ADEB ist gleichseitig.

Ich sage, es ist auch rechtwinklig.

Die Parallelen AB und DE werden von AD geschnitten, also sind die gegenüber liegenden Winkel BAD und ADE zusammen gleich zwei rechten. Es ist aber BAD ein rechter Winkel, also auch ADE.

Ebenso sind die gegenüber liegenden ABE und BED rechte Winkel.

Also ist ADEB rechtwinklig; auch dass es gleichseitig ist, wurde gezeigt, weshalb es ein Quadrat ist.

Somit ist das Quadrat über der gegebenen Strecke AB ausgeführt, was aufgegeben war.