Werk:Stoicheia/Buch I./47. Lehrsatz
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite gleich den Quadraten über den Seiten zusammen, die ihn einschließen.
Wenn das Dreieck ABC den rechten Winkel BAC hat, dann sage ich, ist das Quadrat über BC gleich den Quadraten auf BA und AC zusammen.
Es ist auf BC das Quadrat BDEC zu errichten und auch auf BA und AC die Quadrate ABFG und AHKC.
Sodann ist durch A die zu BD und CE parallele AL und sind AD, AE, CF und BK zu ziehen.
Da die nebeneinander liegenden Winkel BAC und BAG rechte Winkel im Punkt A sind, die BA nicht nach derselben Seite gerichtet bildet, liegen CA und AG auf derselben Geraden.
Aus den gleichen Gründen liegen auch BA und AH auf derselben Geraden. Der Winkel DBC ist gleich FBA,
beiden der gleiche Winkel ABC hinzugefügt, ist der Winkel DBA gleich FBC.Es ist DB gleich BC und FB gleich BA, also sind die einen beiden Strecken DB und BA gleich den anderen beiden Strecken FB und BC.
AD ist somit gleich FC und das Dreieck ABD gleich FBC.
Das Parallelogramm BDLM ist das Doppelte des Dreiecks ABD, da beide auf derselben Grundseite BD errichtet sind und zwischen denselben Parallelen BD und AL liegen.
Das Quadrat AGFB ist das Doppelte des Dreiecks FBC, da sie auf derselben Grundseite FB errichtet sind und zwischen denselben Parallelen FB und GC liegen.
Das Dreieck FBC ist gleich ABD und somit ist das Parallelogramm BDLM gleich dem Quadrat AGFB.
Ebenso ist mit AE und BK zu zeigen, dass das Parallelogramm CELM gleich dem Quadrat KHAC ist.
Also ist das Quadrat BDEC gleich den Quadraten AGFB und KHAC zusammen.
BDEC ist auf BC errichtet, AGFB und KHAC auf BA und AC, womit das Quadrat über der Seite BC gleich den Quadraten über BA und AC zusammen ist.
Deshalb ist im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, gleich den Quadraten über den Seiten, die ihn einschließen, zusammen, was zu zeigen war.
Dazu der Kommentar des Commandinus *:
* „Dass dieser Lehrsatz dem Pythagoras zugeschrieben und behauptet wird, er habe ihn aufgestellt, ist den Doofen zu verdanken. Denn von Euklid wird er im sechsten Buch viel allgemeiner gefasst. Er zeigt nämlich, dass im rechtwinkligen Dreieck, die gradlinige Figur, die über der Seite, die den rechten Winkel überspannt, errichtet wird, den über den Seiten, die den rechten Winkel einschließen, ähnlich errichteten ähnlichen Figuren zusammen gleich ist.“: