Werk:Stoicheia/Buch II./5. Lehrsatz

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Ist eine Strecke an einem Punkt in zwei gleiche Teile geteilt und in einem anderen Punkt in zwei ungleiche Teile, dann sind das Rechteck, das die ungleichen Teile ergeben, und das Quadrat über der Strecke zwischen den teilenden Punkten zusammen gleich dem Quadrat über der halben Strecke.

Wenn die Strecke AB im Punkt C in zwei gleiche Teile geteilt wird und im Punkt D in zwei ungleiche Teile, dann, sage ich, ist das Rechteck, das AD mit DB ergibt, zusammen mit dem Quadrat über CD gleich dem Quadrat über CB.

Es ist das Quadrat CEFB über CB zu errichten, die Diagonale BE zu ziehen, sodann durch D die zu CE und BF parallele DG, durch H die zu AB und EF parallele KM, sowie durch A die zu CL und BM parallele AK zu legen.

Das Rechteck CDHL ist gleich dem Rechteck HMFG; beiden das gleiche Quadrat über DB hinzugefügt, ist dann das Rechteck CBML gleich dem Rechteck DBFG.

Das Rechteck CBML ist gleich dem Rechteck ACLK, denn AC ist gleich CB; beiden das gleiche Rechteck CDHL hinzugefügt, ist das Rechteck aus AD mit DH gleich dem Gnomon CBFH und,da DH gleich DB ist, auch gleich dem Rechteck aus AD mit DB.

Diesen beiden das gleiche Quadrat über LH, das dem Quadrat über CD gleich ist, hinzugefügt, ist das Rechteck aus AD mit DB zusammen mit dem Quadrat über CD gleich CBFE, da das Gnomon CBFH das Quadrat über LH zum Quadrat CBFE ergänzt. CBFE ist aber das Quadrat über CB.

Also ist das Rechteck aus AD mit DB zusammen mit dem Quadrat über CD gleich dem Quadrat über CB.

Deshalb ist bei einer Strecke, die in einem Punkt in zwei gleiche und in einem anderen Punkt in zwei ungleiche Teile geteilt ist, das Rechteck, das die ungerade Teile ergeben, zusammen mit dem Quadrat über der Strecke der teilenden Punkte gleich dem Quadrat über der halben Strecke, was zu zeigen war.