Werk:Stoicheia/Buch II./4. Lehrsatz

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Wird eine Strecke in zwei geteilt, dann ist das Quadrat über der ganzen Strecke gleich den Quadraten über den Teilen und dem doppelten Rechteck, das die Teile ergeben, zusammen.

Wenn die Strecke AB in C geteilt ist, dann, sage ich, ist das Quadrat über AB gleich den Quadraten über AC und CB und dem doppelten Rechteck aus AC und CB zusammen.

Denn wird über AB das Quadrat ADEB errichtet, BD gezogen, durch C die zu AD und EB parallele CF und durch G die zu AB und DE parallele HK gezogen, dann ist an den Parallelen CF und AD, die von BD geschnitten werden, der äußere Winkel CGB gleich dem innen gegenüber liegenden Winkel ADB.

Es ist der Winkel ADB gleich ABD, denn BA ist gleich AD und der Winkel CGB gleich GBC.

Da BC gleich CG ist, sind auch CB und GK gleich, sowie CG und KB. Also ist das Viereck CGKB gleichseitig.

Ich sage, es ist auch rechtwinklig.

Da CG parallel zu BK ist, sind die Winkel KBC und GCB zusammen gleich zwei rechten.

Also ist KBC ein rechter Winkel, ebenso wie BCG. Die gegenüber liegenden Winkel CGK und GKB sind rechte Winkel, also ist CGKB eine Rechteck und weil auch gleichseitig, ein Quadrat, das über CB errichtet ist.

Aus den gleichen Gründen ist auch HDFG ein Quadrat, das über HG, das gleich AC ist, errichtet ist.

Die Quadrate HDFG und CGKB sind deshalb gleich den Quadraten über AC und CB.

Das Rechteck AHGC ist gleich GFEK.

AHGC ergibt sich aus AC mit CB, also ergibt sich auch HFEK aus AC mit CB.

Somit sind AHGC und GFEK zusammen gleich dem Doppelten des Rechtecks aus AC mit CB.

Es sind damit HDFG, CGKB, AHGC und GFEK zusammen gleich den Quadraten über AC und CB und dem Doppelten des Rechtecks aus AC mit CB zusammen.

Es sind aber HDFG, CGKB, AHGC und GFEK zusammen ADEB und dies ist das Quadrat über AB.

Das Quadrat über AB ist deshalb gleich den Quadraten über AC und CB und dem Doppelten des Rechtecks aus AC und CB zusammen.

Deshalb ist das Quadrat über einer zweigeteilten Strecke gleich den Quadraten über den Teilen und dem doppelten Rechteck, das die Teile ergeben, was zu zeigen war.