Werk:Stoicheia/Buch III./11. Lehrsatz

Berühren sich zwei Kreise von innen, dann geht die Gerade durch die beiden Mittelpunkte durch den Berührpunkt.

Wenn sich zwei Kreise ABC und ADE sich von innen im Punkt A berühren, wobei ABC den Mittelpunkt F und ADE den Mittelpunkt G hat, dann, sage ich, geht die Gerade durch G und F auch durch den Berührpunkt A.

Denn geht sie nicht durch A, sondern durch einen davon verschiedenen Punkt H, dann kann FGH, sowie AF und AG gezogen werden.

Im Kreis ABC ist dann FA gleich FH. Da AG und GF zusammen größer als FA sind, sind dann AG und FG zusammen auch größer als FH.

Beidem das gleiche FG weggenommen, ist dann AG größer als GH. Im Kreis ABC ist AG gleich GD, also ist dann GD größer als GH, die kleinere größer als die größere, was nicht möglich ist.

Also geht die Gerade durch F und G durch keinen anderen Punkt als A, in dem sich die Kreise berühren.

Deshalb geht die Gerade durch die Mittelpunkte zweier Kreise, die sich von innen berühren, durch den Berührpunkt, was zu zeigen war.