Werk:Stoicheia/Buch III./10. Lehrsatz
Ein Kreis schneidet einen anderen in nicht mehr als zwei Punkten.
Wenn andernfalls der Kreis ABC den Kreis DEF in mehr als zwei Punkten, nämlich in B, G, F und H schneidet, dann sind BH und BG zu ziehen und in K und L in zwei gleiche Teile zu teilen, auf BH und BG in K und L die Senkrechten KC und LM zu errichten, die in A und E die Kreise schneiden.
Da im Kreis ABC die BH von AC rechtwinklig in zwei gleiche Teile geteilt wird, liegt der Mittelpunkt auf AC. Da im Kreis ABC auch die BG von NP rechtwinklig in zwei gleiche Teile geteilt wird, liegt der Mittelpunkt auch auf NP.
Da AC und NP keinen anderen Punkt gemeinsam haben als O, ist O dann der Mittelpunkt des Kreises ABC.
Auf gleiche Weise kann gezeigt werden, dass O dann auch Mittelpunkt des Kreises DEF ist.
Die sich schneidenden Kreise ABC und DEF haben dann den gemeinsamen Mittelpunkt O, was nicht möglich ist.
Deshalb schneidet ein Kreis einen anderen in nicht mehr als zwei Punkten, was zu zeigen war.