Werk:Stoicheia/Buch III./14. Lehrsatz
Gleiche Sehnen sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt und vom Mittelpunkt gleich weit entfernte Sehnen sind gleich.
Wenn im Kreis ABCD die Sehnen AB und CD gleich sind, dann, sage ich, sind AB und CD gleich weit vom Mittelpunkt des Kreises entfernt.
Denn ist E der Mittelpunkt des Kreises ABCD und werden von E die Senkrechten EF und EG auf AB und CD errichtet, dann sind AE und EC zu ziehen.
Da EF durch den Mittelpunkt geht und auf AB, die nicht durch den Mittelpunkt geht, mit rechten Winkeln steht, wird AB in F in zwei gleiche Teile geteilt und es ist AF gleich FB. Also ist AB gleich der doppelten AF. Aus den gleichen Gründen ist CD gleich der doppelten CG. Es ist AB gleich CD und damit AF gleich CG.
Da AE gleich EC, ist auch das Quadrat über AE gleich dem Quadrat über EC. Da AFE ein rechter Winkel ist, sind die Quadrate über AF und FE zusammen gleich dem Quadrat über AE.
Ebenso sind, da CGE ein rechter Winkel ist, die Quadrate über EG und GC zusammen gleich dem Quadrat über EC.
Also sind die Quadrate über AF und FE zusammen gleich den Quadraten über EG und GC zusammen.
Da AF gleich CG, ist das Quadrat über AF gleich dem Quadrat über CG. Also ist das Quadrat über FE gleich dem Quadrat über EG und damit auch FE gleich EG.
Sind die auf zwei Sehnen errichteten Senkrechten durch den Mittelpunkt gleich, dann sind die Sehnen gleich weit vom Mittelpunkt entfernt, somit sind AB und CD gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.
Sind nun AB und CD gleich weit vom Mittelpunkt entfernt, sind also EF und EG gleich, dann, sage ich, ist AB gleich CD.
Wie bereits gezeigt, ist AB gleich der doppelten AF und CD gleich der doppelten CG.
Da AE und CE gleich sind, sind auch die Quadrate über AE und CE gleich.
Es sind die Quadrate über EF und FA zusammen gleich dem Quadrat über AE, auch sind die Quadrate über EG und GC zusammen gleich dem Quadrat über EC.
Also sind die Quadrate über EF und FA zusammen gleich den Quadraten über EG und GC zusammen.
Da das Quadrat über EF gleich dem über EG ist, ist auch EF gleich EG. Ebenso ist auch das Quadrat über AF gleich dem über CG und somit AF gleich CG.
Weil AB gleich dem doppelten AF ist und CD gleich dem doppelten CG, ist AB gleich CD.
Deshalb sind gleiche Sehnen gleich weit vom Mittelpunkt entfernt und sind Sehnen gleich, die gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind, was zu zeigen war.