Werk:Stoicheia/Buch III./15. Lehrsatz
Unter den Strecken im Kreis ist der Durchmesser die größte und unter den Sehnen ist diejenige, die dem Mittelpunkt näher ist, größer als die entferntere.
Wenn im Kreis ABCD mit dem Mittelpunkt E und dem Durchmesser AD die Sehne BC näher dem Mittelpunkt liegt als die entferntere FG, dann, sage ich, ist AD die größte Strecke im Kreis und BC größer als FG.
Es sind vom Mittelpunkt E auf BC und FG die senkrechten EH und EK zu errichten.
Da BC näher am Mittelpunkt liegt als FG, ist EK größer als EH.
Wird auf KE im Punkt L, so dass EL gleich EH ist, die Senkrechte LM errichtet und bis N verlängert, dann sind ME, EN, FE und EG zu ziehen.
Da EH gleich EL ist, ist BC gleich MN.
Da die Radien AE und EM, sowie ED und EN gleich sind, ist AD gleich ME und EN zusammen.
ME und EN zusammen sind größer als MN, wobei MN gleich BC ist, also ist AD größer als BC.
Da die Seiten ME und EN den Seiten FE und EG gleich sind, ist der Winkel MEN größer als FEG und damit ist MN größer als FG. MN ist gleich BC, somit ist BC größer als FG. AD aber ist die größte Strecke.
Deshalb ist der Durchmesser im Kreis die größte Strecke und ist unter den Sehnen diejenige, die dem Mittelpunkt näher ist, größer als die entferntere, was zu zeigen war.