Werk:Stoicheia/Buch III./3. Lehrsatz
Teilt eine durch den Mittelpunkt gehende Gerade den Abschnitt einer schneidende Gerade, die nicht durch den Mittelpunkt geht, zwischen den Schnittpunkten in zwei gleiche Teile, dann bildet sie mit ihr rechte Winkel und bildet sie rechte Winkel, dann teilt sie den Abschnitt einer schneidende Gerade zwischen den Schnittpunkten, nämlich die Sehne, in zwei gleiche Teile.
Wenn in einem Kreis ABC die durch den Mittelpunkt gehende Gerade CD die Sehne AB, die nicht durch den Mittelpunkt geht, in zwei gleiche Teile teilt, dann, sage ich, schneidet sie rechtwinklig.
Es ist der Mittelpunkt des Kreises ABC zu suchen; es sei dies E, und EA und EB zu ziehen. Da AF und FB gleich sind und die Seite FE gemeinsam haben, auch EA und EB gleich sind, sind auch die Winkel AFE und BFE gleich.
Wenn eine auf einer anderen errichteten Strecke gleiche Winkel mit ihr bildet, dann sind dies rechte Winkel. Also sind AFE und BFE rechte Winkel.
Deshalb teilt die Gerade CD, die durch den Mittelpunkt geht, die Sehne AB in zwei gleiche Teile und schneidet sie rechtwinklig.
Wenn die CD die AB rechtwinklig schneidet, dann, sage ich, teilt sie auch in zwei gleiche Teile AF und FB. Da EA gleich EB ist, sind die Winkel EAF und EBF gleich. Es sind nun auch die Winkel AFE und BFE gleich.
In den Dreiecken EAF und EFB sind also zwei Winkel und eine gemeinsame Seite, die dem gleichen Winkel gegenüber liegt, gleich und damit sind auch die übrigen Seiten und Winkel gleich. Also ist AF gleich FB.
Deshalb schneidet eine durch den Mittelpunkt gehende Gerade eine Sehne rechtwinklig, wenn sie die Sehne in zwei gleiche Teile teilt und sie teilt in zwei gleiche Teile, wenn sie rechtwinklig schneidet, was zu zeigen war.