Werk:Stoicheia/Buch III./4. Lehrsatz
Schneiden sich zwei Sehnen, die nicht durch den Mittelpunkt gehen, sind sie dadurch nicht beide in zwei gleiche Teile geteilt.
Wenn im Kreis ABCD die beiden Sehnen AC und BD nicht durch den Mittelpunkt gehen und sich im Punkt E schneiden, dann, sage ich, sind sie dadurch nicht beide in zwei gleiche Teile geteilt.
Denn wenn sie beide in zwei gleiche Teile geteilt sind, dann ist AE gleich EC und BE gleich ED. Es sei der Mittelpunkt des Kreises F und es ist FE zu ziehen.
Da eine Gerade, die durch den Mittelpunkt geht und eine Sehne, die nicht durch den Mittelpunkt geht, in zwei gleiche Teile teilt, diese rechtwinklig teilt, teilt FE, die durch den Mittelpunkt geht, die Sehne AC, die nicht durch den Mittelpunkt geht, in zwei gleiche Teile und mit rechten Winkeln. FEA ist dann ein rechter Winkel.
Da dann auch BD in zwei gleiche Teile geteilt wird, ist auch FEB ein rechter Winkel.
Also ist dann FEA gleich FEB, der kleinere gleich dem größeren, was nicht möglich ist. Also sind AC und BD hierbei nicht beide in zwei gleiche Teile geteilt.
Deshalb sind zwei sich schneidende Sehnen, die nicht durch den Mittelpunkt gehen, dadurch nicht beide in zwei gleiche Teile geteilt, was zu zeigen war.