Werk:Stoicheia/Buch III./32. Lehrsatz
Schneidet eine Gerade einen Kreis, dann ist ihr Winkel mit der Tangente im Schnittpunkt gleich dem der schneidenden Strecke gegenüber liegenden Winkel im Sehnendreieck, das über der schneidenden Strecke gegenüber errichtet ist.
Wenn die Gerade EF den Kreis ABCD im Punkt B berührt und eine Gerade durch B und D den Kreis ABCD schneidet, dann, sage ich, ist der von EF und BD gebildete Winkel gleich dem der BD gegenüber liegenden Winkel im Dreieck, das auf BD mit einem Punkt auf dem Kreisbogen gegenüber errichtet ist, also der Winkel FBD gleich BAD und der Winkel EBD gleich DCB.
Denn wird auf EF in B die Senkrechte BA errichtet, AD gezogen und zu einem Punkt C auf dem Kreisbogen BD die Strecken DC und CB gezogen, dann liegt auf dem Durchmesser BA der Mittelpunkt des Kreises ABCD.
Da der Winkel ADB im Halbkreis über BA liegt und ein rechter ist, sind die übrigen Winkel BAD und ABD zusammen gleich einem rechten Winkel.
Da ABF ein rechter Winkel ist, ist ABF gleich BAD und ABD zusammen. Beidem der gleiche Winkel ABD weggenommen, ist DBF gleich dem Winkel BAD, der der schneidenden Strecke gegenüber liegt.
Da im Sehnenviereck ABCD gegenüber liegende Winkel zusammen gleich zwei rechten sind und auch DBF und DBE zusammen gleich zwei rechten Winkeln sind, sind DBF und DBE zusammen gleich BAD und BCD zusammen.
Der Winkel DBF ist, wie gezeigt, gleich BAD und damit ist DBE gleich dem Winkel DCB, der der schneidenden Strecke gegenüber liegt.
Deshalb ist der, der schneidenden Strecke gegenüber liegende, Winkel im Sehnendreieck, das auf der schneidenden Strecke gegenüber errichtet ist, gleich dem Winkel den die Schneidende mit der Tangente im Schnittpunkt bildet, was zu zeigen war.