Werk:Stoicheia/Buch III./33. Lehrsatz
Auf einer Strecke einen Kreisabschnitt mit gegebenem Winkel errichten.
Es seien eine Strecke AB und ein Winkel im Punkt C gegeben. Es soll ein Kreisabschnitt auf AB errichtet werden, dessen Winkel gleich dem in C ist.
Im Punkt C ist ein spitzer Winkel, ein rechter Winkel oder ein stumpfer Winkel gegeben.
Ist es ein spitzer Winkel, dann ist an AB im Punkt A der Winkel BAD anzulegen, der gleich dem in C ist, auf AD im Punkt A die Senkrechte AE zu errichten, AB im Punkt F in zwei gleiche Teile zu teilen, auf AB im Punkt F die Senkrechte FG zu errichten und GB zu ziehen.
Da AF und FB gleich sind und an der Strecke FG liegen, sind die beiden Stecken AF und FG gleich den beiden Stecken BF und FG und da der Winkel AFG gleich BFG ist, ist AG gleich BG. Der um G mit dem Radius GA beschriebene Kreis durch B sei ABE und es ist EB zu ziehen. Die Gerade DA ist Tangente am Kreis ABE im Punkt A, und steht senkrecht auf dem Durchmesser in A.
Da der Winkel einer Tangente mit einer Sehne im Berührpunkt gleich demjenigen ist, der im auf der Sehne gegenüber errichteten Sehnendreieck der Sehne gegenüber liegt, ist der Winkel DAB gleich AEB.
AEB ist damit gleich dem Winkel im Punkt C und ist der Winkel des Kreisabschnitts AEB.
Ist der im Punkt C gegebene Winkel ein rechter und ist über AB ein Kreisabschnitt zu errichten, dessen Winkel gleich dem in C ist, dann ist an AB im Punkt A der rechte Winkel BAD, der dem in C gleich ist, anzulegen, AB im Punkt F in zwei gleiche Teile zu teilen und im Punkt F mit dem Radius FA, der gleich FB ist, der Kreis AEB zu schlagen.
Da DA eine Tangente an den Kreis AEB im Punkt A ist, die senkrecht auf dem Durchmesser AB steht, und durch deren Berührpunkt A die Sehne AB geht, ist der Winkel BAD gleich dem gegenüber liegenden Winkel im auf AB gegenüber errichteten Sehnendreieck und damit gleich AEB.
Der Winkel BAD ist gleich dem in C, deshalb ist auch der Winkel AEB gleich dem in C. Also ist der Winkel des auf AB errichteten Kreisabschnitts AEB gleich dem in C.
Ist der im Punkt C gegebene Winkel ein stumpfer Winkel und ist an AB im Punkt A der, dem in C gleiche, Winkel BAD anzulegen, auf AD im Punkt A die Senkrechte AE zu errichten, AB im Punkt F in zwei gleiche Teile zu teilen, dort die Senkrechte FG zu errichten und GB zu ziehen.
Da AF und FB gleich sind und an der gleichen Strecke FG liegen, sind die beiden Strecken AF und FG gleich den beiden Strecken BF und FG, und da die Winkel AFG und BFG gleich sind, sind auch AG und BG gleich. Es ist um den Punkt G mit Radius GA der Kreis AEB zu beschreiben.
Den Kreis AEB schneidet im Punkt A die Sehne AB und berührt die Tangente AD, die senkrecht auf dem Durchmesser AE steht.
Somit ist der Winkel DAB, der gleich dem in C ist, gleich dem im, auf AB gegenüber errichteten, Sehnendreieck AHB gegenüber liegenden Winkel AHB.
Also ist der Winkel des auf AB errichteten Kreisabschnitts AHB gleich dem in C, was auszuführen war.