Werk:Stoicheia/Buch III./8. Lehrsatz
Unter den Geraden, die von einem Punkt außerhalb eines Kreises durch den Kreis gelegt werden, ist die Strecke, die die Kreislinie vom Punkt aus von innerhalb des Kreises trifft, auf der am größten, die durch den Mittelpunkt geht, unter den andern ist die Strecke auf der ihr näheren größer und auf der entfernteren kleiner. Die Strecke, die die Kreislinie vom Punkt aus von außen trifft, aber ist auf der Geraden durch den Mittelpunkt am kleinsten und unter den andern ist diese Strecke auf der ihr näheren kleiner und die auf der entfernteren größer, und nur jeweils eine Strecke ist unter ihnen, die größer als die kleinste sind, einer anderen gleich.
Wenn vom Punkt D außerhalb eines Kreises ABC die Geraden DA, DE, DF, DC durch den Kreis gelegt sind und DA durch den Mittelpunkt geht, dann, sage ich, unter den Strecken zu den Punkten A, E, F und C ist DA die größte und unter den anderen sind diejenigen größer, die DA näher sind, dass also DE größer ist als DF und DF größer als DC, aber unter den Strecken außerhalb des Kreises zu den Punkten G, K, L und H ist DG die kleinste und unter den anderen sind diejenigen kleiner, die DG näher sind und größer diejenigen, die entfernter sind, dass also DK kleiner ist als DL und DL kleiner als DH.
Es sind zunächst vom Mittelpunkt M des Kreises ABC aus die Strecken ME, MF, MC, MG, MK und ML zu ziehen.
Es ist AM gleich EM und, beiden das gleiche MD hinzugefügt, AD gleich EM und MD zusammen.
Da EM und MD zusammen größer sind als ED ist AD größer als ED.
ME ist gleich MF und, beiden das gleiche MD hinzugefügt, sind die einen beiden Strecken EM und MD gleich den andern FM und MD; da der Winkel EMD größer ist als FMD, ist ED größer FD.
Auf gleiche Weise ist zu zeigen, dass FD größer als CD ist. Also ist DA die größte Strecke und unter den anderen ist DE größer als DF und DF größer als DC.
Da MK und KD zusammen größer sind als MD, und MG und MK gleich sind, ist, beidem das gleiche MG weggenommen, KD größer als DG, somit ist GD kleiner als KD.
Da die Dreiecke MLD und MKD die Seite MD gemeinsam haben und MK und KD zusammen kleiner sind als ML und LD zusammen, wobei MK gleich ML ist, ist DK kleiner als DL.
Auf gleiche Weise ist zu zeigen, dass DL kleiner ist als DH.
Also ist DG die kleinste Strecke und unter den anderen ist DK ist kleiner als DL und DL ist kleiner als DH.
Ich sage auch, vom Punkt D zu einem Punkt auf der Kreislinie gezogen, ist nur jeweils eine Strecke einer anderen, die größer als DG ist, gleich.
Wird an MD im Punkt M der dem Winkel KMD gleiche Winkel DMB angelegt und DB gezogen, dann ist MK gleich MB. Mit der gemeinsamen Seite MD sind die beiden Seiten KM und MD gleich den beiden Seiten BM und MD. Da die Winkel KMD und DMB gleich sind, sind auch KD und DB gleich.
Ich sage sodann, keine andere Strecke von D zu einem Punkt auf der Kreislinie ist gleich DK.
Denn ist es eine andere, dann sei DN diese Strecke.
Da dann DK gleich DN ist und DK gleich DB, ist DB gleich DN, die nähere zu DH gleich der entfernteren, was nicht möglich ist.
Also ist keine andere Strecke vom Punkt D zu einem Punkt auf der Kreislinie ABC gleich DK.
Deshalb ist unter den Geraden, die von einem Punkt außerhalb eines Kreises durch den Kreis gelegt werden, die Strecke, die die Kreislinie vom Punkt aus von innen trifft, auf der am größten, die durch den Mittelpunkt geht, unter den andern ist diese Strecke auf der, der größten, näheren größer und auf der entfernteren kleiner. Die Strecke, die die Kreislinie vom Punkt aus von außen trifft, aber ist auf der Geraden durch den Mittelpunkt am kleinsten und unter den andern ist diese Strecke auf der ihr näheren kleiner und die auf der entfernteren größer, und nur jeweils eine Strecke ist unter ihnen, die größer als die kleinste sind, einer anderen gleich, was zu zeigen war.