Werk:Stoicheia/Buch III./9. Lehrsatz
Gehen von einem Punkt innerhalb eines Kreises mehr als zwei gleiche Strecken zu Punkten auf der Kreislinie, dann ist dieser Punkt der Mittelpunkt.
Wenn von einem Punkt D im Kreis ABC mehr als zwei gleiche Strecken, nämlich DA, DB und DC, zu den Punkten A, B und C auf der Kreislinie gehen, dann, sage ich, ist D der Mittelpunkt des Kreises ABC.
Es sind die Strecken AB und BC zu ziehen und in zwei gleiche Teile in den Punkten E und F zu teilen, sodann durch E, D und F, D die Geraden KG und HL zu legen.
Da AE und EB gleich sind und an der gleichen Strecke ED liegen, sind die Seiten AE und ED gleich den BE und ED. Da DA gleich DB ist, sind die Winkel AED und BED gleich und damit rechte Winkel. Also teilt GK die Strecke AB rechtwinklig in zwei gleiche Teile.
Auf der Strecke, die eine andere im Kreis rechtwinklig in zwei gleiche Teile teilt, liegt der Mittelpunkt, somit auf GK.
Auf gleiche Weise ist zu zeigen, dass der Mittelpunkt des Kreises ABC auch auf HL liegt.
Da GK und HL keinen anderen Punkt gemeinsam haben als D, ist D der Mittelpunkt des Kreises ABC.
Deshalb ist der Punkt, von dem aus im Kreis mehr als zwei gleiche Strecken zu Punkten auf der Kreislinie gehen, der Mittelpunkt des Kreises, was zu zeigen war.