Werk:Stoicheia/Buch IX./20. Lehrsatz

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Die Anzahl der Primzahlen ist größer als jede Zahl, die vorgelegt wird.

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Wenn A, B, C Primzahlen sind, dann, sage ich, ist die Anzahl der Primzahlen größer als die Anzahl der A, B, C.

Denn zu A, B, C sei ED das kleinste gemeinsame Vielfache [wie VII.38.].

Die Summe aus ED und der Einheit DF sei EF.

Es ist dann EF Primzahl oder nicht.

Ist EF Primzahl, dann ist die Anzahl der Primzahlen A, B, C, EF größer als die der A, B, C.

Ist EF keine Primzahl, dann ist EF Vielfache einer Primzahl G [wie VII.34.].

Ich sage, G ist verschieden von A, B, C.

Denn wenn nicht, ist, da A, B, C Teiler von ED sind, auch G Teiler von ED.

Da G Teiler von EF ist, ist dann G auch Teiler der Einheit DF, was nicht möglich ist.

Also ist G verschieden von A, B, C.

Da G Primzahl ist, ist die Anzahl der Primzahlen A, B, C, G größer als die der A, B, C, was zu zeigen war.