Werk:Stoicheia/Buch IX./3. Lehrsatz

Eine Kubikzahl mit sich multipliziert ergibt eine Kubikzahl.

Ist eine Kubikzahl A mit sich multipliziert gleich B, dann, sage ich, ist B eine Kubikzahl.

Denn ist zur Kubikzahl A die Grundzahl C und C multipliziert mit sich gleich D, dann ist C multipliziert mit D gleich A. D ist so oft Vielfache von C wie C Vielfache der Eins, deshalb verhält sich die Eins zu C wie C zu D.

Da D multipliziert mit C gleich A ist, ist A so oft Vielfache von D wie C von Eins. Also verhält sich die Eins zu C wie D zu A und es verhält sich die Eins zu C wie C zu D und wie D zu A.

Also sind zwischen Eins und A zwei Zahlen zu einer fortlaufend gleichen Proportion eingefügt.

Da nun A multipliziert mit sich gleich B ist, ist B so oft Vielfache von A wie A von Eins, also verhält sich die Eins zu A wie A zu B. Da die Eins und A mit zwei Zahlen zu einer fortlaufend gleichen Proportion ergänzt werden können, können auch A und B mit zwei Zahlen zu einer fortlaufend gleichen Proportion ergänzt werden. Können zwei Zahlen mit zwei Zahlen zu einer fortlaufend gleichen Proportion ergänzt werden und ist die erste eine Kubikzahl, dann ist auch die zweite eine Kubikzahl. A ist eine Kubikzahl.

Deshalb ist auch B eine Kubikzahl, was zu zeigen war.

Anmerkung:

Ist gegeben $A = C^{3}$ , $D = C^{2}$ , dann ist $C \cdot D = A$ , und $1 : C = C : D$ . Da $1 : C = D : A$ ist $1 : C : D : A$ .

Da $A \cdot A = B$ ist $1 : A = A : B$ .

Da $1 : A$ mit zwei Zahlen zu einer geometrischen Reihe ergänzt werden kann (Satz VIII.8), kann auch A : B mit zwei Zahlen zu einer geometrischen Reihe ergänzt werden.

Da $A$ eine Kubikzahl ist, ist auch $B$ eine Kubikzahl (Satz VIII.23). $(C^{3})^{2} = (C^{2})^{3}$ .