Werk:Zur Geschichte der griechischen Mathematik/Vorwort

1.

Wer über die Stellung nachdenkt, die die Geschichte der Mathematik im Kreise der historischen Wissenschaften einnimmt, der kann die sonderbare Eigenart des Gegenstands der geschichtlichen Betrachtung, die hier ins Werk zu setzen ist, nicht verkennen. Denn er steht vor der paradoxen Tatsache, daß es hier um die Geschichte eines seinem inneren Wesen nach nichtgeschichtlichen Sachgebiets geht. Es ist ein alter und wohl endgültig überhaupt gar nicht zu schlichtender Streit, ob die mathematischen Gebilde entdeckt oder bloß erfunden werden, ob sie, wie Platon meinte, den Ideen verwandt, in Ewigkeit, erhaben über die Zeit, die sich in der Geschichte „zeitigt“, ihre stilles, schicksalloses Wesen haben oder ob sie im Grunde Schöpfungen des menschlichen Geistes sind, die wie alle anderen derartigen Kulturgebilde aufbrechen, erblühen und — verwelken, um anderen Gestalten Platz zu machen.

Als Oswald Spengler gegen Ende des Ersten Weltkriegs sein damals sehr erregendes, heute bereits halbvergessenes Buch „Der Untergang des Abendlands“ (München 1918) erscheinen ließ, hieß das erste Kapitel des Werks „Vom Sinn der Zahlen“. Und es wurde darin die Ansicht vertreten und in gewissem Sinne auch triftig begründet, daß es im Laufe der Geschichte gänzlich verschiedene Mathematiken gegeben habe. Er nannte die griechische Euklidische Geometrie, die arabische Algebra und die abendländische Theorie der Funktionen ; die vorgriechische, besonders die babylonische Mathematik war zum größten Teil noch unentdeckt und fiel jedenfalls nicht in Spenglers Gesichtskreis. Der Geometrie, Algebra, Funktionentheorie wurde der Euklidische, magische, faustische Mensch zugeordnet, kenntlich z. B. an ihren Architekturformen: dem griechischen Tempel als plastischem Gebilde, der arabischen Moschee als hohlem Innenraum und dem abendländischen Dom als einem funktionellen, nicht unmittelbar sichtbaren Zusammenhang, der weder vom Äußeren noch vom Inneren allein aus eigentlich verstanden werden kann.

Der Enthusiasmus, mit dem diese Gedanken vor fast einem halben Jahrhundert aufgenommen wurden, ist längst verklungen; aber man tut vielleicht gut, sich noch einmal an sie zu erinnern. Denn es wird hier doch ein Problem zum Greifen sichtbar, das sich auch heute noch stellt: Wie ist eigentlich Mathematikgeschichte möglich, und welches ist ihre wahre Bedeutung?

In einer berühmten Szene des platonischen Dialogs „Menon“ (82 B—86 A) wird im Gespräch des Sokrates mit dem Sklaven des Menon gewissermaßen eine Schulstunde in elementarer Geometrie vorgeführt, wie sie ähnlich in der damaligen Zeit wirklich verlaufen mochte. Durch geschickte Fragen bringt Sokrates den Schüler dahin, von sich aus, die Erkenntnisse „aus sich selbst heraucholend“ auf die Lösung des Problems, der Konstruktion eines Quadrats, das genau doppelt so groß ist wie ein vorgegebenes Quadrat, zu kommen. Das wird von Platon dahin gedeutet, daß sich der ganz ungebildete Sklave an ein Wissen erinnert, das er vor seiner Geburt, in einem Leben seiner Seele vor diesem unserem — geschichtlichem — Leben erhalten habe. Das ist Platons Ausdruck für das „a priori“, das „vom Früheren (Leben) her“, das uns in der Mathematik entgegentritt. Wir stehen hier vor einer philosophischen Entdeckung ersten Ranges, der Entdeckung des apriorischen Charakters der Mathematik.

Aber diese Rechnung geht nicht ganz auf: An der entscheidenden Stelle des Beweises (85 A) wird eine Hilfslinie, die Diagonale eines gegebenen Quadrats, gezogen; darin liegt gerade der „springende Punkt“, der eigentlich schöpferische Gedanke der ganzen Betrachtung. Und auf diese Hilfslinie kommt der Sklave nicht „aus der Erinnerung“, sondern der in der Geometrie erfahrene Lehrer Sokrates zeichnet sie ein und teilt dadurch dem Schüler den entscheidenden Gedanken mit — eine Gesprächswendung, die von seinen vielen Interpreten, soviel mir bekannt, noch niemals beachtet wurde.

Aber in diesem unscheinbaren Umstand tritt wiederum etwas sehr Wesentliches zutage: der Einfluß der geschichtlichen Tradition auch in der Mathematik, das Wissen des Älteren, der den Jüngeren belehrt.

In der Tat hat auch die Mathematik eine Geschichte. Möge man über die Frage der „Entdeckung“ oder „Erfindung“ mathematischer Gebilde denken, wie man will, die Entdeckungen oder Erfindungen auf mathematischem Gebiet erfolgen jede einzelne zu einer bestimmten Zeit, und zwar nicht alle gleichzeitig, sondern jede zu ihrer Zeit, d. h. in einem ihr zugehörigen geschichtlichen Augenblick. Mögen die mathematischen Gebilde selbst geschichtslos sein, ihre Entdeckung ist es jedenfalls nicht; sie gehört der Geschichte an, nicht weniger als eine künstlerische Schöpfung, eine Dichtung, aber auch eine Stadtgründung oder eine entscheidende Schlacht.

Allerdings unterscheidet sich der mathematische Satz in seiner historischen Eigenart von anderen Sätzen: er ist stets in der gleichen Weise gültig, wenn er überhaupt gültig ist. 3 + 5 ist immer noch 8, wie es für die alten Ägypter und Sumerer war. Gewiß, die Zahlschreibung und auch schon der sprachliche Ausdruck für die Zahlen und ihre Addition hat gewechselt, aber der Sinn blieb derselbe. Die Rechenmethoden der Ägypter bei Multiplikationen und Divisionen sind von den unsrigen ganz verschieden, aber das Ergebnis einer bestimmten derartigen Operation ist heute noch genau dasselbe.

Wir können etwas Ähnliches kaum von einem anderen Kulturgebiet sagen. Das, was etwa den Ägyptern als Recht erschien, ist keineswegs immer auch unserem geltenden Recht wie auch unserem Rechtsempfinden entsprechend. Gewiß, beides ist auch nicht ganz beziehungslos, wir stehen jenen alten Rechtsvorstellungen nicht völlig verständnislos gegenüber. Aber es kann doch gar keine Rede davon sein, daß sie noch ebenso heute gelten wie ein Satz aus Euklids „Elementen“, die noch heute wie vor über 2000 Jahren in englischen Schulen die Grundlage des Geometrieunterrichts bilden.

Tritt in solchen Tatsachen der übergeschichtliche Charakter der Mathematik hervor, so gibt es andererseits Beispiele für eine außergewöhnliche historische Kontinuität auf mathematischem Gebiet — was sich keineswegs widerspricht, sondern im Gegenteil bedingt. Die Rechenbücher, arithmetische, algebraische und geometrische Aufgabensammlungen, stellen eine Literaturgattung dar, die sich in einer ununterbrochenen (wenn auch nicht mehr lückenlos erhaltenen) Folge über etwa 4000 Jahre erstreckt: angefangen von den Sumerern (wahrscheinlich schon vor 2000 v. Chr.) über die griechischen „praktischen“ Mathematiker (von denen uns Heron von Alexandrien um 75 n. Chr. erhalten ist), weiter über die Araber (Perser und Inder) bis zur Frühzeit der abendländischen Mathematik (z. B. Leonardo von Pisa im 13. Jh.), dann durch Renaissance und Barock bis ins 19. Jh. und in unsere Gegenwart, zu unseren heutigen Schulbüchern. Dieselben Methoden zur Lösung von quadratischen Gleichungen z. B., mit denen sich unsere Schulkinder plagen, hatten schon die „Söhne des Hauses der Steine“ in Babylon anzuwenden, und diese Methoden pflanzten sich historisch kontinuierlich über Jahrtausende fort, wenn sich auch nicht alle Zwischenstufen dokumentarisch belegen lassen.

Für die Methode der Mathematikgeschichte haben die geschilderten eigenartigen Verhältnisse notwendigerweise ihre Konsequenzen. Es besteht die grundlegende Forderung, ein mathematisches Dokument aus vergangener Zeit zunächst einmal sachlich voll zu verstehen, seinen präsumptiven Gedankengang korrekt nachzuvollziehen. Das erscheint auf den ersten Blick bei den mathematischen Schriften des Altertums leicht, weil ja die damalige Mathematik für uns heute durchaus elementar ist und uns keine inhaltlichen Probleme mehr stellt. Man muß jedoch berücksichtigen, daß der Gedankengang, mit dem wir ein bestimmtes Problem heute lösen, nicht unbedingt derselbe sein muß wie der der antiken Mathematiker, welche vielleicht ein uns heute fremdes Lösungsverfahren anwandten, das auch zum Ziele führte. Auch hat die Anforderung an die Strenge der Beweise im Laufe der Geschichte beträchtlich geschwankt.

Dies gilt schon bei der vollständigen Erhaltung eines mathematischen Dokuments und bei Texten, die uns unmittelbar eine vollständige Darstellung des Gedankengangs ihres Autors geben. Aber es gibt auch andere Schriftstücke: solche z. B., in denen nur die Rechnung in Zahlen vorgelegt ist ohne Begründung der vorgenommenen algebraischen Operationen, wie oft in babylonischen Texten. Und endlich gibt es die gewissermaßen „latente“ Mathematik, die in den Ausmaßen der großen Bauten der Frühzeit, wie z. B. den ägyptischen Pyramiden des Alten Reichs und viel später in den griechischen Tempeln (bes. des 6. und 5. Jh.) und schließlich auch in manchen mittelalterlichen und neuzeitlichen Bauten verborgen ist. Wenn, wie zumeist, kein Bauplan und keine Bauinschrift vorliegt, stehen wir dem schweigenden Monument mit seinem Geheimnis gegenüber. Es gilt dann ohne Phantasterei und doch mit einfühlsamem Verständnis die wesentlichen, mathematisch relevanten Strukturen festzustellen und, was oft recht schwierig ist, zu entscheiden, was davon den alten Architekten auch wirklich zum Bewußtsein gekommen ist.

In allen derartigen Fällen ist also zwischen der sachlichen Aufklärung der tatsächlich in dem Denkmal enthaltenen mathematischen Verhältnisse und der eigentlichen historisch-hermeneutischen Interpretation zu scheiden; die Lösung der ersten Aufgabe bedeutet noch nicht die der zweiten, während allerdings die zweite die erste voraussetzt.

Hieran schließt sich nun eine weitere mögliche Fragestellung an, die allerdings vielleicht nicht mehr zur Mathematik-Geschichte im strengen Sinn zu rechnen ist, sondern eine Art weitergehender, jedoch unter Umständen sehr reizvoller Spekulation darstellt. Man kann nämlich manchmal fragen: Was hätte mit den in einem bestimmten Zeitpunkt nachweislich schon erworbenen Mitteln in einem bestimmten Felde erreicht werden können? Das kann man auch dann fragen, wenn keine oder nur eine sehr schwache Andeutung in dieser Richtung in unseren Quellen vorliegt.

Ein Beispiel mag dies kurz erläutern: Die griechischen Mathematiker, wenigstens die der späteren Zeit, unterscheiden (nach Pappos) zwischen „ebenen“ und „körperlichen“ geometrischen Konstruktionsaufgaben, d. h. nach unserer heutigen Terminologie zwischen quadratischen und kubischen bzw. biquadratischen Problemen. Die Lösung der ersten Klasse ist mit Zirkel und Lineal möglich; für die höheren Aufgaben benutzt man die Kegelschnitte oder andere höhere Kurven wie etwa die Konchoide. Man kann nun fragen: Haben die antiken Mathematiker diese Einteilung der Konstruktionsaufgaben nur nach ihrem berühmten „Fingerspitzengefühl“, von dem man oft spricht, vorgenommen, oder haben sie streng bewiesen, daß z. B. die Verdoppelung des Würfels oder die Dreiteilung des Winkels (beides kubische Aufgaben) auf keine Weise mit Lineal und Zirkel konstruiert werden können?. Erhalten ist nicht einmal eine Spur eines solchen Beweises. Unsere heutigen Methoden, so etwas zu beweisen — zuerst bewies 1837 F. L. Wantzel die Unmöglichkeit der Trisektion des Winkels —, sind algebraisch-zahlentheoretischer Art (sie gehören zur Galoisschen Theorie); von den antiken geometrischen Methoden sind sie ganz verschieden. Die Frage ist: Kann man überhaupt — rein sachlich gefragt — mit den antiken Mitteln einen derartigen Beweis führen? Sie ist noch ungelöst.

Endlich tritt manchmal auch die merkwürdige Frage auf, warum ein bestimmtes Problem zu einem bestimmten historischen Zeitpunkt nicht gelöst wurde, obwohl rein sachlich seine Lösung zum Greifen nahe zu sein schien. Ein merkwürdiges Beispiel dafür ist die (algebraische) Auflösung der allgemeinen kubischen Gleichung, die bekanntlich zuerst in der Frührenaissance durch die italienischen Algebraiker gegeben wurde. Es findet sich nämlich schon bei Heron (Metric. p. 178, 3—16 Schöne) eine Betrachtung über die genäherte Berechnung der dritten Wurzel aus 100, die ganz nahe an die Reduktion der Auflösung der kubischen Gleichung auf die (schon babylonische) quadratische Normalaufgabe der Berechnung zweier Zahlen aus ihrer Summe oder Differenz und ihrem Produkt heranführt. Trotzdem wurde, soviel wir wissen, das kubische Problem damals nicht gelöst.

So sehen wir, daß das eigentümliche Ineinanderspiel von rein sachlichen, d. h. im Prinzip zeitunabhängigen Gedankengängen und historischen Überlegungen die Eigenart der Geschichte der Mathematik im Vergleich zu den anderen historischen Wissenschaften bestimmt. Nur die Geschichte der Kunst zeigt vielleicht eine in manchem ähnliche Struktur. Denn auch in den bildenden Künsten scheinen, ebenso wie in der Musik, Formprobleme aufzutauchen, die im Prinzip überzeitlich sind und daher in im wesentlichen gleicher Gestalt in ganz verschiedenen historischen Zusammenhängen erscheinen können. So ist es z. B. sinnvoll, vom griechischen Barock und Klassizismus im hellenistischen Zeitalter zu sprechen in Analogie zu entsprechenden Entwicklungen im 17.—19. Jahrhundert.

Doch ist hier nicht der Ort, auf diese Dinge näher einzugehen. Wenn wir nun aber im folgenden der Besonderheit der griechischen Mathematik eine kurze Betrachtung widmen wollen, müssen wir auf die geschilderte Verflechtung von historischen und nichthistorischen Zügen Rücksicht nehmen.

2.

Nach unseren heutigen Kenntnissen tritt die griechische Mathematik keineswegs am Beginn der Mathematikgeschichte auf, sondern ungefähr in deren Mitte. Bis zum Jahr 600 v. Chr., das man schematisch als den Zeitpunkt des Anfangs der griechischen Mathematik nennen könnte, gab es schon seit zwei Jahrtausenden Mathematik, d. h. ein Zahlsystem, das schriftlich fixiert war, Rechenmethoden, die Anfänge der Geometrie. Um 2000 v. Chr. oder wenig später konnten bereits die Babylonier (bzw. die Sumerer) quadratische Gleichungen lösen, nach derselben Methode wie unsere Schulkinder heute; man kannte auch den sogenannten „Pythagoreischen Lehrsatz“, wenigstens in seiner praktischen Anwendung.

Die frühen Griechen, die Ionier in Milet und auf Samos, konnten inhaltlich im wesentlichen alles aus dem Alten Orient übernehmen, was sie an mathematischen Kenntnissen rein stofflich besaßen. Neu und spezifisch griechisch ist die Form ihres mathematischen Wissens und Könnens.

Wir finden nämlich in der vorgriechischen Mathematik keine Andeutung davon, daß jemals in ihr ein Beweis geführt worden ist. Unsere babylonischen und ägyptischen mathematischen Texte sind (abgesehen von Tabellen) in der großen Mehrzahl Aufgabentexte in bestimmten Zahlen, zumeist, wenn auch nicht immer, mit vorgerechneter Lösung. In Ausnahmefällen gibt es auch Lehrtexte, in denen ein allgemein anwendbares Verfahren (akkadiisch: nepeschum) beschrieben wird, für das eine Begründung aber nicht gegeben wird. Das explizite Aussprechen einer solchen Begründung, eine Beweisführung, Herleitung, eine apodeixis eines mathematischen, peinlich genau formulierten Lehrsatzes (theorema) ist erst griechisch. Erst recht die Verbindung einer großen Reihe solcher Sätze zu einem System, das mit einfachen, ausdrücklich namhaft gemachten Definitionen der Grundbegriffe und vorausgesetzten unbeweisbaren Grundsätzen (Axiomen) beginnt und damit in lückenloser Schlußfolge die Theorie eines bestimmten Gebiets aufbaut.

Nun wird man zwar eine völlig ausgeformte Theorie im 6. Jahrhundert noch nicht erwarten können, aber im 5. Jahrhundert wird damit begonnen. Das erste Beispiel ist wohl „die Lehre vom Geraden und Ungeraden“, die sogenannte dyadische Arithmetik der Pythagoreer, die uns Euklid am Ende des IX. Buchs der „Elemente“ aus historischem Interesse aufbewahrt hat. Sie ist wohl schon in die erste Hälfte des 5. Jahrhunderts zu setzen. Und um etwa 440 v. Chr. hat nach glaubwürdigen Berichten Hippokrates von Chios die ersten „Elemente“ verfaßt, d. h. ein grundlegendes mathematisches Lehrbuch. Im klassischen Zeitalter der Griechen, gleichzeitig mit der attischen Tragödie und mit der im strengsten Sinn klassischen Architektur, Plastik und Malerei, gewinnt auch die Mathematik ihre eigentlich griechische, ja man kann sagen, ihre prinzipiell europäische Gestalt. In dieser Form lernt sie Platon schon kennen und er gibt auch bereits ihre philosophische Theorie, in seiner „Politeia“ am Ende des VI. und im VII. Buch. Er ist zwar selbst kein Mathematiker, aber die bedeutendsten Mathematiker seiner Zeit wie Theätet und der höchst geniale Eudoxos gehören seinem Kreise an, und er ist es, der die Mathematik philosophisch als eine „freie Wissenschaft“ begründet, wenngleich der Begriff wohl schon von den Pythagoreern stammt. Platon rechtfertigt diesen Begriff und den in ihm enthaltenen Anspruch durch seine Ideenlehre. Die mathematischen Gebilde (Zahlen und Figuren) haben einen ideenhaften Charakter, wenn sie auch nicht selbst Ideen sind. Der Kreis, den der Geometer betrachtet, ist ein „ideales“, niemals adäquat wahrnehmbares und materiell herstellbares Gebilde; aber es gibt bereits in der reinen Geometrie eine Mehrzahl von Kreisen, die sich schneiden oder berühren können, während die Idee des Kreises, die „Kreishaftigkeit“ (Zirkularität) nur eine ist.

Als ein besonderes, aber fundamental wichtiges Problem stellt sich für die griechische Mathematik das der Inkommensurabilität von Strecken, die in ganz elementaren Figuren auftreten, wie die Diagonalen gegenüber den Seiten im Quadrat und regelmäßigen Fünfeck. Diese Tatsache der Inkommensurabilität zerstörte, als sie entdeckt wurde, die Hoffnung, die anscheinend frühpythagoreische Kreise gehegt hatten, alle geometrischen und astronomischen Verhältnisse ebenso wie die musikalischen in ganzen Zahlen ausdrücken zu können. Ein derartiges durchaus „rationales“ Weltbild erwies sich als unmöglich. Diese Erkenntnis wurde außerordentlich ernst und prinzipiell genommen und hatte weitreichende Folgen. Es wurde durch sie eine Kluft aufgerissen zwischen der „rationalen“, deshalb verständlichen und „erkenntnisspendenden“ Natur der ganzen Zahl, des Arithmos, und der „Unendlichkeit“ der irrationalen Verhältnisse, der Logoi alogoi, um durch dieses Oxymoron ihre ganze Paradoxie zu kennzeichnen. Den Arithmoi und ihren Verhältnissen wird von Platon die Grenze (Peras), den Logoi alogoi das Unbegrenzte, Grenzenlose (das Apeiron) zugeordnet (Philebos 24 A—25 B). Damit war der fundamentale mathematische Gegensatz philosophisch gedeutet, was bis in den Neuplatonismus hinein seine Konsequenzen hatte.

An diesem wie auch an anderen minder fundamentalen Beispielen zeigt sich die innige Verflochtenheit von Philosophie und Mathematik bei den Griechen des 5. und 4. Jahrhunderts, also im klassischen Zeitalter. In der hellenistischen und späteren Zeit trennt sich die griechische Mathematik mehr oder weniger von der Philosophie und wird zu einer Einzelwissenschaft mit eigener Technik, indem sie ihre eigenen Voraussetzungen formuliert, aber nicht begründet und so im Grunde bereits ein hypothetisch-deduktives System darstellt. Das tritt in der ausdrücklichen Bemerkung des Archimedes über das heute meist nach ihm benannte Axiom des Messens zutage, das er nicht als von sich aus evident einführt, sondern wegen seiner Fruchtbarkeit, seiner Unentbehrlichkeit zur Begründung anscheinend wahrer Sätze über den Inhalt von Kreis und Kugel (Quadratura parabolae, praefatio).

Doch wird auch von den klassischen Geometern der hellenistischen Zeit (Euklid, Archimedes, Apollonios) an der Strenge der Beweise, am Exhaustionsverfahren, der scharfen Scheidung von Rationalem und Irrationalem durchaus festgehalten.

Daneben aber und sicher auch schon früher, wenn auch durch Dokumente nicht mehr belegbar, gab es auch auf griechischem Boden und im alexandrinischen Ägypten eine praktisch rechnende Mathematik, die wir aus Herons echten und unechten Schriften (aus dem ersten nachchristlichen Jahrhundert) kennen. Hierin lebt altorientalisches, vor allem babylonisches Gut weiter ohne allzu große Rücksicht auf formale Strenge. So werden z. B. Strecken und Flächen addiert, was dem strengen Homogenitätsprinzip der klassischen Geometer widerspricht. Vielfache Näherungen werden angegeben, auch das im Gegensatz zu den klassischen Autoren.

Eine bedeutsame, inhaltlich neue Leistung der nachklassischen Periode ist die Schaffung der sphärischen und ebenen Trigonometrie und die Entwicklung einer wahrhaft wissenschaftlichen Astronomie, merkwürdigerweise nach und gleichzeitig mit einer konkurrierenden Entwicklung in der Spätzeit der Babylonier, von denen die Griechen manches übernahmen, außer astronomischen Konstanten die Sexagesimalbrüche und teilweise auch die sogenannten „linearen Methoden“ zur Darstellung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

In der Gesamtbeurteilung der griechischen Mathematik in ihrem Verhältnis zur altorientalischen einerseits und zur neueren abendländischen Mathematik (seit dem 17. Jh.) andererseits sind die Meinungen geteilt. Die einen sehen in der griechischen Mathematik sich den entscheidenden Durchbruch zur europäischen, im weitesten Sinne abendländischen exakten Wissenschaft vollziehen, was ein welthistorisches Ereignis allerersten Ranges darstellt, da auf ihm schließlich die Entwicklung der Maschinentechnik im 19. Jahrhundert und das Entstehen der modernen Industriegesellschaft beruht.

Die anderen meinen, daß eine unmittelbare Fortsetzung der altorientalischen (bes. der babylonischen) Linie ohne den Umweg über die durch philosophische Skrupel wegen des Irrationalen in mancher Hinsicht gehemmte klassisch-griechische Geometrie sehr viel schneller zum Fortschritt in Richtung auf die neue exakte Naturwissenschaft des 17. Jahrhunderts geführt hätte. Denn die grundlegenden neuen mathematischen Disziplinen, die Buchstabenrechnung, analytische Geometrie und Infinitesimalrechnung seien gerade durch die von der griechischen klassischen Mathematik aufgerissene Kluft zwischen ganzer Zahl und kontinuierlicher, eventuell irrationaler Größe so lange unmöglich gemacht worden, als man sie noch in aller Strenge anerkannt hätte. Erst als man sich entschloß, mit allen Größen, rationalen und irrationalen, in gleicher Weise zu rechnen und zum Begriff der „irrationalen Zahl“ vorzustoßen, konnte die neue Mathematik und Physik ihren Siegeszug antreten.

Vielleicht läßt sich dieser Streit schlichten. Man kann wohl sagen, daß die philosophischen Skrupel der Pythagoreer, Platons und seiner Nachfolger betreffs des Irrationalen den Sinn für mathematische Strenge hervorgebracht und immer wieder von neuem bestärkt haben. Und diese Strenge hat sich im Laufe der Entwicklung immer wieder als Bedingung des Fortschritts erwiesen, sosehr sie im Augenblick manchmal hemmend zu wirken schien. Die kritische Selbstbesinnung der mathematischen Forschung, die im 19. Jahrhundert hervortrat und im 20. ihre Fortsetzung fand (im Aufbau der mathematischen Logik samt ihren Paradoxien, in der „intuitionistischen“ Grundlagenkrise usw.), hat, auf längere Zeit hin angesehen, immer wieder der fortschreitenden Forschung selbst genützt und ist ihr zuletzt völlig unentbehrlich geworden; denn sie schärfte immer aufs neue das logische Instrument, mit dem die Forschung arbeitet. Und die philosophische Grundlage dieser Selbstbesinnung stammt schließlich von den Griechen, vor allem von Platon.

In der nun folgenden Auswahl bedeutender Arbeiten aus dem Gebiete der Geschichte der Mathematik ist deshalb auch auf die Beziehung von Mathematik und Philosophie und überhaupt auf die grundlegenden Probleme besondere Rücksicht genommen worden.

3.

Der im folgenden dargebotenen Auswahl von Abhandlungen zur Geschichte der griechischen Mathematik liegt die Absicht zugrunde, bei aller Betonung der Beziehung zur Philosophie und zu den grundlegenden Fragen eine möglichst vielseitige Vorstellung von der griechischen Mathematik zu vermitteln, sowohl was die Zeit der Entstehung der behandelten Probleme als auch was ihren sachlichen Gehalt betrifft.

Die Aufsätze sind nach der Zeit ihrer Abfassung angeordnet, was unvermeidlich eine gewisse Auseinanderreißung von sachlich und auch historisch Zusammengehörigem bedingt.

Die Reihe beginnt mit Auszügen aus zwei schon geraume Zeit zurückliegenden bedeutenden Werken der Mathematikgeschichte des Altertums: von H. Hankel (1874) [über die griechischen Geometer des 5. Jahrhunderts] und von H. G. Zeuthen (1896) [über die Geometrische Algebra der Griechen und über Euklids geometrische Voraussetzungen], beides klassische Stücke historischer Darstellung.

Es folgen Abhandlungen aus jüngerer Zeit (1919—1960), zunächst eine Reihe Arbeiten aus dem Kreise um O. Toeplitz und O. Neugebauer (aus den „Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik“), ergänzt durch eine Folge weiterer bedeutender Aufsätze neueren Datums bis zu der auch philosophiegeschichtlich wichtigen Abhandlung von Á. Szabó von 1960.

Historisch gesehen reicht die Themenauswahl von dem Beginn der noch gut erfaßbaren griechischen Mathematik, der sog. dyadischen Arithmetik der Pythagoreer, über die Entwicklung der verschiedenen Mathemata im 5. und im klassischen 4. Jahrhundert mit ihren Beziehungen zur platonischen Ideenlehre und Kosmologie bis zu den großen hellenistischen Geometern Archimedes und Apollonios, mit einem Seitenblick auf neupythagoreische und neuplatonische Gedankengänge.

Obwohl natürlich nur ein verschwindender Bruchteil der reichen Fülle des Vorhandenen geboten werden konnte und eine solche Auswahl niemals ganz frei von der subjektiven Vorliebe des Herausgebers sein kann, wird hoffentlich das Bestreben, verschiedenartige Themen und auch verschiedene Behandlungsweisen zu bringen, nicht verkannt werden können.

Es ist selbstverständlich, daß vieles Bedeutende wegbleiben mußte. Auch wurde, um die Auswahl enger zu gestalten, das Prinzip befolgt, mit Ausnahme der Stücke aus den Werken Hankels und Zeuthens, nichts aufzunehmen, was schon anderswo in Buchform erschienen und deshalb leicht zugänglich ist. Trotzdem möchte der Herausgeber die Hoffnung aussprechen, daß das Gebrachte ein zwar nicht vollumfassendes, aber doch klares Bild der gegenwärtigen und jüngst vergangenen Bemühungen um die Geschichte der griechischen Mathematik zu geben vermag.

Mein aufrichtiger Dank gilt den Verfassern, die freundlicherweise den Wiederabdruck ihrer Arbeiten gestattet haben, und nicht zuletzt dem Springer-Verlag in Berlin, der in großzügiger Weise seine Erlaubnis zur photomechanischen Reproduktion einer Reihe von Aufsätzen erteilte.

Bonn, im Juli 1964

Oskar Becker