De docta ignorantia Liber primus Capitulum XIII.
Capitulum XIII.
De passionibus lineae maximae et infinitae.
Dico igitur quod, si esset linea infinita, illa esset recta, illa esset triangulus, illa esset circulus et esset sphaera; et pariformiter, si esset [p.26] sphaera infinita, illa esset circulus, triangulus et linea; et ita de triangulo infinito atque circulo infinito idem dicendum est. Primum autem, quod linea infinita sit recta, patet: Diameter circuli est linea recta, et circumferentia est linea [2] curva maior diametro; si igitur curva linea in sua curvitate recipit minus, quanto circumferentia fuerit maioris circuli, igitur circumferentia maximi circuli, quae maior esse non potest, est minime curva; quare maxime recta. Coincidit igitur cum maximo minimum, ita ut ad oculum [3] videatur necessarium esse, quod maxima linea sit recta maxime et minime curva. Nec hic potest remanere scrupulus dubii, quando in figura hic lateraliter videtur, quomodo arcus cd maioris circuli plus recedit a curvitate quam arcus ef minoris circuli, et ille plus a curvitate [4] recedit quam arcus gh adhuc minoris circuli; quare linea recta ab erit arcus maximi circuli, qui maior esse non potest. Et ita videtur, quomodo maxima et infinita linea necessario est rectissima, cui curvitas non opponitur, – immo curvitas in ipsa maxima linea est rectitudo; et hoc est primum [5] probandum.
Kapitel XIII.
Die Möglichkeiten der größten und unendlichen Linie.
Ich sage also: gäbe es eine unendliche Linie, so wäre sie eine Gerade, ebenso ein Dreieck, Kreis und Kugel; und gleicherweise: gäbe es eine unendliche Kugel, so wäre sie Kreis, Dreieck und Linie.
Die erste Behauptung, daß die unendliche Linie eine gerade sei, erhellt folgendes: Der Durchmesser des Kreises ist eine gerade Linie, der Umkreis ist eine gekrümmte Linie, die größer ist als der Durchmesser; wenn also die Krümmung der gekrümmten Linie, je mehr diese der Umkreis eines größeren Kreises wird, sich verringert, so ist der Umkreis des größten Kreises, der nicht mehr größer sein kann, am wenigsten gekrümmt, daher am meisten gerade. Es koinzidiert also das Kleinste mit dem Größten, so daß es augenscheinlich ist, daß die größte Linie die geradeste und am wenigsten gekrümmte sein muß. Darüber kann nicht der geringste Zweifel bestehen. Man kann es aus der nebenstehenden Figur sehen wo der Bogen c d des größeren Kreises eine geringere Krümmung hat als der Bogen e f des kleineren Kreises, und dieser wieder eine geringere als der Bogen g h des noch kleineren Kreises. Daher wird die gerade Linie a b der Bogen jenes Kreises sein, der nicht mehr größer sein kann, d. h. des größten. So sieht man, daß die größte und unendliche Linie, die völlig gerade Linie, der die Krümmung nicht entgegengesetzt wird, sein muß; ja sogar, daß die Krümmung in der größten Linie Geradheit ist. Das ist das, was zuerst zu erweisen war.
Secundo dictum est lineam infinitam triangulum maximum, circulum et sphaeram. Et ad hoc ostendendum oportet, ut in finitis lineis videamus, quid sit in potentia finitae lineae; et quia quidquid est in potentia finitae, hoc est infinita actu, erit nobis clarius id, quod inquirimus. .
Et primo scimus, quod linea finita in longitudine potest esse longior et rectior, et iam probatum est maximam esse longissimam atque rectissimam. Secundo, si linea ab, remanente puncto a immobili, [6] circumduceretur, quousque b veniret in c, ortus est triangulus; si perficitur circumductio, quousque b redeat ad initium ubi incepit, fit circulus. Si iterum, a remanente immobili, b circumducitur, quousque perveniat ad locum oppositum ubi incepit, qui sit d, est ex [7] linea ab et ad effecta una continua linea et semicirculus descriptus.
Et si, remanente bd diametro immobili, circumducatur semicirculus, exoritur sphaera; et ipsa [8] sphaera est ultimum de potentia lineae, totaliter existens in actu, quoniam sphaera non est in po|tentia [9] ad aliquam figuram ulteriorem. Si igitur in potentia lineae finitae [10] sunt istae figurae, et linea infinita est omnia actu, ad quae finita est in potentia, sequitur infinitam esse triangulum, circulum et sphaeram. Quod erat probandum.
Et quia fortassis clarius hoc videre velles, quomodo ea, quae sunt in potentia finiti, est actu infinitum, adhuc de hoc te certissimum [11] reddam.
An zweiter Stelle wurde gesagt, daß die unendliche Linie das größte Dreieck, der größte Kreis, und die größte Kugel sei. Um dies aufzuweisen ist es notwendig, daß wir in den endlichen Linien sehen, was in der Möglichkeit einer endlichen Linie liegt. Und weil, was in der endlichen Linie Möglichkeit ist, in der unendlichen Wirklichkeit ist, wird uns das, was wir suchen, deutlicher werden. Zunächst wissen wir, daß die in der Länge begrenzte Linie länger und gerader sein kann, und es wurde schon bewiesen, daß die größte Linie die längste und geradeste ist. Weiters wissen wir: wenn die Linie a b so weit herumgeführt wird, daß b nach c gelangt und a dabei unverändert bleibt, so entsteht ein Dreieck. Wenn diese Umführung aber vollendet wird, bis b in seine Anfangsposition zurückkehrt, entsteht ein Kreis. Wenn man wiederum – bei unbeweglichem a – den Punkt b herumführt, bis er zu dem seiner Anfangsposition entgegengesetzten Punkt d kommt, so ist aus der Linie a b und ad eine zusammenhängende Linie gebildet und ein Halbkreis beschrieben worden. Und wenn man schließlich, bei bleibendem Durchmesser b d, den Halbkreis herumführt, entsteht eine Kugel. Und diese Kugel ist das Letzte aus der Möglichkeit der Linie, die ganz in Wirklichkeit besteht, da die Kugel in sich zu keiner weiteren Figur die Möglichkeit hat. Wenn also in der Möglichkeit der endlichen Linie jene Gebilde liegen und die unendliche Linie das alles in Wirklichkeit ist, zu dem die endliche die Möglichkeit hat, so folgt, daß die unendliche Linie Dreieck, Kreis und Kugel ist; und dies sollte ja erwiesen werden. Weil man aber wahrscheinlich noch deutlicher sehen möchte, daß jenes, was in der Möglichkeit des Endlichen liegt, als Wirklichkeit das Unendliche ist, werde ich dazu noch sicher überzeugende Beweise liefern.
