Imaginativa, quae genus sensibilium non transcendit, non capit lineam posse triangulum esse, cum improportionabiliter ista in [1] quantis differant. Erit tamen apud intellectum hoc facile. Nam iam constat non nisi unum possibile esse maximum et infinitum. Deinde constat – quoniam omnia duo latera cuiuslibet trianguli simul iuncta tertio minora esse non possunt – trianguli, cuius unum latus est infinitum, [2] alia non esse minora. Et quia quaelibet pars infiniti est infinita, necessarium est omnem triangulum, cuius unum latus est infinitum, alia pariformiter esse infinita. Et quoniam plura infinita esse non possunt, transcendenter intelligis triangulum infinitum ex pluribus [3] lineis componi non posse, licet sit maximus verissimus triangulus, incompositus et simplicissimus; et quia verissimus triangulus, qui sine tribus lineis esse nequit, erit necessarium ipsam unicam infinitam lineam esse tres et tres esse unam simplicissimam. Ita de angulis, quoniam non erit nisi angulus unus infinitus, et ille est tres anguli et [4] tres anguli unus. Nec erit iste maximus triangulus ex lateribus et angulis compositus, sed unum et idem est linea infinita et angulus; ita quod et linea est angulus, quia triangulus linea.
Kapitel XIV.
Die unendliche Linie ist ein Dreieck.
Das Anschauungsvermögen, welches das Sinnliche nicht übersteigt, begreift nicht, daß die Linie ein Dreieck sein kann, da dessen Linien, ohne Beziehung zueinander, in ihrer Ausdehnung verschieden sind. Für das verstehende Denken ist dies jedoch leicht. Denn es steht schon fest, daß das Größte und Unendliche nur Eines sein kann. Da weiters zwei Seiten eines Dreiecks miteinander verbunden, nicht kürzer sein können als die dritte, steht ferner fest, daß in einem Dreieck, dessen eine Seite unendlich ist, die beiden anderen ebenfalls nicht kleiner sein dürfen. Da jeder Teil des Unendlichen unendlich ist, müssen bei jedem Dreieck, dessen eine Seite unendlich ist, die andern Seiten gleicherweise unendlich sein. Und weil es nicht mehrere Unendliche geben kann, versteht man Übersteigenderweise, daß das unendliche Dreieck, wenn es auch das größte, wahrste, unzusammengesetzte und ganz einfache Dreieck ist, nicht aus mehreren Linien zusammengesetzt sein kann. Und weil es als das eigentlich wahre Dreieck nicht ohne drei Linien sein kann, ist es notwendig, daß jene einzige, unendliche Linie drei Linien ist, und daß drei Linien die eine einfachste sind. Dasselbe gilt, da es nur einen unendlichen Winkel geben kann, von den Winkeln. Jener ist drei Winkel und die drei sind einer. Auch wird jenes größte Dreieck nicht aus Seiten und Winkeln zusammengesetzt sein, sondern unendliche Linie und unendlicher Winkel sind ein und dasselbe; so ist auch die Linie Winkel, weil das Dreieck Linie ist.
Adhuc, poteris te iuvare ad huius intelligentiam per ascensionem a triangulo quanto ad non-quantum. Nam omnem triangulum quantum [5] habere tres angulos aequales duobus rectis manifestum est; et ita, quanto unus angulus est maior, tanto alii minores. Et licet angulus unusquisque possit augeri usque ad duos rectos exclusive et non maxime secundum principium primum nostrum: admittamus tamen, quod maxime augeatur [6] usque ad duos rectos inclusive, triangulo permanente. Tunc est manifestum triangulum unum angulum habere, qui est tres, et tres esse unum.
Das Verständnis dieses Sachverhaltes kann man sich durch den Aufstieg von dem in seiner Größe bestimmten zu dem in der Größe nicht bestimmten Dreieck ermöglichen. Es ist klar, daß jedes in seiner Größe bestimmte Dreieck drei Winkel besitzt, die zwei rechten gleich sind und daß darum, je größer ein Winkel ist, die anderen um so kleiner sein müssen. Nach unserem ersten Prinzip kann jeder Winkel vergrößert werden, aber nur bis zur Größe von zwei rechten und nicht auf größte Weise. Lassen wir aber dennoch zu, daß er in größter Weise, bis zur Größe von zwei rechten einschließlich, vergrößert wird und das Dreieck dabei bestehen bleibt, dann ist es offenbar, daß das Dreieck einen Winkel hat, der drei ist und drei Winkel, die einer sind.
Pariformiter videre poteris triangulum lineam esse, quoniam, cum omnia duo latera trianguli quanti sint [7] simul iuncta tanto tertio longiora, quanto angulus, quem faciunt, est duobus rectis minor, ut angulus b a c quia duobus rectis multo est minor, hinc lineae ba et ac simul iunctae multo longiores bc. Igitur quanto angulus ille maior fuerit, ut bdc, tanto minus vincunt lineae bd et dc lineam bc, et [8] superficies minor. Quare si per positionem angulus valeret duos rectos, resolveretur in lineam simplicem totus triangulus.
[9] Unde cum hac positione, quae in quantis impossibilis est, iuvare te potes ad non-quanta ascendendo; in quibus, quod in quantis est impossibile, vides per omnia necessarium. Et in hoc patet lineam esse infinitam triangulum maximum. Quod erat ostendendum.
Gleicherweise kann man sehen, daß das Dreieck Linie ist, da zwei Seiten des bestimmten Dreiecks zugleich verbunden um soviel länger als die dritte sind, als der von ihnen gebildete Winkel kleiner als zwei rechte ist, wie z. B. der Winkel b a c. Da er um vieles kleiner als zwei rechte ist, sind die Linien b a und a c miteinander verbunden um vieles länger als b c. Je größer dieser Winkel wird, wie b d c, um so weniger übertreffen die Linien b d und d c die Linie b c und die Oberfläche ist kleiner. Wenn daher ein Winkel durch Setzung zwei rechten gleichkäme, würde das ganze Dreieck in eine einfache Linie aufgelöst. Man kann sich so durch diese Setzung, die im Ausgedehnten unmöglich ist, helfen, zum Nicht-Ausgedehnten emporzusteigen, in dem alles, was dort unmöglich ist, in jeder Beziehung notwendig ist. Daraus ergibt sich, daß die Linie das unendliche, größte Dreieck ist; und dies war zu zeigen.
