Werk:Stoicheia/Buch III./16. Lehrsatz
Die am Endpunkt eines Durchmessers errichtete Senkrechte fällt außerhalb des Kreises; es kann zwischen ihr und dem Kreis keine Gerade außerhalb des Kreises gezogen werden; der Winkel zwischen Kreislinie und Durchmesser ist größer und der Winkel zwischen Kreislinie und Senkrechter kleiner als jeder spitze Winkel.
Hat der Kreis ABC mit Mittelpunkt D den Durchmesser AB, dann, sage ich, fällt die im Punkt A auf AB errichtete Senkrechte AE außerhalb des Kreises.
Denn sollte es möglich sein, dass sie in den Kreis fällt wie AC, dann kann DC gezogen werden.
Da dann DA gleich DC ist, sind auch die Winkel DAC und ACD gleich. Da DAC ein rechter Winkel ist, ist dann auch ACD ein rechter Winkel.
Das Dreieck ACD hat dann zwei rechte Winkel, was nicht möglich ist. Also fällt die im Punkt A auf AB errichtete Senkrechte nicht in den Kreis.
Zwischen AE und den Kreisbogen CHA, sage ich, kann keine Gerade außerhalb des Kreises gezogen werden.
Denn sollte dies möglich sein, dann ist FA und im Punkt D die zu FA senkrechte DG zu ziehen.
Da der Winkel AGD ein rechter ist, ist DAG kleiner als ein rechter und AD größer als DG.
DA ist gleich DH, also ist DH größer als DG, die kleinere größer als die größere, was nicht möglich ist. Also kann zwischen Senkrechte und Kreisbogen keine andere Gerade außerhalb des Kreises gezogen werden.
Ich sage nun, der Winkel zwischen Kreisbogen CHA und Durchmesser BA ist größer als jeder spitze Winkel und der Winkel zwischen Kreisbogen und der Senkrechten AE kleiner.
Denn gibt es einen gradlinigen Winkel größer als der zwischen BA und dem Kreisbogen CHA und kleiner als der Winkel zwischen dem Kreisbogen CHA und der Geraden AE, dann fällt eine Gerade, die solche Winkel mit dem Kreisbogen CHA einschließt, zwischen die Senkrechte AE und den Kreisbogen CHA, was nicht möglich ist.
Also ist kein spitzer Winkel größer als der zwischen der Geraden BA und dem Kreisbogen CHA und keiner kleiner als der zwischen CHA und der Geraden AE.
Was zu zeigen war.
Zusatz: Offensichtlich ist die Senkrechte im Endpunkt des Durchmessers eine Tangente, diese berührt den Kreis in nicht mehr als einem Punkt.