Quelltext der Seite π (Kreiszahl)

[[Datei:Pi-CM.svg|rahmenlos|hochkant=0.8|rechts|Kreiszahl]]
Die '''Kreiszahl''' <math>\pi</math>, auch bezeichnet als '''[[Ludolph van Ceulen|Ludolphsche]]''' (andere Schreibweise '''Ludolfsche''') '''Zahl'''<ref>H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: ''Zahlen''. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-96783-2, S. 102.</ref> oder '''[[#Archimedes von Syrakus|Archimedes]]-Konstante''',<ref>Jörg Neunhäuserer: 4.6 Die Archimedes-Konstante π in: ''Schöne Sätze der Mathematik''. Springer, 3. Auflage 2022, ISBN 978-3-662-65829-1, S. 70.</ref> ist eine [[Reelle Zahl|reelle]] [[mathematische Konstante]].

Die Bezeichnung <math>\pi</math> (gelesen ‚pi‘) als Anfangsbuchstabe des [[Griechisches Alphabet|griechischen]] Worts {{lang|el|περίμετρος}}&nbsp;– ''{{lang|la|perímetros}}'', „Umfang“ oder {{lang|el|περιφέρεια}}&nbsp;– zu [[Lateinische Sprache|lateinisch]] ''{{lang|la|peripheria}}'', „Randbereich“ nimmt Bezug darauf, dass die Kreiszahl das [[Quotient|Verhältnis]] der Länge einer [[Kreis]]linie (des [[Umfang (Geometrie)|Umfangs]] eines Kreises) zu der seines [[Durchmesser]]s angibt.<ref group="A">Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von deren Größe.</ref> Die Zahl <math>\pi</math> hat in allen [[Stellenwertsystem]]en [[unendlich viele]], nicht-periodisch auftretende Nachkommastellen&nbsp;– ihre [[Dezimaldarstellung]] bis zur 50.&nbsp;[[Nachkommastelle]] lautet:
:<math>\pi = 3{,}14159 \, 26535 \, 89793 \, 23846 \, 26433 \, 83279 \, 50288 \, 41971 \, 69399 \, 37510 \, \dots</math>
Wo keine besonders große Genauigkeit erforderlich ist, wird gerne mit dem Näherungswert 3,14 für <math>\pi</math> gerechnet.

Die Zahl <math>\pi</math> hat eine Reihe besonderer Eigenschaften, insbesondere ist sie [[Transzendente Zahl|transzendent]] und somit auch [[Irrationale Zahl|irrational]], das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier [[Ganze Zahl|ganzer Zahlen]] ausgedrückt werden.<ref group="A">Daher ist es nicht möglich, <math>\pi</math> durch die Angabe eines einfachen Musters der Nachkommastellen geschlossen anzugeben. Es ist lediglich eine zunehmend bessere Annäherung durch Berechnung weiterer Nachkommastellen möglich. Seit dem 14.&nbsp;März 2024 sind 105 [[Billion|Billionen]] Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt.</ref> Die enorme Bedeutung der Zahl <math>\pi</math> liegt darin begründet, dass sie in vielen ganz unterschiedlichen [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebieten und Theorien]] auftritt: neben der [[Geometrie]] etwa in der [[Analysis]] (insbesondere in der [[Funktionentheorie]]), der [[Kombinatorik]], der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], der [[Zahlentheorie]] und der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] sowie in der [[Physik]].

== Geschichte ==
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== Definition ==
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== Eigenschaften ==
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== Entwicklung von Berechnungsverfahren ==
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== Nichtnumerische Berechnungsverfahren ==
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== Rekorde der Berechnung von π ==
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== Geometrische Konstruktionen ==
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== Experimentelle Konstruktion ==
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== Formeln und Anwendungen ==
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== Rezeption ==
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== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Jörg Arndt, Christoph Haenel
   |Titel=Π [Pi]
   |TitelErg=Algorithmen, Computer, Arithmetik
   |Auflage=2., neu bearbeitete und erweiterte
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=2000
   |ISBN=3-540-66258-8
   |Kommentar=mit [[CD-ROM]], 1. Auflage. 1998 – ohne CD-ROM, ISBN 3-540-63419-3}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Heinrich Behnke]], [[Friedrich Sommer (Mathematiker)|Friedrich Sommer]]
   |Titel=Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen
   |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=77
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
   |Datum=1965}}
* {{Literatur
   |Autor=Petr Beckmann
   |Titel=A History of π
   |Verlag=St. Martin’s Press
   |Ort=New York City
   |Datum=1976
   |ISBN=0-312-38185-9
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Hrsg=Ehrhard Behrends
   |Titel=Π [Pi] und Co
   |TitelErg=Kaleidoskop der Mathematik
   |Verlag=Springer
   |Ort=Berlin / Heidelberg
   |Datum=2008
   |ISBN=978-3-540-77888-2}}
* {{Literatur
   |Autor=David Blatner
   |Titel=Π [Pi]
   |TitelErg=Magie einer Zahl
   |Sammelwerk=rororo Sachbuch
   |Reihe=rororo
   |NummerReihe=61176
   |Verlag=Rowohlt
   |Ort=Reinbek bei Hamburg
   |Datum=2001
   |ISBN=3-499-61176-7
   |Originaltitel=The Joy of Π [pi]
   |Übersetzer=Hainer Kober}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jonathan Borwein]], [[Peter Borwein]]
   |Titel=Pi and the AGM
   |TitelErg=A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
   |Sammelwerk=Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advan
   |Auflage=2.
   |Verlag=Wiley
   |Ort=New York NY
   |Datum=1998
   |ISBN=0-471-31515-X
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Egmont Colerus]]
   |Titel=Vom Einmaleins zum Integral
   |TitelErg=Mathematik für Jedermann
   |Reihe=rororo-Sachbuch
   |NummerReihe=6692
   |Verlag=Rowohlt
   |Ort=Reinbek bei Hamburg
   |Datum=1974
   |ISBN=3-499-16692-5}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jean-Paul Delahaye]]
   |Titel=Π [Pi]
   |TitelErg=Die Story
   |Verlag=Birkhäuser
   |Ort=Basel
   |Datum=1999
   |ISBN=3-7643-6056-9}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Keith Devlin]]
   |Titel=Sternstunden der modernen Mathematik
   |TitelErg=berühmte Probleme und neue Lösungen
   |Reihe=dtv-Taschenbuch 4591
   |Auflage=2.
   |Verlag=Deutscher Taschenbuch Verlag
   |Ort=München
   |Datum=1992
   |ISBN=3-423-04591-4
   |Kommentar=Lizenz des Birkhäuser-Verlags, Basel
   |Originaltitel=Mathematics
   |Übersetzer=Doris Gerstner}}
* {{Literatur
   |Autor=Leonhard Euler
   |Titel=Einleitung in die Analysis des Unendlichen
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
   |Datum=1983
   |ISBN=3-540-12218-4
   |Kommentar=Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum – Reprint der Ausgabe Berlin 1885}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Eberhard Freitag]], Rolf Busam
   |Titel=Funktionentheorie 1
   |Reihe=Springer-Lehrbuch
   |Auflage=3., neu bearbeitet und erweiterte
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=2000
   |ISBN=3-540-67641-4}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Klaus Jänich]]
   |Titel=Einführung in die Funktionentheorie
   |Auflage=2.
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1980
   |ISBN=3-540-10032-6}}
* {{Literatur
   |Autor=Paul Karlson
   |Titel=Vom Zauber der Zahlen
   |TitelErg=Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann
   |Sammelwerk=Das moderne Sachbuch
   |Band=41
   |Auflage=8., überarbeitete
   |Verlag=Ullstein
   |Ort=Berlin
   |Datum=1965
   |Kommentar=ohne [[Internationale Standardbuchnummer|ISBN]], früherer Titel: ''Du und der Zauber der Zahlen''}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Max Koecher]]
   |Titel=Klassische elementare Analysis
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Boston
   |Datum=1987
   |ISBN=3-7643-1824-4}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Konrad Knopp]]
   |Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
   |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
   |BandReihe=2
   |Auflage=5., berichtigte
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1964
   |ISBN=3-540-03138-3}}
* {{Literatur
   |Autor=Konrad Knopp
   |Titel=Funktionentheorie II
   |TitelErg=Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie
   |Reihe=Sammlung Göschen
   |BandReihe=703
   |Auflage=11.
   |Verlag=de Gruyter
   |Ort=Berlin
   |Datum=1965}}
* {{Literatur
   |Autor=Karel Markowski
   |Titel=Die Berechnung der Zahl Π [(Pi)] aus Sinus- und Tangens-Intervallen
   |Auflage=1.
   |Verlag=Trigon
   |Ort=Potsdam
   |Datum=2007
   |ISBN=978-3-9810752-1-2}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Herbert Meschkowski]]
   |Titel=Unendliche Reihen
   |Auflage=2., verbesserte und erweiterte
   |Verlag=BI Wissenschaftsverlag
   |Ort=Mannheim (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1982
   |ISBN=3-411-01613-2}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jakow Issidorowitsch Perelman|Jakow Perelman]]
   |Titel=Unterhaltsame Geometrie
   |Verlag=Volk und Wissen
   |Ort=Berlin
   |Datum=1962}}
* {{Literatur
   |Autor=Jürgen Petigk
   |Titel=Dreieckige Kreise oder wie man Π [Pi] mit einer Nadel bestimmen kann
   |TitelErg=Mathematische Rätsel, Training fürs Gehirn
   |Verlag=Komet
   |Ort=Köln
   |Datum=2007
   |ISBN=978-3-89836-694-6
   |Kommentar=1998 als ''Mathematik in der Freizeit'' bei Aulis-Verlag Deubner, Köln erschienen, ISBN 3-7614-1997-X}}
* {{Literatur
   |Autor=Karl Helmut Schmidt
   |Titel=Π [Pi]
   |TitelErg=Geschichte und Algorithmen einer Zahl
   |Verlag=Books on Demand GmbH
   |Ort=Norderstedt
   |Datum=
   |ISBN=3-8311-0809-9
   |Kommentar=[2001]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Karl Strubecker]]
   |Titel=Einführung in die höhere Mathematik. Band 1: Grundlagen
   |Verlag=R. Oldenbourg Verlag
   |Ort=München
   |Datum=1956}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Heinrich Tietze]]
   |Titel=Mathematische Probleme
   |TitelErg=Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik
   |Verlag=C. H. Beck
   |Ort=München
   |Datum=1990
   |ISBN=3-406-02535-8
   |Kommentar=Sonderausgabe in einem Band, 1990 auch als dtv-Taschenbuch 4398 / 4399, ISBN 3-423-04398-9 – Band 1 und ISBN 3-423-04399-7 – Band 1}}
* {{Literatur
   |Autor=Fridtjof Toenniessen
   |Titel=Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik
   |Auflage=2.
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=2019
   |ISBN=978-3-662-58325-8
   |DOI=10.1007/978-3-662-58326-5}}
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics''. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146 ({{Google Buch |BuchID=mIT5-BN_L0oC |Seite=145 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})

== Weblinks ==
{{Commonscat|Pi|audio=1|video=1}}
{{Wiktionary}}
* [[b:Formelsammlung Mathematik: Irrationalität und Transzendenz#Die Kreiszahl π ist irrational|Beweis der Irrationalität von <math>\pi</math>]] in der [[b:Formelsammlung Mathematik|''Formelsammlung Mathematik'']]
* [[b:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π|Beweis der Transzendenz von <math>e</math> und <math>\pi</math>]] im [[b:Beweisarchiv|''Beweisarchiv.'']]
* {{MathWorld|title=Pi Formulas|urlname=PiFormulas}}
* Werner Scholz: [http://magnet.atp.tuwien.ac.at/scholz/projects/fba/fba.html ''Die Geschichte der Approximationen der Zahl''.] TU Wien, 3. November 2001.
* [http://www.anderegg-web.ch/phil/archimedes.htm ''Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl''.]
* ''[https://www.angio.net/pi/piquery The <math>\pi</math>-Search Page.]'' Ziffernfolgen innerhalb von <math>\pi</math> suchen.
* [https://www.pibel.de/ ''Pibel.de''.] Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit.
* ''[http://www.pi-world-ranking-list.com/ Aktuelle Weltrangliste der <math>\pi</math>-Auswendiglerner.]'' Englisch.
* {{Webarchiv |url=http://storage.pberndt.com/scripts/pi.html |wayback=20151103174330 |text=''Monte-Carlo-Methode zur Approximation von π''.}}
* [https://www.geogebra.org/m/kwty4hsz ''Approximation von π durch Gitterpunkte''] und [https://www.geogebra.org/m/bxfa364u ''Approximation von π durch Rechtecke und Trapeze''] (interaktive Illustrationen)
* [[Don Zagier]]: [https://www.math.uni-freiburg.de/information/archiv/gauss.html ''Zahlentheorie und die Kreiszahl Pi''.] Gaußvorlesung 2003 in Freiburg (Podcast).

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

{{Lesenswert|17. November 2023|239004565}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4174646-6}}

[[Kategorie:Besondere Zahl]]
[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]