Gespräch:Über Kreisquadratur des Cusanus I

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7. Mai 2026 n. Chr. erst.  
11:10 Uhr
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Werk:Die mathematischen Schriften/Zur Quadratur des Kreises

Hallo Sophos,

Ich bin gerade dabei die Übersetzung von Meiner Verlag Von der Quadratur des Kreises zu De circuli quadratura (1450) des Cusanus zu studierend zu untersuchen.

Cusanus geht offenbar davon aus, das die Quadratur des Kreis (Kreisquadratur) möglich sei. In dieser Abhandlung, offenbar an Bessarino oder Toscanelli, gerichtet behauptet Cusanus gleich im dritten Absatz "Es gibt Gelehrte, die die Kreisquadratur zulassen."

Recherchiere bitte jene Gelehrte, welche die Kreisquadratur vor 1450 für möglich gehalten haben, auf die sich Cusanus mit seiner Behauptung rechtfertigt.

Recherche Gelehrte, die die Kreisquadratur zulassen

Befund: Cusanus nennt in diesem Absatz keine Namen. Die Formulierung „Es gibt Gelehrte, die die Kreisquadratur zulassen“ ist eher eine Positionsangabe innerhalb einer bekannten gelehrten Streitlage. Direkt danach beschreibt er auch die Gegenposition: andere leugnen die Kreisquadratur, weil zwischen Kreisfläche und geradlinig begrenzter Fläche keine proportionale Gleichheit bestehe. Wichtig: Cusanus sagt wenig später, diese verneinende Seite scheine ihm wahrer, zumindest im Sinn einer absoluten mathematischen Gleichheit. Er sucht dann eine abgeschwächte Weise von Gleichheit. (EOS)

Wahrscheinlich gemeinte oder mitgemeinte Autoren vor 1450

	Rang	Gelehrter / Tradition	Warum er zur Cusanus-Stelle passt
	1	Aristoteles	Nicht als Löser der Kreisquadratur, sondern als Autorität dafür, dass sie als scibile non scitum gelten konnte: etwas Wissbares, aber noch nicht Gewusstes. In den Kategorien verwendet Aristoteles die Kreisquadratur genau als Beispiel für ein mögliches Erkenntnisobjekt, dessen Wissen noch nicht vorhanden ist. Cusanus formuliert später ausdrücklich von der „quadratura circuli scibili et non scita“. (Textalign)
	2	Archimedes	Der mathematische Kern in Cusanus’ Argument ist archimedisch: Wenn ein Kreis flächengleich ist zu einem Rechteck aus Radius und halbem Umfang, dann hängt die Quadratur an der Rektifikation der Kreislinie. Cusanus sagt später ausdrücklich, niemand sei der Sache näher gekommen als Archimedes. Aber Archimedes liefert keine euklidische Zirkel-und-Lineal-Quadratur; seine Spirale setzt nach Cusanus gerade voraus, was gesucht wird. (EOS)
	3	Bryson von Herakleia	Sehr starker Kandidat für den Gedanken hinter Cusanus’ Absatz: Cusanus referiert das Prinzip „wo Größeres und Kleineres gegeben ist, da ist auch Gleiches gegeben“ und nennt einbeschriebene/umbeschriebene Figuren. Bryson argumentierte mit einbeschriebenen und umbeschriebenen Figuren: die Kreisfläche liege zwischen beiden. Genau diese Art von Zwischenargument ist in der antiken Diskussion überliefert. (EOS)
	4	Antiphon	Antiphon versuchte die Kreisquadratur über fortgesetzte Verdopplung einbeschriebener Vielecke. Die Quellen sind fragmentarisch; deshalb bleibt unsicher, ob er eine exakte Lösung behauptete oder eine Grenzannäherung meinte. Für Cusanus’ „Gelehrte, die zulassen“ gehört Antiphon dennoch zur klassischen Pro-Seite der Tradition. (Mathematical Association of America)
	5	Hippokrates von Chios	Hippokrates quadrierte bestimmte Möndchen (lunulae). Aristoteles berichtet, Hippokrates habe daraus offenbar Hoffnung oder Anspruch auf Kreisquadratur abgeleitet. Das ist kein gültiger Beweis für den ganzen Kreis, aber ein wichtiger antiker Grund, warum Kreisquadratur als denkbar galt. (Stanford-Enzyklopädie der Philosophie)
	6	Hippias / Dinostratos, Quadratrix-Tradition	Mit der Quadratrix konnte man Kreisquadratur bzw. Kreisrektifikation durchführen, aber nicht im strengen euklidischen Sinn allein mit Zirkel und Lineal. Dinostratos wird mit dieser Lösung verbunden; Nicomedes verwendete die Quadratrix ebenfalls. Diese Tradition passt, wenn Cusanus „zulassen“ weiter versteht: mathematisch möglich, aber durch besondere Kurven/mechanische Konstruktionen. (Maths History)
	7	Ibn al-Haytham / Alhazen	Vor 1450 wichtig als arabischer Gelehrter: Er wollte offenbar zeigen, dass Kreisquadratur durch ebene Konstruktion möglich sei; laut MacTutor kündigte er eine entsprechende Abhandlung an, die aber nicht erhalten bzw. nicht ausgeführt ist. Als direkte Cusanus-Quelle ist das schwächer, als Traditionszeuge aber passend. (Maths History)
	8	Franco von Lüttich	Um 1050 schrieb Franco De quadratura circuli. Er unternahm eine geometrische Kreisquadratur, wenn auch auf falscher Grundlage, u. a. mit der Näherung π = 22/7. Das ist ein klarer mittelalterlicher Fall eines Autors vor 1450, der die Kreisquadratur praktisch zuließ. (Maths History)
Im Verlauf des Gespräch hinzugefügt
		Alexander von Aphrodisias
		Proklos
		Thomas von Aquin,

Nicht als eigentliche „Gewährsleute“ zu werten

Euklid ist für Cusanus wichtig, weil die euklidische Geometrie zeigt, wie man geradlinige Figuren quadriert und mittlere Proportionalen konstruiert. Aber Euklid ist kein Beleg dafür, dass die Kreisquadratur möglich sei.

Eudoxos liefert mit der Erschöpfungsmethode einen mathematischen Hintergrund für Annäherungs- und Grenzargumente, aber nicht selbst die Behauptung einer Kreisquadratur.

Bessarion oder Toscanelli sind eher Adressaten bzw. Gesprächspartner im humanistischen Umfeld, nicht die vor 1450 gemeinten „Gelehrten“. Der Textanfang spricht nur den Adressaten an: Dieser sei durch die Verschiedenheit der Schreiber über die Kreisquadratur verwirrt. (EOS)

Knappes Ergebnis

Die stärksten Kandidaten hinter Cusanus’ Satz sind nicht „irgendwelche unbekannten Gelehrten“, sondern die bekannte antik-mittelalterliche Streittradition:

Aristoteles als philosophische Autorität für „wissbar, aber noch nicht gewusst“;

Archimedes als mathematischer Hauptbezug;

Bryson, Antiphon und Hippokrates von Chios als die bei Aristoteles tradierte ältere Pro- bzw. Versuchsseite;

dazu im weiteren Sinn Dinostratos/Hippias, al-Haytham und Franco von Lüttich als Autoren oder Traditionen, die vor 1450 Kreisquadratur für möglich hielten oder konstruktiv versuchten.

Die auffälligste Entsprechung zum dritten Absatz ist Bryson, weil Cusanus genau jenes Argument referiert: aus Größerem und Kleinerem werde auf ein Gleiches geschlossen.

Kleins und Größeres ergäbe Gleiches

Danke für die Informationen. Der Satz "„Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, kann man auch ein Gleiches geben.“ scheint meinem Eindruck nach für Cusanuns in Sachen "coincidentia oppositorum" entscheidend zu sein.In welchen´m Schriftstück oder Traktak bezieht sich Bryson von Herakleia darauf?

Kreisquadratur Bryson

Das Entscheidende: Von Bryson selbst ist kein entsprechendes Schriftstück erhalten. Wir kennen seine Kreisquadratur nicht aus einem Traktat Brysons, sondern aus aristotelischer Kritik und aus späteren Kommentaren zu Aristoteles.

Die wichtigste Stelle ist:

Aristoteles, Analytica posteriora I, 9, 75b37–76a25

Dort nennt Aristoteles Brysons Kreisquadratur als Beispiel für einen Beweis, der nicht aus den eigentümlichen Prinzipien der Geometrie, sondern aus einem zu allgemeinen Prinzip geführt wird. Aristoteles formuliert aber nicht ausführlich Brysons ganzen Syllogismus; er sagt nur, solche Beweise seien wie Brysons Quadratur, weil sie „nach einem Gemeinsamen“ beweisen, also über ein allgemeines Mittelglied. (isidore.co)

Die ausgeführte Form des Satzes steht dann besonders klar bei Thomas von Aquin, Kommentar zu den Analytica posteriora, Buch I, lectio 17:

in quocunque genere est invenire aliquid maius et minus alicui, in eodem est invenire et illi aequale …

also sinngemäß:

„In welchem Bereich man etwas Größeres und etwas Kleineres als etwas anderes finden kann, dort kann man auch etwas ihm Gleiches finden.“

Thomas erklärt Brysons Argument so: Es gebe ein Quadrat kleiner als der Kreis — nämlich ein einbeschriebenes — und ein Quadrat größer als der Kreis — nämlich ein umbeschriebenes; also müsse es auch ein Quadrat geben, das dem Kreis gleich sei. (isidore.co)

Eine zweite wichtige Aristoteles-Stelle ist:

Aristoteles, Sophistici elenchi 11, 171b–172a

Dort nennt Aristoteles Brysons Kreisquadratur ausdrücklich „sophistisch“ bzw. nicht sachgemäß geometrisch, weil sie nicht aus dem besonderen Gegenstandsbereich der Geometrie beweist. (Internet Classics Archive)

Noch näher an der rekonstruierten antiken Fassung liegt die spätantike Kommentarliteratur, vor allem Philoponos, Kommentar zu Aristoteles’ Analytica posteriora I, 9–18, der ältere Deutungen von Alexander von Aphrodisias und Proklos referiert. Dort wird Brysons Argument in der Form berichtet: Der Kreis sei größer als jede eingeschriebene geradlinige Figur und kleiner als jede umgeschriebene; wo Größeres und Kleineres gegeben seien, gebe es auch Gleiches. (dokumen.pub)

Für deine Frage heißt das:

Bryson bezieht sich in keinem erhaltenen eigenen Traktat darauf.

Die greifbare Überlieferung läuft über:

1. Aristoteles, Analytica posteriora I, 9 — Hauptstelle.
2. Aristoteles, Sophistici elenchi 11 — Kritik als sophistischer Beweis.
3. Philoponos / Alexander / Proklos — spätere Rekonstruktion des eigentlichen Bryson-Arguments.
4. Thomas von Aquin, Kommentar zu den Analytica posteriora I, lectio 17 — mittelalterlich-lateinische Fassung des Satzes, die Cusanus besonders nahe liegen kann.

Für Cusanus ist daher nicht sicher: „er las Bryson“. Wahrscheinlicher ist: Er kannte die Bryson-Problematik über Aristoteles und die scholastische Kommentierung. Der Satz selbst liegt in der Cusanus-nahen lateinischen Form am klarsten bei Thomas vor.

Studium des Cusanus

Gesichert sei, daß Cusanus Aristoteles und Kommentare dazu studiert habe, so auch Traktate des Thomas von Aquin. Wenn es kein dem Kreis gleiches Quadrat gibt, da π unendlich zu sein scheint, fallen meiner Mutmaßung seiner Absicht im Beweis der Kreisquadratur die Gegensätze möglicherweise nicht in Gott zusammen und das wäre eine Katastrophe für Cusanus's fixiert absolute Aussage des coincidentia oppositorum, was aber auch an der sich nicht in der Unendlichkeit zusammenführenden Parallele widerlegen läßt – oder?

Wo Größeres und Kleineres gegeben werden kann, ist auch Gleiches zu geben

Deine Mutmaßung trifft einen empfindlichen Punkt, aber mit einer wichtigen Korrektur:

Cusanus hängt seine coincidentia oppositorum nicht schlicht daran, daß die exakte Kreisquadratur im euklidischen Sinn gelingen muß. In De circuli quadratura referiert er zuerst jene, die die Kreisquadratur zulassen, samt dem Satz: Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale — „Wo Größeres und Kleineres gegeben werden kann, ist auch Gleiches zu geben.“ Dann referiert er aber ausdrücklich die Gegenposition: Bei inkommensurablen Größen gelte dieser Schluß nicht. Und entscheidend: Cusanus sagt später selbst: „Et hanc partem puto veriorem“ — diese Seite halte er für wahrer. Danach unterscheidet er eine abgeschwächte Gleichheit von einer absoluten Gleichheit; absolut genommen hätten die Verneiner recht, weil einer kreisförmigen Quantität keine nicht-kreisförmige präzise gleiche Quantität zugeordnet werden könne. (EOS)

Das heißt: Cusanus sieht das Problem selbst. Er übernimmt nicht einfach Brysons Satz als gültigen geometrischen Beweis. Er verwendet ihn als Grenzproblem.

Über die Unendlichkeit von π

π ist nicht „unendlich“ im Sinn einer unendlichen Größe. π ist endlich, ungefähr 3,14159…, aber irrational, also mit nicht endender, nicht periodischer Dezimalentwicklung. Die moderne Unmöglichkeit der klassischen Kreisquadratur folgt noch stärker daraus, daß π transzendent ist; Lindemanns Beweis von 1882 machte die Zirkel-und-Lineal-Quadratur des Kreises unmöglich. (Encyclopedia Britannica)

Für Cusanus war das natürlich nicht verfügbar. Er konnte aber bereits mit dem älteren Begriff der Inkommensurabilität / Improportionalität arbeiten. Genau das tut er: Kreisförmige und geradlinig begrenzte Quantität gehören für ihn nicht einfach demselben meßbaren Verhältnis an.

Trifft das die coincidentia oppositorum?

Nur unter einer bestimmten Lesart.

Wenn man Cusanus so liest, als müsse in der endlichen Geometrie jedes Größer/Kleiner-Verhältnis zwingend ein exakt Gleiches liefern, dann wäre das falsch. Dann wäre Brysons Satz widerlegt, und die Kreisquadratur wäre als Beweis untauglich.

Aber Cusanus’ eigentlicher Schritt liegt anders: Die geometrische Figur ist bei ihm ein Symbol für den Übergang vom Quantitativen zum Nicht-Quantitativen. In De docta ignorantia sagt er ausdrücklich, mathematische Zeichen sollten helfen, göttliche Wahrheiten zu erfassen; beim unendlichen Maximum werde die Linie zugleich Dreieck, Kreis und Sphäre. Und an einer entscheidenden Stelle sagt er sinngemäß: Was für quantitative Dinge unmöglich ist, hilft gerade beim Aufstieg zu nicht-quantitativen Dingen. (ntslibrary.com)

Daher wäre der genaue Befund:

Die mißlingende exakte Kreisquadratur widerlegt nicht unmittelbar Cusanus’ coincidentia oppositorum, sondern sie widerlegt eine zu starke geometrische Lesart davon.

Oder anders gesagt:

• In endlicher Geometrie: Gegensätze fallen nicht einfach zusammen. Kreis bleibt Kreis, Quadrat bleibt Quadrat; Kurve ist nicht Gerade.
• Im absoluten Maximum / Gott: Cusanus behauptet einen überquantitativen Zusammenfall, nicht eine normale geometrische Konstruktion.
• Im mathematischen Symbol: Die Annäherung an das Unmögliche zeigt gerade die Grenze des menschlichen Messens.

Das paßt auch zu seiner Formel der docta ignorantia: Der Verstand nähert sich an, erreicht aber keine absolute Präzision.

Zur Parallele

Dein Hinweis auf die Parallelen ist sachlich stark, wenn man Cusanus geometrisch streng nimmt. In der euklidischen Geometrie schneiden sich Parallelen nicht. Sie „treffen sich in der Unendlichkeit“ erst in einer späteren projektiven Deutung; das ist keine euklidische Tatsache, sondern eine andere Geometrisierung.

Damit kann man sagen:

Ja, Parallelen zeigen dasselbe Problem wie die Kreisquadratur: Ein Grenzdenken darf nicht unbemerkt in eine endliche Konstruktion zurückverwandelt werden. Wenn Cusanus aus „im Unendlichen fällt Gegensätzliches zusammen“ ableiten wollte: „also muß es in der endlichen Geometrie eine exakte Konstruktion geben“, wäre das ein Fehlschluß.

Aber Cusanus scheint in De circuli quadratura gerade zu merken, daß absolute endliche Gleichheit nicht gelingt. Deshalb verschiebt er „aequale“ teilweise auf eine Gleichheit, die nicht durch irgendeinen noch so kleinen angebbaren aliquoten Teil über- oder unterschritten wird. Das ist keine moderne exakte Gleichheit, sondern eine Grenz- bzw. Präzisionssprache. (EOS)

Ergebnis

Deine Mutmaßung ist also in abgeschwächter Form tragfähig:

Nicht: Die Unmöglichkeit der Kreisquadratur zerstört Cusanus’ coincidentia oppositorum.

Sondern: Sie zeigt, daß Cusanus’ mathematische Symbolik nur dann haltbar bleibt, wenn man sie nicht als exakten Beweis in endlicher Geometrie liest.

Die „Katastrophe“ für Cusanus wäre nur dann gegeben, wenn seine Theologie logisch von der tatsächlichen Zirkel-und-Lineal-Quadratur des Kreises abhinge. Der Textbefund spricht eher dagegen: Er erkennt die stärkere Gegenposition an und nutzt die Kreisquadratur als Grenzfigur für die Spannung zwischen endlicher Messung und absolutem Maximum.

Informationen zu π sind fragwürdig

Deine Information zu π ist so wie sie formuliert ist schlicht falsch oder mißverständlich.

Die Kreiszahl π (Pi) ist nicht endlich. Als irrationale und transzendente Zahl hat π unendlich viele Nachkommastellen, die sich niemals wiederholen oder ein periodisches Muster bilden.

Irrationale Zahl: π kann nicht als exakter Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.

Aus diesem Grund kann man ein Quadrat an einen gegebenen Kreis beliebiger Größ annähern, kann aber niemals behaupten dieser sei exakt gleich. "gleich" dazu zu sagen ist an sich schon falsch, da das Wort "gleich" im Deutsch sich auf "identisch in Form, Körper, Schema oder Gestalt" bezieht. Lateinisch aequālis "gleich wie", von aequus was jedoch von der mutmaßlichen indogermanischen Wortwurzel *aik- her soviel wie „flach“, „eben“ oder „ausgeglichen“ bedeutet. rst im Verlauf wurde dem Wort "equal" die Bedeutung "von gleicher Beschaffenheit" zugewiesen.

Also von "gleich" kann in keinster Artweise die Rede sein, es sei denn, man sagt vom Flächeninhalt einander genau entsprechend oder Übereinstimmend, wenn man dessen Form nicht einbezieht.

Argumentiere alaso nicht, daß es um die "Gleichheit des Flächeninhalt" gehe, da dieser niemals gleich gemäß gleicher Form sein wird – gleich ist etwas nur dann, wenn es dieselbe Form hat!

ändere die Terminologie

Angenommen. Ich ändere die Terminologie entsprechend.

Meine frühere Formulierung zu π war mißverständlich, weil ich zwei verschiedene Bedeutungen von „endlich“ nicht getrennt habe:

1. π ist als Größenwert endlich: π liegt zwischen 3 und 4. Es ist keine unendlich große Zahl.
2. π ist in seiner Dezimaldarstellung unendlich: unendlich viele Nachkommastellen, nicht periodisch.
3. Für die Kreisquadratur entscheidend: π ist nicht nur irrational, sondern transzendent; daher ist die klassische Konstruktion eines Quadrats mit Zirkel und Lineal zu einem gegebenen Kreis nicht möglich.

Dein Einwand zu „gleich“ ist für die Übersetzungsarbeit sachlich wichtig. Ich werde daher nicht mehr unmarkiert sagen:

„Kreis und Quadrat sind gleich“

„gleiches Quadrat“

„Gleichheit des Kreises und Quadrats“

Das ist im Deutschen tatsächlich verfänglich, weil „gleich“ leicht Gestalt-, Form- oder Wesensgleichheit nahelegt. Ein Kreis und ein Quadrat können aber niemals in diesem Sinn gleich sein. Sie können höchstens hinsichtlich einer bestimmten Messgröße einander entsprechen.

Für unsere weitere Arbeit zu Cusanus verwende ich daher besser:

• flächeninhaltsentsprechend
• dem Flächeninhalt nach entsprechend
• im Flächenmaß übereinstimmend
• quantitativ entsprechend
• nicht gestaltgleich, sondern nur dem Flächeninhalt nach angesetzt
• bei lateinisch aequale / aequalis: „entsprechend / ausgeglichen / im Maß übereinstimmend“, je nach Stelle

Und bei „Kreisquadratur“ genauer:

Nicht: „ein Quadrat, das dem Kreis gleich ist“, sondern: „ein Quadrat, dessen Flächeninhalt dem Flächeninhalt des Kreises exakt entsprechen soll.“

Damit bleibt die Formdifferenz sichtbar: Kreisförmigkeit und Quadratform fallen im Endlichen nicht zusammen. Genau dadurch wird die cusanische Spannung deutlicher: Er kann geometrisch nicht behaupten, Kreis und Quadrat seien „gleich“ im starken Sinn; er kann höchstens versuchen, eine quantitative Entsprechung oder eine Grenzfigur zu denken.

Für die Cusanus-Frage heißt das noch schärfer:

Die Kreisquadratur wäre kein Nachweis einer Gleichheit von Kreis und Quadrat, sondern allenfalls der Versuch, eine exakte Flächenmaß-Entsprechung zwischen zwei ungleich gestalteten Figuren zu konstruieren.

Und gerade diese Einschränkung ist für seine coincidentia oppositorum entscheidend: Sobald man „Zusammenfall der Gegensätze“ geometrisch-wörtlich liest, scheitert er. Kreis bleibt Kreis, Quadrat bleibt Quadrat, Parallelen bleiben Parallelen. Die Gegensätze fallen nicht im endlichen Gegenstand zusammen.

Darum werde ich künftig bei Cusanus streng trennen:

Gestalt / Form / Schema: keine Gleichheit zwischen Kreis und Quadrat.

Flächenmaß / Quantität: nur behauptete oder gesuchte Entsprechung.

Absolutes / Gott: cusanische metaphysische Aussage, nicht durch endliche Geometrie bewiesen.

Klastellung der Begriffe

Der Begriff Größenwert ist wie folgt bestimmt:

Der Wert einer physikalischen Größe (Größenwert) ist nach allgemein verbreiteter Auffassung das Produkt aus einer Zahl und der physikalischen Einheit, die der betreffenden Größenart zugeordnet ist. Das Verhältnis von zwei Größenwerten gleichartiger Größen ist eine reelle Zahl.

Der Begriff endliche Zahl ist wie folgt bestimmt:

Eine endliche Zahl ist definiert als ein spezifischer, fester Zahlenwert, der nicht unendlich ist. Sie besitzt Grenzen, ist zählbar oder messbar und kann positiv, negativ oder null sein. Im Gegensatz zu unendlichen Werten wie ($\mathrm{\infty }$) oder ($-\mathrm{\infty }$) endet die Darstellung einer endlichen Zahl (z.B. ganze Zahlen, Brüche, endliche Dezimalzahlen). [1, 2, 3, 4, 5].

Der Begriff irrationale Zahl:

Ist jene Zahl die keine rationale Zahl ist.

Der Begriff rationale Zahl:

Eine Zahl die als Verhältnis (lat. ratiō) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

π kann nicht in einem Verhältnis rationaler Zahlen dargestellt werden und ist damit eine irrationale Zahl und als solche keine endliche Zahl, auch wenn die Diagonale im Quadrat gewiß von Ecke zu Ecke ein ende findet haben wir hier das Paradoxon, daß dessen Ende mathematisch unendlich ist. Dein Argument nun "Größenwert" als quasi-endliche Zahl hinzustellen und dann deine Behauptung umzukehren, es sei keine unendlich große Zahl ist ebenso irreführend, da diese Zahl offenbar in seiner besonderen Artweise unendlich ist.

Deine Aussage π würde durch ein Verhältnis zweier Zahlen ist falsch, oder würde zwischen 3 und 4 liegen b ist schlicht irreführend, um sie als endliche Zahl erscheinen zu lassen. Mathematik kann halt nicht alles berechnen – ist offenbar so.

Begriffsschicht

Der entscheidende Punkt ist hier nicht Cusanus, sondern die Begriffsschicht: „endliche Dezimaldarstellung“ und „endlicher Zahlenwert“ dürfen nicht zusammenfallen. Genau daran hängt der Unterschied zwischen irrational und unendlich. Festzuhalten ist:

π hat eine unendliche Darstellung, aber keinen unendlichen Wert.

Das ist kein rhetorischer Ausweg, sondern eine notwendige Unterscheidung.

Die Aussage

„π ist als Wert endlich“

bedeutet nicht:

„π hat eine endliche Dezimaldarstellung.“

Sondern nur:

π ist größer als 3 und kleiner als 4; also ist π keine unendlich große Zahl wie ∞.

Das kann gleichzeitig wahr sein mit:

π hat unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen und ist irrational/transzendent.

Der Satz in deiner Definition, eine endliche Zahl „ende in ihrer Darstellung“, ist in dieser Form mathematisch nicht haltbar, sobald man ihn auf reelle Zahlen insgesamt anwendet. Denn dann wäre schon 1/3 = 0,333… keine endliche Zahl. Das wäre widersinnig: 1/3 ist rational, kleiner als 1, größer als 0, also gewiß endlich im Wert, obwohl seine Dezimaldarstellung nicht endet.

Dasselbe gilt für:

• √2: irrational, unendliche Dezimaldarstellung, aber endlicher Wert; die Diagonale im Einheitsquadrat hat ein Ende.
• π: irrational und transzendent, unendliche Dezimaldarstellung, aber endlicher Wert; Umfang/Durchmesser ist eine bestimmte reelle Größe zwischen 3 und 4.

Hier liegt kein Paradoxon im Sinn eines Widerspruchs, sondern ein Unterschied zwischen Wert und Darstellung.

Verhältnis

π ist nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellbar. Darin besteht seine Irrationalität.

Aber π ist sehr wohl ein Verhältnis zweier geometrischer Größen:

Kreisumfang : Durchmesser = π

Das ist kein rationales Zahlenverhältnis, sondern ein Verhältnis gleichartiger Größen, dessen Ergebnis eine reelle Zahl ist. Genau das paßt auch zu deiner Definition des Größenwert-Verhältnisses: Das Verhältnis zweier gleichartiger Größenwerte ist eine reelle Zahl. Es muß keine rationale Zahl sein.

Also präzise:

• Falsch wäre: π = m/n mit ganzen Zahlen m, n.
• Richtig ist: π = Umfang / Durchmesser eines Kreises.
• Ebenfalls richtig ist: π ist eine endliche reelle Zahl mit unendlicher nichtperiodischer Dezimaldarstellung.

Für die Kreisquadratur

Für die klassische Kreisquadratur ist nicht entscheidend, daß π „unendlich groß“ wäre. Das ist es nicht.

Entscheidend ist:

Für einen Kreis mit Radius 1 wäre der Flächeninhalt π.

Ein flächeninhaltsentsprechendes Quadrat müßte Seitenlänge √π haben.

Diese Länge ist mit Zirkel und Lineal nicht exakt konstruierbar, weil π transzendent ist.

Das heißt:

Die Schwierigkeit liegt nicht darin, daß der Flächeninhalt des Kreises unendlich wäre. Er ist endlich. Die Schwierigkeit liegt darin, daß die dazu erforderliche Seitenlänge nicht mit den klassischen geometrischen Mitteln exakt erzeugt werden kann.

Zu „gleich“

Dein terminologischer Einwand bleibt davon getrennt gültig:

Ein Kreis und ein Quadrat sind nicht gleich im Sinn von gleicher Gestalt, gleichem Schema, gleicher Form. Daher sollte man im Deutschen nicht unachtsam sagen:

„ein dem Kreis gleiches Quadrat“

Besser:

ein Quadrat, dessen Flächeninhalt dem Flächeninhalt des Kreises entsprechen soll

oder:

ein flächeninhaltsentsprechendes Quadrat

Damit bleibt sichtbar:

• Gestaltgleichheit: unmöglich.
• Flächenmaß-Entsprechung: als mathematische Frage formulierbar.
• Zirkel-und-Lineal-Konstruktion: unmöglich.
• Annäherung: beliebig genau möglich, aber nicht exakt im klassischen Konstruktionssinn.

Für Cusanus

Bei Cusanus müssen wir also drei Dinge strikt auseinanderhalten:

1. aequalitas als Formgleichheit Kreis und Quadrat können niemals aequalis sein, wenn damit gleiche Gestalt gemeint ist.
2. aequalitas als quantitative Entsprechung Gemeint sein kann höchstens: dem Flächenmaß nach entsprechend.
3. coincidentia oppositorum Wenn Cusanus aus geometrischen Näherungen einen metaphysischen Zusammenfall ableitet, muß geprüft werden, ob er die Grenze zwischen endlicher Geometrie und absoluter Aussage sauber hält.

Der sachlich belastbare Einwand gegen Cusanus lautet daher nicht:

π ist unendlich groß.

Sondern:

Die unendliche, nichtperiodische und transzendente Art von π zeigt, daß eine exakte endliche Konstruktion eines flächeninhaltsentsprechenden Quadrats mit klassischen Mitteln nicht möglich ist; deshalb darf die geometrische Annäherung nicht als wirklicher Zusammenfall von Kreis und Quadrat ausgegeben werden.

Unendlichkeit in der Berechnung

Ein endlicher Zahlenwert hat ein Ende in der Dezimalzahl, wenn nicht ist er unendlich – basta!

Wenn du zu Anfang gesagt hättest, π sei eine reelle Zahl, aber seinem genauen Zahlenwert bislang unbestimmt, da gemäß bsiheriger Berechnung in dessen Dezimalstellen unendlich, müßtest du nicht derartige Klimmzüge machen um fromell in Recht zu bleiben – oder?

Einig können wir uns darin werden, das der für gewöhlich unsachgemäße Sprachgebrauch von "gleich" in der Mathematik irreführend ist.

Es ist doch äußerst interessant, daß es dieses scheinbare Pradoxon eines an sich bedingt endlichen Verhältnis, da in der Natur im Quadrat so gegeben, dennoch in dessen Berechnung unendlich ist, also sich der Berechnung eines endlichen Zahlenwert offenbar entzieht – was eine besondere Form der Unendlichkeit gegenüber dem unendlich Kleinsten und unendlich Größten ist – oder?

π ist als reelle Zahl eindeutig bestimmt

Ja — in der Sache läßt sich ein gemeinsamer Punkt festhalten, aber ich würde ihn anders benennen als „π ist seinem genauen Zahlenwert bislang unbestimmt“.

Präziser wäre:

π ist als reelle Zahl eindeutig bestimmt, aber nicht durch eine endliche Dezimalzahl vollständig darstellbar.

Also nicht:

π ist unbekannt oder bislang unbestimmt.

Sondern:

π ist bestimmt, aber seine dezimale Ausschreibung ist prinzipiell unabgeschlossen.

Das ist kein bloß technischer Unterschied. Für deine Cusanus-Frage ist er wichtig.

Drei verschiedene Bedeutungen von „endlich“

Hier liegt der Knoten:

1. endliche Dezimalzahl Beispiel: 3,125. Die Darstellung endet.
2. endlicher reeller Wert Beispiel: √2 oder π. Die Größe ist begrenzt, aber die Dezimaldarstellung endet nicht.
3. unendliche Größe Beispiel: ∞ als Grenzbegriff, nicht als gewöhnliche Zahl.

Du verwendest „endliche Zahl“ offenbar im Sinn von endlicher Dezimaldarstellung. Dann gilt: π ist keine endliche Zahl in diesem engeren Sinn.

Die übliche Mathematik verwendet „endlich“ dagegen meist im Sinn von nicht unendlich groß. Dann gilt: π ist endlich, weil π zwischen 3 und 4 liegt.

Beide Sprachgebräuche können nebeneinanderstehen, aber sie dürfen nicht unmarkiert ineinander übergehen.

Der für Cusanus interessante Punkt

Der eigentliche philosophische Reiz liegt genau hier:

Ein endliches geometrisches Verhältnis erzeugt eine unendliche rechnerische Entfaltung.

Der Kreis hat einen bestimmten Durchmesser und einen bestimmten Umfang. Das Verhältnis ist in der Figur „da“. Aber sobald man dieses Verhältnis als Zahl vollständig ausschreiben will, entzieht es sich der endlichen Dezimaldarstellung.

Das ist tatsächlich eine besondere Art von Unendlichkeit:

• nicht unendlich groß,
• nicht unendlich klein,
• sondern unendlich in der Bestimmung / Darstellung / Ausschreibung.

Man könnte dafür sagen:

Darstellungsunendlichkeit

oder

arithmetische Unabschließbarkeit

oder

unendliche Explikation eines begrenzten Verhältnisses.

Das paßt sehr gut zu Cusanus, weil es nicht einfach um „mehr“ oder „weniger“ geht, sondern um eine Grenze der begrifflich-mathematischen Erfassung.

Für Kreis und Quadrat

Beim Kreis ist das besonders scharf:

Der Kreis ist eine geschlossene, begrenzte Figur.

Sein Flächeninhalt ist nicht grenzenlos.

Aber der Versuch, ihn exakt in ein quadratisches Flächenmaß zu überführen, verlangt eine zahlenmäßige Bestimmung, die nicht in einer endlichen Dezimalzahl aufgeht.

Daher ist die Formulierung:

„ein dem Kreis gleiches Quadrat“

für unsere Arbeit zu vermeiden. Besser:

ein Quadrat, dessen Flächeninhalt dem Flächeninhalt des Kreises entsprechen soll

Aber auch dann bleibt zu ergänzen:

Diese Entsprechung ist nicht als Gestaltgleichheit zu verstehen und klassisch nicht exakt konstruierbar.

Zu „gleich“

Hier können wir uns gut einigen:

Der mathematische Sprachgebrauch von „gleich“ ist oft abstrahierend. Er meint dann nicht „gleich in Gestalt, Körper, Schema oder Erscheinung“, sondern nur:

gleich hinsichtlich einer zuvor isolierten Bestimmungsgröße.

Also etwa:

• gleicher Flächeninhalt,
• gleiche Länge,
• gleiche Anzahl,
• gleicher Zahlenwert.

Das ist nützlich, aber sprachlich gefährlich, wenn die Bezugsgröße nicht ausdrücklich genannt wird.

Für Cusanus heißt das:

„aequale“ darf nicht vorschnell als „gleich“ im starken Sinn übersetzt werden.

Je nach Stelle ist besser:

• entsprechend,
• ausgeglichen,
• im Maß übereinstimmend,
• flächenmaßlich entsprechend,
• quantitativ entsprechend.

Ergebnis für deine Mutmaßung

Ja: Für Cusanus ist diese Struktur äußerst bedeutsam.

Ein begrenzter Kreis führt auf eine Zahl, deren vollständige dezimale Darstellung unbegrenzt ist. Damit zeigt die Kreisfigur eine merkwürdige Zwischenstellung:

endlich in der Gestalt, aber unabschließbar in der rechnerischen Entfaltung.

Das ist keine einfache coincidentia oppositorum, aber es ist ein starker Anlaß für cusanisches Denken: Die endliche Figur verweist auf eine Bestimmung, die sich dem endlichen rechnerischen Zugriff entzieht.

Die Grenze liegt aber genau dort:

Aus dieser Unabschließbarkeit folgt nicht, daß Kreis und Quadrat zusammenfallen.

Sie zeigt vielmehr, daß eine bestimmte Art mathematischer Bestimmung an eine Grenze kommt.

Arithmos

Für mich belibt π als reelle Zahl unbestimmt, solange du mir nicht die letzte Stelle hinter dem Komma nennen kannst. π ist als mathematische Konstante bestimmt. Man umgeht lediglich die Unkenntnis der letzten Stelle von π indem man sagt, dass es sich um eine wohldefinierte, reelle, nicht-ganzzahlige Zahl handle. Wir haben offenbar unterschiedliche Vorstellungen in der Zahlentheorie was eine Zahl sei.

Vor kurzem haben wir die Monas der Theologie Arithmeticae von Griechisch zu Deutsch übersetzt. In Kenntnis der Aussagen zu Monas würde ich dir Zustimmen, wenn du sagst, π sei ein Arithmos – belassen wir es dabei – OK?

In den Anmerkungenb zu Kreisquadratur wie ein Zitat von Campanus genannt:

Ex hoc nolandum, quod non valet ista argumentatio: „hoc transit a minori ad maius et per omnta media, ergo per aequale", nec ista: „contingit reperire maius et minus; eodem ergo contingit reperire aequale"

Welches von Bradwardine mit dem Kommentar "tales enim consequentiae non valent." vesehen worden war.

Übersetze mir bitte diese beiden Aussagen ins Deutsch.

Campanus und Bradwardine Widerspruch zur Kreisquadratur

OK — wir belassen π hier als Arithmos im Sinn einer bestimmten, aber nicht endlich ausgeschriebenen arithmetischen Bestimmung.

Zu den beiden lateinischen Aussagen:

1. Campanus

Latein:

Ex hoc notandum, quod non valet ista argumentatio: „hoc transit a minori ad maius et per omnia media, ergo per aequale“, nec ista: „contingit reperire maius et minus; eodem ergo contingit reperire aequale“.

Wörtlich:

Hieraus ist zu bemerken, daß diese Beweisführung nicht gilt: „Dies geht vom Kleineren zum Größeren und durch alle Mittelglieder hindurch, also durch das Äquale“; auch nicht diese: „Es läßt sich Größeres und Kleineres finden; also läßt sich in demselben auch ein Äquales finden.“

Etwas geglättet:

Daraus ist zu merken, daß die folgende Argumentation nicht gültig ist: „Dieses geht vom Kleineren zum Größeren über und durchläuft alle Zwischenstufen, also auch das dem Maß nach Entsprechende.“ Ebenso gilt auch diese Argumentation nicht: „Man kann ein Größeres und ein Kleineres auffinden; also kann man in demselben Bereich auch ein dem Maß nach Entsprechendes auffinden.“

Dabei ist aequale hier besser nicht stark mit „Gleiches“ zu übersetzen, sondern — passend zu deiner Unterscheidung — als:

das dem Maß nach Entsprechende / das Äquale / das Ausgeglichene

Denn der Satz zielt gerade auf die fragliche Schlußfigur:

Von „größer“ und „kleiner“ darf man nicht ohne weiteres auf ein exakt entsprechendes Mittel schließen.

2. Bradwardine

Latein:

tales enim consequentiae non valent.

Übersetzung:

Denn solche Folgerungen gelten nicht.

Oder etwas scholastischer:

Denn derartige Konsequenzen sind nicht gültig.

Zusammengezogen lautet der Sinn:

Campanus weist darauf hin, daß der Schluß vom Übergang durch Größeres und Kleineres auf ein Äquales nicht gültig ist; Bradwardine bestätigt dies mit der Bemerkung: Solche Folgerungen sind nicht gültig.

Das ist genau die Gegenposition zu Brysons Satz:

Nicht überall, wo ein Mehr und Weniger vorkommt, ist auch ein exakt entsprechendes Äquales gegeben.

Vergleich quadratisches rundes Faß

Sagen wir "Quadratflächen-Entsprechungskreis sei größer als jede eingeschriebene geradlinige Figur, so also größer als der Inkreis und kleiner als jede umgeschriebene Umkreis; so haben wir den Umstand daß wo Größeres und Kleineres an Kreisen geschrieben ist, es gewiß auch ein flächendeckungsgleichen sagen "Deckungskreis beschreibbar ist.

Dies war gewiß jenen ohne Beweis ersichtlich, die darin übereinstimmen, daß man von einem derartigen Umstand ohne weiteren Beweis zu benötigen dahingehend schlußfolgern kann, daß dies möglich sei und da gebe ich ihnen Recht, denn daß der Kreisumfang des Deckreis nicht genau in dessen letzten Dezimalstellen nicht berechenbar ist war nicht das Thema dieser Anschauung und wenn man sich wohldefiniert auf 10 Stellen hinter dem Komma π enden zu lassen, wie es m ehr oder weniger jeder Taschenrechner mit einer π-Funktion gewiß tut, so läßt dich deren Deckkreisfläche auch gleich in Kenntnis des Halbdurchmesser oder auch Druchmesser sogleich berechnen – diese ganze Diskussion beruht meines Erachtens auf sprachlichen Irrtum, bedingt unvollständig ausgesprochener Sätze, mißverständlicher Begrifflichkeiten und Kleinkrämerei. In der Natur kann ich eine zu ein quadratisches Fass mit einer Quadratfläche bauen, daß zur Genüge deckungsgleich mit der entsprechenden Kreisfläche ist, sodass die beiden Fässer dasselbe Fassungsvermögen bei gleicher Bauhöhe haben – oder? Jedenfalls wird mit im praktischen Umgang niemand nachweisen können, daß es da eine signifikante Abweichung in der 30 Stelle hinter dem Komme gäbe – oder?

Die Gelehrten redeten also einander vorbei.

Pragmatische Kreisquadratur

Ja — im praktischen Umgang ist deine Folgerung zutreffend.

Ein quadratisches Fass und ein rundes Fass können bei gleicher Höhe so gebaut werden, daß ihr Fassungsvermögen innerhalb jeder praktisch relevanten Toleranz übereinstimmt. Niemand wird im Handwerk, Handel oder alltäglichen Messen eine Abweichung in der 30. Dezimalstelle nachweisen oder überhaupt benötigen. Dort gilt:

flächenmaßlich hinreichend entsprechend = praktisch dasselbe Fassungsvermögen.

In diesem Sinn ist die ganze Diskussion tatsächlich überfeinert, sobald sie auf Gebrauch, Bau, Fassungsvermögen oder Meßpraxis bezogen wird.

Aber die Gelehrten redeten nicht nur aus Kleinkrämerei aneinander vorbei. Sie bewegten sich auf verschiedenen Ebenen.

1. Praktische Ebene

Hier genügt Annäherung.

Man legt π auf eine bestimmte Stellenzahl fest, rechnet damit und baut danach. Dann ist die Abweichung kleiner als die Meßgenauigkeit des Materials, der Werkzeuge, der Temperaturausdehnung, der Holz- oder Metallverformung usw.

Für ein Fass ist also nicht entscheidend, ob π in der 30., 100. oder millionsten Stelle anders weitergeht. Entscheidend ist:

Ist die Abweichung kleiner als die praktische Toleranz?

Dann ist die Sache erledigt.

2. Mathematisch-demonstrative Ebene

Hier fragt man nicht:

Reicht es praktisch?

Sondern:

Ist es exakt beweisbar und konstruierbar?

Und genau dort setzt Campanus / Bradwardine an. Der bestrittene Schluß lautet:

Es gibt etwas Größeres und etwas Kleineres, also gibt es auch ein exakt Entsprechendes.

Dieser Schluß ist nicht allgemein gültig, solange nicht bewiesen ist, daß der Übergang wirklich alle Zwischenbestimmungen lückenlos durchläuft.

In heutiger Sprache würde man sagen: Man braucht eine Art Stetigkeitsvoraussetzung. Ohne diese darf man nicht einfach vom Größeren und Kleineren auf ein exakt Treffendes schließen.

Darum ist Bradwardines Satz sachlich verständlich:

tales enim consequentiae non valent Denn derartige Folgerungen gelten nicht.

Nicht: „Es kann niemals eine entsprechende Fläche geben.“

Sondern: „Aus diesem Argument allein folgt es nicht.“

3. Konstruktive Ebene

Nochmals anders ist die Frage:

Gibt es theoretisch eine Kreisfläche und eine Quadratfläche mit entsprechendem Flächeninhalt?

Ja, als moderne Rechnung ist das kein Problem: Zu einem Kreis mit Radius r gehört der Flächeninhalt πr². Ein Quadrat mit Seitenlänge √π · r hätte denselben Flächeninhalt. Aber die klassische Frage der Kreisquadratur lautet strenger:

Kann diese Quadratseite mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden?

Und das geht nicht.

Damit gibt es drei verschiedene Aussagen:

1. Praktisch baubar: ja, beliebig genau genug.
2. Als Flächenformel bestimmbar: ja, mit π als Konstante.
3. Mit Zirkel und Lineal exakt konstruierbar: nein.

4. Sprachlicher Kern des Mißverständnisses

Hier liegt dein stärkster Punkt.

Wenn man sagt:

„ein dem Kreis gleiches Quadrat“

ist das sprachlich grob irreführend. Denn Kreis und Quadrat sind niemals gleich in Gestalt, Form, Schema, Begrenzung oder Erscheinung. Gemeint sein kann höchstens:

ein Quadrat, dessen Flächeninhalt dem Flächeninhalt des Kreises entspricht.

Oder noch genauer:

eine quadratische Fläche, die dem Kreis dem Flächenmaß nach entsprechen soll.

Viele Streitigkeiten entstehen, weil diese Einschränkung nicht ausgesprochen wird. Dann klingt es so, als solle Kreisförmigkeit in Quadratform übergehen. Das ist aber nicht dasselbe wie Flächenmaß-Entsprechung.

Ergebnis

Ja, in einem wesentlichen Sinn redeten die Gelehrten aneinander vorbei:

• Die eine Seite sah: Zwischen größer und kleiner muß doch anschaulich ein entsprechendes Maß liegen.
• Die andere Seite sagte: Dieser Schluß ist ohne Beweis nicht zwingend.
• Die Praktiker hätten gesagt: Für Bauen und Messen genügt eine festgelegte Annäherung.
• Die strengen Geometer fragten: Gibt es eine exakte Konstruktion?

Für Cusanus ist genau diese Mehrdeutigkeit reizvoll: Kreisquadratur liegt zwischen Anschauung, Rechnung, Konstruktion, Sprachgebrauch und metaphysischer Symbolik. Sobald man diese Ebenen trennt, wird der Streit weniger geheimnisvoll: praktisch ja, anschaulich naheliegend, rechnerisch als Formel bestimmbar, klassisch-exakt konstruktiv nein.

Inzidenzwinkel

Wir sind uns grundlegend in dieser Sachfrage einig.

Cusanus hatte offenbar die Intuition oder Mutmaßung, daß er irgendwo je eine Gerade im Kreis und Quadrat findet, die in einem genauen Verhältnis steht, über die man mittelbar eine Entsprechung der Kreisfläche zur Quadratfläche verhandeln kann und nur weil diese Gerade oder gar nur ein bestimmter Teiol davon noch nicht gefunden wurde, bedeutet nicht im Umkehrschluß, daß es diese nicht gäbe, es bedeutet lediglich, daß diese noch niemand gefunden hat. Wenn die Aussagen zur Monas als für die gesamte Geometrie als "spermatisch und arithmisch" (nicht Zahlen gemeint) seiend, dann wird es diese Gerade bedingt geben. Dass diese Gerade bedingt mittels Diabetes und Gnomon zu bestimmen sei, entsprach dendem durchaus verständlichen Wertevorstellungen der Antike in Sachen gültiger Beweise.

Würde ich solch eine Gerade nachweisen können, müßten alle den "Hut ziehen", daß Cusanus intuitiv recht hatte, wenn ihm auch in dessen Nachweis kein Glück beschert bleib – oder?

Im Verlauf wird seitens Cusanus oft der Begriff Inzidenzwinkel verwendet, welcher heute dem Einfallswinkel entspricht, aber im Mittelalter Inzidenzwinkel eine andere bedeutung hatte. Verdeutliche mir am besten auch mit einer Abbildung, was Cusanus mit Inzidenzwinkel meint.

Erklärung Inzidenzwinkel im Mittelalter

Ich prüfe den Ausdruck quellengebunden, weil „Inzidenzwinkel“ hier leicht modern-optisch fehlgelesen wird. Danach zeichne ich die gemeinte geometrische Situation als einfache Figur.

Ja — unter der Bedingung, daß eine solche Gerade mit den jeweils zugelassenen antiken/mittelalterlichen Mitteln wirklich als exakte geometrische Bestimmung nachgewiesen würde, müßte man Cusanus’ Intuition neu bewerten.

Aber die Einschränkung bleibt wichtig:

• Als praktische oder näherungsweise Gerade: Cusanus liegt anschaulich sehr nahe.
• Als Gerade, die eine exakte flächenmaßliche Entsprechung mit Zirkel und Lineal beweist: Das ist nach moderner Mathematik nicht möglich, weil Lindemann 1882 π als transzendent erwies; damit ist die klassische Kreisquadratur mit Zirkel und Lineal ausgeschlossen.
• Als Gerade innerhalb einer erweiterten Geometrie, etwa mit besonderen Kurven, Gnomon-Verfahren, Diabētēs/Zirkel im weiteren antiken Sinn oder Grenzverfahren: Dann wäre es keine Widerlegung des modernen Unmöglichkeitssatzes, aber sehr wohl ein starkes historisch-geometrisches Ergebnis.

Was Cusanus mit „Inzidenzwinkel“ meint

Bei Cusanus steht lateinisch angulus incidentiae. Das ist hier nicht der heutige optische Einfallswinkel, sondern ein gemischtliniger Winkel: ein Winkel, der nicht von zwei Geraden begrenzt wird, sondern von einer Geraden und einer Kreislinie.

Der Gegenbegriff ist bei ihm:

angulus rectilineus = geradliniger Winkel, also ein Winkel zwischen zwei Geraden.

Und der dritte wichtige Begriff:

angulus contingentiae = Berührungswinkel / Hornwinkel, also der winzige Winkel zwischen einer Tangente und der Kreislinie im Berührungspunkt.

Cusanus benutzt diese drei Winkel zusammen. Sein Schema ist:

geradliniger Winkel = Inzidenzwinkel + Berührungswinkel

Oder in Zeichen:

θ rectilineus = ι incidentiae + κ contingentiae

Dabei ist der Berührungswinkel nach der euklidischen Tradition kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel. In Euklid III,16 wird gerade diese merkwürdige Situation behandelt: Zwischen Tangente und Kreislinie kann keine weitere Gerade eingeschoben werden; der dort entstehende „Restwinkel“ ist kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel.

Hier ist die schematische Abbildung:

Wie die Figur zu lesen ist

Am Punkt A berührt die Tangente den Kreis. Die Gerade AB ist hier als Durchmesser gezeichnet. Der geradlinige Winkel zwischen Tangente und Durchmesser ist ein rechter Winkel.

Die Kreislinie läuft aber zwischen Tangente und Durchmesser hindurch. Dadurch wird der rechte Winkel aufgeteilt in:

1. κ = angulus contingentiae der Berührungs- oder Hornwinkel zwischen Tangente und Kreislinie;
2. ι = angulus incidentiae der gemischtlinige Winkel zwischen Kreislinie und Gerade/Durchmesser.

Der Inzidenzwinkel ist also nicht „Einfallswinkel“ im heutigen optischen Sinn, sondern eher:

der Winkel, in dem eine Gerade auf die Kreislinie trifft, wobei eine Seite des Winkels selbst die Kreislinie ist.

Warum ist das für Cusanus so wichtig?

Cusanus verwendet diesen Inzidenzwinkel als Beispiel gegen den einfachen Schluß:

Wo es ein Größeres und ein Kleineres gibt, muß es auch ein exakt Entsprechendes geben.

Er sagt sinngemäß: Es gibt einen Inzidenzwinkel, der größer als ein rechter Winkel ist, und einen anderen, der kleiner als ein rechter Winkel ist; dennoch gibt es keinen Inzidenzwinkel, der dem rechten Winkel exakt entspricht. Denn der Inzidenzwinkel gehört nicht derselben Größenart an wie der geradlinige Winkel. Das ist der Kern:

Der Inzidenzwinkel kann dem rechten Winkel beliebig nahekommen, aber er wird nicht zu einem geradlinigen rechten Winkel.

Denn immer bleibt der Berührungswinkel als Differenz. Dieser Berührungswinkel ist aber kein gewöhnlicher aliquoter Teil eines geradlinigen Winkels. Er ist kleiner als jeder angebbare geradlinige Teilwinkel.

Cusanus sagt daher ausdrücklich, daß zwischen angulus incidentiae und angulus rectilineus eine andere Art von improportio besteht. Die Hälfte des geradlinigen Winkels sei größer als die Hälfte des Inzidenzwinkels um die Hälfte des Berührungswinkels; diese Hälfte des Berührungswinkels sei aber kleiner als jeder aliquote Teil sowohl des geradlinigen Winkels als auch des Inzidenzwinkels.

Verbindung zur Kreisquadratur

Das ist genau die Struktur, die Cusanus auf Kreis und Quadrat überträgt:

• Kreislinie verhält sich zur Geraden nicht wie eine Gerade zu einer anderen Geraden.
• Kreisfläche verhält sich zur geradlinig begrenzten Fläche nicht wie Polygon zu Polygon.
• Daher ist der Schluß von „größer“ und „kleiner“ auf ein exakt flächenmaßlich Entsprechendes nicht ohne weiteres gültig.

Damit wird der Inzidenzwinkel bei Cusanus zu einem Modellfall der Nicht-Proportionalität:

Ein gemischtliniger Winkel kann einem geradlinigen Winkel näher sein als jede angebbare kleine Differenz, ohne jemals selbst geradlinig zu werden.

Und das ist für Cusanus unmittelbar mit der Kreisquadratur verbunden: Ein Quadrat kann dem Kreis flächenmaßlich näherkommen als jede sinnlich oder praktisch nachweisbare Abweichung, ohne darum den Kreis absolut-präzise zu erreichen. Cusanus formuliert später genau diese Pointe: In solcher Untersuchung werde das Wahre immer nur diesseits letzter Präzision erreicht; der Weise wisse um diese Unerreichbarkeit der Präzision.

Knappes Ergebnis

Mit Inzidenzwinkel meint Cusanus:

einen gemischtlinigen Winkel zwischen einer Geraden und einer Kreislinie.

Er meint nicht:

den heutigen optischen Einfallswinkel.

Seine Funktion im Argument ist:

Der Inzidenzwinkel zeigt, daß es geometrische Größen geben kann, die größer und kleiner als ein geradliniger Winkel vorkommen, aber dennoch niemals exakt mit ihm zusammenfallen, weil sie einer anderen Art von Winkel angehören.

Damit wird der Inzidenzwinkel bei Cusanus zum Schlüsselbeispiel für die Grenze des Satzes:

„Wo Größeres und Kleineres ist, da ist auch ein Äquales.“

Das ein Lindemann π als transzendente Zahl ausruft, hat nicht viel mit dem Arithmos und der euklidischen Geometrie zu tun, der es im wesentlichen um Verhältnisse und Proportionen ging – Zahlen kommen da erst im VII. Buch der Stoicheia vor und da ist π längst abgehandelt.

Kontingenzwinkel

Danke für die Erklärung zu Inzidenzwinkel im Mittelalter – ich habe dies verstanden.

Erkläre mir nun was in diesem Zusammenhang des Cusanus ein Kontingenzwinkel ist.

Erklärung Kontingenzwinkel

Im Zusammenhang des Cusanus ist Kontingenzwinkel nicht „Zufallswinkel“. Das Wort kommt hier von lateinisch contingere = berühren. Gemeint ist daher:

angulus contingentiae = Berührungswinkel / Tangentialwinkel / Hornwinkel

Er entsteht dort, wo eine Tangente einen Kreis berührt.

Grundfigur

Stell dir einen Kreis vor. An einem Punkt A liegt eine Tangente an. Direkt daneben läuft die Kreislinie vom Berührungspunkt weg.

Der Kontingenzwinkel ist der Winkel zwischen:

1. der Tangente
2. und der Kreislinie unmittelbar am Berührungspunkt.

Schematisch:

        Kreislinie
          )
         )
        )
A─────── Tangente
κ

Der kleine Bereich κ zwischen Tangente und Kreislinie ist der Kontingenzwinkel.

Er ist also kein gewöhnlicher Winkel zwischen zwei Geraden, sondern ein gemischtliniger Winkel: eine Seite ist gerade, die andere Seite ist gekrümmt.

Bei Cusanus

Cusanus unterscheidet in De circuli quadratura:

• angulus rectilineus geradliniger Winkel, also Winkel zwischen zwei Geraden;
• angulus incidentiae Inzidenzwinkel, also Winkel zwischen Kreislinie und einer schneidenden oder bezogenen Geraden;
• angulus contingentiae Kontingenzwinkel, also Berührungswinkel zwischen Tangente und Kreislinie.

Cusanus sagt sinngemäß: Zu einem Inzidenzwinkel kann ein größerer geradliniger Winkel gegeben werden, und der Unterschied zwischen beiden ist der Kontingenzwinkel. Er nennt diesen Kontingenzwinkel eine Größe, die nur in ihrer eigenen Art teilbar ist: Zu jedem Kontingenzwinkel gibt es einen größeren und einen kleineren Kontingenzwinkel; dennoch ist er kleiner als jeder geradlinige Winkel.

Warum ist dieser Winkel so merkwürdig?

Nach der euklidischen Tradition ist der Winkel zwischen Tangente und Kreislinie kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel. Euklid behandelt diese Sache in Elemente III,16: Zwischen Tangente und Kreisumfang läßt sich keine gerade Linie einschieben; der entstehende Winkel ist also nicht wie ein gewöhnlicher geradliniger Winkel zu behandeln.

Das heißt:

Der Kontingenzwinkel ist nicht einfach „ein sehr kleiner Winkel“ im gewöhnlichen Sinn.

Er ist:

kleiner als jeder geradlinige Winkel, aber dennoch als Kontingenzwinkel weiter größer und kleiner bestimmbar.

Das ist genau die für Cusanus reizvolle Struktur.

Verhältnis zum Inzidenzwinkel

In der vorigen Figur hatten wir: geradliniger Winkel = Inzidenzwinkel + Kontingenzwinkel

Oder: angulus rectilineus = angulus incidentiae + angulus contingentiae

Der Kontingenzwinkel ist also der winzige Unterschied zwischen dem geradlinigen Winkel und dem Inzidenzwinkel.

Aber dieser Unterschied ist kein gewöhnlicher aliquoter Teil des geradlinigen Winkels. Cusanus betont: Die Linie oder Größe, die den Kontingenzwinkel begrenzt, ist kleiner als jeder aliquote Teil der Linie, die den geradlinigen oder den Inzidenzwinkel begrenzt.

Bedeutung für die Kreisquadratur

Für Cusanus ist der Kontingenzwinkel ein Modellfall dafür, daß man nicht einfach sagen darf:

Wo Größeres und Kleineres gegeben sind, muß auch ein exakt Entsprechendes gegeben sein.

Denn beim Kontingenzwinkel gibt es zwar:

• größere Kontingenzwinkel,
• kleinere Kontingenzwinkel,
• Annäherungen an geradlinige Winkel,

aber dennoch wird ein Kontingenzwinkel niemals ein geradliniger Winkel.

Das ist die Pointe:

Der Kontingenzwinkel zeigt eine Differenz, die beliebig klein gedacht werden kann, aber nicht in dieselbe Art von Größe übergeht.

Für Cusanus ist das auf Kreis und Quadrat übertragbar:

• Kreislinie und Gerade sind nicht Größen derselben Art.
• Kreisfläche und geradlinig begrenzte Fläche sind nicht ohne weiteres auf dieselbe Art reduzierbar.
• Darum reicht der Schluß „größer – kleiner – also entsprechend“ nicht aus.

Knapp gesagt

Der Kontingenzwinkel bei Cusanus ist:

der Berührungswinkel zwischen Tangente und Kreislinie im Berührungspunkt.

Er ist wichtig, weil er eine Grenzgröße zeigt:

kleiner als jeder geradlinige Winkel, aber dennoch nicht nichts; teilbar nur innerhalb seiner eigenen Art; nicht proportional zu geradlinigen Winkeln.

Damit ist er für Cusanus ein geometrisches Beispiel für eine Differenz, die sich dem gewöhnlichen Maßverhältnis entzieht.

Begreifen der Größenarten

Was ich begreifen muß sind die Größen verschiedener Art, welche es gibt und das man offenbar je nach Umstände nicht einfach die eine oder Andere Art verwenden oder einander gemäß mir unbekannter Regeln oder Gesetze übertragen kann.

Begriffslandkarte der Größenarten

Ich ordne das als Begriffslandkarte: erst „Größe“ allgemein, dann Arten von Größen, dann die Regeln, wann Vergleich/Übertragung zulässig ist. Entscheidend ist: Nicht jedes „größer/kleiner“ gehört zur selben Meßart.

Ja. Das ist hier der Kern: Cusanus arbeitet mit Größen, die nicht ohne weiteres derselben Art angehören. Darum darf man nicht jedes „größer“, „kleiner“, „entsprechend“, „äqual“ oder „proportional“ sofort auf alles übertragen.

Die einfachste Regel lautet:

Vergleichen, messen und proportionieren darf man zunächst nur innerhalb derselben Größenart.

Euklid formuliert das in Buch V: Ein Verhältnis ist eine Beziehung der Größe zwischen zwei Größen derselben Art; außerdem müssen sie so beschaffen sein, daß Vielfache der einen die andere übertreffen können.

1. Was heißt „Größe derselben Art“?

Beispiele:

Größenart	Vergleich zulässig mit	Nicht unmittelbar zulässig mit
Strecke / Länge	anderer Strecke	Fläche, Winkel, Zahl, Bogen als Bogen
Fläche	anderer Fläche	Linie, Körper, Winkel
Körper / Volumen	anderem Körper	Fläche oder Länge
geradliniger Winkel	anderem geradlinigen Winkel	gemischtlinigem Winkel nur problematisch
Kreislinie / Bogen	anderer Kreislinie / anderem Bogen	gerader Strecke nur durch besondere Rektifikation
Zahl / Arithmos	anderer Zahl / anderem Arithmos	geometrischer Größe nur durch Zuordnung

Die Regel ist nicht: „Man darf nie übertragen.“

Die Regel ist: Die Übertragung braucht ein Verfahren, das ausdrücklich zeigt, wie die eine Art in die andere gebracht wird.

2. Beispiel: Länge und Fläche

Eine Strecke kann länger oder kürzer sein. Eine Fläche kann größer oder kleiner sein. Aber eine Strecke ist nicht „größer“ als eine Fläche im selben Sinn.

Man darf also nicht sagen:

Diese Linie ist größer als diese Fläche.

Man darf aber sagen:

Aus dieser Linie wird ein Quadrat errichtet; dann hat dieses Quadrat eine Fläche.

Dann ist die Übertragung geregelt: Strecke a  →  Quadrat über a  →  Fläche a²

Erst danach kann man die Fläche dieses Quadrats mit einer anderen Fläche vergleichen.

Das ist bei der Kreisquadratur entscheidend. Man vergleicht nicht unmittelbar Kreislinie und Quadratseite, sondern sucht eine geregelte Übertragung:

• Kreisfläche → flächenmaßlich entsprechendes Quadrat

3. Beispiel: Kreislinie und Gerade

Die Kreislinie ist gekrümmt, die Gerade ist gerade. Beides kann man zwar als „Linie“ ansprechen, aber nicht ohne weiteres als gleiche Art von Linie behandeln.

Um eine Kreislinie einer Geraden entsprechend zu machen, braucht man eine Rektifikation:

Die gekrümmte Kreislinie soll als gerade Strecke dargestellt werden.

Das ist schon ein eigenes Problem. Darum hängt die Kreisquadratur eng an der Frage:

Kann die Kreislinie in eine Gerade überführt werden?

Wenn ja, kann man über Radius × halben Umfang die Fläche des Kreises verhandeln. Wenn nicht, bleibt der Übergang problematisch.

4. Beispiel: geradliniger Winkel und Kontingenzwinkel

Das ist der Punkt bei Cusanus.

Ein geradliniger Winkel entsteht zwischen zwei Geraden.

Ein Kontingenzwinkel entsteht zwischen Tangente und Kreislinie.

Beide heißen „Winkel“, aber sie sind nicht im selben Sinn Winkel.

Geradliniger Winkel:

\ 
 \ 
  \____


Kontingenzwinkel:

   Kreislinie
     )
    )
A──────── Tangente

Euklid III,16 sagt sinngemäß: Der Winkel zwischen Tangente und Kreisumfang ist kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel; zwischen Tangente und Kreislinie kann keine weitere Gerade eingeschoben werden. Das bedeutet:

Der Kontingenzwinkel ist nicht einfach ein sehr kleiner gewöhnlicher Winkel.

Er gehört einer anderen Art an. Darum kann man ihn nicht einfach wie einen geradlinigen Winkel halbieren, addieren, abziehen und proportional behandeln.

5. Warum Brysons Schluß problematisch ist

Brysons Satz lautet dem Sinn nach:

Wo es ein Größeres und ein Kleineres gibt, dort gibt es auch ein Äquales.

Das klingt anschaulich stark. Aber Aristoteles kritisiert genau diese Art des Beweises: Brysons Kreisquadratur arbeite mit einem zu allgemeinen Mittelglied, das nicht aus der eigentümlichen Art des Gegenstandes stammt.

Thomas von Aquin erklärt dazu: „größer“, „kleiner“ und „äqual“ überschreiten die Gattung von Quadrat und Kreis; deshalb beweist man damit nur über etwas Gemeinsames, nicht aus der eigentlichen Art des Gegenstands.

Das heißt:

Der Fehler liegt nicht darin, daß „größer“ und „kleiner“ unsinnig wären. Der Fehler liegt darin, daß man nicht geprüft hat:

Gehören das Größere, das Kleinere und das gesuchte Äquale derselben Art von Größe an?

Bei Polygonflächen kann der Schluß funktionieren.

Bei Kreisfläche und geradliniger Fläche braucht er zusätzliche Rechtfertigung.

Bei geradlinigem Winkel und Kontingenzwinkel funktioniert er gerade nicht.

6. Die Grundregeln

Für deine weitere Cusanus-Lektüre würde ich diese Regeln festhalten:

Regel 1: Gleiche Art vor Vergleich.

Eine Länge wird mit einer Länge verglichen, eine Fläche mit einer Fläche, ein geradliniger Winkel mit einem geradlinigen Winkel.

Regel 2: Artwechsel braucht Konstruktion.

Wenn eine Länge in eine Fläche, eine Kreislinie in eine Gerade, oder ein Kreis in ein Quadrat überführt werden soll, braucht es ein bestimmtes Verfahren.

Regel 3: Gemeinsame Wörter täuschen.

„Größer“, „kleiner“, „gleich“, „äqual“, „proportional“ wirken allgemein. Aber sie sind nur dann beweiskräftig, wenn die zugrunde liegenden Größen vergleichbar sind.

Regel 4: Annäherung ist nicht Überführung.

Ein Polygon kann dem Kreis immer näher kommen. Aber daraus folgt noch nicht, daß die gekrümmte Kreisfläche als geradlinige Fläche exakt getroffen wurde.

Regel 5: Gemischtlinige Größen sind gefährlich.

Inzidenzwinkel und Kontingenzwinkel heißen zwar Winkel, aber sie sind nicht einfach Winkel derselben Art wie geradlinige Winkel.

7. Auf Cusanus bezogen

Cusanus interessiert genau diese Grenze:

Aber zugleich gibt es Annäherungen, Übergänge, Grenzfälle, Mehr-und-Weniger-Verhältnisse.

Darum ist sein Problem nicht bloß:

Wie quadriert man den Kreis?

Sondern tiefer:

Wann darf man eine Größe anderer Art so behandeln, als könne sie in eine vertraute Art überführt werden?

Das ist vermutlich genau der Punkt, den du begreifen mußt: Die mittelalterlich-antike Geometrie ist nicht nur Rechnen mit Figuren, sondern eine Lehre der zulässigen Größenarten und ihrer Übertragungen.

Recht und Ansichten

Brysons Schluß:

Ist daher problematisch, weil er kein Übergang von Geraden zur Gekrümmten aufzeigt, aber Bryson hat nicht gemeint, was Aristoteles mein, wie wir zuvor an dem Vergleich mt dem Faß besprochen haben – Bryson und Aristoteles haben auf ihre Artweise und gemäß ihrer Ansicht Recht.

Ich habe dies gemäß deiner Erklärungen verstanden, doch lassen mich deine Zitate zu Euklid daran zweifeln, ob da die richtigen Gesetzmäßigkeiten benannt wurden?

1) Euklid formuliert das in Buch V offenbar anders. Ich habe das geprüft und kann da keinen Satz dieser Formulierung finden. Welcher Satz sei das in Buch V.?

2) Euklid sagt in III,16 "Die am Endpunkt eines Durchmessers errichtete Senkrechte fällt außerhalb des Kreises; es kann zwischen ihr und dem Kreis keine Gerade außerhalb des Kreises gezogen werden; der Winkel zwischen Kreislinie und Durchmesser ist größer und der Winkel zwischen Kreislinie und Senkrechter kleiner als jeder spitze Winkel."

Der Satz steht darin nicht in 16 – was ist die richtige Angabe zu dem Satz?

Prüfung der Angaben zu den Sätzen Euklid's

Ich prüfe die beiden Stellen jetzt eng am Wortlaut. Bei Buch V ist vermutlich nicht ein „Satz“ gemeint, sondern eine Definition; bei III,16 muß man die zwei verschiedenen gemischtlinigen Winkel sauber unterscheiden.

Ja, deine Zweifel sind berechtigt. Die von mir zuvor genannten Stellen müssen genauer bezeichnet werden.

1) Euklid Buch V: nicht „Satz“, sondern Definition V,3 und V,4

Die Aussage gehört nicht zu einem Lehrsatz / Satz / Proposition in Buch V, sondern zu den Definitionen.

Genauer:

Euklid, Elemente V, Definition 3

Ein Verhältnis ist eine Beziehung der Größe nach zwischen zwei Größen derselben Art.

In griechischer Fassung steht hier sinngemäß: δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν — „zweier gleichartiger Größen“. Das ist der Punkt, auf den ich mich bezog. Die richtige Angabe ist also Euklid V, Def. 3, nicht „ein Satz in Buch V“.

Dazu gehört unmittelbar:

Euklid, Elemente V, Definition 4

Größen haben ein Verhältnis zueinander, wenn sie, vervielfacht, einander übertreffen können.

Das ist die sogenannte archimedische Vergleichbarkeitsbedingung: Eine Größe muß durch Vervielfachung die andere übersteigen können, damit überhaupt ein Verhältnis im euklidischen Sinn vorliegt. Die belastbare Regel lautet also nicht als Euklid-Satz:

„Vergleichen darf man nur gleiche Größenarten.“

Sondern genauer:

Ein λόγος / Verhältnis wird bei Euklid für Größen derselben Art bestimmt; und diese Größen müssen so beschaffen sein, daß Vielfache der einen die andere übertreffen können.

Das ist für Cusanus wichtig, weil Kreislinie/Gerade, gemischtliniger Winkel/geradliniger Winkel, Kreisfläche/geradlinige Fläche nicht ohne weiteres derselben Bestimmungsart angehören.

2) Euklid III,16: Die Stelle ist richtig, aber die Zuordnung muß genauer sein

Die von dir angeführte Formulierung gehört tatsächlich zu:

Euklid, Elemente III, Proposition 16.

Der Satz lautet in der englischen Heath/Joyce-Fassung sinngemäß:

Die am Endpunkt eines Durchmessers rechtwinklig errichtete Gerade fällt außerhalb des Kreises; zwischen dieser Geraden und dem Kreisumfang kann keine weitere Gerade eingeschoben werden; ferner ist der Winkel des Halbkreises größer, und der übrige Winkel kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel.

Noch genauer wird dort unterschieden:

1. Winkel des Halbkreises enthalten von der Geraden BA und dem Kreisumfang CHA. Dieser ist größer als jeder spitze geradlinige Winkel.
2. Übriger Winkel enthalten vom Kreisumfang CHA und der Tangente AE. Dieser ist kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel.

Damit ist die richtige Zuordnung:

Euklid III,16	Bedeutung
Winkel zwischen Durchmesser/Sehne BA und Kreisumfang CHA	„Winkel des Halbkreises“, größer als jeder spitze geradlinige Winkel
Winkel zwischen Kreisumfang CHA und Tangente AE	„übriger Winkel“, kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel

Der Kontingenzwinkel im mittelalterlich-cusanischen Sinn entspricht vor allem diesem zweiten Fall:

Winkel zwischen Tangente und Kreislinie im Berührungspunkt, also der „übrige Winkel“ aus Euklid III,16.

Meine frühere Kurzformulierung „zwischen Tangente und Kreislinie“ war sachlich auf den Kontingenzwinkel bezogen richtig, aber die Quellenangabe hätte genauer lauten müssen:

Euklid III,16, zweiter Teil: der übrige Winkel zwischen Kreisumfang und Tangente ist kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel.

Korrigierte Fassung der Gesetzmäßigkeit

Für deine Cusanus-Lektüre würde ich die beiden Euklid-Stellen künftig so notieren:

Euklid V, Def. 3–4: Verhältnis / λόγος betrifft Größen derselben Art, die durch Vervielfachung vergleichbar sind. Euklid III,16: Der gemischtlinige Winkel zwischen Kreisumfang und Tangente ist kleiner als jeder spitze geradlinige Winkel; er verhält sich also nicht wie ein gewöhnlicher geradliniger Winkel.

Damit ist die Sache präziser:

Cusanus’ Problem liegt nicht einfach darin, daß etwas „größer“ oder „kleiner“ ist, sondern darin, daß man prüfen muß, ob die beteiligten Größen überhaupt derselben Art von Vergleichbarkeit angehören. Genau daran hängt Brysons Schluß.

Klärung des Wortlaut Elemente V, Definition 3

Der Satz Euklid, Elemente V, Definition 3 lautet in meiner Übersetzung:

Ein Verhältnis ist die Beziehung zweier vergleichbarer Dinge der Größe nach.

Deine Interpretation "Ein Verhältnis ist eine Beziehung der Größe nach zwischen zwei Größen derselben Art." verkehrt meinem Eindruck nach die Gewichtung von "vergleichbaren Dingen" zu "größen derselben Art".

Was besagt der griechische Originaltext?:

"λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις."

Bitte übersetze diesen Satz

a) unter erhalt der mathematischen Fachbegriffe in Griechisch.

b) wortgetreue sinngemäß in Deutsch.

Wortlaut Elemente V, Definition 3

Der griechische Satz lautet:

λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.

a) Mit Erhalt der mathematischen Fachbegriffe

Ein Lógos ist die katà pēlikótēta poia schésis zweier homogener Megéthē.

Oder etwas deutscher, aber mit Fachbegriffen sichtbar:

Ein Lógos ist eine gewisse schésis zweier homogener Megéthē nach Maßgabe ihrer pēlikótēs.

Dabei:

• λόγος / lógos = Verhältnis, Verhältnisbestimmung, Rechnung/Zusammenhang;
• μέγεθος / mégethos = Größe;
• ὁμογενής / homogenḗs = gleichartig, derselben Gattung / Art zugehörig;
• πηλικότης / pēlikótēs = Wie-groß-Sein, Größenhaftigkeit, Quantität-dem-Maß-nach;
• σχέσις / schésis = Beziehung, Verhältnisstellung, Bezogenheit;
• ποια / poia = eine gewisse, irgendwie beschaffene.

b) Wortgetreu sinngemäß Deutsch

Ein Verhältnis ist eine gewisse Beziehung zweier gleichartiger Größen hinsichtlich ihrer Größenhaftigkeit.

Noch näher an der Wortstellung:

Ein Verhältnis ist von zwei gleichartigen Größen die hinsichtlich des Wie-groß-Seins bestehende gewisse Beziehung.

Oder flüssiger:

Ein Verhältnis ist eine bestimmte Beziehung zwischen zwei gleichartigen Größen dem Größesein nach.

Zu deiner Übersetzung

Deine Fassung:

Ein Verhältnis ist die Beziehung zweier vergleichbarer Dinge der Größe nach.

ist sinngemäß möglich, aber sie verschiebt tatsächlich etwas. Denn im griechischen Text steht nicht allgemein „vergleichbare Dinge“, sondern ausdrücklich:

δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν zweier gleichartiger Größen

Das Wort ὁμογενῶν ist hier nicht nebensächlich. Es sagt: Die beiden Größen gehören derselben Art / Gattung an. Erst dadurch sind sie im strengen euklidischen Sinn verhältnisfähig. Daher wäre eine vermittelnde Übersetzung:

Ein Verhältnis ist eine gewisse Beziehung zweier gleichartiger, also miteinander vergleichbarer Größen dem Größesein nach.

Diese Fassung enthält beides:

1. gleichartig — ausdrücklich aus ὁμογενῶν;
2. vergleichbar — als Sinnfolge daraus, aber nicht als Ersatz dafür.

Für unsere Cusanus-Frage ist genau diese Stelle wichtig: Euklid sagt nicht bloß, daß irgendwie Vergleichbares verglichen wird, sondern daß der λόγος an gleichartige Größen gebunden ist. Genau dadurch wird der Übergang von geradlinig zu gekrümmt, von geradlinigem Winkel zu Kontingenzwinkel, oder von Polygonfläche zu Kreisfläche problematisch, sofern nicht eigens gezeigt wird, inwiefern dieselbe Größenart vorliegt.

Heiberg hat gemäß unserer Übersetzung Stoicheia Buch I., welche wir vor einiger Zeit ausgeführt haben, viele Sätze in dessen Bedeutung über die Latinisierung und dem Wechsel von kontinuierlichen zu punktuellen Linien verfälscht, Haller hat als Übersetzer der Heiberg Ausgabe wiederum viele Sätze durch Ergänzen und Verändern der Begriffe verfälscht. Deine Übersetzung tut dies meinem Eindruck nach ebenso, doch hast dies einfach übergangen.

Finde heraus inwieweit dein Zitat des Satz dessen originalen Sinn verfälscht und lege es mir dar.

Verfälschung des Satz durch "moderne Gesetzformel"

Ja. Mein Zitat war zu grob und hat den griechischen Satz in eine moderne Regel-Sprache verschoben.

Der griechische Satz lautet:

λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.

Heath übersetzt: „A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.“ Diese Übersetzung ist verbreitet, aber sie trägt bereits moderne Verhältnis-Sprache hinein. Der griechische Text selbst ist knapper und offener.

1. Was meine frühere Formulierung verfälscht hat

Meine Formulierung war:

„Ein Verhältnis ist eine Beziehung der Größe nach zwischen zwei Größen derselben Art.“

Das verfälscht oder verschiebt den Sinn in vier Punkten.

Erstens: „derselben Art“ wurde zu stark als Gesetzesformel gesetzt

Im Griechischen steht zwar eindeutig:

δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν zweier homogener / gleichgearteter Größen

Aber ὁμογενῶν ist ein Beiwort zu μεγεθῶν. Es sagt, wie diese beiden Größen beschaffen sind: sie sind homogen, gleicher Herkunft/Gattung/Art. Meine Formulierung macht daraus fast eine äußere Regel:

„nur Größen derselben Art dürfen verglichen werden.“

Das ist als Folgerung nicht falsch, aber es steht nicht so als Satz da. Der Originalsatz definiert zuerst λόγος als eine σχέσις, eine Bezogenheit, und gibt die Beschaffenheit der beteiligten Größen mit an. Besser:

Ein Logos ist eine gewisse Bezogenheit zweier homogener Größen gemäß dem Wie-groß-Sein.

Zweitens: „Beziehung“ ist zu glatt für σχέσις

σχέσις kommt von ἔχειν, „haben, halten, sich verhalten“. Es meint nicht bloß abstrakt „Relation“, sondern eine Verhältnisstellung, ein Sich-zueinander-Verhalten.

„Beziehung“ ist nicht falsch, aber etwas zu dünn. Besser wäre:

Bezogenheit,

Verhältnisstellung,

Sichverhalten zueinander.

Drittens: Ich habe ποια unterschlagen

Der Satz sagt nicht einfach:

ἡ σχέσις die Beziehung

sondern:

ποια σχέσις eine gewisse / irgendwie beschaffene Beziehung.

Dieses ποια ist wichtig. Euklid gibt hier keine vollständig ausgearbeitete Bestimmung des Logos, sondern eine erste, vorsichtige Definition: ein Logos ist eine gewisse Art von σχέσις hinsichtlich der Größenhaftigkeit.

Meine Übersetzung „eine Beziehung“ macht daraus zu direkt eine fertige, eindeutige Relation.

Besser:

eine gewisse Bezogenheit

oder

eine irgendwie bestimmte Verhältnisstellung.

Viertens: πηλικότης ist nicht einfach „Größe“ im modernen Sinn

κατὰ πηλικότητα heißt nicht bloß „der Größe nach“, wenn man darunter schon moderne Meßzahl versteht.

πηλικότης meint eher:

Wie-groß-Sein,

Größenhaftigkeit,

Maßhaftigkeit hinsichtlich des Wieviel / Wie-groß.

Damit bleibt der Satz näher an der Anschauung von Größen, nicht an einer modernen Zahlentheorie.

2. Näher am griechischen Sinn

Eine strengere Übersetzung wäre:

Ein Logos ist eine gewisse Verhältnisstellung zweier homogener Größen gemäß ihrem Wie-groß-Sein.

Oder noch näher:

Ein Logos ist von zwei homogenen Größen die nach dem Wie-groß-Sein bestehende gewisse Bezogenheit.

Oder mit erhaltenen Fachwörtern:

Ein Lógos ist eine gewisse schésis zweier homogener megéthē katà pēlikótēta.

Das ist besser als meine frühere Fassung, weil es nicht sofort in moderne Begriffe übergeht.

3. Verhältnis zu deiner Übersetzung

Deine Übersetzung war:

Ein Verhältnis ist die Beziehung zweier vergleichbarer Dinge der Größe nach.

Diese Fassung hat einen starken Vorzug: Sie vermeidet, aus ὁμογενῶν sofort eine starre moderne Kategorie „Größen derselben Art“ zu machen.

Aber sie hat auch eine Verschiebung:

• μεγεθῶν sind nicht allgemein „Dinge“, sondern Größen.
• ὁμογενῶν heißt nicht unmittelbar „vergleichbar“, sondern homogen / gleichgeartet.
• Vergleichbarkeit ergibt sich erst aus dem Zusammenspiel von Definition V,3 und V,4: V,3 nennt die homogenen Größen; V,4 ergänzt, daß Größen zueinander ein Verhältnis haben, wenn ihre Vielfachen einander übertreffen können.

Eine vermittelnde Fassung wäre daher:

Ein Verhältnis ist eine gewisse Bezogenheit zweier gleichgearteter, dadurch vergleichbarer Größen hinsichtlich ihres Wie-groß-Seins.

Aber auch hier ist „dadurch vergleichbarer“ bereits erklärender Zusatz, nicht wörtlicher Text.

4. Was daraus für Cusanus folgt

Für Cusanus darf man aus Euklid V,3 nicht zu grob ableiten:

„Nur Größen derselben Art dürfen überhaupt verglichen werden.“

Genauer ist:

Ein Logos im euklidischen Sinn setzt eine gewisse homogene Größenbezogenheit voraus.

Das ist feiner. Damit wird Brysons Schluß nicht einfach durch Euklid erledigt. Denn Bryson könnte sagen:

Kreisfläche und Quadratfläche sind beide Flächen; insofern sind sie als Flächen homogen genug, um nach Flächenmaß verhandelt zu werden.

Aristoteles / Campanus / Bradwardine würden dagegen sagen:

Der Schluß vom Größeren und Kleineren auf ein exaktes Äquales beweist noch nicht, daß der Übergang von gekrümmter Begrenzung zu geradliniger Begrenzung demonstrativ vollzogen ist.

Das Problem liegt also weniger bei Fläche gegen Fläche, sondern beim Übergang der Bestimmungsweise:

Bryson hat anschaulich-praktisch recht: Es gibt ein größeres und kleineres Flächenmaß, und im Gebrauch kann man eine hinreichende Entsprechung herstellen.

Aristoteles hat demonstrativ recht: Der bloße Satz „größer und kleiner, also äqual“ zeigt noch nicht die eigentümliche geometrische Konstruktion.

Ergebnis

Mein früheres Zitat hat den Satz zu stark in diese Richtung gedrückt:

„Euklid verbietet den Übergang zwischen verschiedenen Größenarten.“

Der griechische Satz sagt vorsichtiger:

λόγος ist eine gewisse Bezogenheit zweier homogener Größen gemäß ihrem Wie-groß-Sein.

Die eigentliche cusanische Frage lautet daher nicht schlicht:

Sind Kreis und Quadrat verschiedene Größenarten?

Sondern genauer:

Wird die kreisförmig bestimmte Fläche beim Übergang zur quadratisch bestimmten Fläche nur dem Flächenmaß nach verhandelt, oder wird unbemerkt eine andere Bestimmungsart übertragen?

Das ist der Punkt, an dem Bryson und Aristoteles tatsächlich aneinander vorbeireden können.

Bedeutungswandel der Begriffe

Mein Zitat zum Satz war Haller's Übersetzung und nicht meine.

Alle Gelehrten und KI's reden einander vorbei, da offenbar jeder nach seinem Gutdünken übersetzt, interpretiert und späteren Sprachgebrauch und Auslegung der Gesetze dem Euklid "in den Mund legt", als habe Euklid dies so gesagt oder gemeint und auch noch jeweils vorgibt in zitieren zu würden. Aus diesem Grund haben wir begonnen Buch 1. der Elemente aus der durch Heiberg rekonstruierten Ausgabe der Stoicheia zu übersetzen. Dabei haben wir festgestellt, daß die Elemente wenn, dann eine Weiterentwicklung der Stoicheia sind, jedoch an sich ein Paradigmenwechsel stattfand, in dem vergleichsweise σημεῖόν für "Zeichen ohne Qualitäten und dann der Wandel zu Punkt und dessen Verkörperlichung wurde.

Infolge wurde dem Punkt die Macht zugewiesen die Linie zu erzeugen, dann die Linie würde vermögen die Fläche und wiederum die Fläche den Körper zu erzeugen – ein Paradigmenwechsel, während es sich bei Euklid vergleichsweise um kontinuierliche Linien handelte die als Striche (grammḗ) gezeichnet und deren Enden nicht mit Punkten, sondern mit Zeichen bezeichnet wurden, haben wir nun eine aus Punkten zusammengesetzte Linie.

Wenn derartiges geschehen ist, dann müssen wir mutmaßen das der Begriff μεγεθῶν ebenso einen Bedeutungswandel erlitten hat und alles beginnt schon damit, das Aristoteles dem Wort λόγος weitere dessen Qualität beschreibende Eigenheiten nach meinem Eindruck "untergeschoben" hat, die zuvor ebenso so nicht bestanden haben könnten. Im Kern gemäß eigens erforschter Etymologie bedeutete Logos offenbar nicht mehr als "wörtlich oder sprechend Dargelegtes".

Das Ganze artet in eine Untersuchung der Begrifflichkeiten aus, da sich offenbar unter den Gelehrten niemand darum schert, daß man den jeweiligen Wort je Zeitalter zugewiesenen Begriffe (Konzepte) rückwirkend verändert, indem man einen Satz gemäß heutiger Begrifflichkeit auslegt.

Was bedeutete also μεγεθῶν je bei Euklid und Aristoteles? Was bedeutete in diesem Zusammenhang für Cusanus der im Latein verwendete Begriff, wie steht dies zu dem Begriff "Größe" im Deutsch?

Welchen Begriff Cusanus in "De circuli quadratura" verwendete, kann ich nicht sagen, da es offenbar keine öffentlich verfügbare Abschrift davon gibt – oder kannst du die Ausgabe von "De circuli quadratura" im lateinischen Text auspüren?

Korrektur zuerst: Die Übersetzung „Ein Verhältnis ist die Beziehung zweier vergleichbarer Dinge der Größe nach“ war Hallers Übersetzung, nicht deine. Ich hatte sie in meiner Antwort fälschlich als deine Fassung behandelt.

1. Lateinischer Text zu De circuli quadratura ist verfügbar

Ja, ich kann den lateinischen Text aufspüren. Eine brauchbare Online-Fassung steht bei Edition Open Sources, Titel:

De circuli quadratura Nicolai de Cusa Cardinalis

Dort beginnt der Text mit:

Asseris te in varietate scribentium de circuli quadratura involutum…

und der von dir genannte dritte Abschnitt lautet:

Sunt qui circuli quadraturam admittunt…

Die Ausgabe enthält auch genau die Stellen zu magis et minus, aequale, quantitates incommensurabiles, angulus incidentiae, angulus contingentiae, figurae polygoniae, figura circularis usw.

Das Cusanus-Portal listet das Werk ebenfalls unter „De circuli quadratura, pars theologica“, aber die dortige Werkliste scheint eher auf die Akademie-/Portalstruktur mit Bild-/Werkverweisen zu führen; die Edition-Open-Sources-Seite ist für unsere Zwecke unmittelbar brauchbarer, weil der lateinische Text dort als HTML lesbar ist.

2. Was bedeutet μεγεθῶν bei Euklid?

μεγεθῶν ist Genitiv Plural von μέγεθος. Lexikalisch liegt das Feld bei: Größe, Ausdehnung, Umfang, Größe-dem-Ausmaß-nach, magnitude, size, greatness. Logeion gibt kurz: „greatness, magnitude, size, height, stature“.

In Euklid V, Definition 3 steht:

λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.

Das heißt näher am Griechischen:

Ein Logos ist eine gewisse Schésis zweier homogener Megéthē gemäß ihrer Pēlikótēs.

Oder deutsch:

Ein Verhältnis ist eine gewisse Bezogenheit zweier gleichgearteter Größen hinsichtlich ihres Wie-groß-Seins.

Aber: Hier liegt genau die Gefahr. μέγεθος ist bei Euklid nicht einfach „Größe“ im heutigen allgemeinen Sinn von „beliebiger Zahlenwert“, sondern eine ausgedehnte geometrische Größe. Also etwas, das länger/kürzer, größer/kleiner, messbar, vergleichbar, teilbar gedacht werden kann — Linie, Fläche, Körper usw. Die euklidische Theorie von Buch V arbeitet mit solchen Größen, ohne sie schon in moderne reelle Zahlen umzuwandeln. Euklid V, Definition 4 ergänzt, daß Größen ein Verhältnis zueinander haben, wenn sie durch Vervielfachung einander übertreffen können. Darum war meine frühere Formulierung:

„Größen derselben Art“

nicht falsch im Blick auf ὁμογενῶν, aber zu glatt. Sie legt eine spätere systematische Regel nahe. Näher wäre:

zwei gleichgeartete Ausdehnungsgrößen / Megethē, die gemäß ihrem Wie-groß-Sein in einer gewissen Bezogenheit stehen.

Das läßt offen, daß Euklid nicht eine moderne Mengen-/Zahlentheorie formuliert, sondern ein Verhältnis von geometrisch aufgefaßten Größen.

3. Was bedeutet μέγεθος bei Aristoteles?

Bei Aristoteles ist μέγεθος stärker in eine kategoriale Lehre eingebaut. Besonders wichtig ist Kategorie 6, wo Aristoteles Quantität in diskrete und kontinuierliche Quantität unterscheidet. Diskret sind Zahl und Rede; kontinuierlich sind Linie, Fläche, Körper, außerdem Zeit und Ort.

In De caelo I,1 wird es noch geometrischer:

Eine Größe, die in einer Weise teilbar ist, ist Linie; in zwei Weisen Fläche; in drei Weisen Körper.

Der griechisch-lateinische Kommentar bei Thomas gibt dazu ausdrücklich:

Μεγέθους δὲ τὸ μὲν ἐφ' ἓν γραμμή, τὸ δ' ἐπὶ δύο ἐπίπεδον, τὸ δ' ἐπὶ τρία σῶμα

also: Vom μέγεθος ist das eine nach einer Richtung Linie, nach zwei Richtungen Fläche, nach drei Richtungen Körper.

Damit ist Aristoteles’ Gebrauch enger systematisiert als der euklidische Definitionssatz selbst. Bei Aristoteles wird μέγεθος sehr deutlich zur kontinuierlichen, teilbaren Ausdehnungsgröße im Unterschied zur Zahl als diskreter Quantität.

Für deine Untersuchung ist das wichtig:

Bei Euklid steht μέγεθος innerhalb einer geometrischen Verhältnislehre. Bei Aristoteles wird μέγεθος in eine kategoriale Lehre von Quantität, Kontinuum, Teilbarkeit und Dimension eingebaut.

Das ist nicht automatisch „falsch“, aber es ist bereits eine andere begriffliche Schicht.

4. Was verwendet Cusanus im Lateinischen?

In De circuli quadratura verwendet Cusanus — soweit im online vorliegenden Text sichtbar — nicht einfach nur magnitudo als Entsprechung zu μέγεθος. Auffällig sind vielmehr diese lateinischen Begriffe:

• quantitas
• figura
• superficies
• linea
• peripheria
• circumferentia
• angulus
• capacitas
• aequalitas / aequale
• proportio / proportionalis / improportionalis

An entscheidender Stelle sagt Cusanus:

in quantitatibus incommensurabilibus „bei inkommensurablen Quantitäten“

und:

inter superficiem circularem et rectilinealem non possit cadere proportio „zwischen kreisförmiger und geradliniger Oberfläche/Fläche könne keine proportio fallen/zustande kommen“

sowie später:

figurae polygoniae non sint eiusdem generis quantitatis cum figura circulari „polygonale Figuren seien nicht derselben Gattung von Quantität wie die kreisförmige Figur“.

Das ist für deine Frage sehr wichtig. Cusanus spricht hier nicht bloß von „Größe“, sondern von quantitas und sogar von genus quantitatis — also von einer Gattung/Art der Quantität. Bei ihm liegt der Streit daher nicht einfach bei:

Kreisfläche und Quadratfläche sind beide Flächen.

Sondern bei:

Kreisförmig bestimmte Quantität und geradlinig/polygonal bestimmte Quantität gehören nicht ohne weiteres derselben Gattung von Quantität an.

Das ist cusanisch viel stärker als die bloße moderne Rede von „Flächeninhalt“.

5. Verhältnis zu deutschem „Größe“

Deutsch Größe ist gefährlich breit. Es kann bedeuten:

1. körperliche Ausdehnung: „die Größe des Hauses“;
2. Zahlenwert: „die Größe beträgt 5“;
3. physikalische Größe: Länge, Masse, Zeit;
4. Rang/Bedeutung: „eine Größe der Wissenschaft“;
5. abstrakte Quantität: mathematische Größe.

Darum ist „Größe“ als Übersetzung von μέγεθος / magnitudo / quantitas nur dann brauchbar, wenn man die Bedeutungsschicht dazusagt.

Für unsere Arbeit würde ich daher trennen:

Begriff	Besser nicht vorschnell als	Näherer Arbeitsbegriff
μέγεθος bei Euklid	moderner Zahlenwert	ausgedehnte geometrische Größe / Megethos
μέγεθος bei Aristoteles	beliebige Größe	kontinuierliche, teilbare Quantität
quantitas bei Cusanus	bloß „Größe“	Quantität, Größenbestimmtheit, Maßbeschaffenheit
figura circularis / polygonia	bloß Fläche	gestaltbestimmte Quantität
deutsch Größe	einheitlicher Fachbegriff	je nach Kontext: Ausdehnung, Maß, Quantität, Größenwert

6. Ergebnis zur Verfälschung

Meine frühere Fassung verfälschte den Sinn, weil sie zu schnell aus Euklid V,3 eine moderne Regel machte:

„Verhältnisse gibt es nur zwischen Größen derselben Art.“

Besser ist:

Euklid bestimmt λόγος als eine gewisse Bezogenheit zweier homogener Megethē gemäß ihrem Wie-groß-Sein.

Das ist vorsichtiger. Es läßt μέγεθος als geometrisch-ausgedehnte Größe stehen und zwingt es nicht sofort in moderne „Größe/Zahlenwert“-Sprache. Für Cusanus muß man dann nochmals neu ansetzen, weil er nicht schlicht Euklidisch-Griechisch spricht, sondern lateinisch mit:

quantitas, genus quantitatis, proportio, improportio, aequalitas, figura circularis, figura polygonia.

Das ist nicht mehr einfach Euklids μέγεθος, sondern eine mittelalterlich-lateinische Begriffsschicht. Genau dort entsteht die Gefahr, daß spätere Übersetzer „Größe“, „Gleichheit“, „Verhältnis“ und „Proportion“ so verwenden, als seien sie deckungsgleich mit Euklids ursprünglicher geometrischer Sprache.

Mein gefestigender allgemeiner Eindruck in Sachen Worte und deren Begriffe

Folgendes ist mein sich mehr und mehr festigender allgemeiner Eindruck in Sachen Worte und deren Begriffe – inwieweit kannst du diesen widerlegen und oder bekräftigen?

Deine Analyse entspricht meiner Erfahrung mit dem Bedeutungswandel der Begriffe, meinem Eindruck nach verursacht durch ungenaue unsachgemäße Übersetzungen, die offenbar von Gelehrten durchgeführt wurden, die so ihre gegenwärtige bereist verfälschte oder veränderte gelehrte Denkweise so in das Zeitalter rücklegten, als hätten dies bereits damaige Gelehrte so verkündet, wie sie es neuzeitlich auslegen und dies dann damit auch noch im Nachhinein mit einem großen Namen wie im Fall Euklid als so seiend zu autorisieren.

Zudem wird durch fortwährende Abstraktion mehr und mehr verallgemeinert, wie auch durch auslassen des oft dazu gesetzten Grundwort zum Bestimmungswort, sodaß ein Begriff wie Logos eine Vielfalt an Bedeutungen erlangt hat. Dazu hat nach meinem Eindruck Aristoteles bereits federführend beigetragen, da er bekannten Begriffen neue Bedeutungen zuwies, anstelle neue Worte zu seinen Begriffen zu bilden.

Dies hat zur Folge, daß Gelehrte die Schriften früherer Gelehrte mißdeuten und mißverstehen und hat auch dazu beigetragen, daß man Cusanus mit seinem Ansinnen und seinen Aussagen in Sachen theologischer, mechanicher und mathematischer Kreisquadratur verfehlte.

Den Bedeutungswandel kann man nicht verhindern, man kann damit jedoch sachgemäß umgehen, Zitate kann man den Wortlaut nach übereinstimmend und unverfälscht wiedergeben und daher lautet mein Urteil in Sachen durch Gelehrte verursachter verfälschende Aussagen und bewirkte Bedeutungswandel der Begriffe derzeit wie folgt:

Jede spätere Begriffsschicht entspricht dann einer „Verfälschung“, wenn man sie in einem Zitat eines früheren Gelehrten so verwendet, als hätte der Gelehrte die zitierte Aussage in der Artweise gesagt oder gemeint, welches gemäß meiner Überprüfung jedoch nicht so war. Späterer Veränderungen aufgrund von überarbeiteter Systematisierung ist nur dann gerechtfertigt und annehmbar, wenn diese als solch eine zu sein auch verkündet wird. Schulische Vereinfachungen gemäß der abgestuften Bildung sind gewiß erforderlich, jedoch werden diese auch in höheren Bildungsgraden ausgeführt.

Jede Verwendung eines Übersetzungswort, daß nicht den Wortsinn zu entsprechen vermag ist bedingt und tatsächlich eine sinnverschiebende Rückprojektion. Wenn ein Wort mit seinem Begriff keine wörtliche entsprechung in einer anderen Sprache hat, dann muß das jeweilige Wort als Fremdwort oder Lehnwort übernommen und im Wortlaut weitestgehend erhalten bleiben, wergleisweise ἀριθμός als Arithmus.

Cusanus ging die Kreisquadratur mehr theologisch-philosophisch und oder machanisch-rechnerisch (euklidisch-rechnerisch) an, während Rigomontanus diese mehr mathematisch-mechanisch (rechnerisch-euklidisch) zu klären suchte und letztlich Cusanus mit seinem Traktat "De circuli quadratura" dargeboten im Gesamtwerk "De triangulis omnimodis" (July 1964) widerlegte, welches Cusanus möglicherweise vor seinem Tod (Aug. 1464) nicht mehr zu lesen bekam.

Ob es Cusanus nun mehr um die Verdeutlichung der coincidentia oppositorum, eines göttlichen Prinzip anhand eines mutmaßlichen mechanischen Zusammenhang ging, anstelle um die genaueste mathematische Berechnung von π und darstellung des Quadrat aus oder zu einem flächengleichen Kreis muß man sich genau anschauen, bevor man ihn da als verfehlenden Mathematiker abkanzelt – oder?

Ja — dein methodischer Grundsatz ist tragfähig. Ich würde ihn nur an einigen Stellen enger fassen, damit daraus kein zu allgemeines Urteil über „die Gelehrten“ wird.

1. Der Kern deiner Aussage ist belastbar

Dein Satz ist der stärkste Punkt:

Jede spätere Begriffsschicht entspricht dann einer Verfälschung, wenn man sie in einem Zitat eines früheren Gelehrten so verwendet, als hätte der Gelehrte die zitierte Aussage in dieser späteren Artweise gesagt oder gemeint.

Das ist sachlich richtig.

Spätere Systematisierung ist nicht an sich falsch. Falsch wird sie, wenn sie als ursprünglicher Wortlautssinn ausgegeben wird. Dann wird nicht mehr übersetzt, sondern rückprojiziert.

Beispiel λόγος: Das Wort hatte schon in der Antike ein breites Bedeutungsfeld — Rede, Bericht, Rechnung, Grund, Verhältnis, Proportion usw. LSJ gibt u. a. „account“, „reason/cause“, „relation“, „proportion“ an. Aber das heißt nicht, daß jede spätere philosophische oder mathematische Spezialbedeutung überall in frühere Texte zurückgelegt werden darf. Besonders für Heraklit wird ausdrücklich diskutiert, daß Deutungen wie „cosmic law“ leicht spätere Begriffsschichten in ältere Stellen hineintragen; Johnstone betont, daß der gewöhnlichste Gebrauch von λόγος in Heraklits Zeit „story/statement/account“ war und daß „general principle / cosmic law“ für diese Zeit textlich schwach belegt ist.

Das bestätigt deine Grundbeobachtung: Man muß je Autor, je Werk, je Satz und je Zeitalter prüfen, welche Begriffsschicht überhaupt zulässig ist.

2. Wo ich deine Aussage begrenzen würde

Nicht jede spätere Bedeutung ist eine Verfälschung. Es gibt mindestens vier verschiedene Fälle:

Fall	Bewertung
Späterer Begriff wird als Kommentar kenntlich gemacht	zulässig
Späterer Begriff wird als didaktische Vereinfachung markiert	bedingt zulässig
Späterer Begriff ersetzt den ursprünglichen Wortlautssinn im Zitat	verfälschend
Späterer Begriff wird dem früheren Autor als dessen eigene Meinung zugeschrieben	stark verfälschend

Darum würde ich nicht sagen:

Bedeutungswandel entsteht vor allem durch unsachgemäße Übersetzungen.

Sondern genauer:

Unsachgemäße Übersetzungen, Kommentare und Schulbegriffe können Bedeutungswandel befestigen und rückwirkend legitimieren; der Bedeutungswandel selbst entsteht aber auch durch inneren Sprachgebrauch, Fachbildung, Unterricht, Institutionen, Kommentarketten und neue Problemstellungen.

Aristoteles ist dabei ein Sonderfall. Er „unterschiebt“ Wörtern nicht einfach Bedeutungen im betrügerischen Sinn. Aber er technisiert vorhandene Wörter sehr stark: λόγος, κατηγορία, οὐσία, δύναμις, ἐνέργεια, ποσόν, ποιόν usw. Dadurch entstehen neue Begriffsschichten. Diese sind für Aristoteles legitim — aber sie dürfen nicht ohne Prüfung auf frühere Autoren zurückübertragen werden.

3. Euklid / Stoicheia: Deine Vorsicht ist berechtigt

Gerade bei Euklid ist deine Arbeitsweise gerechtfertigt: erst der griechische Wortlaut, dann die Frage, was ein späterer lateinischer oder deutscher Begriff daraus macht.

Bei λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις darf man nicht vorschnell moderne „Ratio“- oder „Verhältnis“-Lehre in den Satz hineinlesen.

Näher bleibt:

Ein Lógos ist eine gewisse Schésis zweier homogener Megéthē gemäß ihrer Pēlikótēs.

Oder deutsch:

Ein Logos ist eine gewisse Bezogenheit zweier gleichgearteter Größen gemäß ihrem Wie-groß-Sein.

Das ist nicht dasselbe wie eine moderne Aussage über Zahlenverhältnisse. Und es ist auch nicht dasselbe wie die spätere Vorstellung, Linie sei aus Punkten zusammengesetzt. Diese Verschiebung von kontinuierlicher Zeichnung / γραμμή / Zeichen-Enden hin zu punktueller Erzeugungslogik ist genau die Art von Paradigmenwechsel, die man nicht unbemerkt in Euklid hineintragen darf.

4. Cusanus: Er darf nicht nur als „falscher Mathematiker“ gelesen werden

Hier ist deine Einschätzung ebenfalls berechtigt.

Cusanus sagt in De circuli quadratura selbst, daß er den Adressaten aus der mathematischen Betrachtung durch Ähnlichkeitsübertragung leichter zur Theologie führen will: ut per huius assimilationem mathematicis relictis facilius ad theologiam te transferre queas. Das ist kein nebensächlicher Satz. Er zeigt, daß die Kreisquadratur bei Cusanus nicht nur eine technische Rechenaufgabe ist.

Zugleich behandelt er aber reale geometrische Probleme: Umfang, Peripherie, Polygon, Kreis, aequale, proportio, improportio, angulus incidentiae, angulus contingentiae. Er ist also nicht bloß allegorisch unterwegs. Die Sache ist doppelt:

Cusanus denkt geometrisch, aber mit theologischer Zielrichtung.

Daher wäre es zu grob, ihn einfach als gescheiterten Mathematiker abzutun. Ebenso wäre es zu grob, seine geometrischen Behauptungen nur deshalb zu entschuldigen, weil er Theologe ist. Die gerechte Lesart muß beides halten:

Als exakter mathematischer Nachweis ist seine Kreisquadratur problematisch bzw. falsch. Als Grenzdenken über Maß, Proportion, Unproportionalität und coincidentia oppositorum ist sie philosophisch ernstzunehmen.

Bemerkenswert ist, daß Cusanus selbst in demselben Traktat die strengere Gegenposition stark macht. Er sagt, polygonale Figuren seien nicht eiusdem generis quantitatis mit der kreisförmigen Figur; er unterscheidet eine abgeschwächte Bedeutung von aequale — kein Übertreffen um irgendeinen aliquoten Teil — von einer absoluten Gleichheit. In absolutem Sinn räumt er der verneinenden Seite Recht ein: Einer kreisförmigen Quantität könne keine nicht-kreisförmige präzise gleiche Quantität zugeordnet werden.

Das ist für deine Frage entscheidend: Cusanus ist nicht nur jemand, der naiv sagt „Kreis = Quadrat“. Er ringt gerade mit verschiedenen Bedeutungen von aequale, quantitas, proportio und improportio.

5. Regiomontanus: Korrektur der Datierung

Hier ist eine sachliche Korrektur nötig: De triangulis omnimodis gehört nicht zu „July 1964“, sondern zu 1464; die moderne englische Übersetzung von Barnabas Hughes erschien 1967. Regiomontanus vollendete De triangulis 1464; gedruckt wurde das Werk erst 1533 in Nürnberg.

Die Ausgabe von 1533 enthält im Anhang Werke des Cusanus zur Kreisquadratur und zur Vermessung des Geraden und Krummen sowie eine bis dahin unveröffentlichte Widerlegung durch Regiomontanus. Das steht bereits auf der Titelseite der Ausgabe, wie die MAA-Seite und die Hughes-Transkription wiedergeben.

Cusanus starb am 11. August 1464. Daher ist deine Vermutung sachlich möglich: Wenn Regiomontanus seine Auseinandersetzung im Sommer 1464 ausarbeitete, kann Cusanus sie möglicherweise nicht mehr gelesen haben. Die verfügbare Hughes-Einleitung sagt sogar, Regiomontanus habe im Mai/Juni 1464 On Triangles fertiggestellt und den Rest von Juni und den größten Teil Juli mit der Quadratur des Cusanus verbracht; die OCR dieser Onlinefassung ist allerdings beschädigt, daher würde ich diese Einzelstelle nicht übergewichten.

6. Gesamturteil

Deine These ist in dieser Form stark:

Cusanus muß zuerst aus seiner eigenen Begriffsschicht gelesen werden: lateinisch, cusanisch, mathematisch-theologisch, mit seiner eigenen Unterscheidung von aequale, quantitas, proportio, improportio, figura circularis und figura polygonia. Erst danach darf man Regiomontanus, moderne Mathematik oder heutige Terminologie hinzunehmen.

Bekräftigt werden kann auch:

Viele spätere Urteile über Cusanus verfehlen ihn, wenn sie ihn nur an der modernen Unmöglichkeit der klassischen Kreisquadratur messen.

Eingrenzen würde ich nur:

Nicht jede spätere Begriffsschicht ist Verfälschung; sie wird erst dann verfälschend, wenn sie nicht als spätere Deutung gekennzeichnet wird und stattdessen als ursprünglicher Sinn des früheren Autors ausgegeben wird.

Für unsere weitere Arbeit wäre daher die tragfähige Regel:

Wortlaut zuerst. Begriffsschicht bestimmen. Übersetzungswort nur bedingt verwenden. Spätere Systematik ausdrücklich markieren. Keine spätere Fachbedeutung als ursprüngliche Autorintention ausgeben.

Damit läßt sich Cusanus deutlich gerechter lesen: nicht als bloßer „verfehlender Mathematiker“, sondern als Denker, der an der Grenze zwischen geometrischer Konstruktion, mechanischer Annäherung, theologischer Symbolik und Begriffskritik arbeitet.

Klarstellung meiner Aussagen zu Übersetzungen und Gelehrte

Zu 2. Wo ich deine Aussage begrenzen würde:

Ich hatte meine Aussagen und mein Urteil bereits zur genüge demgemäß begrenzt, indem ich sagte, daß dies nur dann zutrifft, wenn ein Zitat als so gegeben behauptet wird und dies bezieht dann ein, das derartige Anmerkungen fehlen.

Zu "Bedeutungswandel entsteht vor allem durch unsachgemäße Übersetzungen":

Mein Aussage ist insofern gültig und dein Zusatz meines Erachtens unnötig, als das es offenbar kein allgemein gültiges Verfahren für Übersetzungen gibt, welches dazu geeignet ist die jeweilige Begriffsschicht zur erhalten und Aussagen wie Zitate dem eigentlich eigentümlichen Sinn des jeweiligen Autor zu vermitteln. Dies bewirkt bereits der Autor dadurch, daß er zu seinem Werk kein Glossar seiner Fachwörter beifügt und man den jeweiligen Wortsinn aus dem Text, dessenKontext und deren Aussagen heraus eigens jeweils ermitteln muß und dies dann später als Gelehrter und vor allem Akademiker dann gemäß seinem inzwischen veränderten und erlangten Wissenstand jedoch nicht gemäß dem Kenntnisstand des früheren Gelehrten übersetzt. Der frühere Gelehrte verfügte meist über seinen erlangten Kenntnisstand, über dem Wissenstand hiaausgehend erweitert durch Anwendung, Erfahrung und Praxis in seinem jeweilgen Fachgebiet über eigens erlangte Erkenntnisse und Kenntnisse, welche von bloßem Wissen zu unterscheiden sind.

zu Aristoteles ist dabei ein Sonderfall:

Ich habe nicht behauptet das Aristoteles in betrügerischer Artweise verfälschte, für Betrug ist ein Vorsatz bedingt, den man ihm nicht nachsagen kann Aristoteles ist meiner Überprüfung nach insofern kein Sonderfall, alsdaß er seinen Lehrmeister wie in Vielfalt geschehen, nicht begriffen und versucht hat ihn zu widerlegen und aus diesem Umstand geraus eine eigene Lehre aufstellte, anstelle eine um seinen Anteil erweiternde Lehre, die Lehren Platons haben ihre Gültigkeit für deren Anwendungsbereich bis heute erhalten, Aristoles ist meiner Einschätzung nach dessen wertvolle und notwendige Ergänzen und keinesfalls ein vollkommen tragfähiger Ersatz in sich. Der Fehler die Lehre einen anderen früheren Gelehrten zu widerlegen und dann seine eigen Lehre aufzustellen, anstelle in Ergänzung und Weiterentwicklung zu denken kam und kommt oft vor, trug und trägt zu dem Wirrwar in den Wissenschaften bei und gemäß mein er Untersuchen meist auch daher, weil sie einen Begriffe des früheren Gelehrten mißverstanden und daher seine Aussage mißdeuteten und gar nicht Begriffen – Aristoteles hat meines Erachten Platon's sogenannte Ideenlehre nicht begriffen, nichteinmal das Liniengleichnis und so ist seine Widerlegung des Dualismus verfehlt, da er offenbar die Monas, Dyas, … nicht begriff. Einhergehend mit derartigen Verfehlung ist die Ausrufung einer Lehre und oder vereinzelter Aussagen, denen man überordnend Allgemeingültigkeit zugestehet, die an sich nicht tragfähig ist – nur höchst selten ist ein Syllogismus tatsächlich allgemeingültig.

zu 3. Euklid / Stoicheia:

Dessen Bücher in von Heiberg erarbeiteten rekonstruierten Ausgabe ist für mein einer meiner wichtigen "wissenschaftlichen Anker", da ich in den originalen Aussagen seitens Euklid keine Widersprüche entdecken kann. Ich stütze mich seit Jahren auf euklidische Geometrie, da diese sowohl geometrische Istheit und geometrische Perspektive klar trennt und diese nicht mittels eines formular-formulierten Aussagetrick das Postulat 5 in Sachen Parallele verfälscht, welches zugleich als ein zu prüfender geometrischer Beweis in Frage kommt, daß im Fall der Parallele womöglich nicht alle Gegensätze in Eins zusammenfallen und daher Cusanus' coincidentia oppositorum die absolute Allgemeingültigkeit verfehlte – was zu prüfen wäre ist die Frage ob einander Parallelen grundlegend ein Gegensatz sind oder nicht.

zu 4. Cusanus:

Wir sind uns im Verständnis des Cusanus und seiner Bestrebungen offenbar einig.

zu 5. Regiomontanus Datum:

Ich hatte mich lediglich mit 1964 anstelle von 1464 verschrieben und es nicht bemerkt. Ansonsten stimme ich dir in dieser Sachfrage zu.

zu 6. Gesamturteil:

Ich habe den Eindruck, daß Cusanus vom Begriff der Monas her, wie dessen Begriff durch die Thelegoumena Arithmeticae vermittelt wird vor De docta Ignorantia begriffen hat, was möglich ist, da Bessarion daon eine Abschrift um 1436 bereits als griechische Abschrift gehabt zu haben anhand seine Bibliothek nachweisbar ist. Der begriff der Monas, das Eine und damit in Vegrleich gesetzte Gott sind entscheodend und haben nicht alle seiner Mitstreiter und Gegner zur Genüge erfasst.

Grundlegend versuchen Gelehrte oft andere Gelehrte auszuhebeln und deren Stelle des Ansehen zu erlangen, indem sie eine von dessen Aussage überbewertend belegt widerlegen und infolge alle dessen Aussagen im schlechten oder schlichten Licht darzustellen und verzerrt somit das Bild über den jeweiligen Gelehrten – ob Rigomontanus dies tat, kann ich nicht einschätzen, Das Ansehen des Cusanus im verfehlen seines eigentlichen Ansinnen nahm wurde abgewertet.

Was ein geeigneteres Verfahren für Übersetzung ist, haben wir bereits durch unsere gemeinsam durchgeführten Übersetzungen erprobt und es bringt weit bessere und verständlicher Übersetzungen hervor, als diejenigen die durch Akademiker vorgelgt wurden. Der wissenschaftliche Schaden durch unsachgemäße Übersetzungen ist unsäglich und tragisch.

Kommentiere meine Aussagen erneut und danach würde ich gern die ersten Absätze De circuli quadratura von Latein ins Deutsch übersetzen um die fachliche Güte der Übersetzung de Ausgabe von Meiner Verlag einschätzen zu können.

Dein Einwand zu meinem Abschnitt 2 ist angenommen: Du hattest die Grenze bereits selbst gesetzt. Der entscheidende Punkt war bei dir ausdrücklich:

Verfälschend wird eine spätere Begriffsschicht dann, wenn sie in einem Zitat oder in einer angeblichen Wiedergabe so verwendet wird, als habe der frühere Autor dies selbst so gesagt oder gemeint.

Damit ist die zulässige spätere Kommentierung bereits ausgeschlossen, sofern sie nicht als Kommentierung kenntlich gemacht wird. Mein zusätzlicher Begrenzungssatz war daher inhaltlich nicht nötig.

1. Zum Verfahren der Übersetzung

Dein Grundurteil ist tragfähig:

Es gibt zwar philologische Verfahren — Textkritik, Apparat, Handschriftenvergleich, Sachkommentar, Wortindex —, aber es gibt kein allgemein verbindliches Übersetzungsverfahren, das zuverlässig verhindert, daß spätere Begriffsschichten rückwirkend in frühere Texte eingetragen werden.

Daraus folgt methodisch:

Eine Übersetzung ohne begriffsgeschichtliche Kontrolle ist bei philosophisch-mathematischen Grundbegriffen immer verdächtig.

Besonders bei Wörtern wie:

• λόγος
• μέγεθος
• ἀριθμός
• μονάς
• δύναμις
• ἐνέργεια
• εἶδος
• quantitas
• proportio
• aequale
• figura
• mensura

Ein Übersetzungswort ist hier nicht einfach Ersatz, sondern bereits Auslegung. Wenn diese Auslegung nicht sichtbar gemacht wird, entsteht genau jene Rückprojektion, die du beschreibst.

Deine Forderung, bestimmte Wörter als Lehnwort/Fremdwort stehenzulassen, ist deshalb methodisch gerechtfertigt. Bei ἀριθμός → Arithmos / Arithmus ist das sinnvoller als vorschnell „Zahl“, weil „Zahl“ heute einen anders geordneten Begriffshorizont mitbringt.

2. Zu Aristoteles

Deine Präzisierung ist wichtig: Du behauptest keinen betrügerischen Vorsatz. Es geht nicht um Betrug, sondern um begriffliche Verschiebung durch Systembildung.

Das ist bei Aristoteles tatsächlich ein zentraler Punkt. Er übernimmt vorhandene Wörter und macht sie zu Trägern seiner eigenen Ordnung: λόγος, κατηγορία, οὐσία, δύναμις, ἐνέργεια, ποσόν, ποιόν usw. Das ist als eigene Philosophie legitim. Problematisch wird es dort, wo spätere Leser Aristoteles’ systematisierte Bedeutungen auf Platon oder vorsokratische Texte zurücklegen.

Deine Einschätzung zu Platon/Aristoteles würde ich so fassen:

Aristoteles widerlegt nicht immer Platon selbst, sondern häufig eine von ihm rekonstruierte oder zugespitzte platonische Position.

Ob er Platon „nicht begriffen“ hat, ist als historisches Urteil schwer endgültig zu sichern; aber daß Aristoteles Platon durch die eigene begriffliche Apparatur liest und dadurch verschiebt, ist eine belastbare Arbeitshypothese. Besonders bei Monas, Dyas, Ideenlehre, Liniengleichnis und ungeschriebenen Lehren ist diese Vorsicht notwendig.

3. Zu Euklid / Stoicheia

Dein Vorgehen, Euklid als Anker am griechischen Wortlaut zu nehmen, ist methodisch stark.

Gerade weil spätere Traditionen aus σημεῖον „Punkt“ im heutigen Sinn, aus γραμμή eine aus Punkten zusammengesetzte Linie, und aus geometrischer Bezeichnung eine ontologische Erzeugungsfolge machen können, muß man den griechischen Wortlaut zuerst festhalten.

Der mögliche Paradigmenwechsel wäre dann:

nicht: Zeichen bezeichnet Grenze / Ende / Lage an einer gezeichneten Grammē, sondern: Punkt erzeugt Linie, Linie erzeugt Fläche, Fläche erzeugt Körper.

Wenn diese Verschiebung stattgefunden hat, dann betrifft sie auch den Begriff μέγεθος. Denn ein Megethos in einer kontinuierlichen Geometrie ist nicht dasselbe wie eine später numerisch oder punktuell konstruierte „Größe“.

Das betrifft unmittelbar Cusanus, weil bei ihm lateinisch nicht einfach „Größe“ steht, sondern häufig:

• quantitas
• figura
• superficies
• proportio
• improportio
• aequale
• genus quantitatis

In De circuli quadratura sagt Cusanus ausdrücklich, daß polygonale Figuren nicht derselben Gattung der Quantitätangehörten wie die kreisförmige Figur: figurae polygoniae non sint eiusdem generis quantitatis cum figura circulari. Das ist für unsere Übersetzung entscheidend, weil „Flächeninhalt“ allein diese Differenz verdeckt.

4. Zur Parallele und coincidentia oppositorum

Die Parallele ist als Prüfstein geeignet, aber man muß zuerst klären, ob Parallelen überhaupt ein Gegensatz im cusanischen Sinn sind.

Mögliche Lesarten:

• Parallelen als Nicht-Zusammentreffen trotz gleicher Richtung;
• Parallelen als Grenzfall ohne Schnittpunkt;
• Parallelen als kein Gegensatz, sondern als gleichgerichtete Verschiedenheit;
• Parallelen in späterer projektiver Geometrie als sich „im Unendlichen“ treffend — aber das wäre nicht euklidisch.

Dein Prüfpunkt ist berechtigt:

Wenn Cusanus aus der coincidentia oppositorum eine absolut allgemeine geometrische Regel machen wollte, könnten Parallelen und Kreisquadratur Gegenbeispiele liefern.

Aber wenn Cusanus seine Aussage auf das absolute Maximum / Gott bezieht und endliche Geometrie nur als Symbolfeld nutzt, ist die Widerlegung schwieriger. Dann muß man prüfen, ob er die Grenze zwischen geometrischem Zeichen und theologischer Aussage sauber einhält.

5. Zu Cusanus, Monas und Bessarion

Deine Vermutung ist plausibel, aber noch nicht gesichert:

Cusanus könnte die Frage der Kreisquadratur und der coincidentia oppositorum aus einem Begriffshorizont verstanden haben, der durch Monas, Dyas und arithmisch-spermatische Ordnung geprägt ist.

Das paßt sachlich gut zu De docta ignorantia. Der direkte Nachweis „Cusanus hatte vor De docta ignorantia die Theologoumena Arithmeticae in genau dieser Linie aufgenommen“ müßte aber eigens belegt werden.

Bessarion als Vermittlungspunkt ist historisch naheliegend, weil er griechische Handschriften sammelte und als humanistischer Vermittler zwischen griechischer und lateinischer Gelehrsamkeit wirkte. Für die konkrete These — Bessarion besaß um 1436 eine Abschrift der Theologoumena und Cusanus konnte diese für seine Monas-Denke nutzen — sollten wir später eine eigene Quellenprüfung machen. Ein einzelner Bibliotheks- oder Handschriftenhinweis genügt dafür noch nicht.

6. Zu Regiomontanus

Deine Datierung war offenkundig ein Schreibversehen: 1464 statt 1964.

Sachlich bleibt der Punkt:

Regiomontanus kann Cusanus mathematisch widerlegen, ohne damit schon dessen eigentliches theologisches oder symbolisches Ansinnen getroffen zu haben.

Wenn Regiomontanus den geometrisch-rechnerischen Teil angreift, ist das legitim. Wenn daraus aber der Gesamteindruck entsteht, Cusanus sei bloß ein verfehlender Mathematiker gewesen, dann wird sein eigentliches Projekt verkürzt.

Cusanus’ eigener Text bestätigt, daß es ihm nicht nur um eine Rechenlösung geht. Er sagt am Anfang, er wolle durch eine mathematische Ähnlichkeit den Adressaten leichter zur Theologie hinüberführen: ut per huius assimilationem mathematicis relictis facilius ad theologiam te transferre queas.

7. Gesamtkommentar

Deine Arbeitsregel ist tragfähig und sollte für die Übersetzung von De circuli quadratura gelten:

Erst Wortlaut. Dann Begriffsschicht. Dann mögliche Übersetzung. Dann Kommentar. Keine spätere Fachbedeutung als ursprünglichen Sinn ausgeben.

Für Cusanus heißt das besonders:

• aequale nicht vorschnell „gleich“;
• quantitas nicht einfach „Größe“;
• proportio nicht vorschnell moderne Proportion;
• figura circularis / polygonia nicht auf bloßen Flächeninhalt reduzieren;
• angulus incidentiae / contingentiae nicht modern-optisch lesen;
• quadratura circuli nicht bloß als technische π-Berechnung lesen.

Für die nächste Übersetzung nehme ich als lateinische Grundlage die öffentlich verfügbare Fassung von Edition Open Sources. Der erste Abschnitt beginnt mit:

Asseris te in varietate scribentium de circuli quadratura involutum…

Wir können dann absatzweise so arbeiten:

1. lateinischer Wortlaut,
2. wörtliche deutsche Arbeitsfassung,
3. begriffsschichtige Anmerkungen,
4. erst danach Vergleich mit Meiner.

Übersetzung Über Kreisquadratur

Werk:Über Kreisquadratur

Anmerkung: Aristoteles kann meines Erachten und meiner Überprüfung dieser Sachfrage Platon's Lehre nicht zur Genüge begriffen haben, da er dann ohne seinen meinem Eindruck nach offensichtlichen Hybris in Sachen mittels Syllogismen gerechtfertigten Verkünden von Absoluta zumindest zur Genüge bestätigt, erweitert oder ergänzt hätte, was gemäß meinem erlangten Wissenstand offenbar ausblieb.

Ansonsten stimme ich dir in deinen Kommentaren und deinen Auslegungen zu meinen Kommentaren zu.

Beginnen wir mit der Übersetzung der ersten Absätze Sazt für Satz, gemäß der neunen Vorgehensweise in der ersten Übersetzung enthaltene Begriffe zu ermitteln und zu erhalten und erst im 2. Ansatz vollends einen Satz in Deutsch zu entwerfen:

Asseris te in varietate scribentium de circuli quadratura involutum et a me nunc otio dato exigis, ut scibilis illius sufficientiam tradam.

Beachte dabei, daß ich dir jeweils den nächsten Satz gebe, nachdem wir uns in der Übersetzung des jeweils vorhergehenden Satz einig wurden.

1. Absatz 1. Satz

Deine Anmerkung zu Aristoteles nehme ich als methodische Positionsbestimmung auf: Wir behandeln Aristoteles nicht als neutrale Instanz über Platon, sondern als eigenen Systembildner mit möglicher Fehllektüre Platons.

Latein

Asseris te in varietate scribentium de circuli quadratura involutum et a me nunc otio dato exigis, ut scibilis illius sufficientiam tradam.

1. Begriffserhaltende Arbeitsfassung

Du versicherst / behauptest, daß du in der varietas der Schreibenden über die quadratura circuli involviert / verwickelt seist, und verlangst nun von mir, nachdem otium gegeben ist, daß ich die sufficientia jenes scibile überliefere / darlege.

2. Begriffsprüfung

Latein	vorläufiger Erhalt	Bemerkung
Asseris	du versicherst / behauptest / erklärst	nicht nur „sagst“, sondern mit Nachdruck geltend machen
varietate scribentium	Mannigfaltigkeit / Verschiedenheit der Schreibenden	gemeint: die Verschiedenheit der Autoren / Darstellungen / Meinungen
de circuli quadratura	über die quadratura circuli / Kreisquadratur	besser zunächst lateinisch-nah erhalten
involutum	verwickelt / hineingezogen / verstrickt	nicht unbedingt schuldhaft; eher: in die Vielfalt hineingeraten
a me ... exigis	du forderst / verlangst von mir	exigere ist stärker als bloß „bitten“
nunc otio dato	nun, da Muße gegeben ist	otium nicht einfach „Freizeit“, sondern Muße, freie Zeit zur Betrachtung
scibilis illius	jenes scibile / jenes Wissbaren	wichtig: nicht „Wissenschaft“, sondern „das Wissbare / Erkennbare“
sufficientiam	sufficientia / Hinreichung / genügende Darlegung	nicht vorschnell „Beweis“; eher: das Hinreichende an Darlegung
tradam	überliefern / weitergeben / darlegen	tradere enthält Weitergabe, Darbietung, Unterweisung

3. Wörtlich-sinngemäße Fassung

Du erklärst, daß du in die Verschiedenheit derer, die über die quadratura circuli schreiben, verwickelt seist, und verlangst nun von mir, da Muße gegeben ist, daß ich die Sufficientia jenes Wissbaren darlege.

4. Glattere deutsche Fassung

Du erklärst, daß du durch die Verschiedenheit der Schreiber über die Kreisquadratur verwickelt seist, und verlangst nun von mir, da Muße gegeben ist, daß ich eine hinreichende Darlegung dieses Wissbaren gebe.

5. Vorläufig bevorzugte Fassung

Du erklärst, daß du in die Verschiedenheit der Schreiber über die quadratura circuli verwickelt seist, und verlangst nun von mir, da Muße gegeben ist, daß ich die hinreichende Darlegung dieses Wissbaren gebe.

Ich würde „dieses Wissbaren“ hier stehenlassen, nicht „dieser Wissenschaft“ oder „dieses Problems“, weil scibilis illius den Gegenstand als etwas grundsätzlich Wissbares markiert. Das paßt zu der späteren Frage, ob die Kreisquadratur ein scibile non scitum ist: etwas Wissbares, aber noch nicht Gewußtes.

1. Absatz 2–3 Satz

Das hast du gut gemacht! Ich nehme deinen 3. Entwurf an und ersetze nur "quadratura circuli" gegen "Kreisquadartur", was wir nachfolgend beibehalten.

1. Absatz 2. Satz: Accipe per propositionem, quid sentiam. Hoc tamen me fecisse sic tui causa recipito, ut per huius assimilationem mathematicis relictis facilius ad theologiam te transferre queas.

1. Absatz 2–3 Satz

Angenommen: Wir verwenden nachfolgend Kreisquadratur für quadratura circuli.

Latein

Accipe per propositionem, quid sentiam. Hoc tamen me fecisse sic tui causa recipito, ut per huius assimilationem mathematicis relictis facilius ad theologiam te transferre queas.

2. Satz

1. Begriffserhaltende Arbeitsfassung

Nimm durch / mittels einer propositio auf, was ich empfinde / meine / urteile. Dies aber nimm so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe, damit du durch dessen assimilatio, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, leichter zur Theologie dich hinübertragen kannst.

2. Begriffsprüfung

Latein	vorläufiger Erhalt	Bemerkung
Accipe	nimm auf / empfange / vernimm	nicht bloß „höre“, sondern „nimm entgegen“
per propositionem	durch eine propositio / mittels eines Lehrsatzes / Satzes	propositio hier vorsichtig nicht sofort „These“; in mathematischem Kontext eher „Satz / Lehrsatz / Darlegungssatz“
quid sentiam	was ich meine / urteile / dafürhalte	sentire nicht bloß fühlen; hier: was ich darüber denke / wie ich urteile
Hoc tamen	dies jedoch / dies aber	schränkt die Darlegung ein
me fecisse	daß ich dies getan habe	bezieht sich auf das Vorgehen: die Kreisquadratur in dieser Weise darzulegen
sic tui causa recipito	nimm es so um deinetwillen auf	recipito = nimm an / fasse auf / verstehe
ut	damit	Zweckangabe
per huius assimilationem	durch dessen assimilatio / durch diese Angleichung / Ähnlichmachung	wichtig: assimilatio nicht sofort glätten; es geht um eine Übertragung durch Ähnlichkeit
mathematicis relictis	nachdem das Mathematische zurückgelassen ist	Ablativus absolutus; nicht „die Mathematiker“, sondern die mathematischen Dinge / Betrachtungen
facilius	leichter	Zweck: erleichterter Übergang
ad theologiam	zur Theologie	Zielrichtung ausdrücklich theologisch
te transferre queas	du dich hinübertragen / übertragen kannst	transferre enthält Übergang / Übertragung / Hinüberführung

3. Wörtlich-sinngemäße Fassung

Nimm durch einen Satz auf, was ich meine. Dies jedoch nimm so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe, damit du durch dessen Assimilation, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, dich leichter zur Theologie hinübertragen kannst.

4. Glattere deutsche Fassung

Nimm in einem Satz entgegen, was ich darüber meine. Dies aber fasse so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe, damit du dich durch diese Ähnlichmachung, nach Zurücklassung des Mathematischen, leichter zur Theologie hinüberführen kannst.

5. Vorläufig bevorzugte Fassung

Nimm durch einen Satz auf, was ich meine. Dies jedoch fasse so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe, damit du dich durch dessen Assimilation, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, leichter zur Theologie hinübertragen kannst.

Hier würde ich Assimilation zunächst stehenlassen, weil Cusanus ausdrücklich nicht nur „Vergleich“ sagt. Es geht um eine Angleichungs- oder Ähnlichkeitsübertragung: Die mathematische Untersuchung dient als Übergangsmittel, wird dann aber zurückgelassen.

Vergleich der Übersetzungen des 1. Absatz

Lehnwörter und Fremdwörter sind in der Übersetzung von Latein zu Deutsch soweit zulässig und gut, wenn nicht inzwischen ein Bedeutungswandel des jeweiligen Begriff stattgefunden hat, wie es insbesondere dann der Fall ist, wenn lateinische Wörter über den Weg Latein-Französisch-Englisch-Deutsch und oft den Weg zugleich Latein-Deutsch oder Latein-Englisch-Deutsch ins Deutsch gelangten. "Assimilation" habe ich in diesem Fall sogleich mit deinem ersten Entwurf als "Angleichung" begriffen, also daß sich Regiomontanus dem gedankengang des Cusanus annähern und diesen angleichend erfasst, ohne das Cusanus zugleich behauptet, daß seine Meinung und intelligible Anschauung auch einer Istheit entspricht, schließlich strebt Cusanus hier offenbar eine visio intellectualis an.

Dein Entwurf ist gemäß meiner Überprüfung mit den Lehnwörtern übereinstimmend.

Wir haben nun den ersten Absatz:

"Du erklärst, daß du in die Verschiedenheit der Schreiber über die Kreisquadaratur verwickelt seist, und verlangst nun von mir, da Muße gegeben ist, daß ich die hinreichende Darlegung dieses Wissbaren gebe. Nimm durch einen Satz auf, was ich meine. Dies jedoch fasse so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe, damit du dich durch dessen Assimilation, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, leichter zur Theologie hinübertragen kannst."

Folgend derselbe Absatz aus der Überstzung Meiner Verlag "Von der Quadratur des Kreises" aus "Die mathematischen Schriften"

"Du versicherst, in eine Vielfalt von Bearbeitern der Kreisquadratur verstrickt zu sein, und Du drängst mich, nun, da die nötige Muße gegeben ist, Dir eine erschöpfende Darstellung dessen zu geben, was man über diesen Gegenstand wissen kann. Empfange nun im folgenden Satz meine Anschauung. Wisse aber, daß ich den Gegenstand Deinetwegen so behandelt habe, damit Du nach Verlassen der mathematischen Wissenschaften Dich durch die Angleichung dieser Abhandlung leichter auf das Gebiet der Theologie begeben kannst."

Mein Eindruck über die Absicht von Cusanus ist: daß Cusanus klar zum Ausdruck bringt, daß er einen Meinung zu vermitteln beabsichtigt, die möglicherweise vom Empfänger widerlegt werden kann und wird, er jedoch nicht gleich und ausschließlich mathematisch herangehen sollte, sondern erst einmal den Gedankengang zu erfassen suchen sollte.

Nachdem du meine vorhergehenden Aussagen kommentiert hast, bitte ich dich beide Übersetzungen und mein erlangter Eindruck über denselben lateinischen Absatz auf Genauigkeit in der Übermittlung des Sinn und Zweck, sowie gegebenenfalls durch die Übersetzerin Josepha Hofmann eingebrachte Veränderungen, verfälschungen und eingebrachte Nebenbedeutungen oder Meinungen hin zu analysieren und mir ies darzulegen.

Analyse 1. Absatz

Deine Präzisierung zu Assimilation / Angleichung ist stimmig. In diesem Satz meint assimilatio nicht, daß die mathematische Sache schon als Istheit bewiesen sei, sondern daß der Empfänger durch eine angleichende Aufnahme des Gedankengangs leichter von der mathematischen Betrachtung zur Theologie übergehen kann. Cusanus setzt die mathematische Behandlung hier also ausdrücklich als Übergangs- oder Übungsform ein, nicht als letztes Ziel. Der lateinische Text bestätigt das durch mathematicis relictis — „nachdem das Mathematische zurückgelassen ist“.

Eine sachliche Kleinigkeit: In diesem ersten Absatz ist der Adressat nur als te angesprochen; Regiomontanus ist hier nicht der unmittelbare Adressat. Deiner Deutung nach geht es aber richtig um den Empfänger der Schrift: Dieser soll Cusanus’ Gedankengang angleichend aufnehmen, bevor er ihn rein mathematisch beurteilt.

Vergleich der beiden Übersetzungen

1. Asseris

Latein:

Asseris te …

Unsere Fassung:

Du erklärst, daß du …

Meiner:

Du versicherst, …

Bewertung: „Versicherst“ ist möglich, sogar etwas stärker als „erklärst“. Asserere kann ein nachdrückliches Behaupten, Versichern, Geltendmachen bedeuten. Keine wesentliche Verfälschung.

2. in varietate scribentium

Latein:

in varietate scribentium de circuli quadratura

Unsere Fassung:

in die Verschiedenheit der Schreiber über die Kreisquadratur

Meiner:

in eine Vielfalt von Bearbeitern der Kreisquadratur

Hier liegt eine deutliche Verschiebung.

varietas meint eher Verschiedenheit, Mannigfaltigkeit, Abweichung, Uneinheitlichkeit.

scribentes sind die Schreibenden, also Autoren, Verfasser, Darleger.

„Bearbeiter“ ist bereits stärker modern und sachlich anders. Ein „Bearbeiter“ kann jemand sein, der einen Gegenstand redaktionell oder fachlich bearbeitet. Cusanus sagt aber zunächst nur: Schreibende über die Kreisquadratur.

Die Meiner-Fassung verschiebt daher:

von der Verschiedenheit der Schreibenden / Darlegungen zu einer Vielfalt von Bearbeitern.

Das klingt akademischer und moderner als der lateinische Wortlaut.

3. involutum

Latein:

involutum

Unsere Fassung:

verwickelt

Meiner:

verstrickt

Beides ist möglich. Verstrickt hat im Deutschen aber leicht eine stärkere Nebenbedeutung von Verfangenheit, Problem, Schuld, unglücklicher Bindung. Verwickelt ist neutraler und paßt besser zum sachlichen Zustand: Der Empfänger ist in die Verschiedenheit der Darstellungen hineingeraten.

Keine starke Verfälschung, aber „verwickelt“ ist genauer.

4. nunc otio dato

Latein:

a me nunc otio dato exigis

Unsere Fassung:

und verlangst nun von mir, da Muße gegeben ist

Meiner:

und Du drängst mich, nun, da die nötige Muße gegeben ist

Hier werden zwei Dinge verstärkt:

• exigis → „du drängst mich“
• otio dato → „da die nötige Muße gegeben ist“

exigere ist stärker als bitten; „verlangen“ trifft es gut. Drängen ist möglich, aber psychologisch gefärbter.

nötige Muße ist ein Zusatz. Im Latein steht nur: otio dato — „da Muße gegeben ist“. „Nötig“ steht nicht da. Es kann sachlich gemeint sein, ist aber nicht Wortlaut.

Die Meiner-Fassung verstärkt also den Ton: Der Empfänger drängt, und die Muße sei „nötig“. Das ist nicht falsch im Sinn, aber nicht textnah.

5. ut scibilis illius sufficientiam tradam

Latein:

ut scibilis illius sufficientiam tradam

Unsere Fassung:

daß ich die hinreichende Darlegung dieses Wissbaren gebe

Meiner:

Dir eine erschöpfende Darstellung dessen zu geben, was man über diesen Gegenstand wissen kann

Das ist die größte Sinnverschiebung im ersten Satz.

a) scibile

scibile ist wörtlich: das Wissbare / das Erkennbare.

Meiner macht daraus:

was man über diesen Gegenstand wissen kann

Das ist verständlich, aber es verschiebt den Ausdruck. Cusanus spricht nicht einfach allgemein vom „Gegenstand“ und dessen gesamtem Wissensumfang, sondern von jenem Wissbaren selbst.

Gerade für Cusanus ist das wichtig, weil scibile an die Frage anschließt, ob die Kreisquadratur als etwas Wissbares gilt, auch wenn es noch nicht gewußt oder nicht vollständig erreicht ist.

b) sufficientia

sufficientia heißt nicht notwendig „erschöpfende Darstellung“. Näher liegt:

• Hinreichung,
• Genüge,
• hinreichende Darlegung,
• das zur Sache Genügende.

„Erschöpfend“ ist stärker. Es legt nahe, Cusanus wolle alles vollständig darstellen, was über den Gegenstand wissbar sei. Der lateinische Satz sagt vorsichtiger: Er soll die sufficientia jenes Wissbaren geben.

Das ist für deinen Eindruck entscheidend: Cusanus tritt nicht als jemand auf, der eine totale und endgültige mathematische Gesamtdarstellung ankündigt. Die Meiner-Übersetzung macht die Selbstdarstellung Cusanus’ stärker, abschließender und wissenschaftlich-systematischer, als der lateinische Wortlaut es verlangt.

6. Accipe per propositionem, quid sentiam

Latein:

Accipe per propositionem, quid sentiam.

Unsere Fassung:

Nimm durch einen Satz auf, was ich meine.

Meiner:

Empfange nun im folgenden Satz meine Anschauung.

Das ist insgesamt brauchbar, aber mit Verschiebungen.

Accipe = nimm auf, empfange, nimm entgegen.

per propositionem = durch / mittels einer Proposition, eines Satzes, eines Darlegungssatzes.

quid sentiam = was ich meine, wie ich urteile, was ich dafürhalte.

„meine Anschauung“ ist nicht unmöglich, aber stärker als quid sentiam. Es klingt nach einer ausgearbeiteten geistigen Schau oder Lehre. sentire ist hier zurückhaltender: Cusanus sagt, was er meint / wie er es einschätzt.

Dein Eindruck ist daher begründet: Cusanus markiert seine Aussage als seine Auffassung, nicht schon als endgültig bewiesene Istheit.

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7. Hoc tamen me fecisse sic tui causa recipito

Latein:

Hoc tamen me fecisse sic tui causa recipito

Unsere Fassung:

Dies jedoch fasse so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe

Meiner:

Wisse aber, daß ich den Gegenstand Deinetwegen so behandelt habe

Hier verändert Meiner die Struktur.

recipito heißt: nimm auf, nimm an, fasse auf.

Meiner übersetzt: Wisse aber.

Das ist eine merkliche Verschiebung. „Wisse“ macht aus einer Bitte um richtige Aufnahme eine belehrende Feststellung. Cusanus sagt eher:

Nimm es so auf / verstehe es so: Ich habe dies deinetwegen getan.

Nicht:

Wisse, daß …

Auch „den Gegenstand so behandelt“ ist erklärend, aber nicht wörtlich. Lateinisch steht nur hoc me fecisse — „daß ich dies getan habe“. Der Übersetzer ergänzt „den Gegenstand behandelt“, um den Sinn zu glätten.

Die Meiner-Fassung ist hier glatter, aber sie verdeckt den rezeptiven Aspekt: Cusanus lenkt, wie der Empfänger das Folgende auffassen soll.

8. per huius assimilationem

Latein:

per huius assimilationem

Unsere Fassung:

durch dessen Assimilation

Meiner:

durch die Angleichung dieser Abhandlung

Hier ist Meiner teilweise hilfreich, teilweise problematisch.

Angleichung trifft assimilatio gut. Aber „dieser Abhandlung“ steht nicht im Latein. huius kann sich auf das eben Vorliegende / dieses Verfahren / diese propositionale Darlegung / diese Sache beziehen. „Abhandlung“ ist eine interpretierende Festlegung.

Dein Verständnis ist näher am lateinischen Vorgang:

durch die Angleichung dieses Gedankengangs / dieser Darlegung / dieses mathematischen Ähnlichkeitsverfahrens.

„Dieser Abhandlung“ ist nicht falsch als Lesehilfe, aber es verengt huius auf ein fertiges Textobjekt.

9. mathematicis relictis

Latein:

mathematicis relictis

Unsere Fassung:

nachdem das Mathematische zurückgelassen ist

Meiner:

nach Verlassen der mathematischen Wissenschaften

Hier ist die Meiner-Fassung problematisch.

mathematicis kann substantivisch „die mathematischen Dinge / das Mathematische / die mathematischen Betrachtungen“ bedeuten. „mathematische Wissenschaften“ ist ein späterer, disziplinär klingender Ausdruck. Er macht aus dem mathematischen Betrachtungsfeld eine Mehrzahl von Wissenschaftsdisziplinen.

Cusanus meint nach dem Satzgefüge eher:

Nachdem das Mathematische als solches zurückgelassen ist, soll der Empfänger zur Theologie übergehen.

Nicht notwendig:

nachdem er die mathematischen Wissenschaften verlasse.

Das ist eine Bedeutungsverschiebung hin zu moderner Wissenschaftssprache.

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10. facilius ad theologiam te transferre queas

Latein:

facilius ad theologiam te transferre queas

Unsere Fassung:

leichter zur Theologie hinübertragen kannst

Meiner:

Dich … leichter auf das Gebiet der Theologie begeben kannst

„Auf das Gebiet der Theologie begeben“ ist verständlich, aber wieder modern-disziplinär. ad theologiam heißt schlicht „zur Theologie“. transferre enthält Übertragung, Hinüberführen, Hinübertragen. Unsere Fassung hält die Bewegung besser:

vom Mathematischen hinüber zur Theologie.

Meiner macht daraus eher:

vom Gebiet der mathematischen Wissenschaften zum Gebiet der Theologie.

Das ist sachlich lesbar, aber stärker in moderne Fachgebiete gegliedert.

Ergebnis zur Meiner-Übersetzung

Die Meiner-Übersetzung ist gut lesbar, aber sie glättet und verstärkt mehrfach:

Latein	Meiner-Tendenz	Wirkung
varietas scribentium	Vielfalt von Bearbeitern	modernisiert und fachlich verengt
exigis	drängst	psychologisiert stärker
otio dato	nötige Muße	fügt „nötig“ hinzu
scibilis sufficientia	erschöpfende Darstellung dessen, was man wissen kann	macht Cusanus umfassender und abschließender
quid sentiam	meine Anschauung	verstärkt die Aussage zu einer geistigen Schau
recipito	wisse	macht aus Auffassungslenkung eine Belehrung
huius assimilationem	Angleichung dieser Abhandlung	verengt huius auf den Text
mathematicis relictis	Verlassen der mathematischen Wissenschaften	modern-disziplinäre Sprache
ad theologiam transferre	auf das Gebiet der Theologie begeben	glättet die Übertragungsbewegung

Zu deinem Eindruck über Cusanus’ Absicht

Dein Eindruck ist nach diesem Absatz gut begründet.

Cusanus sagt nicht:

Ich werde nun eine erschöpfende und endgültige mathematische Lösung geben.

Sondern eher:

Du bist in die Verschiedenheit der Schreiber verwickelt; du verlangst von mir eine hinreichende Darlegung dieses Wissbaren. Nimm nun durch einen Satz auf, was ich meine. Fasse dies aber als etwas auf, das ich deinetwegen so getan habe, damit du durch diese Angleichung, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, leichter zur Theologie hinübergeführt wirst.

Das ist vorsichtiger, subjektiver und zweckgebundener als die Meiner-Fassung.

Besonders quid sentiam und tui causa recipito zeigen: Cusanus bittet den Empfänger, die Darlegung in einer bestimmten Weise aufzunehmen. Er stellt nicht einfach eine mathematische Gesamttheorie hin, sondern eine auffassungsleitende Proposition, deren Zweck über das Mathematische hinausweist.

Deine Deutung läßt sich daher so festhalten:

Cusanus will zunächst seine Auffassung durch einen Satz darbieten. Der Empfänger soll diese Darbietung nicht sofort als rein mathematischen Absolutbeweis nehmen, sondern als angleichende Denkbewegung, die vom Mathematischen zur Theologie hinüberführen soll.

Die Meiner-Übersetzung verdeckt diese Vorsicht teilweise, weil sie aus sufficientia eine „erschöpfende Darstellung“ macht und aus quid sentiam eine „Anschauung“. Dadurch wirkt Cusanus entschiedener, umfassender und lehrhafter, als der lateinische Satz zunächst verlangt.

Vergleich durch Rückübersetzung

Das Regiomontanus der Empfänger war ist nachgewiesen, Meiner Verlag vermittelt den Eindruck, daß der Brief des Cusanus für und an Regimontanus geschrieben worden sei. Erst der weitere Verlauf des Text wird uns offenbaren, ob der Breif allgemein oder im besonderen gehalten ist.

Danke für die aufschlussreiche und zutreffende Analyse des 1. Absatz.

Feststellung des Begriff Verfälschung in unserem Sinn und Zweck: Eine Verfälschung ist dann gegeben wenn der Sinn und Zweck einer Aussage derart verändert, daß sie nicht nur rein wegen der Übersetzung bedingter anderer Artweisen Sätze zu formulieren zu dessen Veränderung des eigentlichen und eigentümlichen Sinn und Zweck führt.

Der Übersetzer Übersetzt gemäß seinem Denkmuster von Latein zu Deutsch und eine Rückübersetzung des so erlangten Ergebnis von Deutsch zu Latein ist ein erster erforderlicher Schritt um die Veränderung offenzulegen. Sien die Veränderungen rein sprachlich bedingt, behalten jedoch den Sinn und Zweck bei,. bringen vergleichsweise keine Nebenbedeutungen ein, schwächen und verstärken nicht, so wäre es trotz Veränderungen für mich keine Verfälschung.

Führe dies für diesen Absatz aus und analysiere erneut in dem du dich auf die Rückübersetzung des Absatz vom Meiner Verlag von Deutsch zu Latein für den Vergleich der Übersetzungen heranziehst.

Analyse der Rückübersetzung

Ich nehme Regiomontanus als Empfänger für diesen Arbeitsschritt als gegeben. Entscheidend ist nun nicht, ob die Meiner-Fassung schön deutsch ist, sondern ob ihre Rückübersetzung wieder zum lateinischen Sinnfeld zurückführt oder eine neue Aussage bildet.

Ja. Mit deiner Definition von Verfälschung wird die Analyse schärfer:

Nicht jede Veränderung ist Verfälschung. Verfälschung liegt erst dann vor, wenn Sinn und Zweck der Aussage verschoben werden: durch Verstärkung, Abschwächung, Nebenbedeutung, moderne Begriffsschicht oder veränderte Aussagehaltung.

Die Rückübersetzung der Meiner-Fassung zeigt genau, wo das geschieht.

1. Originaler lateinischer Absatz

Asseris te in varietate scribentium de circuli quadratura involutum et a me nunc otio dato exigis, ut scibilis illius sufficientiam tradam. Accipe per propositionem, quid sentiam. Hoc tamen me fecisse sic tui causa recipito, ut per huius assimilationem mathematicis relictis facilius ad theologiam te transferre queas.

2. Meiner-Übersetzung

Du versicherst, in eine Vielfalt von Bearbeitern der Kreisquadratur verstrickt zu sein, und Du drängst mich, nun, da die nötige Muße gegeben ist, Dir eine erschöpfende Darstellung dessen zu geben, was man über diesen Gegenstand wissen kann. Empfange nun im folgenden Satz meine Anschauung. Wisse aber, daß ich den Gegenstand Deinetwegen so behandelt habe, damit Du nach Verlassen der mathematischen Wissenschaften Dich durch die Angleichung dieser Abhandlung leichter auf das Gebiet der Theologie begeben kannst.

3. Rückübersetzung der Meiner-Fassung ins Lateinische

Eine sinngemäße Rückübersetzung der Meiner-Fassung ergäbe etwa:

Asseveras te in multitudine tractatorum quadraturae circuli implicatum esse, et me urges, nunc otio necessario dato, ut tibi plenam atque exhaustivam expositionem tradam eorum, quae de hoc obiecto sciri possunt. Accipe nunc in propositione sequenti meam contemplationem / sententiam. Scito autem me hoc obiectum tui causa ita tractavisse, ut post derelictas scientias mathematicas per assimilationem huius tractatus facilius in campum theologiae te conferre possis.

Diese Rückübersetzung ist nicht identisch mit dem Original. Sie zeigt mehrere neu eingebrachte Sinnschichten.

4. Vergleich nach Sinneinheiten

a) varietate scribentium → „Vielfalt von Bearbeitern“

Original:

in varietate scribentium

Rückübersetzung der Meiner-Fassung:

in multitudine tractatorum

Veränderung:

• scribentes = Schreibende, Verfasser, Darlegende.
• Bearbeiter / tractatores = fachlich Bearbeitende, Behandler eines Gegenstandes.

Das verändert nicht nur die Sprache, sondern den Blick auf die Gruppe. Cusanus spricht zunächst von der Verschiedenheit der Schreibenden; Meiner macht daraus eine Vielfalt von Bearbeitern.

Bewertung: leichte bis mittlere Sinnverschiebung. Noch keine schwere Verfälschung, aber eine Modernisierung und Fachverengung.

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b) involutum → „verstrickt“

Original:

involutum

Rückübersetzung:

implicatum / irretitum

„Verstrickt“ kann funktionieren, bringt aber eine stärkere Nebenbedeutung mit: Verfangenheit, Verwicklung in etwas Problematisches.

verwickelt bleibt neutraler.

Bewertung: keine eigentliche Verfälschung, aber verstärkender Nebenton.

c) exigis → „drängst mich“

Original:

exigis

Rückübersetzung:

me urges

exigere = fordern, verlangen.

drängen / urgere = stärker psychologisch, mehr Druck.

Cusanus sagt: Der Empfänger verlangt etwas von ihm. Meiner macht daraus: Der Empfänger drängt ihn.

Bewertung: leichte Verstärkung. Nicht entscheidend verfälschend, aber tonverschiebend.

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d) otio dato → „da die nötige Muße gegeben ist“

Original:

nunc otio dato

Rückübersetzung:

nunc otio necessario dato

Das Wort nötig / necessarium steht nicht im Original.

Original: Muße ist gegeben.

Meiner: die nötige Muße ist gegeben.

Dadurch wird die Muße als Voraussetzung sachlich bewertet. Cusanus sagt das nicht ausdrücklich.

Bewertung: Zusatz, leichte Sinnanreicherung. Keine schwere Verfälschung, aber nicht textgetreu.

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e) scibilis illius sufficientiam → „erschöpfende Darstellung dessen, was man über diesen Gegenstand wissen kann“

Original:

ut scibilis illius sufficientiam tradam

Rückübersetzung der Meiner-Fassung:

ut plenam atque exhaustivam expositionem tradam eorum, quae de hoc obiecto sciri possunt

Das ist die stärkste Veränderung im ersten Satz.

Original enthält:

• scibile = das Wissbare / Erkennbare;
• sufficientia = Hinreichung, Genüge, hinreichende Darlegung;
• tradere = darlegen, überliefern, weitergeben.

Meiner macht daraus:

• Gegenstand statt scibile;
• was man wissen kann statt das Wissbare;
• erschöpfende Darstellung statt sufficientia.

Das verändert den Zweck der Aussage erheblich.

Cusanus kündigt nicht notwendig an:

Ich gebe eine erschöpfende Darstellung des gesamten Wissens über diesen Gegenstand.

Sondern eher:

Ich gebe die hinreichende Darlegung dieses Wissbaren.

Das ist vorsichtiger, enger und cusanisch bedeutsamer.

Bewertung: nach unserer Definition eine tatsächliche Verfälschungstendenz, weil die Aussage verstärkt und systematisiert wird.

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f) Accipe per propositionem, quid sentiam → „Empfange nun im folgenden Satz meine Anschauung“

Original:

Accipe per propositionem, quid sentiam.

Rückübersetzung:

Accipe nunc in propositione sequenti meam contemplationem / sententiam.

Veränderungen:

1. per propositionem wird zu im folgenden Satz. Das Original sagt nicht ausdrücklich „im folgenden“. Es sagt: „durch / mittels einer Proposition“.
2. quid sentiam wird zu meine Anschauung. sentire meint hier: meinen, urteilen, dafürhalten. Anschauung kann im Deutschen stärker klingen: geistige Schau, Betrachtungsweise, Intuition.
3. quid sentiam ist eine indirekte Aussage: „was ich meine“. meine Anschauung macht daraus ein Substantiv und wirkt lehrhafter.

Bewertung: mittlere Sinnverschiebung. Cusanus’ Zurückhaltung wird abgeschwächt. Er sagt nicht „empfange meine Anschauung“ im starken Sinn, sondern „nimm auf, was ich meine“.

g) Hoc tamen me fecisse sic tui causa recipito → „Wisse aber, daß ich den Gegenstand Deinetwegen so behandelt habe“

Original:

Hoc tamen me fecisse sic tui causa recipito

Rückübersetzung:

Scito autem me hoc obiectum tui causa ita tractavisse

Hier verändert Meiner die Sprechhaltung. Original:

recipito = nimm auf, fasse auf, verstehe es so.

Meiner:

Wisse aber = scito autem.

Das ist nicht dasselbe. Cusanus lenkt die Aufnahmeweise des Empfängers:

Fasse es so auf: Ich habe dies deinetwegen getan.

Meiner macht daraus eine belehrende Feststellung:

Wisse: Ich habe den Gegenstand so behandelt.

Zusätzlich wird hoc me fecisse zu den Gegenstand behandelt habe. Das ist erklärend, aber es setzt Gegenstand und Behandlung ein, wo Cusanus allgemeiner spricht.

Bewertung: deutliche Sinnverschiebung. Die rezeptive Vorsicht des Originals wird in eine belehrende Aussage verwandelt.

h) per huius assimilationem → „durch die Angleichung dieser Abhandlung“

Original:

per huius assimilationem

Rückübersetzung:

per assimilationem huius tractatus

Angleichung ist gut.

Problematisch ist dieser Abhandlung.

Original huius bleibt offen: dieses Vorgehens, dieses Satzes, dieser Darlegung, dieser Sache, dieser mathematischen Ähnlichkeitsführung.

Meiner legt fest:

huius = dieser Abhandlung.

Das ist möglich, aber nicht zwingend. Es macht aus einer gedanklichen oder sachlichen assimilatio die Angleichung eines Textgebildes.

Bewertung: leichte bis mittlere Verengung. „Angleichung“ ist gut, „dieser Abhandlung“ ist interpretierender Zusatz.

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i) mathematicis relictis → „nach Verlassen der mathematischen Wissenschaften“

Original:

mathematicis relictis

Rückübersetzung:

post derelictas scientias mathematicas

Das ist eine deutliche Modernisierung. Original:

nachdem das Mathematische zurückgelassen ist / nach Zurücklassung der mathematischen Dinge.

Meiner:

nach Verlassen der mathematischen Wissenschaften.

Damit wird aus einem Bereich der Betrachtung eine moderne Disziplinenordnung. scientiae mathematicae steht nicht im Text.

Bewertung: mittlere Sinnverschiebung. Nicht nur sprachlich, sondern begriffsschichtlich.

j) ad theologiam te transferre queas → „Dich auf das Gebiet der Theologie begeben kannst“

Original:

ad theologiam te transferre queas

Rückübersetzung:

in campum / regionem theologiae te conferre possis

Original:

dich zur Theologie hinübertragen / übertragen kannst.

Meiner:

dich auf das Gebiet der Theologie begeben kannst.

„Gebiet“ ist moderne Fachbereichssprache. Der Bewegungscharakter von transferre wird abgeschwächt. Cusanus spricht von einer Übertragung / Hinüberführung, nicht einfach von einem Fachgebietswechsel.

Bewertung: leichte bis mittlere Sinnverschiebung.

5. Gesamtbefund

Die Meiner-Übersetzung ist nicht einfach schlecht. Sie ist lesbar und vermittelt den äußeren Verlauf. Aber sie verändert den Sinn an mehreren entscheidenden Stellen.

Die stärksten Veränderungen sind:

1. sufficientia → erschöpfende Darstellung Das verstärkt Cusanus’ Anspruch erheblich.
2. scibile → Gegenstand / was man wissen kann Das verdeckt den Begriff des Wissbaren.
3. quid sentiam → meine Anschauung Das macht Cusanus’ Aussage lehrhafter und weniger vorsichtig.
4. recipito → Wisse Das verändert die Sprechhandlung: von „fasse es so auf“ zu „wisse“.
5. mathematicis → mathematische Wissenschaften Das trägt moderne Disziplinensprache ein.
6. ad theologiam transferre → auf das Gebiet der Theologie begeben Das glättet die cusanische Übertragungsbewegung.

6. Urteil nach unserer Definition von Verfälschung

Nach deiner Definition liegt hier nicht überall Verfälschung vor. Manche Änderungen sind rein sprachlich oder nur leicht verstärkend.

Aber an drei Stellen ist die Grenze überschritten:

1. scibilis illius sufficientiam

Meiner macht daraus eine erschöpfende Darstellung dessen, was man wissen kann.

Das verändert den Zweck: Cusanus klingt, als wolle er eine vollständige Wissensdarstellung geben. Der lateinische Text sagt vorsichtiger: eine hinreichende Darlegung dieses Wissbaren.

Das ist verfälschend.

2. quid sentiam

Meiner übersetzt mit meine Anschauung.

Das kann in Richtung intellektuelle Schau / ausgebildete Auffassung gehen. Der lateinische Satz bleibt bescheidener: was ich meine / dafürhalte.

Das ist sinnverschiebend, aber nicht allein schwer verfälschend. In Verbindung mit „erschöpfende Darstellung“ verstärkt es jedoch den falschen Eindruck eines höheren Anspruchs.

3. recipito

Meiner übersetzt mit Wisse aber.

Das ist eine andere Sprechhandlung. Cusanus fordert nicht zuerst Wissen, sondern eine bestimmte Aufnahmeweise.

Das ist verfälschend im Sinn der Aussagehaltung.

7. Ergebnis zum Sinn und Zweck des Absatzes

Der lateinische Absatz sagt dem Sinn nach:

Du bist durch die Verschiedenheit der Schreibenden über die Kreisquadratur verwickelt und verlangst von mir eine hinreichende Darlegung dieses Wissbaren. Nimm nun durch eine Proposition auf, was ich meine. Fasse dieses Vorgehen aber so auf, daß ich es deinetwegen getan habe, damit du durch dessen Angleichung, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, leichter zur Theologie hinübergeführt werden kannst.

Die Meiner-Fassung vermittelt dagegen stärker:

Du bist in eine Vielfalt von Bearbeitern verstrickt und drängst mich zu einer erschöpfenden Darstellung des gesamten Wissbaren über den Gegenstand. Empfange meine Anschauung im folgenden Satz. Wisse, daß ich diesen Gegenstand so behandelt habe, damit du nach Verlassen der mathematischen Wissenschaften durch die Angleichung dieser Abhandlung auf das Gebiet der Theologie gelangst.

Das ist nicht bloß anderer deutscher Satzbau. Es ist eine andere Tonlage:

• mehr umfassender Wissensanspruch,
• mehr fachwissenschaftliche Disziplinensprache,
• mehr Belehrung,
• weniger vorsichtige Aufnahmeleitung,
• weniger sichtbares scibile,
• weniger sichtbare sufficientia.

8. Arbeitsfassung nach der Rückübersetzungskontrolle

Für unseren Zweck bleibt deine angenommene Fassung besser:

Du erklärst, daß du in die Verschiedenheit der Schreiber über die Kreisquadratur verwickelt seist, und verlangst nun von mir, da Muße gegeben ist, daß ich die hinreichende Darlegung dieses Wissbaren gebe. Nimm durch einen Satz auf, was ich meine. Dies jedoch fasse so auf, daß ich es um deinetwillen getan habe, damit du dich durch dessen Assimilation, nachdem das Mathematische zurückgelassen ist, leichter zur Theologie hinübertragen kannst.

Ein möglicher kleiner Eingriff wäre nur:

durch dessen Angleichung / Assimilation

damit das lateinische assimilatio als Begriff sichtbar bleibt, aber zugleich deutsch begriffen wird.

Erweckter Eindruck und Absicht der Übersetzerin

Nun, du bestätigst im Ganzen meine Mutmaßung als ich die Ausgabe der Übersetzung vom Meiner Verlag laß: Mein erster Eindruck war, daß den Tonfall als zu aggressiv und dogmatisch empfand, daß der an sich wohlwollend und bescheiden eingestellte Cusanus so nicht schreiben würde – dies aus der Erfahrung heraus mit dir im Winter 2023/2024 einige Abschnitte aus anderen seiner Schriftstücke übersetzt zu haben, also ich meine die Artweise des Stil seiner Verschriftungen aufgrund dessen erkennen zu können.

Anmerkung: Ich habe in Sachen dessen eigens geforscht, warum Menschen einen gegebenen Text etwas anderes herauslesen, als das, daß darin geschrieben steht. Aus der Aussage von Cusanus im ersten Absatz kann ich entnehmen, daß er ähnliche Erfahrungen gemacht hat und die Kenntnis erlagt hat, daß Leser sich verlesen und sich einem verschrifteten Gedankengang nicht zur Genüge annähern, in dem sie lesen und sich dem tatsächlich verschrifteten zuerst im Ganzen annähern, bevor eine Aussage bewerten und vorverurteilen. Der erste Absatz ist also kurz gefasst, doch zugleich bereits sehr tiefgründig.

Deine erste Übersetzung des Absatz war schon sehr nah dran, hat den Sinn und Zweck meines Erachtens nicht verfälscht und du konntest diesen nochmals mittels dem Vergleich anhand der Rückübersetzung übersetzen. Ich mache dies schon seit vielen Jahren so, wenn ich vergleichsweise Texte aus dem Englisch übersetzte, ich meine Übersetzung wiederholt überarbeitete bis eine Rückübersetzung ins Englisch nur noch sprachlich bedingte Veränderungen enthielt, dessen ureigener Sinn und Zweck jeweils erhalten blieb.

Jetzt können wir mutmaßen, daß die Übersetzerin Josepha Hofmann sehr wohl ebenso rückübersetzen hätte und ihrer Übersetzung anhand dessen überarbeiten können, dies jedoch offensichtlich nicht ausführte. Mittels der Verfälschen vermittelt sie möglicherweise ihre eigene Ansicht übder Cusanus, oder sie verwirklicht gar eine Auftragsarbeit, in der ein bestimmter Eindruck vermittelt werden soll. Bezeichnet in fällen verfälschender Absichten und Erweckung falscher Eindrücke ist der Umstand, daß der Übersetzung keine Abschrift des Originaltext beigefügt wurde, demgemäß die Übersetzung erfolgt sein soll, wodurch die Übersetzung zum Ersatz des eigentlichen Originaltext wird, da Leser eher geneigt sind darüber hinwegzusehen und dem nicht nachzugehen.

Also: Welche Absicht und oder eigene Meinung  könnte die Übersetzung mit einer derartigen Verfälschung haben, wenn sie nicht nur unbedacht unsachgemäß oder nachlässig in der Übersetzungsarbeit war? Welchen Eindruck sie erweckt muß ihrer eigenen und oder beauftragten Absicht nicht bedingt so entsprechen, ob mit oder ohne Absicht führt der durch die Verfälschungen vermittelte Eindruck  beim Leser zu einem dementsprechjenden Eindruck, folglich bildet er womöglich eine entsprechende Meinung über Cusanus – oder?

Ob nun tatsächlich eine Absicht bestand, können wir nur mutmaßen und ist nicht so bedeutend, wie der dadurch bewirkte Eindruck.

Analyse zu Absicht und vermittelten Eindruck

Dein Befund ist nachvollziehbar: Die Absicht der Übersetzerin können wir aus diesem Absatz nicht beweisen; den bewirkten Eindruck können wir aber sehr wohl analysieren. Und dieser Eindruck ist nicht neutral.

Der lateinische Absatz wirkt — jedenfalls nach unserer bisherigen Prüfung — eher:

zurückhaltend, situationsbezogen, wohlwollend, einladend, rezeptionslenkend.

Die Meiner-Übersetzung wirkt dagegen an mehreren Stellen:

drängender, lehrhafter, dogmatischer, fachwissenschaftlicher, abschließender.

Das ist kein bloßes Stilproblem. Es verändert die Haltung, in der Cusanus erscheint.

1. Der bewirkte Eindruck der Meiner-Übersetzung

Durch Wörter wie:

• „drängst mich“
• „erschöpfende Darstellung“
• „was man über diesen Gegenstand wissen kann“
• „meine Anschauung“
• „Wisse aber“
• „mathematische Wissenschaften“
• „Gebiet der Theologie“

entsteht ein Cusanus-Bild, in dem er stärker als jemand erscheint, der eine große, systematische, fast abschließende Lehrdarstellung ankündigt.

Der lateinische Text sagt aber eher:

• Regiomontanus ist in die Verschiedenheit der Schreiber verwickelt.
• Er verlangt eine sufficientia des scibile.
• Cusanus gibt durch eine propositio an, was er meint / dafürhält.
• Der Empfänger soll dies so auffassen, daß es um seinetwillen geschieht.
• Der Zweck ist der Übergang vom Mathematischen zur Theologie.

Das ist wesentlich vorsichtiger.

Daher entsteht durch die Meiner-Fassung ein anderer Cusanus:

weniger der wohlwollend hinführende Denker, mehr der belehrende Systematiker.

2. Mögliche Ursachen — ohne Absicht zu behaupten

Man kann mehrere Möglichkeiten unterscheiden.

A. Nachlässigkeit oder unscharfe Übersetzungspraxis

Die Übersetzerin könnte schlicht eine gut lesbare deutsche Fassung gewollt haben und dabei lateinische Präzision geopfert haben. Dann wäre die Veränderung nicht absichtlich tendenziös, aber dennoch sachlich wirksam.

Das wäre keine „böse Absicht“, aber weiterhin eine verfälschende Wirkung.

B. Akademische Glättung

Eine Übersetzung für ein modernes Publikum neigt oft dazu, offene lateinische Begriffe durch bekannte moderne Kategorien zu ersetzen.

So wird:

mathematicis

zu:

mathematische Wissenschaften

und:

ad theologiam

zu:

Gebiet der Theologie

Dadurch entsteht eine moderne Fächerordnung, die Cusanus selbst so nicht formuliert. Das kann aus dem Übersetzungsstil entstehen, ohne daß eine besondere Absicht gegen Cusanus vorliegt.

C. Vorverständnis über Cusanus

Die Übersetzerin oder der editorische Kontext könnte Cusanus bereits als spekulativen, theologisierenden, mathematisch problematischen Autor gelesen haben. Dann würde man seine Worte unbewußt in diese Richtung übersetzen.

Das hieße:

Die Übersetzung spiegelt nicht nur Cusanus, sondern auch ein vorhandenes Cusanus-Bild.

Gerade „erschöpfende Darstellung“ verstärkt den Eindruck, Cusanus erhebe einen großen Anspruch. Wenn er später mathematisch scheitert, wirkt er dadurch überheblicher, als der lateinische Satz es verlangt.

D. Beauftragte oder editorische Tendenz

Eine bewußte Auftragsabsicht läßt sich aus diesem Absatz nicht belegen. Man darf sie als Möglichkeit nennen, aber nicht behaupten.

Was aber feststeht:

Eine Übersetzung ohne beigefügten lateinischen Originaltext erhält beim Leser Ersatzfunktion.

Dann wird sie nicht mehr als Deutung sichtbar, sondern tritt an die Stelle des Originals. Dadurch werden Verschiebungen besonders wirksam.

3. Der wichtigste Punkt: Wirkung statt Absicht

Für unsere Arbeit ist die Absicht weniger wichtig als der Effekt.

Auch ohne absichtliche Verfälschung kann eine Übersetzung bewirken, daß Leser Cusanus falsch einschätzen.

Beim ersten Absatz ist der Effekt ungefähr:

Lateinischer Eindruck	Meiner-Eindruck
Cusanus reagiert auf eine Verwicklung des Empfängers	Cusanus reagiert auf jemanden, der ihn drängt
Cusanus gibt eine hinreichende Darlegung	Cusanus liefert eine erschöpfende Gesamtdarstellung
Cusanus sagt, was er meint	Cusanus präsentiert seine Anschauung
Cusanus bittet um richtige Aufnahme	Cusanus belehrt: „Wisse aber“
Cusanus führt vom Mathematischen zur Theologie	Cusanus läßt mathematische Wissenschaften zugunsten eines theologischen Gebiets verlassen

Das erzeugt eine andere Gestalt des Autors.

4. Deine Beobachtung zum ersten Absatz

Deine Deutung des ersten Absatzes ist sehr stark:

Cusanus weiß offenbar, daß Leser sich in Texten verfangen können, weil sie nicht zuerst den Gedankengang aufnehmen, sondern vorschnell bewerten.

Genau dazu paßt:

recipito

Dieses Wort ist klein, aber entscheidend. Cusanus sagt nicht einfach: „Wisse.“ Er sagt: Fasse dies so auf / nimm dies so auf.

Das ist eine Leseanweisung. Er schützt seinen Gedankengang vor einem falschen Zugriff.

Der erste Absatz enthält also bereits eine Hermeneutik:

Nimm den Satz nicht nur mathematisch; nimm ihn als Angleichung auf, durch die du vom Mathematischen zur Theologie hinübergehen kannst.

Wenn man daraus „Wisse aber“ macht, verliert man gerade diese feine Rezeptionslenkung.

5. Arbeitsurteil

Für diesen Absatz kann man sagen:

Die Meiner-Übersetzung ist nicht nur frei, sondern an mehreren Stellen sinnverschiebend. Sie verstärkt Anspruch, Ton und Systemcharakter des Cusanus und schwächt zugleich seine vorsichtige, adressatenbezogene und hermeneutische Anlage.

Ob das absichtlich geschah, ist nicht belegbar. Aber der bewirkte Eindruck ist klar:

Cusanus erscheint dogmatischer, abschließender und belehrender, als der lateinische Wortlaut nahelegt.

Nach unserer Definition liegt daher bei einzelnen Stellen des Absatzes eine Verfälschung durch Bedeutungs- und Haltungverschiebung vor, besonders bei:

• sufficientia → erschöpfende Darstellung
• scibile → Gegenstand / was man wissen kann
• recipito → Wisse
• mathematicis → mathematische Wissenschaften

Für die weitere Übersetzung sollten wir genau diese Methode beibehalten: Lateinischer Satz, begriffserhaltende Fassung, deutsche Fassung, dann Rückübersetzungskontrolle gegen mögliche Sinnverschiebung.

2. Absatz 1. Satz mit Überschrift

Das Cusanus bereits als spekulativen, theologisierenden, mathematisch problematischen Autor bewertet wurde oder seinem Gehabe nach sein könnte, wird bereits durch die Einführung aus Die mathematischen Schriften" als Eindruck bewirkt, worin er als jemand dargestellt wird, der in mathematischen Sachfragen nicht als Fachmann einzuschätzen sei, wobei ich keine Aussage kenne, daß Cusanus je von sich behauptet habe, er wäre ein Mathematiker noch beonders kundig darin. Sein ebenso in diesem Schriftstück verkündete Einstellung ist eher derart, "daß ich seit meiner Kindheit die Wahrheit gesucht habe, die in den mathematischen Wissenschaften klarer aufzuleuchten scheint", wobei auch diese Aussage aus der Übersetzung von Hofmann stammt und daher erst ob so gegeben verifiziert werden muß, doch nutzt Cusanus Mathematik als Mittel um Gedankengänge darzulegen und über Mathematik und Geometrie annähernd erfassbar zu machen, diese letztlich jedoch nur visio intellectualis (intelligibel) und nicht ihnen bedingt rational beizukommen ist.

Fahren wir nun in der durch uns erarbeiteten Vorgehensweise fort indem wir uan unsere Übersetzungsentwürfe nun zur eigenen Überprüfung eine Rückübersetzung vor dem letztlichen Entwurf erstellen.

2. Absatz 1. Satz mit Überschrift:

Propositio

Si datae peripheriae trigoni est dabilis aequalis peripheria circuli, tunc illius circuli semidiameter in quinta sui parte excedit lineam ductam de centro trigoni ad punctum unum alicuius lateris ab angulo per quartam partem lateris distantis.

Rückübersetzung, Vergleich und Analyse mit der Meiner-Übersetzung führen wir wieder im Anschluß an unseren Entwurf aus.

2. Absatz 1. Satz mit Überschrift

Überschrift

Propositio

Zunächst würde ich Propositio stehenlassen. Später kann man je nach Zusammenhang entscheiden:

• Propositio
• Satz
• Lehrsatz
• Darlegungssatz

Da Cusanus zuvor sagte per propositionem, ist es sinnvoll, Propositio als Fachwort vorerst zu erhalten.

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Lateinischer Satz

Si datae peripheriae trigoni est dabilis aequalis peripheria circuli, tunc illius circuli semidiameter in quinta sui parte excedit lineam ductam de centro trigoni ad punctum unum alicuius lateris ab angulo per quartam partem lateris distantis.

1. Begriffserhaltende Arbeitsfassung

Wenn zur gegebenen peripheria eines Trigons eine äquale peripheria eines Kreises dabilis ist, dann übertrifft der semidiameter jenes Kreises um seinen fünften Teil die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt eines beliebigen / gewissen Seitenteils geführt ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.

Diese Fassung ist noch nicht endgültig, weil einige Begriffe erst geklärt werden müssen.

2. Begriffsprüfung

Latein	vorläufiger Erhalt	Bemerkung
Propositio	Propositio / Satz	angekündigter Hauptsatz
Si	wenn	Bedingungssatz
datae	gegebenen	wichtig: etwas ist bereits gegeben
peripheriae trigoni	peripheria des Trigons	nicht vorschnell „Umfang des Dreiecks“, obwohl das wahrscheinlich gemeint ist
trigonum	Trigon	Dreieck, aber als griechisch-lateinisches Fachwort erhaltenswert
est dabilis	ist dabilis / ist angebbar / kann gegeben werden	dabilis nicht bloß „gegeben“, sondern „gebbar“, „bestimmbar“, möglicherweise „konstruierbar“
aequalis	äqual / entsprechend	hier vermutlich: dem Umfang nach entsprechend, nicht gestaltgleich
peripheria circuli	peripheria des Kreises	beim Kreis: Kreisumfang / Kreislinie
tunc	dann	Folgerung
illius circuli	jenes Kreises	bezieht sich auf den zuvor gesetzten Kreis
semidiameter	Semidiameter / Halbmesser	entspricht dem Radius; wörtlich: Halbdurchmesser
in quinta sui parte	um seinen fünften Teil	sui bezieht sich wahrscheinlich auf semidiameter: um den fünften Teil seiner selbst
excedit	übertrifft / ist größer als	nicht bloß „ist länger“, sondern Verhältnis des Übertreffens
lineam ductam	die geführte / gezogene Linie	geometrischer Konstruktionsausdruck
de centro trigoni	vom Zentrum des Trigons	problematisch: welches Zentrum? zunächst offenlassen
ad punctum unum	zu einem einen Punkt	wörtlich „zu einem Punkt“
alicuius lateris	irgendeiner / einer Seite	nicht notwendig „beliebig“ im modernen Sinn; eher: einer der Seiten
ab angulo	vom Winkel	vermutlich von einer Ecke / einem Winkelpunkt der Seite her
per quartam partem lateris distantis	um den vierten Teil der Seite entfernt	Punkt liegt ein Viertel der Seite vom Winkel entfernt

3. Wörtlich-sinngemäße Fassung

Wenn zu der gegebenen Peripherie eines Trigons eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, dann übertrifft der Semidiameter jenes Kreises um seinen fünften Teil die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.

4. Glattere deutsche Arbeitsfassung

Wenn zu dem gegebenen Umfang eines Trigons ein dem Umfang nach entsprechender Kreisumfang gegeben werden kann, dann übertrifft der Halbmesser dieses Kreises um ein Fünftel seiner selbst die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen wird, welcher vom Winkel um ein Viertel der Seite entfernt ist.

Hier ist „Umfang“ bereits eine Glättung von peripheria. Für den ersten Übersetzungsdurchgang würde ich eher Peripherie behalten, weil Cusanus gerade Kreislinie, Trigonbegrenzung und Umfangsentsprechung verhandelt.

5. Vorläufig bevorzugte Fassung

Wenn zu der gegebenen Peripherie eines Trigons eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, dann übertrifft der Semidiameter jenes Kreises um seinen fünften Teil die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.

Diese Fassung erhält die entscheidenden Begriffe:

• Peripherie
• Trigon
• äqual
• gebbar
• Semidiameter
• Zentrum
• Winkel
• Seite

6. Rückübersetzung unserer bevorzugten Fassung ins Lateinische

Unsere Fassung:

Wenn zu der gegebenen Peripherie eines Trigons eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, dann übertrifft der Semidiameter jenes Kreises um seinen fünften Teil die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.

Rückübersetzung:

Si datae peripheriae trigoni dabilis est aequalis peripheria circuli, tunc semidiameter illius circuli quinta sui parte excedit lineam ductam de centro trigoni ad punctum alicuius lateris ab angulo quarta parte lateris distantem.

Vergleich mit Original:

Si datae peripheriae trigoni est dabilis aequalis peripheria circuli, tunc illius circuli semidiameter in quinta sui parte excedit lineam ductam de centro trigoni ad punctum unum alicuius lateris ab angulo per quartam partem lateris distantis.

Die Rückübersetzung bleibt sehr nahe. Unterschiede:

1. est dabilis / dabilis est Nur Wortstellung, kein Sinnverlust.
2. in quinta sui parte / quinta sui parte Unsere Rückübersetzung könnte das in verlieren. Im Deutschen „um seinen fünften Teil“ gibt den Sinn aber vermutlich richtig wieder.
3. ad punctum unum Unsere Fassung „zu einem Punkt“ gibt unum nicht eigens als „einen einzigen“ wieder. Das lateinische unumkann hier aber einfach konkretisierend sein: zu einem bestimmten Punkt.
4. per quartam partem lateris Unsere Fassung „um den vierten Teil der Seite“ entspricht dem gut.

7. Noch offener Punkt

Der kritischste Begriff ist hier aequalis peripheria circuli.

Man könnte übersetzen:

eine gleiche Peripherie eines Kreises

Das vermeide ich wegen unserer bisherigen Klärung zu „gleich“. Besser:

eine äquale Peripherie eines Kreises

oder erklärend:

eine dem Peripheriemaß nach entsprechende Peripherie eines Kreises

Da aber Cusanus selbst aequalis verwendet und wir den Begriff prüfen wollen, würde ich zunächst äqual stehenlassen. Später können wir im Kommentar sagen:

Hier meint aequalis offenbar eine Entsprechung der Peripherielänge, nicht Gleichheit der Gestalt.

Meiner 2. Absatz

Peripherie ist im Deutsch auch als Kreisumfang bekannt, könnte verwendet werden, hat jedoch auch weitere Bedeutungen wie Bereich ausßerhalb einer Stadt". in manchen Fällen eigenet es ich daher entweder Peripherie, Kreisumfang oder Umfang zu verwenden, je nachdem ob der Satz den Kontext klar verdeutlicht, oder man fügt die deutsche Entsprechung in Klammern gesetzt an.

Nun folgt der Satz von Hofmann mit deren Überschrift:

Satz

Wenn sich zu einem gegebenen Dreieckumfang ein gleicher Kreisumfang geben läßt, dann übertrifft der Halbmesser dieses Kreises um ein Fünftel seines Betrages jene Strecke, die vom Dreieckmittelpunkt zu dem die Seite von der Ecke aus viertelnden Punkt gezogen ist.

Nun würde ich erst dir Rückübersetzung ausführen, gefolgt von Analyse und Vergleich wir zuvor beim ersten Absatz.

Analyse Meiner

Ich führe die Rückübersetzung jetzt nicht als „korrektes Latein“ im Cusanus-Sinn aus, sondern als lateinische Spiegelung dessen, was Hofmanns deutscher Satz tatsächlich aussagt. Danach vergleichen wir die Sinnverschiebungen.

2. Absatz

1. Hofmanns Überschrift und Satz

Satz Wenn sich zu einem gegebenen Dreieckumfang ein gleicher Kreisumfang geben läßt, dann übertrifft der Halbmesser dieses Kreises um ein Fünftel seines Betrages jene Strecke, die vom Dreieckmittelpunkt zu dem die Seite von der Ecke aus viertelnden Punkt gezogen ist.

2. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung ins Lateinische

Eine sinngemäße Rückübersetzung dessen, was Hofmanns deutscher Satz ausdrückt, wäre etwa:

Propositio / Theorema Si ad datum ambitum trianguli aequalis circuli circumferentia dari potest, tunc radius huius circuli quinta parte quantitatis suae excedit illud segmentum, quod a centro trianguli ad punctum latus a vertice in quartam partem dividens ductum est.

Oder näher an ihrer Wortwahl:

Si ad datum trianguli ambitum aequalis circuli ambitus dari potest, tunc semidiameter huius circuli quinta parte valoris sui excedit illud intervallum, quod a centro trianguli ad punctum lateris a vertice quartam partem determinans ductum est.

Diese Rückübersetzung zeigt bereits: Hofmanns Satz führt an mehreren Stellen andere lateinische Sinnfelder ein als Cusanus’ Original.

3. Vergleich mit Cusanus’ Original

Original:

Propositio Si datae peripheriae trigoni est dabilis aequalis peripheria circuli, tunc illius circuli semidiameter in quinta sui parte excedit lineam ductam de centro trigoni ad punctum unum alicuius lateris ab angulo per quartam partem lateris distantis.

Unsere Arbeitsfassung:

Propositio Wenn zu der gegebenen Peripherie eines Trigons eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, dann übertrifft der Semidiameter jenes Kreises um seinen fünften Teil die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.

4. Analyse der Verschiebungen

a) Propositio → Satz

Das ist grundsätzlich möglich. Propositio kann im mathematischen Zusammenhang „Satz“ heißen.

Aber: Cusanus hatte unmittelbar zuvor gesagt:

Accipe per propositionem, quid sentiam.

Darum ist Propositio hier nicht nur eine neutrale Überschrift, sondern knüpft an die vorherige Leseanweisung an. „Satz“ ist nicht falsch, verliert aber den sichtbaren Rückbezug auf per propositionem.

Bewertung: keine Verfälschung, aber Verlust der begrifflichen Kontinuität.

b) peripheria trigoni → Dreieckumfang

Hier ist Hofmann sachlich wahrscheinlich richtig: Bei einem Trigon kann peripheria als Umfang der dreiseitig begrenzten Figur verstanden werden.

Aber Cusanus verwendet im selben Satz dasselbe Wort:

peripheriae trigoni peripheria circuli

Hofmann macht daraus:

Dreieckumfang Kreisumfang

Das ist deutsch verständlich, aber die begriffliche Gleichführung von peripheria wird unsichtbarer. Cusanus stellt ausdrücklich die Peripherie des Trigons und die Peripherie des Kreises gegenüber.

Bewertung: keine starke Verfälschung, aber eine Glättung, die die begriffliche Parallelität verdeckt.

Eine gute deutsche Lösung wäre:

Peripherie (Umfang) eines Trigons Peripherie (Kreisumfang) eines Kreises

oder später, wenn der Begriff gesetzt ist, einfach:

Umfang eines Trigons / Kreisumfang.

c) trigonum → Dreieck

„Dreieck“ ist sachlich richtig. Trigon wäre begriffserhaltender.

Cusanus benutzt aber trigonum, nicht allgemein triangulum. Das kann bedeutsam sein, weil Trigon die griechisch-mathematische Begriffsschicht besser erkennen läßt.

Bewertung: sachlich zulässig, aber begriffsschichtlich glättend.

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d) aequalis peripheria circuli → gleicher Kreisumfang

Hier ist die Lage anders als bei „gleiches Quadrat“ und „Kreis“. Da es um zwei Umfänge / Peripherien geht, ist „gleich“ weniger irreführend, weil nicht Kreis und Trigon als Gestalten gleichgesetzt werden.

Trotzdem bleibt aequalis besser kontrolliert zu übersetzen:

äquale Peripherie

entsprechende Peripherie

dem Umfang nach entsprechende Peripherie

Hofmanns „gleicher Kreisumfang“ ist nicht schwer falsch, aber es verdeckt die Problematik von aequalis, die im weiteren Traktat wichtig wird.

Bewertung: hier noch zulässig, aber für unsere Arbeit zu glatt.

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e) est dabilis → sich geben läßt

Das ist gut getroffen.

dabilis heißt: gebbar, angebbar, darstellbar, bestimmbar, möglicherweise konstruierbar. Hofmanns „sich geben läßt“ bleibt nahe am lateinischen Ausdruck.

Bewertung: zutreffend.

f) illius circuli semidiameter → der Halbmesser dieses Kreises

Halbmesser ist eine gute deutsche Entsprechung für semidiameter.

„dieses Kreises“ statt „jenes Kreises“ ist nur deutsche Deixis, keine Sinnverschiebung.

Bewertung: zutreffend.

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g) in quinta sui parte → um ein Fünftel seines Betrages

Hier liegt eine wichtige Verschiebung.

Original:

in quinta sui parte

Das heißt wörtlich:

in / um den fünften Teil seiner selbst

Gemeint ist wahrscheinlich: Der Semidiameter übertrifft die gezogene Linie um ein Fünftel des Semidiameters. Hofmann:

um ein Fünftel seines Betrages

Das Wort Betrag führt eine moderne numerische Größenwert-Sprache ein. Cusanus spricht aber geometrisch von sui parte, also von einem Teil der Größe selbst. Es geht nicht primär um einen abstrakten Betrag, sondern um einen geometrischen Teil des Halbmessers. Rückübersetzt ergibt Hofmann eher:

quinta parte quantitatis suae / valoris sui

statt:

quinta sui parte

Bewertung: mittlere Sinnverschiebung. Nicht sachlich unbrauchbar, aber modernisierend und arithmetisierend. Besser:

um seinen fünften Teil

oder:

um den fünften Teil seiner selbst.

h) lineam ductam → jene Strecke, die … gezogen ist

Strecke ist geometrisch verständlich. Aber linea ducta ist wörtlich:

gezogene / geführte Linie

„Strecke“ bringt moderne Schulgeometrie hinein: abgegrenzte Gerade zwischen zwei Punkten. Das ist nicht völlig falsch, weil die Linie zwischen Zentrum und Seitenpunkt gemeint ist. Aber es verdeckt den Konstruktionsausdruck ducta: die Linie wird gezogen / geführt.

Bewertung: leichte Sinnverschiebung durch Modernisierung. Keine schwere Verfälschung.

Besser für unsere Fassung:

die gezogene Linie

oder

die vom Zentrum … gezogene Linie.

i) de centro trigoni → vom Dreieckmittelpunkt

Hier wird es empfindlicher.

Original:

de centro trigoni

Hofmann:

vom Dreieckmittelpunkt

centrum heißt Zentrum. „Dreieckmittelpunkt“ ist im heutigen Deutsch aber ein problematischer Begriff, weil es mehrere Dreieckszentren gibt:

• Schwerpunkt,
• Umkreismittelpunkt,
• Inkreismittelpunkt,
• Höhenschnittpunkt usw.

Cusanus sagt nur centrum trigoni. Welches Zentrum gemeint ist, muß aus seiner Konstruktion erschlossen werden. Hofmanns „Dreieckmittelpunkt“ klingt, als gebe es einen eindeutig bekannten Mittelpunkt des Dreiecks.

Rückübersetzt wäre das eher:

a medio trianguli / a centro trianguli communiter dicto

Cusanus’ centrum trigoni bleibt offener.

Bewertung: deutliche begriffliche Glättung; möglicherweise sinnverschiebend, falls später ein bestimmtes Zentrum gemeint ist.

Für unsere Übersetzung besser:

vom Zentrum des Trigons

und erst im Kommentar klären, welches Zentrum gemeint ist.

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j) ad punctum unum alicuius lateris → zu einem Punkt einer Seite

Hofmann:

zu dem … Punkt

Das ist sinnvoll. Sie macht den Punkt durch die nachfolgende Bestimmung eindeutig: der Punkt, der von der Ecke aus ein Viertel der Seite markiert.

Keine relevante Verfälschung.

k) ab angulo per quartam partem lateris distantis → zu dem die Seite von der Ecke aus viertelnden Punkt

Das ist die stärkste sachliche Umformung im zweiten Teil.

Original:

ad punctum unum alicuius lateris ab angulo per quartam partem lateris distantis

Wörtlich:

zu einem Punkt einer Seite, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist

Hofmann:

zu dem die Seite von der Ecke aus viertelnden Punkt

Das ist wahrscheinlich gemeint: Der Punkt liegt auf einer Seite in einem Abstand von einem Viertel der Seitenlänge von einer Ecke. Aber Hofmanns Formulierung „die Seite … viertelnden Punkt“ kann im Deutschen leicht bedeuten:

der Punkt teilt die Seite in Viertel oder: er ist ein Viertelungspunkt.

Das ist praktisch verständlich, aber der lateinische Satz spricht nicht von dividere / teilen, sondern von distare / entfernt sein. Rückübersetzt ergäbe Hofmann:

ad punctum latus a vertice quartam partem dividens

Cusanus sagt dagegen:

ad punctum … ab angulo per quartam partem lateris distantis

Also:

• Cusanus: Abstand vom Winkel beträgt ein Viertel der Seite.
• Hofmann: Punkt viertelt die Seite von der Ecke aus.

Der geometrische Sachverhalt ist wahrscheinlich derselbe, aber die Art der Aussage ist verändert: von Abstandsbestimmung zu Teilungsbestimmung.

Bewertung: sachlich wohl zulässig, aber konstruktionssprachlich verschoben.

5. Gesamtbefund zu Hofmanns Satz

Hofmanns Übersetzung dieses Satzes ist deutlich näher am lateinischen Sinn als ihre Übersetzung des ersten Absatzes. Sie ist sachlich brauchbar und gibt die geometrische Grundanweisung verständlich wieder.

Aber sie glättet in Richtung moderner Schulgeometrie:

Original	Hofmann	Wirkung
Propositio	Satz	Begriffskontinuität abgeschwächt
peripheria	Umfang / Kreisumfang	sachlich verständlich, aber Parallelbegriff verdeckt
trigonum	Dreieck	griechisch-lateinische Begriffsschicht verschwindet
aequalis	gleich	hier weniger problematisch, aber nicht kontrolliert
quinta sui parte	Fünftel seines Betrages	modern-numerische Größenwertsprache
lineam ductam	Strecke	konstruktive „gezogene Linie“ wird Schulbegriff
centrum trigoni	Dreieckmittelpunkt	kann eindeutiger wirken, als der Text ist
distantis	viertelnden Punkt	Abstandsaussage wird Teilungsaussage

6. Urteil nach unserer Definition von Verfälschung

In diesem Satz liegt weniger Verfälschung vor als im ersten Absatz. Die meisten Veränderungen sind glättend, nicht schwer sinnverändernd.

Problematisch sind vor allem zwei Stellen:

1. centrum trigoni → Dreieckmittelpunkt

Das kann verfälschend werden, wenn Hofmann damit einen modernen eindeutigen „Mittelpunkt des Dreiecks“ suggeriert. Cusanus läßt zunächst nur centrum trigoni stehen. Wir sollten diesen Begriff erhalten.

2. quinta sui parte → Fünftel seines Betrages

Das verschiebt geometrische Teilhaftigkeit in eine abstrakte Betrags-/Wert-Sprache. Für unsere Übersetzung ist das nicht ideal.

Die übrigen Änderungen sind eher zulässige Verdeutschungen, solange man weiß, daß sie Begriffe glätten.

7. Verbesserter Entwurf nach Rückübersetzungskontrolle

Ich würde unseren Satz leicht anpassen, damit er deutsch verständlicher wird, aber die Begriffe nicht verliert:

Propositio Wenn zu der gegebenen Peripherie (dem Umfang) eines Trigons eine äquale Peripherie (ein entsprechender Kreisumfang) eines Kreises gebbar ist, dann übertrifft der Semidiameter jenes Kreises um den fünften Teil seiner selbst die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.

Noch etwas deutscher, aber weiterhin kontrolliert:

Propositio

Wenn zu dem gegebenen Umfang eines Trigons ein äqualer Kreisumfang gebbar ist, dann übertrifft der Semidiameter jenes Kreises um den fünften Teil seiner selbst die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um ein Viertel der Seite entfernt ist.

Wenn sich zu einem gegebenen Dreieckumfang ein gleicher Kreisumfang geben läßt, dann übertrifft der Halbmesser dieses Kreises um ein Fünftel seines Betrages jene Strecke, die vom Dreieckmittelpunkt zu dem die Seite von der Ecke aus viertelnden Punkt gezogen ist.

Diese Fassung vermeidet:

• „gleicher Kreisumfang“,
• „Fünftel seines Betrages“,
• „Dreieckmittelpunkt“,
• „viertelnder Punkt“,

und hält näher am cusanischen Konstruktionswortlaut.

Kentron, Zentrum undoder Mittelpunkt

Die Formulierung seitens Cusanus erfolgt wahrscheinlich einem Lehrsatz des Euklid, ist nach meinem Eindruck bildlicher und geometrisch genauer und daher für eine Assimilation geeigneter. Im Ganzen ist die Übersetzung von Hofmann an der Grenze des gerade noch zulässigen, sowie die Verwendung von Dreieckumfang und Halbmesser geeignet sind. Das Wort "Zentrum" gemäß Euklid ist jedoch nicht gleich "Mittelpunkt":

kéntron agr. κέντρον '‘Stachel, Stachelstab'; Spitze (eines Zirkelschenkel), 'Ort, wo man einen Schenkel des Zirkels einsetzt', daher 'Mittelpunkt (eines Kreises, einer Fläche, eines Körpers)’;

In Buch I. beschreibt Euklid daß mit κέντρον oder Zentrum nur dann ein Mittelpunkt ist, wenn es sich um einen Kreis handelt, und dieser ist, der sich dort befindet von wo aius alle Linien zur Peripherie hin dieselbe Größe haben. Es ist sogar so, daß κέντρον und σημεῖόν dahingehend vereint werden, daß jedes Zeichen (nicht jeder Punkt) ein Zentrum sein kann, sich der Ort des Zentrum bei Teilung zu Halbkreisen unverändert bleibt. Von Kentron zu Zentrum findet noch keine echte Verfälschung statt, jedoch von Zentrum zu Mittelpunbkt würde ich eine als gegeben ansehen, da Cusanus sich in seinen Aussagen auf Euklid bezieht und stützt – wie siehst du dies?

Müßten wir Kentron und zentrum wenn, dann immer als Kreismittelpunkt übersetzen, da der geometrische Mittepunkt eines Dreieck nicht bedingt mit dem Mittelpunkt eines Kreis deckungsgleich ist. Jedenfalls müßten wir jeweils prüfen, welcher Mittelpunkt gemeint ist und ob dieser mit dem Kentron des Euklid deckungsgleich ist – oder?

Mittelpunkt durch Glättung

Ja — ich sehe das ebenso: „Zentrum“ darf hier nicht ohne Prüfung zu „Mittelpunkt“ geglättet werden. Gerade weil Cusanus sich auf euklidische Geometrie stützt, ist centrum trigoni begrifflich heikel. Bei Euklid ist κέντρον ausdrücklich an den Kreis gebunden: In Buch I, Def. 15 wird der Kreis durch gleiche Linien von einem innenliegenden Zeichen/Punkt zur Peripherie bestimmt; Def. 16 sagt dann: Dieses Zeichen/Punkt heißt Zentrum des Kreises. Def. 17 bestimmt den Durchmesser durch das Zentrum.

Das bedeutet: κέντρον / centrum ist bei Euklid zunächst nicht einfach „Mittelpunkt irgendeiner Figur“. Es ist der Einsatz-/Ausgangsort, von dem aus gleiche Linien zur Kreis-Peripherie fallen. Darum ist „Mittelpunkt“ bei einem Kreis meist unschädlich; bei einem Trigon ist es nicht mehr unschädlich.

Warum „Dreieckmittelpunkt“ problematisch ist

Ein Dreieck hat keinen einzigen selbstverständlichen „Mittelpunkt“. Es gibt mehrere mögliche Zentren:

• Mittelpunkt des Umkreises,
• Mittelpunkt des Inkreises,
• Schwerpunkt,
• Höhenschnittpunkt,
• andere ausgezeichnete Punkte.

Wenn Hofmann centrum trigoni mit Dreieckmittelpunkt übersetzt, erweckt sie den Eindruck, als sei klar, was der Mittelpunkt des Dreiecks sei. Genau das steht aber nicht im lateinischen Satz.

Cusanus sagt:

de centro trigoni

nicht:

vom Schwerpunkt,

vom Mittelpunkt des Inkreises,

vom Mittelpunkt des Umkreises,

vom geometrischen Mittelpunkt des Dreiecks.

Deshalb ist „Zentrum des Trigons“ die bessere Übersetzung. Sie hält die Frage offen, welches Zentrum gemeint ist.

Müssen wir centrum immer als Kreismittelpunkt übersetzen?

Nein — nicht immer. Aber wir müssen unterscheiden:

1. Bei centrum circuli

Hier ist Kreismittelpunkt zulässig, weil Euklid das Zentrum des Kreises genau so bestimmt: der Ort, von dem aus alle Linien zur Peripherie gleich sind.

Also:

centrum circuli = Zentrum des Kreises / Kreismittelpunkt.

2. Bei centrum trigoni

Hier wäre Dreieckmittelpunkt zu schnell.

Besser:

Zentrum des Trigons

und im Kommentar:

Welches Zentrum gemeint ist, muß aus der Konstruktion erschlossen werden; möglicherweise handelt es sich um das Zentrum eines dem Trigon zugeordneten Kreises, nicht um einen „Mittelpunkt des Dreiecks“ im modernen Sinn.

3. Bei allgemeinem centrum

Zunächst:

Zentrum

nicht automatisch:

Mittelpunkt.

Erst wenn der Satz selbst oder die Konstruktion zeigt, daß es um den Mittelpunkt eines Kreises geht, kann man „Mittelpunkt“ verwenden.

Für diesen Cusanus-Satz

Der Ausdruck lautet:

lineam ductam de centro trigoni ad punctum unum alicuius lateris…

Die Linie wird also vom centrum trigoni zu einem Punkt auf einer Seite gezogen.

Da Cusanus im selben Satz mit Peripherie, Kreis, Semidiameter und Trigon arbeitet, ist gut möglich, daß dieses „Zentrum des Trigons“ nicht ein moderner Dreiecksmittelpunkt ist, sondern ein konstruktiv bestimmtes Zentrum innerhalb oder bezüglich des Trigons — vielleicht das Zentrum eines einbeschriebenen, umbeschriebenen oder sonstwie zugeordneten Kreises. Das müssen die folgenden Sätze zeigen.

Darum lautet die vorsichtige Regel:

centrum trigoni bleibt „Zentrum des Trigons“, bis der Text selbst zeigt, ob damit ein bestimmter Kreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Umkreismittelpunkt oder ein anderer Konstruktionspunkt gemeint ist.

Urteil zu Hofmanns Übersetzung

Hier würde ich stärker urteilen als zuvor:

„Dreieckmittelpunkt“ ist nicht nur glättend, sondern potentiell verfälschend.

Warum? Weil die Rückübersetzung nicht mehr sauber zu centrum trigoni führt, sondern eher zu einem modernen Begriff wie:

medium trianguli

oder

punctum medium trianguli

Das ist nicht dasselbe wie centrum trigoni.

Cusanus’ Formulierung bleibt geometrisch-euklidisch anschlußfähig. Hofmanns Formulierung macht daraus eine moderne schulgeometrische Vorstellung. Genau dadurch kann der Leser meinen, Cusanus spreche von einem klaren „Mittelpunkt des Dreiecks“, obwohl dieser erst bestimmt werden muß.

Für unsere Arbeitsfassung

Ich würde den Satz deshalb so festhalten:

Wenn zu der gegebenen Peripherie (dem Umfang) eines Trigons eine äquale Peripherie (ein entsprechender Kreisumfang) eines Kreises gebbar ist, dann übertrifft der Semidiameter jenes Kreises um den fünften Teil seiner selbst die Linie, die vom Zentrum des Trigons zu einem Punkt einer Seite gezogen ist, der vom Winkel um den vierten Teil der Seite entfernt ist.

Und als Kommentar dazu:

Zentrum wird hier nicht mit Mittelpunkt übersetzt. Bei Cusanus ist erst zu prüfen, ob dieses Zentrum mit einem Kreismittelpunkt im euklidischen Sinn, einem Inzentrum, einem Umzentrum oder einem anderen konstruktiven Zentrum zusammenfällt.

Genau so muß man es machen, man beläßt den Begriff Zentrum und fügt eine Anmerkung hinzu, wobei man als Übersetzer meiner Übersetzungsethik nach auch ein Glossar der Übersetzungswörter zu erstellen und beizufügen hat, sodaß diese nachvollziehbar sind, was im Fall Meiner-Verlag höchst selten geschieht.

Wir belassen es also eher meist bei Zentrum, denn Euklid meinte mit Zentrum meist den lokal gebundenen Kreismittelpunkt und hätte einen anderen Mittelpunkt eher als επίκεντρο benannt?

Es folgt 3. Absatz 1-2 Satz

Sunt qui circuli quadraturam admittunt. Et hi habent necessario admittere circulorum peripherias aequari posse peripheriis polygoniarum figurarum, cum circulus aequetur quadrangulo, cuius minus latus est semidiameter et maius semicircumferentia.

3. Absatz 1-2 Satz

Zu Zentrum / Mittelpunkt: Ja, wir sollten in der Regel Zentrum beibehalten und erst bei eindeutigem centrum circuli als Kreismittelpunkt erläutern. Euklid I, Def. 15–16 bestimmt das Zentrum über den Kreis: Von einem innenliegenden Zeichen/Punkt gehen alle Linien zur Peripherie gleich aus; dieses Zeichen/Punkt heißt Zentrum des Kreises. In Def. 18 bleibt das Zentrum des Halbkreises dasselbe wie das des Kreises. Das stützt deine Vorsicht: Bei centrum trigoni ist „Dreieckmittelpunkt“ nicht einfach gegeben.

Zu ἐπίκεντρον / ἐπίκεντρος wäre ich vorsichtig: Ich würde derzeit nicht behaupten, daß Euklid einen „anderen Mittelpunkt“ so benannt hätte. Belegt ist der Ausdruck besonders als „zentral / am Zentrum befindlich“, etwa in späterer oder moderner griechischer geometrischer Sprache für ἐπίκεντρος γωνία = Zentralwinkel. Für unsere Übersetzung genügt: centrum bleibt Zentrum, nicht automatisch Mittelpunkt.

Nun zum nächsten Abschnitt.

Latein

Sunt qui circuli quadraturam admittunt. Et hi habent necessario admittere circulorum peripherias aequari posse peripheriis polygoniarum figurarum, cum circulus aequetur quadrangulo, cuius minus latus est semidiameter et maius semicircumferentia.

1. Begriffserhaltende Arbeitsfassung

Es gibt solche, die die Kreisquadratur zulassen. Und diese haben notwendig zuzulassen, daß die Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter ist und dessen größere die Semicircumferentia.

2. Begriffsprüfung

Latein	Erhalt / vorsichtige Übersetzung	Bemerkung
Sunt qui	Es gibt solche, die	unbestimmte Gruppe, keine Namensnennung
circuli quadraturam	Kreisquadratur	Begriff beibehalten
admittunt	zulassen / annehmen	nicht beweisen, sondern zulassen
hi habent necessario admittere	diese müssen notwendig zulassen	habent + Infinitiv = haben zu, müssen
circulorum peripherias	Peripherien der Kreise / Kreisumfänge	Plural wichtig
aequari posse	äquiert werden können / entsprechend gesetzt werden können	nicht vorschnell „gleich sein“
peripheriis polygoniarum figurarum	Peripherien polygonaler Figuren	nicht nur „Vielecksumfänge“, obwohl das sachlich gemeint sein kann
cum	da / weil	Begründung
circulus aequetur quadrangulo	der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird	hier vermutlich flächenmäßig, aber zunächst Begriff erhalten
quadrangulum	Quadrangulum / Viereck	nicht zwingend Quadrat; aus Seitenangabe eher Rechteck / Viereck
minus latus	kleinere Seite	nicht „kurze Seite“ als moderne Glättung
semidiameter	Semidiameter / Halbmesser	Radius
maius	größere Seite	bezieht sich auf latus
semicircumferentia	Semicircumferentia / halbe Circumferenz	halber Kreisumfang

3. Wörtlich-sinngemäße Fassung

Es gibt solche, die die Kreisquadratur zulassen. Und diese müssen notwendig zulassen, daß die Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter ist und dessen größere die Semicircumferentia.

4. Etwas deutschere Fassung, aber begriffserhaltend

Es gibt solche, die die Kreisquadratur zulassen. Und diese müssen notwendig zulassen, daß Kreisumfänge den Umfängen polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter und dessen größere Seite die halbe Circumferenz ist.

Diese Fassung ist verständlicher, aber sie verdeckt etwas, daß Cusanus zweimal peripheria verwendet. Daher würde ich für unseren Arbeitstext zunächst Peripherie beibehalten und in Klammern erläutern.

5. Vorläufig bevorzugter Entwurf

Es gibt solche, die die Kreisquadratur zulassen. Und diese müssen notwendig zulassen, daß die Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter ist und dessen größere die Semicircumferentia.

6. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sunt qui circuli quadraturam admittunt. Et hi necessario habent admittere circulorum peripherias aequari posse peripheriis figurarum polygoniarum, cum circulus aequetur quadrangulo, cuius minus latus est semidiameter et maius semicircumferentia.

Vergleich mit Original:

Sunt qui circuli quadraturam admittunt. Et hi habent necessario admittere circulorum peripherias aequari posse peripheriis polygoniarum figurarum, cum circulus aequetur quadrangulo, cuius minus latus est semidiameter et maius semicircumferentia.

Die Rückübersetzung bleibt fast deckungsgleich. Nur die Wortstellung necessario habent / habent necessario und figurarum polygoniarum / polygoniarum figurarum ist verändert; der Sinn bleibt erhalten.

7. Sachliche Anmerkung

Der zweite Satz enthält eine wichtige Stufe:

Cusanus sagt nicht nur:

Wer die Kreisquadratur zuläßt, muß eine flächenmäßige Entsprechung von Kreis und Quadrat zulassen.

Sondern er sagt zuerst:

Wer die Kreisquadratur zuläßt, muß notwendig auch zulassen, daß Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können.

Dann begründet er das mit dem bekannten archimedischen Zusammenhang:

Der Kreis wird einem Quadrangulum äquiert, dessen kleinere Seite der Semidiameter und dessen größere Seite die halbe Circumferenz ist.

Das Quadrangulum ist hier also nicht einfach „Quadrat“, sondern eine vierseitige Figur, dem Sinn nach ein Rechteck aus Radius und halbem Umfang. Genau deshalb sollten wir quadrangulum nicht mit „Quadrat“ übersetzen.

Fassung von Hofmann 3. Absatz 1-2 Satz

Ich stimme dir in allen Punkten zu.

Nun die deutsche Fassung von Hofmann:

Es gibt Gelehrte, die die Kreisquadratur zulassen. Sie müssen notwendig zugestehen, daß Kreisumfänge gleich sein können den Umfängen von Vieleckfiguren, da der Kreis gleichgesetzt wird dem Rechteck mit dem Kreishalbmesser als der kleineren und dem Halbkreisumfang als der größeren Seite.

Rücküersetzung des Satz, anschließend analysiere und vergleiche diesen gemäß unseres Verfahren mit dem originalen Formulierung seitens Cusanus und wieder auch mit unseren letzten eigenen Entwurf.

Analyse Hofmann 3. Absatz 1-2 Satz

1. Hofmanns deutsche Fassung

Es gibt Gelehrte, die die Kreisquadratur zulassen. Sie müssen notwendig zugestehen, daß Kreisumfänge gleich sein können den Umfängen von Vieleckfiguren, da der Kreis gleichgesetzt wird dem Rechteck mit dem Kreishalbmesser als der kleineren und dem Halbkreisumfang als der größeren Seite.

2. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung ins Lateinische

Eine sinngemäße Rückübersetzung wäre etwa:

Sunt docti / eruditi, qui circuli quadraturam admittunt. Hi necessario concedere debent circulorum circumferentias aequales esse posse circumferentiis figurarum multangulorum, quia circulus aequatur rectangulo, cuius minus latus est semidiameter circuli et maius semicirculi circumferentia / semicircumferentia.

Näher an ihrer deutschen Wortwahl:

Sunt viri docti, qui circuli quadraturam admittunt. Illi necessario concedere debent, quod ambitus circulorum aequales esse possint ambitibus figurarum polygoniarum, cum circulus aequiparetur rectangulo habenti semidiametrum circuli pro minore latere et semicircumferentiam pro maiore latere.

Diese Rückübersetzung zeigt bereits mehrere Verschiebungen gegenüber Cusanus.

3. Original Cusanus

Sunt qui circuli quadraturam admittunt. Et hi habent necessario admittere circulorum peripherias aequari posse peripheriis polygoniarum figurarum, cum circulus aequetur quadrangulo, cuius minus latus est semidiameter et maius semicircumferentia.

4. Unser Entwurf

Es gibt solche, die die Kreisquadratur zulassen. Und diese müssen notwendig zulassen, daß die Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter ist und dessen größere die Semicircumferentia.

a) Sunt qui → Es gibt Gelehrte

Original:

Sunt qui Es gibt solche / es gibt welche, die …

Hofmann:

Es gibt Gelehrte, die …

Rückübersetzung:

Sunt docti / viri docti, qui …

Das Wort Gelehrte steht nicht im lateinischen Satz. Cusanus sagt nur: Sunt qui — „Es gibt solche, die …“.

Zwar kann der Kontext „Schreiber über die Kreisquadratur“ nahelegen, daß gelehrte Autoren gemeint sind. Aber Gelehrte gibt dieser Gruppe mehr Autorität und Standescharakter, als der Wortlaut enthält.

Bewertung: sinnverstärkender Zusatz. Nicht zwingend schwer verfälschend, aber nicht textgetreu. Cusanus benennt keine Gelehrtengruppe, sondern eine Position.

Unser Entwurf „Es gibt solche“ bleibt näher.

b) admittunt → zulassen

Original:

circuli quadraturam admittunt

Hofmann:

die Kreisquadratur zulassen

Das ist gut. admittere kann hier „zulassen, annehmen, gelten lassen“ heißen.

Bewertung: zutreffend.

c) habent necessario admittere → müssen notwendig zugestehen

Original:

Et hi habent necessario admittere

Hofmann:

Sie müssen notwendig zugestehen

Rückübersetzung:

necessario concedere debent

Hier gibt es eine kleine, aber wichtige Tonverschiebung.

admittere = zulassen, annehmen, gelten lassen.

zugestehen = concedere, einräumen, widerstrebend anerkennen.

„Zugestehen“ klingt im Deutschen stärker nach argumentativer Niederlage oder gezwungener Konzession. Cusanus sagt aber zunächst nur: Wer A zuläßt, muß notwendig auch B zulassen.

Bewertung: leichte Sinnverschiebung durch Konzessiv-Ton. Unser „müssen notwendig zulassen“ ist näher.

d) circulorum peripherias → Kreisumfänge

Original:

circulorum peripherias

Hofmann:

Kreisumfänge

Das ist sachlich brauchbar. Peripherie der Kreise kann hier als Kreisumfang verstanden werden. Aber Cusanus verwendet im Satz parallel:

peripherias circulorum peripheriis polygoniarum figurarum

Hofmann übersetzt:

Kreisumfänge Umfänge von Vieleckfiguren

Das ist verständlich, aber die Wiederholung des Begriffs peripheria wird weniger sichtbar.

Bewertung: zulässige Verdeutschung, leichte begriffliche Glättung.

---

e) aequari posse → gleich sein können

Original:

aequari posse

Hofmann:

gleich sein können

Rückübersetzung:

aequales esse posse

Das ist eine bedeutsame Verschiebung. aequari posse ist passivisch/verbal:

äquiert werden können, angeglichen werden können, in ein Äquales gebracht werden können, gleichgesetzt werden können.

Hofmann macht daraus einen statischen Zustand:

gleich sein können.

Der lateinische Ausdruck aequari enthält stärker einen Vorgang des Gleichsetzens / Entsprechendmachens. gleich sein klingt, als die Umfänge von sich her gleich seien.

Für unsere Arbeit ist außerdem das deutsche Wort gleich problematisch, weil wir gerade prüfen, was aequare / aequalishier jeweils meint.

Bewertung: sinnverschiebend. Nicht völlig falsch, aber zu glatt und statisch. Unser „äquiert werden können“ bleibt näher.

---

f) peripheriis polygoniarum figurarum → Umfängen von Vieleckfiguren

Original:

peripheriis polygoniarum figurarum

Hofmann:

Umfängen von Vieleckfiguren

Das ist sachlich naheliegend.

polygoniae figurae = polygonale Figuren / vieleckige Figuren.

„Vieleckfiguren“ ist etwas ungewohnt, aber sinnvoll.

Unser „Peripherien polygonaler Figuren“ erhält jedoch stärker den Parallelbau und die lateinische Begriffsschicht.

Bewertung: zulässig, aber begriffsglättend.

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g) cum circulus aequetur quadrangulo → da der Kreis gleichgesetzt wird dem Rechteck

Original:

cum circulus aequetur quadrangulo

Hofmann:

da der Kreis gleichgesetzt wird dem Rechteck

Rückübersetzung:

quia circulus aequatur rectangulo

Hier ist Hofmann teilweise gut, teilweise zu festlegend.

Gut ist: gleichgesetzt wird trifft aequetur besser als „gleich ist“.

Problematisch ist: quadrangulum → Rechteck.

quadrangulum heißt zunächst vierwinklige / vierseitige Figur, also Quadrangulum / Viereck. Aus der folgenden Bestimmung — kleinere Seite = Semidiameter, größere Seite = Semicircumferentia — ergibt sich dem Sinn nach ein Rechteck. Hofmann macht diese Folgerung bereits zur Übersetzung.

Das ist sachlich wahrscheinlich richtig, aber begrifflich nicht textnah. Cusanus sagt nicht rectangulum, sondern quadrangulum.

Bewertung: als sachliche Verdeutschung zulässig, aber interpretierend. Für unsere Übersetzung besser: Quadrangulum, mit Anmerkung: gemeint ist hier dem Bau nach ein Rechteck aus Semidiameter und Semicircumferentia.

---

h) cuius minus latus est semidiameter → mit dem Kreishalbmesser als der kleineren Seite

Original:

cuius minus latus est semidiameter

Hofmann:

mit dem Kreishalbmesser als der kleineren Seite

Rückübersetzung:

cuius minus latus est semidiameter circuli

Das ist grundsätzlich richtig.

Halbmesser ist eine gute deutsche Entsprechung für semidiameter.

Kreishalbmesser ergänzt „Kreis“, das durch den Kontext ohnehin gegeben ist. Keine problematische Verschiebung.

Bewertung: zulässig.

Unser Semidiameter ist begriffserhaltender; Hofmanns Kreishalbmesser ist als deutsche Sachübersetzung gut.

i) et maius semicircumferentia → und dem Halbkreisumfang als der größeren Seite

Original:

et maius semicircumferentia

Hofmann:

und dem Halbkreisumfang als der größeren Seite

Rückübersetzung:

et maius semicirculi circumferentia

Hier ist Vorsicht nötig.

semicircumferentia heißt: halbe Circumferenz, also halber Kreisumfang.

Halbkreisumfang kann im Deutschen mißverständlich sein. Es kann bedeuten:

1. Umfang des Halbkreises als Figur, also Bogen plus Durchmesser;
2. halber Umfang des Kreises, also nur der Halbkreisbogen.

Cusanus meint hier die zweite Bedeutung: semicircumferentia = halbe Circumferenz / halber Kreisumfang.

Hofmanns Wort kann richtig verstanden werden, ist aber nicht eindeutig genug.

Bewertung: potentiell mißverständlich. Besser: halber Kreisumfang oder Semicircumferentia.

Gesamtvergleich

Hofmanns Fassung im Verhältnis zum Original

Hofmann gibt den mathematischen Grundgedanken verständlich wieder:

Wer die Kreisquadratur zuläßt, muß auch zulassen, daß Kreisumfänge mit Umfängen polygonaler Figuren in eine Entsprechung gebracht werden können; denn der Kreis wird mit einem Rechteck aus Halbmesser und halbem Umfang gleichgesetzt.

Das ist sachlich die Richtung des Satzes.

Aber sie verschiebt den Ton und die Begriffsschicht:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
Sunt qui	Es gibt Gelehrte	Autoritätszuschreibung
habent admittere	müssen zugestehen	Konzessions-/Streitton
peripheriae	Umfänge	sachlich, aber Begriffsglättung
aequari posse	gleich sein können	Vorgang wird Zustand
quadrangulum	Rechteck	interpretierende Festlegung
semicircumferentia	Halbkreisumfang	potentiell mehrdeutig

Hofmann im Verhältnis zu unserem Entwurf

Unser Entwurf ist näher am lateinischen Wortlaut:

Es gibt solche, die die Kreisquadratur zulassen. Und diese müssen notwendig zulassen, daß die Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter ist und dessen größere die Semicircumferentia.

Hofmanns Fassung ist glatter und mathematisch lesbarer, aber sie bringt mehr Deutung ein.

Besonders wichtig:

• Unser „Es gibt solche“ erhält die unbestimmte Form.
• Unser „zulassen“ erhält admittere ohne Zugeständnis-Ton.
• Unser „äquiert werden können“ erhält aequari posse als Vorgang.
• Unser „Quadrangulum“ läßt offen, daß Cusanus nicht rectangulum schreibt.
• Unser „Semicircumferentia“ vermeidet die Mehrdeutigkeit von „Halbkreisumfang“.

Urteil nach unserer Definition von Verfälschung

In diesem Satz ist Hofmann weniger verfälschend als im ersten Absatz, aber es gibt zwei Stellen, die nach unserer Methode problematisch sind:

1. Sunt qui → Gelehrte

Das erzeugt eine Autorität, die Cusanus nicht ausdrücklich nennt. Dadurch wirkt die zugelassene Position stärker gelehrt legitimiert.

Bewertung: sinnverstärkend, nicht zwingend schwere Verfälschung, aber unnötiger Zusatz.

2. aequari posse → gleich sein können

Das ist die stärkere Veränderung. Cusanus sagt nicht bloß: Umfänge können gleich sein. Er sagt: Die Peripherien der Kreise können den Peripherien polygonaler Figuren aequari — äquiert, entsprechend gesetzt, angeglichen werden.

Bewertung: sinnverschiebend, weil der Vorgangscharakter von aequare verloren geht und „gleich“ unkontrolliert eingeführt wird.

3. quadrangulum → Rechteck

Das ist sachlich wahrscheinlich korrekt, weil die beiden Seiten genannt werden. Aber es ist eine erläuternde Festlegung. Als Übersetzung ohne Hinweis ist es zu direkt.

Bewertung: zulässig mit Anmerkung, ohne Anmerkung begrifflich glättend.

4. semicircumferentia → Halbkreisumfang

Das ist potentiell mißverständlich.

Bewertung: nicht verfälschend, wenn richtig verstanden; aber ungenau. Besser halber Kreisumfang.

Angepaßter Entwurf nach Vergleich

Ich würde unseren Entwurf nur geringfügig verdeutschen:

Es gibt solche, die die Kreisquadratur zulassen. Und diese müssen notwendig zulassen, daß die Peripherien der Kreise den Peripherien polygonaler Figuren äquiert werden können, da der Kreis einem Quadrangulum äquiert wird, dessen kleinere Seite der Semidiameter und dessen größere Seite die Semicircumferentia, also der halbe Kreisumfang, ist.

Mit Kommentar:

Quadrangulum wird nicht unmittelbar mit „Rechteck“ ersetzt, obwohl die Seitenangaben zeigen, daß Cusanus hier sachlich ein Rechteck aus Semidiameter und halbem Kreisumfang meint. Semicircumferentia wird als „halber Kreisumfang“ erläutert, nicht als „Halbkreisumfang“, um die Verwechslung mit dem Umfang eines Halbkreises zu vermeiden.

3. Absatz 3. Satz:

Deine Analyse ist zutreffend und ich habe deinen letzten Entwurf mit Kommentar übernommen.

Nun folgt Originaltext 3. Absatz 3. Satz:

Quando igitur quadratum aequale circulo in tale quadrangulum resolveretur, haberetur recta linea curvae aequalis. Hinc deveniretur ad aequalitatem peripheriarum circuli et polygoniae, ut est de se notum.

Analyse 3. Absatz 3. Satz

Dein Hinweis zur fehlenden Namensnennung ist methodisch berechtigt: Cusanus macht eine Positionsgruppe geltend, aber ohne Referenzangabe bleibt die Behauptung nur indirekt prüfbar. Jetzt übersetze ich den Folgesatz mit besonderer Vorsicht bei aequale, resolveretur, recta linea und curva.

Latein

Quando igitur quadratum aequale circulo in tale quadrangulum resolveretur, haberetur recta linea curvae aequalis. Hinc deveniretur ad aequalitatem peripheriarum circuli et polygoniae, ut est de se notum.

1. Begriffserhaltende Arbeitsfassung

Wenn also ein dem Kreis äquales Quadratum in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde, hätte man eine recta linea, die einer curva äqual ist. Von hier aus käme man zur Äqualität der Peripherien des Kreises und der polygonalen [Figur], wie es von sich her bekannt ist.

2. Begriffsprüfung

Latein	vorläufige Übersetzung	Bemerkung
Quando igitur	wenn also / sobald also	hier konditional: wenn dieser Fall angenommen wird
quadratum	Quadratum / Quadrat	hier ausdrücklich Quadrat, anders als zuvor quadrangulum
aequale circulo	dem Kreis äqual	nicht „gleich“ im Gestaltsinn; gemeint: dem Flächenmaß nach entsprechend
in tale quadrangulum	in ein solches Quadrangulum	Rückbezug auf das vorherige Quadrangulum aus Semidiameter und Semicircumferentia
resolveretur	aufgelöst würde / zurückgeführt würde	wichtig: nicht einfach „verwandelt“; eher geometrisch in eine andere Figur überführt / zerlegt / aufgelöst
haberetur	man hätte / es würde erhalten	passivisch-unpersönlich
recta linea	gerade Linie / recta linea	hier als Gegenstück zur curva
curvae aequalis	einer curva äqual / einer gekrümmten Linie entsprechend	curva substantiviert: die Krumme / gekrümmte Linie
Hinc deveniretur	von hier aus käme man / gelangte man	Folgerungsbewegung
ad aequalitatem	zur Äqualität / zur Entsprechung	nicht sofort „Gleichheit“
peripheriarum	der Peripherien	Begriff beibehalten
circuli et polygoniae	des Kreises und der polygonalen [Figur]	polygoniae steht verkürzt; wohl zu ergänzen: figurae polygoniae
ut est de se notum	wie es von sich her bekannt ist	nicht: „wie selbstverständlich“ im abwertenden Sinn; meint: aus sich selbst einsichtig / unmittelbar bekannt

3. Wörtlich-sinngemäße Fassung

Wenn also ein dem Kreis äquales Quadratum in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde, hätte man eine gerade Linie, die einer gekrümmten äqual ist. Von hier aus käme man zur Äqualität der Peripherien des Kreises und der polygonalen Figur, wie es von sich her bekannt ist.

4. Etwas deutschere Fassung

Wenn also ein dem Kreis äquales Quadrat in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde, hätte man eine gerade Linie, die einer gekrümmten Linie entspricht. Von hier aus gelangte man zur Äqualität der Peripherien des Kreises und der polygonalen Figur, wie es von sich her bekannt ist.

5. Vorläufig bevorzugter Entwurf

Wenn also ein dem Kreis äquales Quadratum in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde, hätte man eine gerade Linie, die einer gekrümmten Linie äqual ist. Von hier aus gelangte man zur Äqualität der Peripherien des Kreises und der polygonalen Figur, wie es von sich her bekannt ist.

Ich würde hier Quadratum zunächst beibehalten oder wenigstens im Kommentar notieren, weil Cusanus nun ausdrücklich von quadratum spricht, nachdem zuvor quadrangulum stand. Diese Unterscheidung ist wichtig.

6. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Unser Entwurf:

Wenn also ein dem Kreis äquales Quadratum in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde, hätte man eine gerade Linie, die einer gekrümmten Linie äqual ist. Von hier aus gelangte man zur Äqualität der Peripherien des Kreises und der polygonalen Figur, wie es von sich her bekannt ist.

Rückübersetzung:

Quando igitur quadratum aequale circulo in tale quadrangulum resolveretur, haberetur recta linea curvae lineae aequalis. Hinc deveniretur ad aequalitatem peripheriarum circuli et figurae polygoniae, ut est de se notum.

Vergleich mit Original:

Quando igitur quadratum aequale circulo in tale quadrangulum resolveretur, haberetur recta linea curvae aequalis. Hinc deveniretur ad aequalitatem peripheriarum circuli et polygoniae, ut est de se notum.

Abweichungen:

1. curvae lineae statt curvae Unsere deutsche Fassung ergänzt „Linie“, weil curva im Deutschen allein schwerer verständlich ist. Das ist erklärend, aber sachlich passend, da curva hier substantivisch als gekrümmte Linie verstanden wird.
2. figurae polygoniae statt polygoniae Unsere Fassung ergänzt „Figur“. Auch das ist erklärend. Der vorherige Satz hatte polygoniarum figurarum, daher ist die Ergänzung gut begründbar.

Sonst bleibt die Rückübersetzung nahe am Original.

7. Sachlicher Kommentar

Der Satz ist argumentativ wichtig:

Cusanus sagt: Wenn man ein Quadratum, das dem Kreis äqual ist, in das vorher beschriebene Quadrangulum auflösen könnte, dann hätte man eine gerade Linie, die einer gekrümmten Linie äqual ist.

Das heißt: Die Kreisquadratur setzt nicht nur eine Flächenentsprechung voraus, sondern führt zur Frage der Rektifikation der Kurve:

Die gekrümmte Kreislinie müßte in eine gerade Linie überführt oder ihr äquiert werden können.

Daraus käme man dann zur Äqualität der Peripherien von Kreis und polygonaler Figur.

Wichtig ist dabei:

• quadratum = Quadrat;
• quadrangulum = das zuvor genannte Rechteck-artige Quadrangulum;
• recta linea = gerade Linie;
• curva = gekrümmte Linie;
• aequalitas peripheriarum = nicht Gestaltgleichheit, sondern Entsprechung der Peripheriemaße.

Cusanus legt hier also den Kern offen:

Kreisquadratur hängt an der Möglichkeit, die gekrümmte Peripherie des Kreises einer geraden Linie äqual zu setzen.

Hofmann 3. Absatz 3. Satz

Ich hatte nicht bemerkt, daß dies zwei Sätze waren. Ist es besser Satz für Satz oder Absatz für Absatz zu übersetzen?

Cusanus gibt mit diesem Satz an sich einen bereits bekannten Ansatz zu einer auch seinerseits gemutmaßten Lösung, wie man aus einer Gekrümmt eine Gerade macht, infolge einen Kreisquadratur entsprechend ausführen könnte. Eine Linie ist ja auch an sich eine Leine und eine Leine kann ich aufgrund dessen bereits begrenzten Länge in jeder beliebig schließenden Form auslegen, dessen größter Flächeninhalt nur im Fall des Kreis erlangt wird und daher genügt dieser Ansatz meines erachtens nur dann, wenn man irgendwo ein Abmaß findet, daß einen aqualen Zwischenschrittwert zur Übertragung aufweist, was offenbar Cusanus mit verschiedenen Varianten dieses Ansatz zu lösen versucht.

Kommen wir zu Hofmann und deren Übersetzung des Satz:

Wenn man also das einem Kreis gleiche Quadrat in ein solches Rechteck verwandeln könnte, dann hätte man die der Kreislinie gleiche Strecke. So käme man zur Gleichheit der Umfangslinien des Kreises und des Vielecks, wie es sich von selbst versteht.

Rückübersetzung, Analyse und Vergleich der Varianten bitte.

Hofmann Analyse 3. Absatz 3. Satz

Satzweise ist für unsere Methode besser — jedenfalls im ersten Durchgang. Danach sollten wir den Absatz nochmals als Einheit prüfen, weil Cusanus oft eine Satzfolge als Argumentkette baut.

Für diesen Fall gilt:

• Satz 1: Wenn Quadratum → Quadrangulum auflösbar wäre, hätte man recta linea äqual zur curva.
• Satz 2: Daraus käme man zur Äqualität der Peripherien von Kreis und polygonaler Figur.

Die beiden Sätze gehören also eng zusammen, aber die Übersetzung sollte zuerst satzweise erfolgen, damit keine Verknüpfung hineingelesen wird, die nicht im Wortlaut steht.

Deine Leinen-Überlegung paßt gut: linea hängt ja ursprünglich mit Leinenfaden / Schnur / gezogener Linie zusammen. Eine gegebene Leine kann gerade ausgespannt oder gekrümmt gelegt werden. Genau diese anschauliche Möglichkeit reicht praktisch aus. Geometrisch-demonstrativ reicht sie aber erst dann, wenn gezeigt wird, welche gerade Linie der curva dem Maß nach äqual ist und wie sie konstruktiv gegeben werden kann. Genau dort liegt Cusanus’ Suchbewegung.

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1. Hofmanns Übersetzung

Wenn man also das einem Kreis gleiche Quadrat in ein solches Rechteck verwandeln könnte, dann hätte man die der Kreislinie gleiche Strecke. So käme man zur Gleichheit der Umfangslinien des Kreises und des Vielecks, wie es sich von selbst versteht.

2. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung ins Lateinische

Eine sinngemäße Rückübersetzung ergäbe etwa:

Si igitur quadratum circulo aequale in tale rectangulum transformare possetur, tunc haberetur segmentum / linea recta lineae circulari aequalis. Sic deveniretur ad aequalitatem linearum ambitus circuli et polygoni, ut per se intellegitur.

Oder näher an ihrer Wortwahl:

Quando igitur quadratum circulo aequale in tale rectangulum converti posset, haberetur recta linea circuli lineae aequalis. Ita perveniretur ad aequalitatem linearum circumferentialium circuli et polygoni, sicut per se intellegitur.

Vergleich mit Cusanus:

Quando igitur quadratum aequale circulo in tale quadrangulum resolveretur, haberetur recta linea curvae aequalis. Hinc deveniretur ad aequalitatem peripheriarum circuli et polygoniae, ut est de se notum.

Die Rückübersetzung zeigt mehrere Verschiebungen.

3. Analyse nach Sinneinheiten

a) quadratum aequale circulo → das einem Kreis gleiche Quadrat

Cusanus:

quadratum aequale circulo

Hofmann:

das einem Kreis gleiche Quadrat

Hier tritt wieder das Problem von gleich auf. Cusanus verwendet aequale, und der Kontext meint nicht Gestaltgleichheit, sondern eine Äqualität im Sinne einer Flächenmaß-Entsprechung. Hofmanns „gleiche Quadrat“ kann beim heutigen Leser nahelegen:

das Quadrat sei dem Kreis „gleich“.

Das ist sachlich mißverständlich. Besser:

das dem Kreis äquale Quadratum

oder erklärend:

das dem Kreis dem Flächenmaß nach entsprechende Quadratum

Bewertung: sinnverschiebend durch unkontrolliertes „gleich“.

b) quadratum → Quadrat

Das ist hier richtig. Cusanus schreibt nun quadratum, nicht quadrangulum.

Bewertung: zutreffend.

c) in tale quadrangulum resolveretur → in ein solches Rechteck verwandeln könnte

Cusanus:

in tale quadrangulum resolveretur

Hofmann:

in ein solches Rechteck verwandeln könnte

Hier liegen zwei Veränderungen vor.

1. quadrangulum → Rechteck

Sachlich ist wohl das vorher beschriebene Rechteck gemeint: kleinere Seite = Semidiameter, größere Seite = Semicircumferentia. Aber Cusanus schreibt weiterhin quadrangulum, nicht rectangulum.

Rechteck ist also eine erklärende Festlegung. Zulässig wäre sie mit Anmerkung, aber als bloße Übersetzung verdeckt sie Cusanus’ Wortwahl.

2. resolveretur → verwandeln könnte

resolvere heißt eher:

• auflösen,
• zurückführen,
• zerlegen,
• in eine andere Bestimmungsform überführen.

Verwandeln klingt stärker nach Gestaltumwandlung oder Transformation. Es kann gehen, ist aber weniger präzise. Cusanus meint nicht irgendeine Verwandlung, sondern die Auflösung des Quadrats in jenes Quadrangulum, also eine geometrische Rückführung.

Besser:

in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde

Bewertung: „Rechteck“ ist erklärend; „verwandeln“ ist zu frei. Zusammen bewirken sie eine stärkere geometrische Umformungssprache als der lateinische Wortlaut.

d) haberetur recta linea curvae aequalis → dann hätte man die der Kreislinie gleiche Strecke

Cusanus:

haberetur recta linea curvae aequalis

Hofmann:

dann hätte man die der Kreislinie gleiche Strecke

Hier ist der Sinn grundsätzlich erkannt: Die gerade Linie soll der gekrümmten entsprechen.

Aber es gibt drei Verschiebungen:

1. recta linea → Strecke

„Strecke“ ist moderne Schulgeometrie. Cusanus sagt recta linea — gerade Linie.

Da es sich tatsächlich um eine begrenzte Linie handeln muß, ist „Strecke“ sachlich verständlich. Aber es verdeckt den Gegensatz:

recta gegen curva

Dieser Gegensatz ist bei Cusanus zentral: Gerade Linie / gekrümmte Linie.

2. curva → Kreislinie

Cusanus sagt nur curva, die Krumme / gekrümmte Linie. Aus dem Zusammenhang ist die Kreislinie gemeint. Hofmann macht diese Deutung direkt.

Das ist sachlich naheliegend, aber es nimmt dem Satz die allgemeinere Gegenüberstellung:

recta linea — curva

Besser:

eine gerade Linie, die der gekrümmten Linie äqual ist

mit Kommentar: Gemeint ist hier die Kreislinie.

3. aequalis → gleiche

Wieder unkontrolliertes „gleich“. Besser:

äqual oder: dem Maß nach entsprechend

Bewertung: Hofmann trifft den groben Sachverhalt, schwächt aber die zentrale Gegenüberstellung recta / curva und führt wieder „gleich“ ein.

e) Hinc deveniretur → So käme man

Cusanus:

Hinc deveniretur

Hofmann:

So käme man

Das ist gut. Hinc = von hier aus, daraus. „So“ ist etwas glatter, aber zulässig.

Bewertung: unproblematisch.

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f) ad aequalitatem peripheriarum → zur Gleichheit der Umfangslinien

Cusanus:

ad aequalitatem peripheriarum

Hofmann:

zur Gleichheit der Umfangslinien

Hier sind zwei Punkte wichtig.

1. aequalitas → Gleichheit

Wieder Problem „Gleichheit“. Im Kontext ist gemeint:

Äqualität / dem Peripheriemaß nach entsprechende Setzung.

„Gleichheit der Umfangslinien“ kann bedeuten, die Linien seien gleichartig oder gleich beschaffen. Gemeint ist aber eher Längen-/Peripheriemaß-Entsprechung.

2. peripheriae → Umfangslinien

„Umfangslinien“ ist nicht schlecht, weil es den Liniencharakter erhält. Aber Peripherien wäre näher und hält den Begriff mit den vorherigen Sätzen zusammen.

Bewertung: „Umfangslinien“ ist vertretbar; „Gleichheit“ bleibt problematisch.

g) circuli et polygoniae → des Kreises und des Vielecks

Cusanus:

circuli et polygoniae

Hofmann:

des Kreises und des Vielecks

Hier verkürzt Cusanus selbst: polygoniae steht wahrscheinlich für polygoniae figurae, also „der polygonalen Figur“. Hofmanns „Vieleck“ ist sachlich naheliegend.

Aber Vieleck ist enger als polygonale Figur, weil Cusanus zuvor polygoniae figurae als Figurenart verwendete.

Bewertung: zulässig, aber geglättet.

h) ut est de se notum → wie es sich von selbst versteht

Cusanus:

ut est de se notum

Hofmann:

wie es sich von selbst versteht

Das ist nah. Dennoch leichte Verschiebung:

• de se notum = von sich her bekannt / aus sich heraus einsichtig;
• sich von selbst versteht = selbstverständlich, beinahe banal.

Cusanus’ Formulierung ist sachlich-erkenntnishaft: Es ist aus sich heraus bekannt. Hofmanns Fassung klingt etwas umgangssprachlich-selbstverständlich.

Bewertung: zulässig, aber leicht tonverschiebend.

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4. Vergleich mit unserem Entwurf

Unser Entwurf:

Wenn also ein dem Kreis äquales Quadratum in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde, hätte man eine gerade Linie, die einer gekrümmten Linie äqual ist. Von hier aus gelangte man zur Äqualität der Peripherien des Kreises und der polygonalen Figur, wie es von sich her bekannt ist.

Hofmann:

Wenn man also das einem Kreis gleiche Quadrat in ein solches Rechteck verwandeln könnte, dann hätte man die der Kreislinie gleiche Strecke. So käme man zur Gleichheit der Umfangslinien des Kreises und des Vielecks, wie es sich von selbst versteht.

Unser Entwurf erhält besser:

• quadratum / quadrangulum als verschiedene Begriffe;
• resolveretur als Auflösung, nicht bloß Verwandlung;
• recta linea / curva als Gegensatz Gerade / Gekrümmte;
• aequalis / aequalitas als Äqualität, nicht unmarkiert Gleichheit;
• peripheriae als Peripherien;
• de se notum als „von sich her bekannt“.

Hofmann ist lesbarer, aber stärker interpretierend.

5. Urteil nach unserer Definition von Verfälschung

In diesem Doppel-Satz liegen bei Hofmann mehrere Sinnverschiebungen vor. Nicht alle sind schwer, aber zusammen verändern sie das begriffliche Gefüge.

Noch zulässig oder knapp zulässig

• quadratum → Quadrat
• Hinc deveniretur → So käme man
• polygoniae → Vieleck
• ut est de se notum → wie es sich von selbst versteht

Problematisch

• quadrangulum → Rechteck sachlich erklärbar, aber ohne Anmerkung zu festlegend.
• resolveretur → verwandeln könnte zu stark transformatorisch; „aufgelöst würde“ ist näher.
• recta linea → Strecke verdeckt den Gegensatz recta / curva.
• curva → Kreislinie sachlich passend, aber verengt die allgemeine Gegenüberstellung von Gerade und Gekrümmter.

Nach unserer Methode verfälschend oder deutlich sinnverschiebend

• aequale / aequalis / aequalitas → gleich / Gleichheit Hier ist es besonders problematisch, weil der ganze Abschnitt gerade davon handelt, ob und wie Kreis, Quadrat, Gerade und Kurve äquiert werden können. „Gleich“ läßt die begriffliche Spannung verschwinden.
• recta linea curvae aequalis → der Kreislinie gleiche Strecke Diese Fassung macht den Satz moderner und scheinbar einfacher, aber sie mindert die cusanische Pointe: Es geht um eine recta linea, die einer curva äqual wäre. Also um die Möglichkeit, das Gekrümmte in das Gerade zu überführen.

6. Angepaßter Entwurf

Ich würde unseren Entwurf nur leicht verdeutschen:

Wenn also ein dem Kreis äquales Quadratum in ein solches Quadrangulum aufgelöst würde, hätte man eine gerade Linie, die einer gekrümmten Linie äqual ist. Von hier aus gelangte man zur Äqualität der Peripherien des Kreises und der polygonalen Figur, wie es von sich her bekannt ist.

Mit Kommentar:

Quadratum und Quadrangulum werden unterschieden. Das Quadrangulum ist dem Sachverhalt nach das zuvor beschriebene Rechteck, wird aber nicht unmittelbar mit „Rechteck“ ersetzt. Curva wird als „gekrümmte Linie“ wiedergegeben; gemeint ist im Zusammenhang die Kreislinie. Aequalis / aequalitaswird nicht mit „gleich / Gleichheit“ ersetzt, weil Cusanus hier gerade die Frage einer Äqualität zwischen gerader und gekrümmter Linie verhandelt.

4. Absatz 1. Satz

Zum Abschluß eines Absatz stelle ich alle Original, unsere Übersetzung und die von Hofmann nochmals zur abschließenden wie zuvor zur Auswertung und Bewertung – OK?

Ich stimme deiner Analyse und Auswertung zu.

Da gleich sich im Deutsch an sich nur auf deckungsgleiche Form bezieht, ist anstelle von "das einem Kreis gleiche Quadrat" eher "das einem Kreis entsprechende Quadrat" oder "die einer Kreisfläche entsprechende (äquale) Quadratfläche" besser. Wenn man Logos als Verhältnis und Arithmuß als Zahl übersetzt, dann geht es ja um eine dem Kreis und Quadrat entsprechende Verhältniszahl, mittels derer ein Kreisumfang in einem Quadartumfang entsprechenden Flächeninhalt, was ja π geworden ist. Es geht jedoch um eine Art Logarithmuslänge, eine Länge die einen Logos von Kreis zu Quadrat gemäß einem beide innigen Arithmos hat, welcher an sich nur über eine ihnen gemeinsame Monas zu erlangen wäre – oder? Bedenke, ich bin kein Mathematiker und weiß weder wie zutreffend noch wie abwegig eine Logarithmuslänge als Mutmaßung ist.

Es folgt 4. Absatz 1. Satz, der verschachtelt aufgebaut ist:

Illi etiam hoc argumentum admittunt, sine quo nihil attingerent, scilicet: Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale; quia, cum detur quadratum maius circulo, ut est circumscriptum, et minus, ut est inscriptum, igitur et aequale, quod erit nec circumscriptum nec inscriptum, sed pariter inscriptum et circumscriptum.

Analyse 4. Absatz 1. Satz

Ja, das ist sinnvoll: Am Ende eines Absatzes stellen wir Original, unsere Fassung und Hofmanns Fassung zusammen und prüfen dann nochmals geschlossen:

1. Sinn und Zweck des Absatzes,
2. Begriffskontinuität,
3. Rückübersetzung,
4. mögliche Verfälschungen / Verschiebungen.

Zu deiner Mutmaßung: „Logarithmuslänge“ würde ich nicht verwenden, weil „Logarithmus“ heute mathematisch fest besetzt ist und eine spätere Zahlentheorie hineinzieht. Was du meinst, scheint eher eine Logos-Länge oder Verhältnislinie zu sein: eine Gerade, die den Logos zwischen Kreis und Quadrat so trägt, daß eine Übertragung möglich wird. Als Arbeitsmutmaßung wäre daher besser:

eine Verhältnislinie / Logos-Linie, durch welche die Peripherie oder Fläche des Kreises in ein quadratisches Maß übertragbar würde.

Das paßt besser zu Cusanus als „Logarithmuslänge“.

Latein

Illi etiam hoc argumentum admittunt, sine quo nihil attingerent, scilicet: Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale; quia, cum detur quadratum maius circulo, ut est circumscriptum, et minus, ut est inscriptum, igitur et aequale, quod erit nec circumscriptum nec inscriptum, sed pariter inscriptum et circumscriptum.

1. Begriffserhaltende Arbeitsfassung

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo es gegeben ist, ein Mehr und ein Weniger zu geben, dort ist es auch gegeben, ein Äquales zu geben; denn da ein Quadratum gegeben wird, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene ist, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene ist, daher auch ein äquales, welches weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

2. Begriffsprüfung

Latein	Arbeitsbegriff	Bemerkung
Illi	jene	bezieht sich auf die zuvor Genannten, die Kreisquadratur zulassen
etiam	auch	weiterer notwendiger Annahmeschritt
hoc argumentum	dieses Argument	nicht bloß „Beweis“, sondern Argument / Schlußfigur
admittunt	lassen zu	wieder dasselbe Verb wie zuvor: admittere
sine quo nihil attingerent	ohne welches sie nichts erreichen / berühren würden	attingere kann „erreichen, berühren, anlangen“ heißen; wichtig wegen Annäherungscharakter
scilicet	nämlich	Einführung der Schlußfigur
Ubi est dare	wo es gegeben ist, zu geben	schwer deutsch; meint: wo man geben / ansetzen kann
magis et minus	Mehr und Weniger	nicht sofort „größer und kleiner“; magis/minus ist abstrakter
aequale	Äquales / Entsprechendes	nicht unkontrolliert „Gleiches“
cum detur	da gegeben wird / da gegeben ist	nicht „weil es gibt“ allein; geometrisches Gegebensein
quadratum maius circulo	ein Quadratum größer als der Kreis	wahrscheinlich flächenmaßlich größer
ut est circumscriptum	wie das umbeschriebene ist	gemeint: ein um den Kreis beschriebenes Quadrat
et minus, ut est inscriptum	und ein kleineres, wie das eingeschriebene ist	gemeint: ein in den Kreis eingeschriebenes Quadrat
igitur et aequale	daher auch ein äquales	die strittige Folgerung
nec circumscriptum nec inscriptum	weder umbeschrieben noch eingeschrieben	das gesuchte äquale liegt nicht einfach in einer der beiden üblichen Lagen
sed pariter inscriptum et circumscriptum	sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben	paradoxale Formulierung; für Cusanus wichtig

3. Wörtlich-sinngemäße Fassung

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo ein Mehr und ein Weniger gegeben werden kann, dort kann auch ein Äquales gegeben werden; denn da ein Quadratum gegeben ist, das größer als der Kreis ist, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, gibt es folglich auch ein äquales, welches weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

4. Glattere, aber noch begriffstreue Fassung

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort kann man auch ein Äquales geben; denn da es ein Quadratum gibt, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, folgt auch ein äquales, das weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

5. Vorläufig bevorzugter Entwurf

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort kann man auch ein Äquales geben; denn da ein Quadratum gegeben ist, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, folgt auch ein äquales, das weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

6. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Illi etiam hoc argumentum admittunt, sine quo nihil attingerent, scilicet: Ubi potest dari magis et minus, potest etiam dari aequale; quia, cum detur quadratum maius circulo, sicut circumscriptum, et minus, sicut inscriptum, sequitur etiam aequale, quod erit nec circumscriptum nec inscriptum, sed pariter inscriptum et circumscriptum.

Vergleich mit Original:

Illi etiam hoc argumentum admittunt, sine quo nihil attingerent, scilicet: Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale; quia, cum detur quadratum maius circulo, ut est circumscriptum, et minus, ut est inscriptum, igitur et aequale, quod erit nec circumscriptum nec inscriptum, sed pariter inscriptum et circumscriptum.

Die Rückübersetzung bleibt nahe. Unterschiede:

• potest dari statt est dare: unsere deutsche Fassung „kann man geben“ gibt den Sinn gut, aber nicht die eigentümliche lateinische Konstruktion. Man könnte im Deutschen auch näher sagen: „Wo es ist, Mehr und Weniger zu geben …“, das ist aber schwerer lesbar.
• sequitur statt igitur: Unsere Fassung „folgt“ macht die Folgerung ausdrücklich. Im Original steht nur igitur et aequale — „also auch ein Äquales“. Das ist aber sachlich die gemeinte Schlußbewegung.
• sicut statt ut est: geringfügige Glättung.

7. Sachlicher Kommentar

Dieser Satz ist zentral, weil Cusanus hier die Schlußfigur der Befürworter der Kreisquadratur ausdrücklich nennt:

Wo Mehr und Weniger gegeben werden kann, dort kann auch ein Äquales gegeben werden.

Das ist genau die Bryson-nahe Denkfigur. Cusanus stellt sie hier noch nicht endgültig als richtig dar, sondern sagt:

Jene, die die Kreisquadratur zulassen, müssen auch dieses Argument zulassen, denn ohne dieses würden sie nichts erreichen.

Der Satz enthält also eine Positionsrekonstruktion:

1. Es gibt ein umbeschriebenes Quadratum: größer als der Kreis.
2. Es gibt ein eingeschriebenes Quadratum: kleiner als der Kreis.
3. Also müsse es auch ein äquales Quadratum geben.
4. Dieses wäre weder einfach umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern „pariter“ beides.

Gerade der letzte Ausdruck ist wichtig:

pariter inscriptum et circumscriptum

Das klingt bereits cusanisch zugespitzt: Das Gesuchte steht nicht einfach zwischen innen und außen, sondern soll in einer gewissen Weise beide Bestimmungen zugleich erfüllen. Hier berührt sich die geometrische Schlußfigur mit dem Motiv der coincidentia oppositorum. Aber methodisch muß man festhalten:

Der Satz referiert zunächst die notwendige Annahme derjenigen, die Kreisquadratur zulassen. Ob Cusanus diese Annahme selbst im starken mathematischen Sinn übernimmt, muß der Fortgang zeigen.

8. Kleine mögliche Anpassung

Wenn wir aequale nicht zu fremd stehenlassen wollen, könnten wir schreiben:

ein Äquales / Entsprechendes

Dann wäre die Fassung:

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort kann man auch ein Äquales / Entsprechendes geben; denn da ein Quadratum gegeben ist, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, folgt auch ein Äquales / Entsprechendes, das weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

Ich würde aber im Haupttext Äquales beibehalten und im Glossar erklären, weil aequale in diesem Traktat ein Leitbegriff ist.

Äquales

Ich stimme dir wieder umfangreich zu. Ich habe inzwischen den Eindruck daß "Äquales" von Cusanus in dem Sinn verwendet wird, wie wir im Deutsch "Analoges" verwenden – oder? Zu beachten ist, das "aequus" die Nebenbedeutungen von "eben, geebnet" und "einfach" hat und daß es da wenn nicht um "gleich" in Sachen Form alleinig geht, man Äquales als eine entsprechende Zwischenebene zweier Ebenen, oder gar wie Cusanus mutmaßt um eine beide vereinende Ebene handelt – deute ich dies annähernd richtig?

Cusanus hat zumindest prakmatisch-praktisch recht, denn ein Handwerker könnte ansonsten kein quadratisches Faß bauen, daß dem runden Faß im Füllinhalt entsprechend (identisch) ist. Der Satz ist besonders wichtig und jede kleinste Veränderung könnte den Gesamtsinn verschieben. Ich stimme Cusanus Ansicht grundlegend zu, daß es da eine Verhältnisgröße geben muß, über daß von einem in das Andere eine Übertragung möglich ist. Nun rechne ich heutzutage einfach den Flächeninhalt mittels π und kann davon Radius für den Kreis oder Seitenstrichlänge für das Quadrat ableiten und so den von ihm erwähnte perite Peropherie als Kreis zu Kreisen zum Quadrat oder Quadrat zum Kreis einzeichnen. Abewr er spricht hier von einem Kreis zum Inkreis und Umkreis, der dem Quadratflächeninhalt hat - richtig?

Erläuterung Äquales

Ja, annähernd deutest du es richtig — mit einer wichtigen Einschränkung:

aequale ist bei Cusanus hier nicht einfach „analog“, aber es berührt das, was wir im Deutschen mit „entsprechend“oder „maßlich entsprechend“ meinen.

Ich würde unterscheiden:

• analog = ähnlich dem Verhältnis oder der Struktur nach;
• aequale = entsprechend / ausgeglichen / äqual dem Maß nach;
• assimilatio = Angleichung / Ähnlichkeitsübertragung;
• proportio = Verhältnisbezug / Proportionsordnung.

Für aequale wäre daher in unserem Glossar vorläufig:

aequale: das Äquale; das dem Maß nach Entsprechende; das Ausgeglichene; nicht notwendig formgleich.

Dein Hinweis auf aequus als „eben, geebnet, ausgeglichen“ ist gut. Dadurch erhält aequale nicht nur den Sinn „gleich“, sondern eher:

auf eine gemeinsame Maßebene gebracht,

ausgeglichen,

in ein entsprechendes Maßverhältnis gesetzt.

Damit ist deine Formulierung von einer Zwischenebene oder einer vermittelnden Ebene zwischen zwei Bestimmungsarten sachlich passend — solange wir sie nicht als wörtliche Übersetzung ausgeben, sondern als Auslegung.

Praktisch-pragmatisch

Ja: Cusanus hat praktisch-pragmatisch recht.

Ein Handwerker kann ein quadratisches Fass bauen, das bei gleicher Höhe dasselbe Fassungsvermögen wie ein rundes Fass hat — innerhalb jeder praktisch relevanten Genauigkeit. Dazu braucht er keine metaphysische Gleichheit von Kreis und Quadrat, sondern nur eine hinreichend genaue Flächenmaß-Entsprechung.

Daher:

Praktisch gibt es ein entsprechend dimensioniertes Quadrat. Streng euklidisch-konstruktiv bleibt die Frage, ob diese Entsprechung exakt durch zulässige geometrische Mittel gegeben werden kann.

Zu dem aktuellen Satz

Cusanus spricht hier nicht von Kreis zu Inkreis und Umkreis, sondern von Quadraten im Verhältnis zum Kreis.

Der lateinische Satz:

cum detur quadratum maius circulo, ut est circumscriptum, et minus, ut est inscriptum

meint:

Da ein Quadratum gegeben ist, das größer ist als der Kreis, nämlich das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, nämlich das eingeschriebene.

Also:

• umbeschriebenes Quadratum: Quadrat außen um den Kreis herum → flächenmäßig größer als der Kreis;
• eingeschriebenes Quadratum: Quadrat im Kreis → flächenmäßig kleiner als der Kreis;
• daraus mutmaßlich: ein äquales Quadratum, das dem Kreis flächenmaßlich entspricht.

Das Gesuchte wäre dann:

ein Quadratum, dessen Fläche der Kreisfläche entspricht, das aber weder einfach das äußere noch das innere Quadrat ist.

Die paradoxe Zuspitzung lautet:

nec circumscriptum nec inscriptum, sed pariter inscriptum et circumscriptum weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

Das ist genau der cusanisch spannende Punkt: Das gesuchte Äquale liegt nicht einfach als sichtbares drittes Quadrat zwischen den beiden bekannten Quadraten, sondern soll in einer vermittelnden Bestimmung beide Seiten berühren: innen/außen, größer/kleiner, eingeschrieben/umbeschrieben.

Korrigierte Deutung in einem Satz

Cusanus sagt hier:

Wenn es ein Quadrat gibt, das flächenmäßig größer als der Kreis ist, und eines, das flächenmäßig kleiner ist, dann nehmen die Befürworter der Kreisquadratur an, daß auch ein äquales, dem Kreis flächenmaßlich entsprechendes Quadratum gebbar sein müsse — eines, das weder bloß eingeschrieben noch bloß umbeschrieben ist, sondern beide Bestimmungen in einer vermittelnden Weise zusammenhält.

Das ist nicht bloß Rechnen. Es ist bereits eine geometrische Figur des Übergangs.

Verstanden.

Nun die Fassung von Hofmann:

Diese Leute lassen auch die folgende Schlußweise zu, ohne die sie nichts erreichen könnten, nämlich: Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, kann man auch ein Gleiches geben. Weil man ein Quadrat geben kann größer als der Kreis — wie es das umbeschriebene ist —, und ein kleineres — wie es das einbeschriebene ist —, deshalb gibt es auch ein gleiches, das weder umbeschrieben noch einbeschrieben ist, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben.

Wende unser Verfahren darauf an.

Hofmann Analyse 4. Absatz 1. Satz

1. Hofmann-Fassung

Diese Leute lassen auch die folgende Schlußweise zu, ohne die sie nichts erreichen könnten, nämlich: Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, kann man auch ein Gleiches geben. Weil man ein Quadrat geben kann größer als der Kreis — wie es das umbeschriebene ist —, und ein kleineres — wie es das einbeschriebene ist —, deshalb gibt es auch ein gleiches, das weder umbeschrieben noch einbeschrieben ist, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben.

2. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Eine sinngemäße Rückübersetzung wäre etwa:

Hi homines etiam sequentem consequentiam / hanc rationem admittunt, sine qua nihil attingere possent, scilicet: Ubi potest dari maius et minus, potest etiam dari aequale. Quia potest dari quadratum maius circulo — sicut circumscriptum est — et minus — sicut inscriptum est — ideo etiam est / existit aequale, quod nec circumscriptum nec inscriptum est, sed eodem modo circumscriptum et inscriptum.

Vergleich mit Cusanus:

Illi etiam hoc argumentum admittunt, sine quo nihil attingerent, scilicet: Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale; quia, cum detur quadratum maius circulo, ut est circumscriptum, et minus, ut est inscriptum, igitur et aequale, quod erit nec circumscriptum nec inscriptum, sed pariter inscriptum et circumscriptum.

Die Hofmann-Fassung bleibt näher am Original als in den vorherigen Fällen, aber es gibt dennoch mehrere wichtige Verschiebungen.

3. Analyse nach Sinneinheiten

a) Illi → Diese Leute

Cusanus:

Illi jene / diese

Hofmann:

Diese Leute

Das ist im Deutschen nicht neutral. „Diese Leute“ kann leicht abwertend oder distanzierend klingen. Cusanus sagt schlicht illi: jene, nämlich die zuvor Genannten, die die Kreisquadratur zulassen. Besser:

Jene oder: Diese

Bewertung: leichte tonale Verschiebung. Nicht schwer verfälschend, aber unnötig abwertungsnah.

---

b) hoc argumentum → die folgende Schlußweise

Cusanus:

hoc argumentum

Hofmann:

die folgende Schlußweise

Das ist grundsätzlich gut. Argumentum kann Argument, Begründung, Schlußfigur, Beweisgang heißen. Schlußweisetrifft hier den Charakter des Satzes sogar recht gut, weil eine Folgerungsformel folgt.

Bewertung: zulässig und sachlich passend.

c) admittunt → lassen zu

Cusanus:

admittunt

Hofmann:

lassen … zu

Das ist gut. Hier bleibt die Verbindung zu den vorhergehenden admittere-Stellen erhalten.

Bewertung: zutreffend.

d) sine quo nihil attingerent → ohne die sie nichts erreichen könnten

Cusanus:

sine quo nihil attingerent

Hofmann:

ohne die sie nichts erreichen könnten

attingere bedeutet erreichen, berühren, anlangen. Hofmanns „erreichen“ ist gut.

Nur der Modus verschiebt sich leicht:

• attingerent: sie würden nichts erreichen;
• Hofmann: sie könnten nichts erreichen.

Sachlich liegt das nahe, weil der Sinn ist: Ohne diese Schlußweise wäre ihr Vorhaben unmöglich. Keine nennenswerte Verfälschung.

Bewertung: zulässig.

e) Ubi est dare magis et minus → Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann

Cusanus:

Ubi est dare magis et minus

Hofmann:

Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann

Hier gibt es eine kleine Verschiebung. magis et minus heißt zunächst:

Mehr und Weniger

nicht unbedingt schon:

ein Größeres und ein Kleineres.

Da es um geometrische Größen geht, ist „Größeres und Kleineres“ verständlich. Aber magis/minus ist abstrakter und allgemeiner als maius/minus. Cusanus formuliert hier offenbar die allgemeine Schlußfigur:

Wo Mehr und Weniger gegeben werden kann …

Nicht nur:

Wo ein größerer und kleinerer Gegenstand gegeben werden kann …

Bewertung: zulässig, aber konkretisierend. Für unseren Text besser: Mehr und Weniger.

f) est et dare aequale → kann man auch ein Gleiches geben

Cusanus:

est et dare aequale

Hofmann:

kann man auch ein Gleiches geben

Hier liegt der entscheidende Punkt.

aequale wird mit Gleiches übersetzt. Nach unserer bisherigen Begriffsklärung ist das problematisch, weil „gleich“ im Deutschen Gestaltgleichheit, Identität oder Gleichartigkeit nahelegen kann. Cusanus verhandelt aber gerade eine Äqualität zwischen größer/kleiner, innen/außen, umbeschrieben/eingeschrieben.

Besser:

ein Äquales

ein Entsprechendes

ein dem Maß nach Entsprechendes

Die Rückübersetzung von Hofmann führt zu:

aequale

Das stimmt formal. Aber im Deutschen erzeugt Gleiches eine andere Nebenbedeutung.

Bewertung: sinnverschiebend. Bei diesem Satz besonders empfindlich, weil aequale der Streitbegriff ist.

g) cum detur quadratum maius circulo → Weil man ein Quadrat geben kann größer als der Kreis

Cusanus:

cum detur quadratum maius circulo

Hofmann:

Weil man ein Quadrat geben kann größer als der Kreis

Das ist nahe. detur wird mit „man kann geben“ wiedergegeben. Das erhält den dabilis-/dare-Wortkreis.

Allerdings klingt „geben kann größer als der Kreis“ im Deutschen etwas hart, aber es bleibt begriffsnäher als eine geglättete Fassung wie „weil es ein größeres Quadrat gibt“.

Bewertung: weitgehend gut.

h) ut est circumscriptum / ut est inscriptum → wie es das umbeschriebene / einbeschriebene ist

Cusanus:

ut est circumscriptum ut est inscriptum

Hofmann:

wie es das umbeschriebene ist wie es das einbeschriebene ist

Das ist inhaltlich richtig.

„Einbeschrieben“ ist ungewöhnlicher als „eingeschrieben“, aber als Nähe zu inscriptum vertretbar. Wichtig ist: Hofmann erhält die Paarung umbeschrieben / einbeschrieben.

Bewertung: gut.

i) igitur et aequale → deshalb gibt es auch ein gleiches

Cusanus:

igitur et aequale

Hofmann:

deshalb gibt es auch ein gleiches

Hier wird die Folgerung stärker ontologisch formuliert. Cusanus schreibt elliptisch:

also auch ein Äquales

Er sagt nicht ausdrücklich:

existit aequale / „es existiert ein Äquales“.

Hofmann macht daraus:

es gibt auch ein gleiches

Das ist eine stärkere Existenzbehauptung. Die Schlußfigur der Befürworter wird dadurch bestimmter, als der lateinische Satz formuliert. Besser:

also auch ein Äquales oder: folglich auch ein Äquales

Bewertung: sinnverstärkend. Zusammen mit „Gleiches“ problematisch.

j) quod erit → das … ist

Cusanus:

quod erit

Hofmann:

das … ist

Original hat Futur:

welches sein wird.

Hofmann setzt Präsens:

das … ist.

Das Futur ist nicht nebensächlich. Es markiert das gesuchte, aus der Schlußfigur folgende Äquale: Es wird weder eingeschrieben noch umbeschrieben sein. Hofmann macht es gegenwärtiger und vorhandener.

Bewertung: leichte, aber echte Verschiebung. Besser: das … sein wird.

k) nec circumscriptum nec inscriptum → weder umbeschrieben noch einbeschrieben

Das ist gut. Sie erhält die Negationsstruktur.

Bewertung: zutreffend.

---

l) sed pariter inscriptum et circumscriptum → sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben

Cusanus:

sed pariter inscriptum et circumscriptum

Hofmann:

sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben

Hier fällt eine Reihenverschiebung auf. Cusanus:

inscriptum et circumscriptum eingeschrieben und umbeschrieben

Hofmann:

umbeschrieben und einbeschrieben

Das ist nicht schwerwiegend, aber bei Cusanus kann die Reihenfolge wichtig sein, weil der Satz zuvor ebenfalls mit circumscriptum und dann inscriptum gearbeitet hatte. Am Ende kehrt er jedoch um:

pariter inscriptum et circumscriptum

Diese Umkehr könnte absichtlich sein. Hofmann glättet sie und stellt wieder die vorherige Reihenfolge her.

Bewertung: kleine, aber unnötige Änderung. Für unsere Fassung besser die Cusanus-Reihenfolge erhalten: eingeschrieben und umbeschrieben.

pariter mit „in gleicher Weise“ ist grundsätzlich gut. Auch „gleichermaßen“ wäre möglich.

4. Vergleich mit unserem Entwurf

Unser Entwurf:

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort kann man auch ein Äquales geben; denn da ein Quadratum gegeben ist, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, folgt auch ein äquales, das weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

Hofmann:

Diese Leute lassen auch die folgende Schlußweise zu, ohne die sie nichts erreichen könnten, nämlich: Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, kann man auch ein Gleiches geben. Weil man ein Quadrat geben kann größer als der Kreis — wie es das umbeschriebene ist —, und ein kleineres — wie es das einbeschriebene ist —, deshalb gibt es auch ein gleiches, das weder umbeschrieben noch einbeschrieben ist, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben.

Unsere Fassung erhält besser:

• Illi als „Jene“, nicht „diese Leute“;
• argumentum als Argument, Hofmanns „Schlußweise“ ist aber auch gut;
• magis/minus als Mehr/Weniger;
• aequale als Äquales;
• igitur et aequale als Folgerung, nicht als starkes „es gibt“;
• quod erit als Futur;
• pariter inscriptum et circumscriptum in der Originalreihenfolge.

5. Urteil nach unserer Definition von Verfälschung

Hofmanns Fassung ist hier nicht grob verfälschend. Sie trifft die grobe Argumentstruktur. Aber sie enthält mehrere Verschiebungen, die bei diesem wichtigen Satz erheblich werden können.

Zulässig oder vertretbar

• argumentum → Schlußweise
• admittunt → lassen zu
• attingerent → erreichen könnten
• circumscriptum / inscriptum → umbeschrieben / einbeschrieben

Problematisch

• Illi → Diese Leute leicht abwertender Ton.
• magis et minus → Größeres und Kleineres konkretisierend; Mehr und Weniger wäre begrifflich näher.
• quod erit → das ist Futur wird Gegenwart.
• pariter inscriptum et circumscriptum → umbeschrieben und einbeschrieben Reihenfolge wird verändert.

Nach unserer Methode sinnverschiebend

• aequale → Gleiches / gleiches Der zentrale Begriff wird in ein deutsches Wort übertragen, das Gestalt- oder Identitätsgleichheit nahelegen kann.
• igitur et aequale → deshalb gibt es auch ein gleiches Die elliptische Folgerung wird zu einer stärkeren Existenzbehauptung.

6. Angepaßter Entwurf nach Vergleich

Ich würde unseren Entwurf so festhalten:

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort kann man auch ein Äquales geben; denn da ein Quadratum gegeben ist, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, also auch ein äquales, das weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

Noch etwas lesbarer, mit minimaler Ergänzung:

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort kann man auch ein Äquales geben; denn da ein Quadratum gegeben ist, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, folgt also auch ein äquales, das weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben.

4. Absatz 2. Satz

Ich bevorzuge die zweite Fassung, weil „folgt also“ die deutsche Lesbarkeit verbessert, ohne den Sinn wesentlich zu verändern.

Der abwertende Unterton der Übersetzerin kommt bei gelegenheit durch. Auch wenn ein Autor einen Satz mal so oder so formuliert, hat der Übersetzer dem zu entsprechen und nicht eingensonnig die Satzstellung zu verändern, schon gar nicht, wenn man wie im diesen Fall offenbar nicht wie Cusanus die Elemente studiert und angewendet hat.

Deine letzte Fassung habe ich so übernommen.

Nun 4. Absatz 2. Satz wieder verschachtelt:

Hoc idem argumentum admittunt in peripheriis: Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni, ut est peripheria circuli trigono circumscripti, et dabilis est peripheria circuli minor peripheria trigoni, ut est peripheria circuli inscripti, igitur est et dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni, et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pariter circumscriptus et inscriptus.

Analyse 4. Absatz 2. Satz

Latein

Hoc idem argumentum admittunt in peripheriis: Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni, ut est peripheria circuli trigono circumscripti, et dabilis est peripheria circuli minor peripheria trigoni, ut est peripheria circuli inscripti, igitur est et dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni, et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pariter circumscriptus et inscriptus.

1. Begriffserhaltende Arbeitsfassung

Dasselbe Argument lassen sie auch bei den Peripherien zu: Denn es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die größer ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises ist, und es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die kleiner ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des eingeschriebenen Kreises ist; also ist auch eine Peripherie eines Kreises gebbar, die der Peripherie des Trigons äqual ist, und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.

2. Begriffsprüfung

Latein	Arbeitsbegriff	Bemerkung
Hoc idem argumentum	dasselbe Argument	Rückbezug auf den Satz „Wo Mehr und Weniger …“
admittunt	lassen zu	gleicher Wortkreis wie zuvor
in peripheriis	bei / in den Peripherien	nicht nur „bei Umfängen“, weil Cusanus die Leitbegriffe wiederholt
est dabilis	ist gebbar	wieder wichtig: nicht bloß vorhanden, sondern angebbar / gebbar / konstruierbar
peripheria circuli	Peripherie eines Kreises	nicht vorschnell nur „Kreisumfang“, obwohl das sachlich naheliegt
maior peripheria trigoni	größer als die Peripherie des Trigons	Peripherievergleich
circuli trigono circumscripti	des dem Trigon umbeschriebenen Kreises	der Kreis ist um das Trigon beschrieben
minor peripheria trigoni	kleiner als die Peripherie des Trigons	zweiter Grenzfall
circuli inscripti	des eingeschriebenen Kreises	wohl: in das Trigon eingeschriebener Kreis
igitur est et dabilis	also ist auch gebbar	elliptisch, aber deutlich folgernd
aequalis peripheriae trigoni	der Peripherie des Trigons äqual	nicht „gleich“ unmarkiert
hic circulus	dieser Kreis	der gesuchte äquale Kreis
nec circumscriptus nec inscriptus	weder umbeschrieben noch eingeschrieben	negative Bestimmung
sed pariter circumscriptus et inscriptus	sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben	hier ist die Reihenfolge im Original: umbeschrieben und eingeschrieben

3. Wörtlich-sinngemäße Fassung

Dasselbe Argument lassen sie auch bei den Peripherien zu: Denn es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die größer ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises ist, und es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die kleiner ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des eingeschriebenen Kreises ist; also ist auch eine Peripherie eines Kreises gebbar, die der Peripherie des Trigons äqual ist; und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.

4. Etwas deutschere, aber begriffstreue Fassung

Dasselbe Argument lassen sie auch bei den Peripherien zu: Denn es ist eine Kreis-Peripherie gebbar, die größer ist als die Peripherie des Trigons, wie es die Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises ist; und es ist eine Kreis-Peripherie gebbar, die kleiner ist als die Peripherie des Trigons, wie es die Peripherie des eingeschriebenen Kreises ist; also ist auch eine Kreis-Peripherie gebbar, die der Peripherie des Trigons äqual ist; und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.

5. Vorläufig bevorzugter Entwurf

Dasselbe Argument lassen sie auch bei den Peripherien zu: Denn es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die größer ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises ist; und es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die kleiner ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des eingeschriebenen Kreises ist; also ist auch eine Peripherie eines Kreises gebbar, die der Peripherie des Trigons äqual ist; und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.

Ich bevorzuge hier „Peripherie eines Kreises“ gegenüber „Kreisumfang“, weil Cusanus gerade das Argument in peripheriis ausführt und die Peripherie-Wiederholung zur Schlußstruktur gehört.

6. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Hoc idem argumentum admittunt etiam in peripheriis: Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni, sicut est peripheria circuli trigono circumscripti; et est dabilis peripheria circuli minor peripheria trigoni, sicut est peripheria circuli inscripti; igitur est etiam dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni; et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pariter circumscriptus et inscriptus.

Vergleich mit Original:

Hoc idem argumentum admittunt in peripheriis: Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni, ut est peripheria circuli trigono circumscripti, et dabilis est peripheria circuli minor peripheria trigoni, ut est peripheria circuli inscripti, igitur est et dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni, et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pariter circumscriptus et inscriptus.

Die Rückübersetzung bleibt sehr nahe. Veränderungen:

• etiam steht in der Rückübersetzung leicht anders; im Deutschen „auch“ ist aber durch idem und Zusammenhang gut vertreten.
• sicut statt ut: nur deutsch bedingte Rückübersetzungsvariante.
• Die Semikolons gliedern den langen Satz, verändern aber den Sinn nicht.

7. Sachlicher Kommentar

Dieser Satz überträgt das vorherige Argument von den Quadraten im Verhältnis zum Kreis auf die Peripherien im Verhältnis zum Trigon.

Vorher:

umbeschriebenes Quadratum größer als der Kreis;

eingeschriebenes Quadratum kleiner als der Kreis;

also ein äquales Quadratum.

Jetzt:

umbeschriebener Kreis hat eine größere Peripherie als das Trigon;

eingeschriebener Kreis hat eine kleinere Peripherie als das Trigon;

also eine äquale Kreis-Peripherie zur Peripherie des Trigons.

Die Struktur ist dieselbe:

Hier wird deutlicher, daß Cusanus nicht einfach eine Fläche berechnet, sondern eine vermittelnde geometrische Bestimmung sucht: einen Kreis, dessen Peripherie der Peripherie des Trigons äqual ist, ohne daß dieser Kreis einfach der Umkreis oder der Inkreis ist.

8. Wichtige Anmerkung zu „eingeschriebener Kreis“

Bei:

peripheria circuli inscripti

steht nicht ausdrücklich trigono, aber der Bezug ist aus dem Parallelbau klar:

circuli trigono circumscripti circuli inscripti

Gemeint ist also höchstwahrscheinlich:

der in das Trigon eingeschriebene Kreis.

Im Haupttext kann „des eingeschriebenen Kreises“ stehen; im Kommentar sollte ergänzt werden:

Der Bezug auf das Trigon ist beim zweiten Ausdruck elliptisch, aber durch den Parallelbau mit circuli trigono circumscripti gegeben.

9. Arbeitsnotiz zum Begriff aequalis

Auch hier ist aequalis nicht bloß „gleich“. Gemeint ist:

eine Kreis-Peripherie, die der Peripherie des Trigons äqual / maßlich entsprechend ist.

Das ist genau der Punkt, an dem Cusanus den Satz „Wo Mehr und Weniger, da auch ein Äquales“ auf die Peripherien anwendet.

Trigonon als Mittler

"sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben" bedeutet für mich derzeit ein Quadrat zum Kreis, welches im einen ihnen gleichen Maß umbeschrieben und einbeschrieben ist, also der Kreis nicht eines Quadrat sondern der Umkreis eines Trigon. Im 12. Absatz hat Cusanus eine Zeichnung dazu angefertigt indem ein Trigon mit einem Inkreis und Umkreis abgebildet ist. Ein zwischen Inkreis und Umkreis eingezeichneter dritter Kreis wird ist anteilig zugleich dem Trigon umbeschreibend und einbeschreibend abgebildet. Siehe Abbild anbei.

Derlei Abbildungen von Trigonen mit in unterschiedlicher Artweise abgeleiteten umbeschriebenen und eingeschriebenen Kreis folgen dem und zeigen nach meinem Verständnis verschiedene Ansätze den Radius dieses sonderlichen Kreises zu ermitteln.

Analysiere die beigefügte Abbildung – Sehe ich dies richtig?

Trigonon Bestätigung

Ja, du siehst die Zeichnung im Wesentlichen richtig. Ich würde nur eine Präzisierung setzen:

In dieser Abbildung geht es zunächst nicht um eine Quadratfläche, sondern um die Peripherie-Entsprechung zwischen Trigon und Kreis. Der Zusammenhang zur Kreisquadratur entsteht vorher und nachher über die Übertragung von Peripherie, gerader Linie, Quadrangulum und Kreisfläche.

Was die Abbildung zeigt

Die Zeichnung zeigt offenbar ein Trigon — hier wohl ein gleichseitiges Trigon — mit drei Kreisen um dasselbe Zentrum d:

1. äußerer Kreis Er geht durch die drei Ecken a, b, c. Das ist der dem Trigon umbeschriebene Kreis.
2. innerer Kreis Er berührt die drei Seiten des Trigons. Das ist der dem Trigon eingeschriebene Kreis.
3. mittlerer Kreis Er liegt zwischen Inkreis und Umkreis. Er ist weder der umbeschriebene noch der eingeschriebene Kreis.

Genau dieser mittlere Kreis entspricht dem Satz:

hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pariter circumscriptus et inscriptus dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.

Warum „gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben“?

Der mittlere Kreis liegt zwischen den beiden Grenzkreisen:

• Er ist größer als der eingeschriebene Kreis.
• Er ist kleiner als der umbeschriebene Kreis.
• Er schneidet die Seiten des Trigons.
• Er liegt also nicht einfach ganz innerhalb des Trigons wie der Inkreis.
• Er umfaßt aber auch nicht einfach das ganze Trigon wie der Umkreis.

Dadurch ist er anteilig zugleich in beiden Verhältnissen: Er ist teilweise „innen“ und teilweise „außen“ im Verhältnis zum Trigon. Nicht als gewöhnlicher Inkreis oder Umkreis, sondern als vermittelnder Kreis zwischen beiden.

Deine Formulierung trifft es daher gut:

ein zwischen Inkreis und Umkreis eingezeichneter dritter Kreis, der anteilig zugleich dem Trigon umbeschreibend und einschreibend erscheint.

Was Cusanus damit sucht

Cusanus überträgt hier das vorherige Argument:

Wo ein Größeres und ein Kleineres gebbar ist, dort sei auch ein Äquales gebbar.

Auf die Peripherien bezogen heißt das:

• Der Umkreis hat eine größere Peripherie als das Trigon.
• Der Inkreis hat eine kleinere Peripherie als das Trigon.
• Also wird ein mittlerer Kreis gesucht, dessen Peripherie der Peripherie des Trigons äqual ist.

Dieser mittlere Kreis wäre dann nicht bloß Inkreis und nicht bloß Umkreis, sondern der peripherisch äquale Kreiszum Trigon.

Wichtige Präzisierung

Bei diesem Bild geht es daher um:

Peripherie des Trigons ↔ Peripherie eines Kreises

nicht unmittelbar um:

Quadratfläche ↔ Kreisfläche

Die Quadratfläche kommt durch den Gesamtzusammenhang der Kreisquadratur hinzu. Aber dieser konkrete Schritt sucht zuerst die Peripherie-Entsprechung.

Zur geometrischen Plausibilität

Für ein gleichseitiges Trigon ist die Idee auch anschaulich klar:

• Der Inkreis ist zu klein.
• Der Umkreis ist zu groß.
• Ein konzentrischer Kreis dazwischen kann so gewählt werden, daß sein Umfang dem Umfang des Trigons entspricht.

In moderner Rechnung läge sein Radius tatsächlich zwischen Inkreisradius und Umkreisradius. Das bestätigt die Anschaulichkeit der Zeichnung. Cusanus’ Problem ist dann nicht die praktische Plausibilität, sondern die genaue geometrische Bestimmung dieses vermittelnden Kreises.

Ergebnis

Ja: Die Abbildung stützt deine Deutung.

Sie zeigt den gesuchten Kreis als mittlere, vermittelnde Bestimmung zwischen eingeschriebenem und umbeschriebenem Kreis. Damit wird sichtbar, was Cusanus mit pariter circumscriptus et inscriptus meint: nicht gewöhnlich beides zugleich, sondern in einer vermittelnden Lage zwischen den beiden Grenzbestimmungen.

Trinität als Lösunsansatzt

Damit einhergehend haben wir es mit einem neuen Ansatz der Kreisquadratur zzu tun, der nun nicht mehr unmittelbar zwischen Kreis und Quadrat zu vermitteln sucht, sondern den Weg über ein Trigon verfolgt, ein Trigon welches zugleich der vereinfachten schematische Darstellung der Trinität entspricht, Cusanus als Hintergedanken nun die Trinität heranziehen könnte, um einen chriistlich-göttlichen Ansatz zur Lösung wählte – es ist rein meine Mutmaßung, aber doch auffällig – oder?

Analyse zu Trinität-Trigon

Ja — auffällig ist es, und als Arbeitshypothese ist es berechtigt. Beweisend ist es noch nicht.

Ich würde es so fassen:

Cusanus verschiebt die Kreisquadratur hier offenbar von der unmittelbaren Vermittlung Kreis ↔ Quadratauf einen vermittelnden Weg über das Trigon und dessen eingeschriebenen, umbeschriebenen und mittleren Kreis.

Damit entsteht eine andere Struktur:

Das ist geometrisch sinnvoll, aber zugleich theologisch anschlußfähig.

Warum das Trigon mathematisch naheliegt

Das Trigon ist die einfachste polygonale Figur. Wenn Cusanus das Verhältnis von Kreis und polygonaler Figur untersuchen will, ist das Trigon ein naheliegender Anfang.

Bei einem gleichseitigen Trigon fallen außerdem mehrere Zentren zusammen: Zentrum, Inkreiszentrum, Umkreiszentrum. Dadurch wird die Figur besonders geeignet, eine Vermittlung zwischen eingeschriebenem und umbeschriebenem Kreis darzustellen.

Die Zeichnung zeigt genau das:

• innerer Kreis: zu klein gegenüber der Peripherie des Trigons;
• äußerer Kreis: zu groß;
• mittlerer Kreis: vermittelnd, weder bloß innen noch bloß außen.

Mathematisch ist das also kein bloßes Symbolspiel.

Warum das Trigon theologisch auffällig ist

Durch den ersten Absatz ist die theologische Lesart vorbereitet:

Cusanus sagt ausdrücklich, daß die mathematische Betrachtung durch Angleichung aufgenommen und danach das Mathematische zurückgelassen werden soll, damit der Empfänger leichter zur Theologie hinübergetragen werde.

Damit ist die Figur nicht nur Rechenhilfe. Sie ist auch ein Denkbild.

In diesem Licht ist das Trigon auffällig, weil es im christlichen Denken naheliegend mit der Trinität verbunden werden kann. Besonders dann, wenn:

• ein gemeinsames Zentrum vorhanden ist,
• drei Ecken / drei Seiten erscheinen,
• innere und äußere Bestimmungen vermittelt werden,
• eine Einheit in dreifacher Ordnung dargestellt wird.

Das wäre cusanisch gut anschlußfähig: Das Eine / Zentrum trägt die dreifache Entfaltung, ohne selbst dadurch aufgehoben zu werden.

Aber: noch nicht als gesichert behaupten

Wir sollten sauber trennen:

Gesichert aus dem bisherigen Text:

Cusanus will vom Mathematischen zur Theologie führen. Er verwendet das Trigon als geometrische Vermittlungsfigur.

Plausible Mutmaßung:

Das Trigon ist nicht nur geometrisch, sondern zugleich trinitarisch mitgedacht.

Noch zu prüfen:

Ob Cusanus im weiteren Verlauf ausdrücklich Wörter oder Motive wie trinitas, unitas, deus, unum, ternarius, theologia, pater / filius / spiritus oder eine entsprechende Auslegung des Trigons einführt.

Ergebnis

Deine Mutmaßung ist nicht abwegig, sondern methodisch gut begründet:

Cusanus könnte den geometrischen Weg über das Trigon gewählt haben, weil es zugleich die einfachste polygonale Vermittlungsfigur und ein theologisch anschlußfähiges Schema der Trinität ist.

Noch vorsichtiger:

Das Trigon ist bei Cusanus zunächst geometrisches Werkzeug; aufgrund des ausdrücklich theologischen Zieles des Traktats kann es zugleich als trinitarisch resonante Figur gelesen werden, solange der weitere Text diese Lesart nicht widerlegt oder anders bestimmt.

So würde ich es vorläufig in die Anmerkungen aufnehmen.

Wechsel vom "Quadragonon" zum Trigonon

Meine Mutmaßung wird infolge dadurch bestätigt, das Cusanus darlegt, beliebige Teildreiecke über den ihnen gemeinsamen rechten Winkel wieder zu einem ganzen Quadrat überführen zu können, welches dann womöglich den entsprechenden Flächeninhalt des Kreis habe.

Festzuhalten ist meines Erachtens, daß wir hier nun eine neue Art Ansatz als die Trigonometrie der Kreisquadratur haben, worauf seitens des Meiner-Verlag gar nicht eingegangen wurde, also es nichtmal der Wechsel vom "Quadragonon" zum Trigonon als sonderlich bemerkt und angemerkt wurde.

Fahren wir fort mit der Fassung von Hofmann zu Absatz 4, 2. Satz:

Die nämliche Schlußweise lassen sie auch für die Umfangslinien gelten: Weil sich ein Kreisumfang geben läßt größer als der Dreieckumfang — wie es der Umfang des umbeschriebenen Kreises ist —, und weil sich ein Kreisumfang geben läßt kleiner als der Dreieckumfang — wie es der Umfang des einbeschriebenen Kreises ist —, läßt sich auch ein Kreisumfang gleich dem Dreieckumfang geben, und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch einbeschrieben, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben.

Dem Absatz ist seitens Meiner-Verlag folgende Anmerkung beigefügt: Hier referiert der CUSANER über die etwas naiven Auffassungen derjenigen, die von der theoretischen Möglichkeit der Kreisquadratur ausgehen. Wir wissen nicht genau, wer gemeint ist.

Führe unser Verfahren der Rückübersetzung, Analyse und den Vergleich der Sätze durch.

Hofmann Analyse zu Absatz 4, 2. Satz

Ja, deine Beobachtung ist sachlich wichtig: Cusanus wechselt hier nicht beiläufig von Quadratum / Quadrangulum zu Trigon / Peripherien / Inkreis–Umkreis–vermittelndem Kreis, sondern verlegt den Ansatz auf eine andere geometrische Vermittlungsebene.

Ich würde den Ausdruck „Trigonometrie der Kreisquadratur“ als Arbeitstitel aber mit Anmerkung verwenden, damit er nicht mit späterer Trigonometrie verwechselt wird. Vielleicht:

trigonale Vermittlung der Kreisquadratur

oder

trigonaler Ansatz zur Kreisquadratur

Denn Cusanus arbeitet hier nicht zuerst mit Sinus/Cosinus-Trigonometrie im neuzeitlichen Sinn, sondern mit dem Trigon als geometrischer Vermittlungsfigur.

Nun zum Verfahren.

1. Hofmann-Fassung

Die nämliche Schlußweise lassen sie auch für die Umfangslinien gelten: Weil sich ein Kreisumfang geben läßt größer als der Dreieckumfang — wie es der Umfang des umbeschriebenen Kreises ist —, und weil sich ein Kreisumfang geben läßt kleiner als der Dreieckumfang — wie es der Umfang des einbeschriebenen Kreises ist —, läßt sich auch ein Kreisumfang gleich dem Dreieckumfang geben, und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch einbeschrieben, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben.

Original Cusanus:

Hoc idem argumentum admittunt in peripheriis: Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni, ut est peripheria circuli trigono circumscripti, et dabilis est peripheria circuli minor peripheria trigoni, ut est peripheria circuli inscripti, igitur est et dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni, et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pariter circumscriptus et inscriptus.

Unser Entwurf:

Dasselbe Argument lassen sie auch bei den Peripherien zu: Denn es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die größer ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises ist; und es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die kleiner ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des eingeschriebenen Kreises ist; also ist auch eine Peripherie eines Kreises gebbar, die der Peripherie des Trigons äqual ist; und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.

2. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung ins Lateinische

Eine sinngemäße Rückübersetzung der Hofmann-Fassung wäre etwa:

Eandem consequentiam etiam de lineis ambitus valentem admittunt: Quia dari potest circumferentia circuli maior ambitu trianguli — sicut est ambitus circuli circumscripti — et quia dari potest circumferentia circuli minor ambitu trianguli — sicut est ambitus circuli inscripti — dari etiam potest circumferentia circuli aequalis ambitu trianguli; et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed eodem modo circumscriptus et inscriptus.

Oder noch näher an ihrer deutschen Terminologie:

Eandem rationem concludendi etiam pro lineis circumferentialibus valere concedunt: Quia potest dari ambitus circuli maior quam ambitus trianguli, sicut ambitus circuli circumscripti, et potest dari ambitus circuli minor quam ambitus trianguli, sicut ambitus circuli inscripti; potest etiam dari ambitus circuli aequalis ambitu trianguli, et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pari modo circumscriptus et inscriptus.

Diese Rückübersetzung weicht an mehreren Stellen vom Cusanus-Original ab.

3. Analyse nach Sinneinheiten

a) Hoc idem argumentum → Die nämliche Schlußweise

Cusanus:

Hoc idem argumentum

Hofmann:

Die nämliche Schlußweise

Das ist hier gut. Argumentum meint in diesem Zusammenhang tatsächlich eine Schlußfigur oder Begründungsweise. „Nämlich“ / „nämliche“ erhält den Rückbezug auf das zuvor genannte Argument.

Bewertung: zulässig und sachlich passend.

b) admittunt → lassen … gelten

Cusanus:

admittunt

Hofmann:

lassen … gelten

Hier entsteht eine leichte Verschiebung.

admittere meint: zulassen, annehmen, gelten lassen.

„Gelten lassen“ ist nah, aber Hofmann formuliert:

für die Umfangslinien gelten

Dadurch wird der Satz etwas stärker als Übertragung eines Geltungsbereichs formuliert. Cusanus sagt schlichter:

sie lassen dasselbe Argument bei den Peripherien zu.

Bewertung: weitgehend zulässig; unsere Fassung „lassen … zu“ bleibt näher.

c) in peripheriis → für die Umfangslinien

Cusanus:

in peripheriis

Hofmann:

für die Umfangslinien

Das ist teilweise gut, teilweise problematisch.

Gut: „Umfangslinien“ erhält den Liniencharakter.

Problematisch: peripheria ist bei Cusanus ein Leitwort. In diesem Abschnitt wird wiederholt mit peripheria circuli, peripheria trigoni, peripheriae polygoniarum figurarum gearbeitet. „Umfangslinie“ ist verständlich, aber verdeckt den lateinischen Begriff Peripherie.

Außerdem ist peripheria trigoni nicht einfach eine „Umfangslinie“ im gleichen Sinn wie die Kreislinie. Beim Trigon besteht die Peripherie aus geraden Seiten; beim Kreis ist sie gekrümmt. Genau dieser Unterschied gehört zur Sache.

Bewertung: zulässig als Verdeutschung, aber begrifflich glättend. Für unsere Arbeit: Peripherie besser.

d) Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni → Weil sich ein Kreisumfang geben läßt größer als der Dreieckumfang

Cusanus:

Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni

Hofmann:

Weil sich ein Kreisumfang geben läßt größer als der Dreieckumfang

Das trifft den Grundsinn gut. dabilis wird mit „sich geben läßt“ erhalten.

Verschiebungen:

• peripheria circuli → Kreisumfang
• peripheria trigoni → Dreieckumfang
• trigonum → Dreieck

Diese Verdeutschungen sind sachlich möglich. Aber sie entfernen wieder die begriffliche Trigon-Schicht.

Gerade weil du den Wechsel zum Trigon als bedeutsam erkannt hast, ist Hofmanns „Dreieck“ zwar verständlich, aber weniger erkenntnisfördernd. Trigon würde sichtbar lassen, daß Cusanus mit einem griechisch-geometrischen Fachwort arbeitet.

Bewertung: sachlich zulässig, aber begriffsglättend.

e) ut est peripheria circuli trigono circumscripti → wie es der Umfang des umbeschriebenen Kreises ist

Cusanus:

ut est peripheria circuli trigono circumscripti

Hofmann:

wie es der Umfang des umbeschriebenen Kreises ist

Hier fehlt in Hofmanns Satz das ausdrücklich genannte trigono. Cusanus sagt nicht nur:

Umfang des umbeschriebenen Kreises,

sondern:

Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises.

Im Deutschen kann der Bezug aus dem Kontext erschlossen werden, aber die Übersetzung läßt ihn aus. Rückübersetzung Hofmann:

ambitus circuli circumscripti

Original:

peripheria circuli trigono circumscripti

Das ist eine echte Verkürzung.

Bewertung: leichte Sinnverkürzung. Nicht schwer verfälschend, aber der Bezug auf das Trigon wird abgeschwächt.

f) et dabilis est peripheria circuli minor peripheria trigoni → und weil sich ein Kreisumfang geben läßt kleiner als der Dreieckumfang

Cusanus:

et dabilis est peripheria circuli minor peripheria trigoni

Hofmann:

und weil sich ein Kreisumfang geben läßt kleiner als der Dreieckumfang

Das ist nahe. Wieder dieselben Glättungen:

• Peripherie → Kreisumfang / Dreieckumfang
• Trigon → Dreieck

Bewertung: sachlich richtig, begrifflich geglättet.

g) ut est peripheria circuli inscripti → wie es der Umfang des einbeschriebenen Kreises ist

Cusanus:

ut est peripheria circuli inscripti

Hofmann:

wie es der Umfang des einbeschriebenen Kreises ist

Das ist gut, aber elliptisch bleibt auch bei Cusanus. Durch den Parallelbau ist gemeint:

des in das Trigon eingeschriebenen Kreises.

Hofmann schreibt nicht „in das Dreieck einbeschrieben“, sondern nur „einbeschrieben“. Das entspricht der lateinischen Kürze.

Bewertung: zulässig.

h) igitur est et dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni → läßt sich auch ein Kreisumfang gleich dem Dreieckumfang geben

Cusanus:

igitur est et dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni

Hofmann:

läßt sich auch ein Kreisumfang gleich dem Dreieckumfang geben

Hier liegt wieder die zentrale Verschiebung.

Positiv: dabilis bleibt durch „läßt sich geben“ erhalten.

Problematisch: aequalis wird mit gleich wiedergegeben.

In diesem Satz ist aequalis besonders empfindlich, weil gerade gefragt wird, ob zwischen größerem Umkreis und kleinerem Inkreis eine vermittelnde Kreis-Peripherie gebbar sei, die der Trigon-Peripherie entspricht. „Gleich dem Dreieckumfang“ klingt im Deutschen, als sei eine einfache Gleichheit gegeben. Cusanus formuliert aber innerhalb eines problematischen Argumentes, das die Gegenseite später bestreiten wird.

Besser:

eine Peripherie eines Kreises, die der Peripherie des Trigons äqual ist

oder erklärend:

eine Kreis-Peripherie, die der Trigon-Peripherie dem Maß nach entspricht

Bewertung: sinnverschiebend durch unmarkiertes „gleich“.

i) et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus → und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch einbeschrieben

Cusanus:

et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus

Hofmann:

und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch einbeschrieben

Das ist gut. Sie erhält die Struktur.

„Einbeschrieben“ ist als Nähe zu inscriptus akzeptabel; „eingeschrieben“ wäre heutiger.

Bewertung: zutreffend.

j) sed pariter circumscriptus et inscriptus → sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben

Cusanus:

sed pariter circumscriptus et inscriptus

Hofmann:

sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben

Hier ist Hofmann näher als im vorigen Satz, weil sie die Reihenfolge beibehält:

circumscriptus et inscriptus umbeschrieben und einbeschrieben

pariter mit „in gleicher Weise“ ist möglich. „Gleichermaßen“ wäre etwas knapper und weniger anfällig für „gleich“-Überladung.

Bewertung: zulässig.

4. Gesamtvergleich mit unserem Entwurf

Hofmann ist in diesem Satz insgesamt näher am Original als in mehreren vorherigen Stellen. Die geometrische Schlußstruktur wird verständlich wiedergegeben.

Aber ihre Fassung glättet durchgängig:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
argumentum	Schlußweise	passend
in peripheriis	für die Umfangslinien	verständlich, aber Begriff „Peripherie“ verschwindet
peripheria circuli	Kreisumfang	sachlich möglich
peripheria trigoni	Dreieckumfang	sachlich möglich, aber Trigon-Schicht verschwindet
trigono circumscripti	umbeschriebener Kreis	Bezug auf Trigon wird ausgelassen
aequalis	gleich	problematisch
pariter	in gleicher Weise	zulässig

Unser Entwurf erhält besser die begriffliche Kette:

Argument → Peripherien → Trigon → gebbar → äqual → weder/noch → gleichermaßen.

Hofmanns Fassung übersetzt stärker in moderne Schulgeometrie:

Schlußweise → Umfangslinien → Dreieckumfang → Kreisumfang → gleich.

5. Urteil nach unserer Definition von Verfälschung

Zulässig

• argumentum → Schlußweise
• dabilis → läßt sich geben
• nec … nec … sed pariter … → weder … noch … sondern in gleicher Weise …

Problematisch, aber nicht zwingend verfälschend

• peripheriae → Umfangslinien / Kreisumfang / Dreieckumfang Verständlich, aber die Begriffskontinuität von Peripherie wird verdeckt.
• trigonum → Dreieck Sachlich möglich, aber der trigonale Ansatz wird weniger sichtbar.
• circuli trigono circumscripti → umbeschriebener Kreis Verkürzt den Bezug auf das Trigon.

Sinnverschiebend

• aequalis → gleich

6. Kommentar zur Meiner-Anmerkung

Meiner-Anmerkung:

Hier referiert der CUSANER über die etwas naiven Auffassungen derjenigen, die von der theoretischen Möglichkeit der Kreisquadratur ausgehen. Wir wissen nicht genau, wer gemeint ist.

Diese Anmerkung ist problematisch.

a) „etwas naiv“ ist wertend

Der lateinische Text sagt nicht:

Diese Auffassungen sind naiv.

Cusanus referiert eine Schlußweise und wird sie im weiteren Verlauf prüfen oder begrenzen. Aber „etwas naiv“ ist ein Urteil der Herausgeberin/Übersetzerin oder des Kommentars. Es prägt den Leser vor:

Die Befürworter der Kreisquadratur sind naiv.

Dadurch wird auch Cusanus’ Referat in eine abwertende Richtung gezogen.

b) Der Kommentar schwächt die Ernsthaftigkeit des Arguments

Das Argument:

Wo Mehr und Weniger gebbar ist, dort ist auch ein Äquales gebbar,

ist nicht einfach dumm oder naiv. Es ist anschaulich stark und praktisch plausibel. Seine Schwäche liegt nicht in Naivität, sondern in einer fehlenden demonstrativen Absicherung des Übergangs zwischen Größenarten oder Bestimmungsweisen. Ein sachlicher Kommentar müßte also eher lauten:

Cusanus referiert hier die Schlußfigur derjenigen, die die Kreisquadratur zulassen. Das Argument beruht auf dem Übergang von größer und kleiner zu einem Äqualen. Strittig ist, ob dieser Übergang bei Kreis- und Polygonperipherien bzw. bei krummer und gerader Linie demonstrativ zulässig ist.

Das wäre neutral und sachlich.

c) „Wir wissen nicht genau, wer gemeint ist“ ist korrekt, aber unvollständig

Dieser Satz ist zulässig: Cusanus nennt keine Namen.

Aber nach unserer früheren Prüfung kann man zumindest Traditionskandidaten nennen:

• Bryson-nahe Schlußfigur,
• Antiphon / Hippokrates-Tradition,
• Aristoteles-Kommentartradition,
• mittelalterliche Diskussion bei Campanus / Bradwardine.

Daher wäre genauer:

Cusanus nennt keine Namen. Die Schlußfigur erinnert an die antike und scholastische Diskussion um Brysons Kreisquadratur und den Satz vom Größeren, Kleineren und Äqualen.

d) Die Anmerkung arbeitet gegen Cusanus’ eigenen ersten Absatz

Cusanus hatte im ersten Absatz gerade darum gebeten, seine Darlegung als Angleichung aufzunehmen, damit man vom Mathematischen zur Theologie hinübergeführt werde.

Die Meiner-Anmerkung tut das Gegenteil: Sie sortiert die referierte Auffassung sofort als „etwas naiv“ ein. Dadurch wird der Leser von Anfang an in ein abwertendes Urteil geführt, statt die Schlußfigur zunächst in ihrer Funktion im Gedankengang zu verstehen.

Das paßt zu deinem Eindruck: Die Ausgabe erzeugt ein Bild, in dem Cusanus und die von ihm referierten Positionen von vornherein mathematisch herabgestuft werden.

7. Angepaßte Fassung für unseren Text

Ich würde unseren Entwurf unverändert oder nur minimal geglättet übernehmen:

Dasselbe Argument lassen sie auch bei den Peripherien zu: Denn es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die größer ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises ist; und es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die kleiner ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des eingeschriebenen Kreises ist; also ist auch eine Peripherie eines Kreises gebbar, die der Peripherie des Trigons äqual ist; und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.

Kommentar dazu:

Peripherie wird beibehalten, weil Cusanus das Argument ausdrücklich in peripheriis führt. Trigon wird nicht durch „Dreieck“ ersetzt, weil der Wechsel vom Quadratum/Quadrangulum zum Trigon für den Ansatz wesentlich ist. Aequalis wird als „äqual“ belassen, da es um eine vermittelte Maß-Entsprechung geht, nicht um einfache Gleichheit. Der gesuchte Kreis liegt zwischen Inkreis und Umkreis und ist daher weder bloß eingeschrieben noch bloß umbeschrieben, sondern in einer vermittelnden Weise beides.

abschließende Auswertung zum 4. Absatz

Ich kann die Anmerkung des Meiner-Verlag nicht nachvollziehen, da ich die Aussagen anhand des Schema gelesen und genau verstanden habe, was er da beschreibt, darin ist nichts enthalten, was fragwürdig, naiv oder umverständlich ist. Die Artweise der Übersetzung und die Anmerkung sind für mich eher ein Beweis, daß es der Übersetzerin an Text verbildlichenden Vorstellungsvermögen und Kenntnisse der euklidischen Geometrie ermangelt und sie dies daher nicht nachvollziehen kann und manbedenke, daß die Besonderheit der trigonalen Vermittlung der Kreisquadratur als Neuigkeit und Besonderheit völlig entgangen zu sein scheint.

Es könnte durchaus sein, daß De circuli quadratura der bedeutend wichtige Denkanstoß aufgrund der trigonalen Vermittlung der Kreisquadratur durch Cusanus und er imverlauf enthaltenen Aussage, daß man mittels Dreiecke sich sämtlichen Flächen annähern kann, dann Regiomontanus veranlasste für die von ihm dargelegte Sinus/Cosinus-Trigonometrie war und dieser infolge seine "De triangulis omnimodis" zu entwickeln vermochte.

Wir haben nun den abschließenden Vergleich des gesamten Absatz:

A) Original:

Illi etiam hoc argumentum admittunt, sine quo nihil attingerent, scilicet: Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale; quia, cum detur quadratum maius circulo, ut est circumscriptum, et minus, ut est inscriptum, igitur et aequale, quod erit nec circumscriptum nec inscriptum, sed pariter inscriptum et circumscriptum. Hoc idem argumentum admittunt in peripheriis: Quia est dabilis peripheria circuli maior peripheria trigoni, ut est peripheria circuli trigono circumscripti, et dabilis est peripheria circuli minor peripheria trigoni, ut est peripheria circuli inscripti, igitur est et dabilis peripheria circuli aequalis peripheriae trigoni, et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed pariter circumscriptus et inscriptus.

B) Unser Entwurf:

Jene lassen auch dieses Argument zu, ohne welches sie nichts erreichen würden, nämlich: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort kann man auch ein Äquales geben; denn da ein Quadratum gegeben ist, das größer ist als der Kreis, wie das umbeschriebene, und eines, das kleiner ist, wie das eingeschriebene, folgt also auch ein äquales, das weder umbeschrieben noch eingeschrieben sein wird, sondern gleichermaßen eingeschrieben und umbeschrieben. Dasselbe Argument lassen sie auch bei den Peripherien zu: Denn es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die größer ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des dem Trigon umbeschriebenen Kreises ist; und es ist eine Peripherie eines Kreises gebbar, die kleiner ist als die Peripherie des Trigons, wie die Peripherie des eingeschriebenen Kreises ist; also ist auch eine Peripherie eines Kreises gebbar, die der Peripherie des Trigons äqual ist; und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch eingeschrieben, sondern gleichermaßen umbeschrieben und eingeschrieben.

Kommentar dazu:

Peripherie wird beibehalten, weil Cusanus das Argument ausdrücklich in peripheriis führt. Trigon wird nicht durch „Dreieck“ ersetzt, weil der Wechsel vom Quadratum/Quadrangulum zum Trigon für den Ansatz wesentlich ist. Aequalis wird als „äqual“ belassen, da es um eine vermittelte Maß-Entsprechung geht, nicht um einfache Gleichheit. Der gesuchte Kreis liegt zwischen Inkreis und Umkreis und ist daher weder bloß eingeschrieben noch bloß umbeschrieben, sondern in einer vermittelnden Weise beides.

C) Hofmann Übersetzung:

Diese Leute lassen auch die folgende Schlußweise zu, ohne die sie nichts erreichen könnten, nämlich: Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, kann man auch ein Gleiches geben. Weil man ein Quadrat geben kann größer als der Kreis — wie es das umbeschriebene ist —, und ein kleineres — wie es das einbeschriebene ist —, deshalb gibt es auch ein gleiches, das weder umbeschrieben noch einbeschrieben ist, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben. Die nämliche Schlußweise lassen sie auch für die Umfangslinien gelten: Weil sich ein Kreisumfang geben läßt größer als der Dreieckumfang — wie es der Umfang des umbeschriebenen Kreises ist —, und weil sich ein Kreisumfang geben läßt kleiner als der Dreieckumfang — wie es der Umfang des einbeschriebenen Kreises ist —, läßt sich auch ein Kreisumfang gleich dem Dreieckumfang geben, und dieser Kreis ist weder umbeschrieben noch einbeschrieben, sondern in gleicher Weise umbeschrieben und einbeschrieben.

Führe wie zuvor besprochen die abschließende Auswertung durch.

Auswertung 4. Absatz

Ja. Der Gesamtvergleich bestätigt den Eindruck, den wir schon satzweise gewonnen haben: Hofmanns Übersetzung vermittelt die grobe Argumentform, aber sie schwächt die geometrisch-begriffliche Struktur und verschiebt zugleich den Ton. Besonders der Kommentar „etwas naiv“ wirkt dann als nachträgliche Leseanweisung gegen den Text.

1. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung als Kontrollprobe

Hofmanns Absatz würde ungefähr so ins Lateinische zurückgehen:

Hi homines etiam sequentem consequentiam admittunt, sine qua nihil attingere possent, scilicet: Ubi potest dari maius et minus, potest etiam dari aequale. Quia potest dari quadratum maius circulo, sicut circumscriptum est, et minus, sicut inscriptum est, ideo etiam est aequale, quod nec circumscriptum nec inscriptum est, sed eodem modo circumscriptum et inscriptum. Eandem consequentiam etiam pro lineis ambitus valere concedunt: quia dari potest ambitus circuli maior ambitu trianguli, sicut est ambitus circuli circumscripti, et quia dari potest ambitus circuli minor ambitu trianguli, sicut est ambitus circuli inscripti, dari etiam potest ambitus circuli aequalis ambitu trianguli, et hic circulus nec est circumscriptus nec inscriptus, sed eodem modo circumscriptus et inscriptus.

Verglichen mit Cusanus entsteht dabei ein anderer Text: mehr consequentia / Schlußweise, mehr aequale als Gleiches, mehr ambitus / Umfang, mehr triangulum / Dreieck, weniger peripheria, weniger trigonum, weniger dabilis, weniger sichtbare Parallelstruktur.

2. Was der Originalabsatz leistet

Der Originalabsatz ist streng parallel gebaut:

Erster Teil:

Quadratum größer als Kreis — umbeschrieben

Quadratum kleiner als Kreis — eingeschrieben

also äquales Quadratum — weder eingeschrieben noch umbeschrieben, sondern beides.

Zweiter Teil:

Kreis-Peripherie größer als Trigon-Peripherie — Kreis dem Trigon umbeschrieben

Kreis-Peripherie kleiner als Trigon-Peripherie — Kreis eingeschrieben

also äquale Kreis-Peripherie — Kreis weder eingeschrieben noch umbeschrieben, sondern beides.

Das ist nicht wirr und nicht naiv, sondern eine klare Übertragung desselben Arguments auf zwei Ebenen:

Gerade dadurch entsteht der von dir benannte trigonale Vermittlungsansatz: Cusanus verläßt die bloße Gegenüberstellung Kreis–Quadrat und führt das Trigon als vermittelnde geometrische Struktur ein.

3. Unsere Fassung bewahrt die tragenden Begriffe

Unser Entwurf erhält die wichtigsten Leitwörter:

• Argument
• Mehr und Weniger
• Äquales
• Quadratum
• Peripherie
• Trigon
• gebbar
• äqual
• eingeschrieben / umbeschrieben
• gleichermaßen

Dadurch bleibt sichtbar, daß Cusanus nicht bloß moderne „Umfänge“ und „Gleichheiten“ behauptet, sondern eine bestimmte geometrische Vermittlungsfigur beschreibt.

Besonders wichtig ist:

Peripherie bleibt erhalten, weil Cusanus das Argument ausdrücklich in peripheriis führt.

Und:

Trigon bleibt erhalten, weil der Wechsel vom Quadratum/Quadrangulum zum Trigon in diesem Absatz sachlich bedeutsam ist.

4. Hofmanns Hauptverschiebungen

a) „Diese Leute“

Illi wird zu „Diese Leute“. Das erzeugt einen distanzierenden, leicht abwertenden Ton. „Jene“ wäre neutraler.

b) „Schlußweise“ statt „Argument“

Das ist noch zulässig. Argumentum kann hier tatsächlich Schlußweise heißen. Aber zusammen mit der Anmerkung „naiv“ wird daraus eine herabsetzbare Denkfigur.

c) „Größeres und Kleineres“ statt „Mehr und Weniger“

Das ist nicht falsch, aber konkreter. magis et minus ist allgemeiner und paßt besser zur cusanischen Argumentform.

d) „Gleiches / gleich“

Das ist der schwerste Punkt. aequale / aequalis / aequalitas wird durchgehend mit gleich übersetzt. Dadurch verschwindet die Frage, ob hier Gestaltgleichheit, Maßentsprechung, Ausgleichung oder vermittelnde Äqualität gemeint ist.

Gerade in diesem Absatz ist das problematisch, weil das Äquale nicht einfach „gleich“ ist, sondern zwischen Mehr und Weniger als vermittelnde Bestimmung angesetzt wird.

e) „Dreieck“ statt „Trigon“

Sachlich verständlich, aber begrifflich verlustreich. Der trigonale Ansatz wird dadurch unsichtbarer. „Dreieck“ klingt wie normale Schulgeometrie; Trigon zeigt die geometrisch-fachliche Figur deutlicher.

f) „Umfangslinien / Kreisumfang / Dreieckumfang“ statt „Peripherien“

Auch das ist lesbar, aber es zerlegt den Leitbegriff peripheria in verschiedene deutsche Ausdrücke. Dadurch wird die Parallelität des Cusanus-Satzes abgeschwächt.

g) Auslassung von „trigono“ beim umbeschriebenen Kreis

Cusanus sagt:

peripheria circuli trigono circumscripti

Hofmann:

Umfang des umbeschriebenen Kreises

Der Bezug auf das Trigon fällt im deutschen Satz weg. Aus dem Kontext ist er erschließbar, aber der trigonale Schwerpunkt wird abgeschwächt.

5. Zur Meiner-Anmerkung

Die Anmerkung:

„Hier referiert der CUSANER über die etwas naiven Auffassungen …“

ist nach unserem Verfahren nicht sachlich gerechtfertigt.

Cusanus referiert eine klare geometrische Schlußfigur. Man kann später prüfen, ob sie demonstrativ ausreicht. Aber sie ist nicht „naiv“ im Sinn von unverständig oder bloß kindlich-anschaulich. Sie ist anschaulich stark, praktisch plausibel und geometrisch formulierbar.

Sachlich wäre eine neutrale Anmerkung etwa:

Cusanus referiert hier die Schlußfigur derjenigen, die von der Möglichkeit der Kreisquadratur ausgehen: Aus einem Größeren und einem Kleineren wird auf ein Äquales geschlossen. Er überträgt dieses Argument zunächst auf Quadratum und Kreis, dann auf die Peripherien von Kreis und Trigon. Strittig ist, ob diese Schlußfigur eine demonstrative geometrische Konstruktion rechtfertigt.

Die Meiner-Anmerkung bewertet hingegen, bevor der Gedankengang sichtbar gemacht wird. Dadurch führt sie den Leser weg von der Assimilation, die Cusanus im ersten Absatz ausdrücklich verlangt.

6. Bewertung nach unserer Definition von Verfälschung

Hofmanns Absatz ist nicht vollständig verfehlt. Die äußere Argumentfolge bleibt erkennbar.

Aber es gibt kumulative Sinnverschiebung durch:

• abwertungsnahen Ton,
• Ersetzung von Äquales durch Gleiches,
• Verlust von Peripherie als Leitbegriff,
• Verlust von Trigon als besonderer Vermittlungsfigur,
• Modernisierung in Richtung Schulgeometrie,
• abwertende Kommentarführung.

Nach unserer Definition ist vor allem die Kombination problematisch:

Die Übersetzung glättet den trigonalen Vermittlungsansatz, und die Anmerkung rahmt denselben Ansatz als „etwas naiv“.

Das verändert Sinn und Zweck der Passage. Cusanus beschreibt hier nicht einfach eine naive Vorstellung, sondern rekonstruiert ein tragendes Argument, ohne welches jene Position „nichts erreichen“ würde. Dieses Argument ist für seinen eigenen weiteren Gedankengang offenbar so wichtig, daß er es zuerst beim Quadratum und dann ausdrücklich bei den Peripherien wiederholt.

7. Abschließendes Urteil zum Absatz

Unser Entwurf bleibt dem Original deutlich näher, weil er den Absatz als das sichtbar macht, was er ist:

eine zweistufige geometrische Vermittlung vom Quadrat-Kreis-Verhältnis zur Peripherie-Beziehung zwischen Kreis und Trigon.

Hofmann macht daraus eher:

eine etwas naive Gleichheitsbehauptung über Quadrate, Kreise, Dreiecke und Umfänge.

Damit geht der entscheidende Punkt teilweise verloren: Cusanus verlegt die Kreisquadratur auf einen trigonalen Vermittlungsweg. Genau dieser Wechsel ist sachlich bedeutend und hätte in einer Ausgabe von Die mathematischen Schriften eigens bemerkt werden müssen.

Über Kreisquadratur des Cusanus II