Über Kreisquadratur des Cusanus II

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11. Mai 2026 n. Chr. erst.  
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Werk:Die mathematischen Schriften/Zur Quadratur des Kreises

trigonale Vermittlung der Kreisquadratur

Danke für die Auswertung. Meine Intuition daß es sich bei der Übersetzung von De circuli quadratura nicht um den Schreibstil und den Tonfall von Cusanus handelt und daß zumindest gemäß meiner Einstellung nach hier unsachgemäß bis verfälschend übersetzt wurde hat sich bestätigt und darüber hinaus ist offenbar nicht assimiliert und erkannt worden wo´rum es Cusnaus mit iesem Schriftstück geht, daher habe ich nun besonderes Augenmerk darauf ob im Folgenden die Übersetzerin nun noch auf die trigonale Vermittlung der Kreisquadratur eingeht oder nicht. Wir werden also noch die Absätze übersetzen müssen, die Cusanus zur Aritikulation und Assimilation seines Gedankengang verfasst hat.

Fahren wir daher mit unserem Verfahren Satz für Satz fort, mit Absatz 5. 1. Satz:

Sunt et qui circuli quadraturam negant, et hi omnia iam dicta negant.

Absatz 5. 1. Satz

Ja. Wir setzen mit demselben Verfahren fort.

Latein

Sunt et qui circuli quadraturam negant, et hi omnia iam dicta negant.

1. Begriffserhaltende Arbeitsfassung

Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur verneinen, und diese verneinen alles schon Gesagte.

2. Begriffsprüfung

Latein	Arbeitsbegriff	Bemerkung
Sunt et qui	Es gibt auch solche, die	Parallel zu Sunt qui … admittunt; jetzt Gegenposition
circuli quadraturam	Kreisquadratur	beibehalten
negant	verneinen / bestreiten	nicht bloß „leugnen“ im moralisch-abwertenden Sinn
hi	diese	die Vertreter der Gegenposition
omnia iam dicta	alles schon Gesagte / alles bislang Gesagte	bezieht sich auf die vorherigen Annahmen und Argumente
negant	verneinen	bewusste Wiederholung; im Deutschen ebenfalls wiederholen

3. Wörtlich-sinngemäße Fassung

Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur verneinen, und diese verneinen alles schon Gesagte.

4. Etwas glattere Fassung

Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur bestreiten, und diese bestreiten alles bislang Gesagte.

5. Vorläufig bevorzugter Entwurf

Ich würde die Wiederholung von negant erhalten:

Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur verneinen, und diese verneinen alles bislang Gesagte.

Denn Cusanus formuliert bewusst symmetrisch:

Also:

6. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sunt et qui circuli quadraturam negant, et hi omnia iam dicta negant.

Die Rückübersetzung ist nahezu identisch mit dem Original.

7. Sachlicher Kommentar

Dieser Satz markiert den Übergang von der ersten Position zur Gegenposition.

Vorher:

Die einen lassen die Kreisquadratur zu und müssen dafür die Argumente von Mehr, Weniger und Äqualem zulassen.

Jetzt:

Andere verneinen die Kreisquadratur und verneinen damit alles zuvor Gesagte.

Wichtig ist: Cusanus wertet diese Gegenseite hier noch nicht ab. Er stellt sie knapp und parallel gegenüber. Deshalb sollten wir nicht übersetzen mit:

„Es gibt auch Leute, die … leugnen …“

sondern neutraler:

„verneinen“ oder „bestreiten“.

Für unsere Fassung ist verneinen näher, weil es die Wiederholung von negant … negant erhält.

Hofmann Absatz 5. 1. Satz:

Cusanus arbeitet hier offenbar sorgfältig scholastisch mit Prämissen und Gegenüberstellungen, und demgemäß abgeleiteten Schlußfolgerungen.

Meiner-Übersetzung Absatz 5. 1. Satz:

Es gibt auch Gelehrte, die die Möglichkeit der Kreisquadratur leugnen, und diese bestreiten alles soeben Gesagte.

Die Übersetzerin hat folgenden Kommenmatr zu diesem Satz angefügt:

Zu denjenigen Persönlichkeiten, die den Zwischenwertsatz leugnen, zählen insbesondere CAMPANUS und BRADWARDINE. So finden wir z. B. in Camp. III, 15 (älterer = 16 neuerer Zählung) folgenden Textzusatz: Ex hoc nolandum, quod non valet ista argumentatio: „hoc transit a minori ad maius et per omnta media, ergo per aequale", nec ista: „contingit reperire maius et minus; eodem ergo contingit reperire aequale". Bei Bradw. II, 4; concl. 7 wird dieser Text wörtlich angeführt mit dem Bemerken: tales enim consequentiae non valent. Campanus: Hieraus ist zu bemerken, daß diese Beweisführung nicht gilt: „Dies geht vom Kleineren zum Größeren und durch alle Mittelglieder hindurch, also durch das Äquale“; auch nicht diese: „Es läßt sich Größeres und Kleineres finden; also läßt sich in demselben auch ein Äquales finden.“ Bradwardine: Denn derartige Konsequenzen sind nicht gültig.

Führe nun von unserem Verfahren den Teil aus, durch den die Übersetzung rückübersetzt, analysiert und verifiziert wird.

Hofmann Analyse Absatz 5. 1. Satz:

Ja: Cusanus arbeitet hier knapp, aber sehr geordnet. Er stellt erst die Admittenten dar, dann die Negierenden. Das ist keine beiläufige Bemerkung, sondern eine scholastisch klare Gegenüberstellung von Positionen und ihren Folgesätzen.

1. Original

Sunt et qui circuli quadraturam negant, et hi omnia iam dicta negant.

Unser Entwurf:

Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur verneinen, und diese verneinen alles bislang Gesagte.

Hofmann:

Es gibt auch Gelehrte, die die Möglichkeit der Kreisquadratur leugnen, und diese bestreiten alles soeben Gesagte.

2. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Hofmanns Satz würde sinngemäß etwa so zurückgehen:

Sunt etiam docti / eruditi, qui possibilitatem quadraturae circuli negant / infitiantur, et hi omnia modo dicta / paulo ante dicta negant / impugnant.

Das ist nicht mehr derselbe lateinische Satz wie Cusanus:

Sunt et qui circuli quadraturam negant, et hi omnia iam dicta negant.

3. Analyse der Verschiebungen

a) Sunt et qui → Es gibt auch Gelehrte

Cusanus sagt:

Sunt et qui Es gibt auch solche, die …

Hofmann:

Es gibt auch Gelehrte

Das Wort Gelehrte steht nicht im Original. Es kann aus dem weiteren Kontext erschlossen werden, weil es um Schreibende und mathematische Autoren geht, aber Cusanus sagt es hier nicht.

Die Ergänzung verstärkt den Stand der genannten Personen. Sie macht aus einer neutralen Positionsgruppe eine akademisch autorisierte Gruppe.

Bewertung: Zusatz, nicht textgetreu; noch keine schwere Verfälschung, aber unnötige Autoritätsverschiebung.

b) circuli quadraturam negant → die Möglichkeit der Kreisquadratur leugnen

Cusanus:

circuli quadraturam negant sie verneinen die Kreisquadratur.

Hofmann:

sie leugnen die Möglichkeit der Kreisquadratur

Hier wird possibilitas eingefügt. Cusanus schreibt nicht:

possibilitatem circuli quadraturae negant

sondern schlicht:

circuli quadraturam negant

Sachlich kann „Kreisquadratur verneinen“ bedeuten: sie bestreiten, daß sie möglich sei. Aber Hofmann macht den Möglichkeitsbegriff ausdrücklich, obwohl er im lateinischen Satz nicht steht.

Zweiter Punkt: leugnen ist stärker als verneinen. „Leugnen“ kann im Deutschen eine abwertende oder moralische Färbung haben: jemand weist etwas zurück, obwohl es vielleicht wahr sei. negare ist hier neutraler: verneinen, bestreiten.

Bewertung: sinnverschiebend durch Zusatz Möglichkeit und Tonverschiebung durch leugnen.

c) Wiederholung von negant … negant

Cusanus wiederholt:

negant … negant

Hofmann variiert:

leugnen … bestreiten

Das ist im Deutschen stilistisch verständlich, aber es verdeckt die formale Strenge des Satzes. Cusanus stellt die Gegenposition fast formelhaft dar:

Sie verneinen die Kreisquadratur; und diese verneinen alles schon Gesagte.

Die Wiederholung ist sachlich wichtig, weil sie zeigt:

Wer die Kreisquadratur verneint, verneint zugleich die zuvor aufgelisteten Voraussetzungen: Äqualsetzung von Peripherien, das Mehr-und-Weniger-Argument, den vermittelnden Kreis.

Bewertung: Verlust der scholastischen Parallelform. Für unsere Übersetzung sollte verneinen … verneinen erhalten bleiben.

d) omnia iam dicta → alles soeben Gesagte

Cusanus:

omnia iam dicta alles schon / bereits Gesagte.

Hofmann:

alles soeben Gesagte

soeben ist enger als iam. Es verweist stärker auf unmittelbar vorher Gesagtes. iam dicta kann zwar genau das meinen, aber es heißt wörtlich eher:

alles bereits Gesagte / alles bislang Gesagte.

Unser bislang Gesagte ist daher etwas genauer, weil es die vorhergehende Argumentkette als Ganzes einschließt.

Bewertung: leichte Verengung; nicht schwerwiegend.

4. Gesamturteil zur Hofmann-Übersetzung

Hofmanns Satz ist verständlich, aber er verändert drei Dinge:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
Sunt et qui	Gelehrte	Zusatz von Autoritätsstatus
negant	leugnen	stärkerer, potentiell abwertender Ton
circuli quadraturam	Möglichkeit der Kreisquadratur	Zusatz eines Möglichkeitsbegriffs
negant … negant	leugnen … bestreiten	Verlust der Wiederholung
iam dicta	soeben Gesagte	leichte Verengung

Nach unserem Maßstab liegt hier keine starke inhaltliche Verfälschung vor, aber eine klare Ton- und Strukturverschiebung. Hofmann macht den Satz akademischer, stärker wertend und weniger formal-parallel.

Unser Entwurf bleibt näher:

Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur verneinen, und diese verneinen alles bislang Gesagte.

5. Analyse der Hofmann-Anmerkung

Die Anmerkung ist in zwei Teile zu trennen.

a) Der Quellenhinweis auf Campanus und Bradwardine

Dieser Hinweis ist wertvoll. Die zitierten Stellen passen sehr gut zum cusanischen Kontext, weil sie genau den Schluß vom Kleineren und Größeren auf ein Äquales zurückweisen:

„Dies geht vom Kleineren zum Größeren und durch alle Mittelglieder hindurch, also durch das Äquale“ — gilt nicht. „Es läßt sich Größeres und Kleineres finden; also läßt sich in demselben auch ein Äquales finden“ — gilt nicht.

Bradwardines Zusatz:

tales enim consequentiae non valent Denn derartige Konsequenzen sind nicht gültig.

Das ist sachlich einschlägig.

b) Problematisch: „Zwischenwertsatz“

Hofmann schreibt:

die den Zwischenwertsatz leugnen

Das ist begrifflich heikel.

„Zwischenwertsatz“ ist im heutigen mathematischen Sprachgebrauch mit Analysis und Stetigkeit verbunden. Er besagt in moderner Form: Eine stetige Funktion nimmt zwischen zwei Werten auch jeden Zwischenwert an.

Campanus und Bradwardine sprechen aber nicht in diesem modernen Rahmen. Sie verneinen eine scholastisch-geometrische Schlußfigur:

Vom Übergang durch Mehr und Weniger folgt nicht ohne weiteres ein Äquales.

Darum wäre neutraler:

die den Schluß vom Größeren und Kleineren auf ein Äquales zurückweisen

oder:

die die Gültigkeit dieser Mehr-und-Weniger-Schlußfigur bestreiten

Nicht:

die den Zwischenwertsatz leugnen

Denn „Zwischenwertsatz“ trägt eine moderne Begriffsschicht ein und kann den Leser zu falschen mathematischen Assoziationen führen.

6. Wichtiger Befund

In der Übersetzung selbst wird Cusanus’ negant durch leugnen leicht abgewertet. In der Anmerkung wird dann die Gegenposition als „Leugnung des Zwischenwertsatzes“ beschrieben. Dadurch entsteht ein Deutungsrahmen:

Die einen sind etwas naiv, weil sie die Kreisquadratur zulassen; die anderen leugnen den Zwischenwertsatz.

Beides ist nicht neutral. Sachlicher wäre:

Cusanus stellt zwei Positionen gegenüber. Die erste läßt die Kreisquadratur zu und verwendet den Schluß von Mehr und Weniger auf ein Äquales. Die zweite verneint die Kreisquadratur und verwirft genau diese zuvor genannten Voraussetzungen. Campanus und Bradwardine belegen diese zweite Position, indem sie solche Konsequenzen für ungültig erklären.

7. Abschließendes Urteil

Die Hofmann-Übersetzung dieses Satzes ist im Grundinhalt verständlich, aber nicht präzise genug. Sie fügt Gelehrte und Möglichkeit hinzu, verwendet leugnen statt neutralem verneinen, und zerstört die formale Wiederholung von negant … negant.

Die Anmerkung ist quellenbezogen nützlich, aber der Begriff Zwischenwertsatz ist anachronistisch und führt eine spätere mathematische Begriffsschicht ein. Für unsere Arbeit sollte der Satz daher so bleiben:

Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur verneinen, und diese verneinen alles bislang Gesagte.

Und die Anmerkung neutral:

Gemeint ist die Gegenposition, die den Schluß vom Mehr und Weniger auf ein Äquales zurückweist; entsprechende Formulierungen finden sich bei Campanus und Bradwardine.

Absatz 5. 2. Satz

Cusanus will die Assimilation seiner Gedankengänge bewirken, Hofmann macht nach meinem Eindruck daraus eine Streitschrift.

Ers folgen mehrere kürzere Sätze und wenn ich nichts Einwende, dann stimme ich dir zu und habe deinen Entwurf übernommen. Ich muß etwas schneller vorankommen, da ich morgen um 11:00 Uhr einen Termin in der Cusanus-Bibliothek in Bernkastel-Kues habe und ein Gespräch über diese Übersetzung führen will.

Fahren wir fort Absatz 5. 2. Satz:

Aiunt enim argumentum in mathematicis non procedere: Ubi est dare magis et minus, quod ibi sit dare aequale.

Analyse Absatz 5. 2. Satz

Ja — Hofmanns Tendenz zur Streitschrift zeigt sich vor allem dort, wo neutrale Gegenüberstellung durch „leugnen“, „diese Leute“, „naiv“ usw. gerahmt wird. Cusanus selbst baut bisher eher eine Prämissenprüfung auf.

1. Latein

Aiunt enim argumentum in mathematicis non procedere: Ubi est dare magis et minus, quod ibi sit dare aequale.

2. Unser Entwurf

Sie sagen nämlich, daß das Argument im Mathematischen nicht fortschreitet / nicht durchgeht: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, daß dort ein Äquales gegeben werden könne.

Etwas lesbarer:

Sie sagen nämlich, daß das Argument im Mathematischen nicht durchgeht: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort könne man auch ein Äquales geben.

Ich bevorzuge diese Fassung.

3. Begriffsprüfung

Latein	Entwurf	Bemerkung
Aiunt	sie sagen / behaupten	„behaupten“ ist möglich, aber stärker; „sie sagen“ ist neutraler
argumentum	Argument	beibehalten, weil Rückbezug auf vorheriges hoc argumentum
in mathematicis	im Mathematischen	nicht „in der Mathematik“ als moderne Disziplin, obwohl möglich
non procedere	nicht durchgehen / nicht fortschreiten	scholastisch: der Schluß trägt nicht, geht nicht gültig weiter
Ubi est dare	wo man geben kann / wo es gegeben ist zu geben	schwer wörtlich; unsere Form ist lesbar
magis et minus	Mehr und Weniger	nicht „Größeres und Kleineres“
quod ibi sit dare	daß dort zu geben sei / dort könne man geben	sit markiert indirekte Rede / Behauptungsinhalt
aequale	Äquales	nicht „Gleiches“

4. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Unser Entwurf:

Sie sagen nämlich, daß das Argument im Mathematischen nicht durchgeht: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort könne man auch ein Äquales geben.

Rückübersetzung:

Aiunt enim argumentum in mathematicis non procedere: Ubi est dare magis et minus, ibi sit dare aequale.

Sehr nahe am Original. Nur quod fällt in der Rückübersetzung leicht weg; deutsch ist es durch den abhängigen Aussagecharakter „könne“ enthalten.

5. Hofmann-Übersetzung

Sie behaupten nämlich: In der Mathematik gilt die Schlußweise nicht: Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, dort kann man auch ein Gleiches geben.

Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Afferunt / asserunt enim: In mathematica non valet consequentia: Ubi potest dari maius et minus, ibi potest etiam dari aequale.

Oder näher:

Aiunt enim: In mathematica argumentatio non valet: Ubi est dare maius et minus, ibi est dare aequale.

Analyse der Verschiebungen

a) Aiunt → Sie behaupten

Aiunt heißt schlicht: sie sagen.

„Behaupten“ ist möglich, aber stärker und streitiger.

Bewertung: leichte Tonverschiebung. Unsere Fassung „Sie sagen nämlich“ bleibt näher.

b) argumentum → Schlußweise

Das ist hier zulässig. Der Satz betrifft wirklich die Gültigkeit einer Schlußfigur. Allerdings ist Argument besser, weil Cusanus direkt an hoc argumentum anschließt.

Bewertung: zulässig, aber weniger begriffskontinuierlich.

c) in mathematicis → In der Mathematik

Hofmann macht daraus moderne Disziplinsprache.

in mathematicis heißt wörtlich eher:

im Mathematischen / bei mathematischen Dingen / in mathematischen Angelegenheiten.

Bewertung: leichte Modernisierung. Für unsere Übersetzung besser „im Mathematischen“.

d) non procedere → gilt nicht

Das ist sinngemäß möglich, aber glättet. procedere heißt eigentlich „voranschreiten, fortgehen, durchgehen“. In scholastischem Zusammenhang: ein Argument verfängt nicht, geht nicht gültig weiter.

„gilt nicht“ ist Ergebnis-Sprache. „geht nicht durch“ erhält den Vorgangscharakter.

Bewertung: zulässig, aber weniger nah.

e) magis et minus → Größeres und Kleineres

Wie zuvor: magis et minus ist abstrakter. „Mehr und Weniger“ ist näher.

Bewertung: konkretisierend.

f) aequale → Gleiches

Wieder die zentrale Verschiebung. Gleiches ist zu stark und im Deutschen irreführend. Äquales bleibt besser.

Bewertung: sinnverschiebend.

5. Ergebnis

Hofmanns Satz ist inhaltlich verständlich, aber er verschiebt wieder in dieselbe Richtung:

neutraler Bericht → streitiger Ton;

Argument → Schlußweise;

im Mathematischen → in der Mathematik;

Mehr/Weniger → Größeres/Kleineres;

Äquales → Gleiches.

Unser Entwurf:

Sie sagen nämlich, daß das Argument im Mathematischen nicht durchgeht: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort könne man auch ein Äquales geben.

Kommentar:

non procedere wird nicht mit „gilt nicht“ geglättet, sondern als „geht nicht durch“ wiedergegeben, weil Cusanus die Tragfähigkeit des Arguments prüft. in mathematicis bleibt „im Mathematischen“, um moderne Disziplinsprache zu vermeiden. magis et minus bleibt „Mehr und Weniger“; aequale bleibt „Äquales“.

Absatz 5. 3. Satz

Gut, Danke.

Absatz 5. 3. Satz:

Nam dabilis est angulus incidentiae maior recto et alius minor recto, et tamen numquam aequalis.

Hofmann:

Es läßt sich nämlich ein Inzidenzwinkel geben, der größer ist als ein geradliniger, und ein anderer Inzidenzwinkel kleiner als der geradlinige, und trotzdem niemals einer gleich dem geradlinigen.

1. Latein

Nam dabilis est angulus incidentiae maior recto et alius minor recto, et tamen numquam aequalis.

2. Unser Entwurf

Denn gebbar ist ein Inzidenzwinkel, der größer ist als der rechte, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte, und dennoch niemals ein äqualer.

Etwas glatter:

Denn es ist ein Inzidenzwinkel gebbar, der größer ist als der rechte Winkel, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte Winkel, und dennoch niemals ein äqualer.

Ich bevorzuge die zweite Fassung.

3. Begriffsprüfung

Latein	Entwurf	Bemerkung
Nam	denn	Begründung für das Nicht-Durchgehen des Arguments
dabilis est	es ist gebbar	gleicher Wortkreis wie zuvor
angulus incidentiae	Inzidenzwinkel	Fachbegriff beibehalten
maior recto	größer als der rechte [Winkel]	recto = angulo recto, rechter Winkel
et alius minor recto	und ein anderer kleiner als der rechte	alius = ein anderer Inzidenzwinkel
et tamen	und dennoch	Gegenwendung
numquam aequalis	niemals ein äqualer	elliptisch: niemals ein dem rechten Winkel äqualer Inzidenzwinkel

4. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Unser Entwurf:

Denn es ist ein Inzidenzwinkel gebbar, der größer ist als der rechte Winkel, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte Winkel, und dennoch niemals ein äqualer.

Rückübersetzung:

Nam dabilis est angulus incidentiae maior angulo recto et alius minor recto, et tamen numquam aequalis.

Das entspricht dem Original sehr nahe. Das ergänzte angulo bei angulo recto ist nur die im Latein mitgedachte Ergänzung.

5. Hofmann-Übersetzung

Es läßt sich nämlich ein Inzidenzwinkel geben, der größer ist als ein geradliniger, und ein anderer Inzidenzwinkel kleiner als der geradlinige, und trotzdem niemals einer gleich dem geradlinigen.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Diese Fassung ginge ungefähr zurück in:

Nam dari potest angulus incidentiae maior rectilineo, et alius angulus incidentiae minor rectilineo, et tamen numquam aliquis aequalis rectilineo.

Das ist nicht Cusanus’ Satz. Cusanus schreibt:

maior recto … minor recto

nicht:

maior rectilineo … minor rectilineo

7. Analyse der Verschiebungen

a) recto → geradliniger

Das ist die entscheidende Veränderung.

recto meint hier den rechten Winkel, also angulus rectus.

Hofmann übersetzt mit geradliniger. Das wäre eher rectilineus.

Das ist nicht nur eine Stilfrage. Ein rechter Winkel ist eine bestimmte Winkelgröße. Ein geradliniger Winkel ist eine andere Bestimmungsart: ein Winkel, der von Geraden gebildet wird.

Cusanus sagt hier:

Es gibt Inzidenzwinkel größer als der rechte Winkel und kleiner als der rechte Winkel, aber keinen Inzidenzwinkel, der dem rechten Winkel äqual ist.

Hofmann macht daraus:

Es gibt Inzidenzwinkel größer und kleiner als ein geradliniger Winkel, aber keinen gleichen geradlinigen.

Das verschiebt den Bezug.

Bewertung: verfälschend. Der rechte Winkel wird zum geradlinigen Winkel.

b) dabilis est → es läßt sich geben

Das ist gut. Hofmann erhält den dabilis-Wortkreis.

Bewertung: zutreffend.

c) angulus incidentiae → Inzidenzwinkel

Das ist gut.

Bewertung: zutreffend.

d) alius minor recto → ein anderer Inzidenzwinkel kleiner als der geradlinige

Hofmann ergänzt erneut Inzidenzwinkel, was sachlich richtig ist. Problem bleibt geradlinige statt rechte.

Bewertung: Ergänzung zulässig, Bezug falsch.

e) numquam aequalis → niemals einer gleich

Wieder wird aequalis mit gleich übersetzt. Hier ist es besonders problematisch, weil Cusanus gerade zeigen will:

größer und kleiner sind gebbar, aber kein Äquales.

Besser:

niemals ein äqualer oder: niemals einer, der dem rechten Winkel äqual ist.

Bewertung: sinnverschiebend, aber weniger schwer als die Verwechslung von recto.

8. Ergebnis

Hofmanns Übersetzung dieses Satzes enthält eine erhebliche Verschiebung:

recto wird als geradliniger gelesen, obwohl es hier rechter Winkel meint.

Dadurch wird Cusanus’ Beispiel ungenau. Er braucht gerade den rechten Winkel als Bezugspunkt: Es gibt einen Inzidenzwinkel größer als der rechte und einen kleiner als der rechte, aber keinen Inzidenzwinkel, der dem rechten Winkel äqual ist. Damit widerlegt die Gegenposition den Schluß:

Wo Mehr und Weniger gebbar ist, dort sei auch ein Äquales gebbar.

9. Übernommener Entwurf

Denn es ist ein Inzidenzwinkel gebbar, der größer ist als der rechte Winkel, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte Winkel, und dennoch niemals ein äqualer.

Absatz 5. 4. Satz

Das ist meines Erachtens eine krasse Verschiebung und der Leser verfehlt infolge die Assimilation des Cusanus und bekommt die von Hofmann.

Analyse Absatz 5. 4. Satz

Unde in quantitatibus incommensurabilibus hoc non procedit.

Hofmann:

Also gilt bei inkommensurablen Größen diese Schlußweise nicht.

Analyse Absatz 5. 4. Satz

Ja, bei recto → geradliniger ist die Verschiebung stark, weil dadurch der geometrische Prüfpunkt verändert wird. Cusanus spricht vom rechten Winkel als bestimmter Bezugsgröße; Hofmann macht daraus einen geradlinigen Winkelals Größenart. Damit bekommt der Leser tatsächlich eine andere Assimilation.

1. Latein

Unde in quantitatibus incommensurabilibus hoc non procedit.

2. Unser Entwurf

Daher geht dies bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.

Etwas glatter:

Daher geht dieses Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.

Ich bevorzuge die zweite Fassung, weil hoc auf das unmittelbar zuvor genannte Argument verweist.

3. Begriffsprüfung

Latein	Entwurf	Bemerkung
Unde	daher / von daher	Folgerung aus dem Beispiel mit dem Inzidenzwinkel
in quantitatibus	bei / in Quantitäten	nicht vorschnell „Größen“, weil Cusanus quantitas schreibt
incommensurabilibus	inkommensurablen	nicht gemeinsam meßbar / nicht auf ein gemeinsames Maß bringbar
hoc	dies / dieses Argument	Rückbezug auf die Schlußfigur: Mehr und Weniger → Äquales
non procedit	geht nicht durch / schreitet nicht fort	wie zuvor: das Argument trägt hier nicht

4. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Unser Entwurf:

Daher geht dieses Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.

Rückübersetzung:

Unde in quantitatibus incommensurabilibus hoc argumentum non procedit.

Vergleich mit Original:

Unde in quantitatibus incommensurabilibus hoc non procedit.

Sehr nahe. argumentum ist in unserer Fassung erklärend ergänzt, weil hoc sonst im Deutschen etwas unbestimmt wäre. Inhaltlich ist der Rückbezug eindeutig.

5. Hofmann-Übersetzung

Also gilt bei inkommensurablen Größen diese Schlußweise nicht.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Ergo in magnitudinibus incommensurabilibus haec consequentia non valet.

Oder:

Itaque apud magnitudines incommensurabiles haec argumentatio non valet.

Das weicht in mehreren Punkten vom Original ab.

7. Analyse der Verschiebungen

a) Unde → Also

Das ist möglich. Unde ist jedoch stärker an das Vorherige gebunden:

von daher, daraus, deshalb.

Also ist nicht falsch, aber etwas glatter.

Bewertung: zulässig.

b) quantitatibus → Größen

Hier liegt die wichtigste begriffliche Verschiebung.

Cusanus schreibt quantitates, nicht magnitudines.

Deutsch Größen kann vieles bedeuten: geometrische Größen, Größenwerte, physikalische Größen, Ausdehnungen.

Quantitäten erhält näher die lateinische Begriffsschicht und paßt zu Cusanus’ späterem genus quantitatis. Gerade im Kontext von Peripherie, Fläche, Winkel und Äqualität ist quantitas nicht einfach „Größe“, sondern eine bestimmte Größenbestimmtheit / Maßbeschaffenheit.

Bewertung: begriffsglättend, potentiell sinnverschiebend. Für unsere Arbeit: Quantitäten.

c) hoc non procedit → diese Schlußweise gilt nicht

Das ist sinngemäß verständlich, aber es verändert den Ausdruck.

procedere heißt nicht direkt „gelten“, sondern:

durchgehen, fortschreiten, tragfähig weitergehen.

Hofmanns „gilt nicht“ entspricht eher:

non valet

Das ist genau die Formulierung bei Bradwardine: tales consequentiae non valent. Cusanus verwendet hier aber non procedit, wie im vorherigen Satz:

argumentum in mathematicis non procedere

Die Wiederholung ist wichtig. Er sagt nicht nur: „gilt nicht“, sondern: Das Argument kommt hier nicht weiter, geht bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.

Bewertung: leichte bis mittlere Sinnverschiebung. Hofmann liest Cusanus durch die scholastische Formel non valet, obwohl Cusanus hier non procedit schreibt.

d) hoc → diese Schlußweise

Das ist erklärend und an sich zulässig. Da der vorherige Satz ausdrücklich argumentum nennt, kann hoc auf dieses Argument bzw. diese Schlußfigur bezogen werden.

Bewertung: zulässig, solange nicht der Unterschied zwischen procedere und valere verloren geht. Bei Hofmann geht er teilweise verloren.

8. Ergebnis

Hofmanns Satz ist inhaltlich grob richtig:

Bei inkommensurablen Größen trägt die Schlußweise nicht.

Aber er glättet drei Begriffe:

• Unde → Also
• quantitates → Größen
• non procedit → gilt nicht

Dadurch klingt der Satz wie eine moderne oder scholastisch fertige Regel:

„Diese Schlußweise gilt bei inkommensurablen Größen nicht.“

Cusanus formuliert beweglicher:

Daher geht dieses Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.

Das ist für seine Argumentführung besser, weil er nicht bloß eine abstrakte Regel zitiert, sondern zeigt, wo die Schlußbewegung vom Mehr/Weniger zum Äqualen nicht weiterkommt.

9. Übernommener Entwurf

Daher geht dieses Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.

Kommentar:

Quantitas wird nicht mit „Größe“ geglättet, weil Cusanus im Traktat verschiedene Arten von Quantität unterscheidet. Non procedit wird als „geht nicht durch“ wiedergegeben, damit der Rückbezug auf das zuvor genannte argumentum non procedere erhalten bleibt.

Absatz 5. 5. Satz

Danke, der Satz ist ja selbst ein Schlußsatz der besagt, daß nur das bestimmte Argiment nicht geht, durch Hofmann wird dies allgemeiner odr Im Ganzen gefasst.

Absatz 5. 5. Satz:

Si enim daretur angulus incidentiae maior recto parte aliquota recti et minor recto parte aliquota recti, daretur et aequalis.

Hofmann:

Wenn man nämlich einen Inzidenzwinkel geben könnte, der um einen rationalen Bruchteil (pars aliquota) des geradlinigen Winkels größer ist als dieser geradlinige, und einen anderen, der um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen kleiner ist als dieser geradlinige, dann könnte man auch einen gleich dem geradlinigen geben.

Anmerkung: Die Übersetzung ist gegenüber dem Original auffällig lang – unser Entwurf soll die knappe Ausdrucksweise des Cusanus beibehalten.

Analyse Absatz 5. 5. Satz

Ja, Hofmanns Fassung ist auffällig aufgebläht. Sie legt aus, statt Cusanus’ knappe Bedingungsstruktur zu erhalten. Vor allem setzt sie wieder recto / recti falsch als geradliniger Winkel statt rechter Winkel.

1. Latein

Si enim daretur angulus incidentiae maior recto parte aliquota recti et minor recto parte aliquota recti, daretur et aequalis.

2. Unser knapper Entwurf

Denn wenn ein Inzidenzwinkel gegeben wäre, größer als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, und kleiner als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, dann wäre auch ein äqualer gegeben.

Etwas klarer mit ergänzter Ellipse:

Denn wenn ein Inzidenzwinkel gegeben wäre, der größer ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, dann wäre auch ein äqualer gegeben.

Ich würde die zweite Fassung nehmen, weil aus dem vorherigen Satz alius minor recto klar ist, daß ein anderer Inzidenzwinkel mitzudenken ist.

3. Begriffsprüfung

Latein	Unser Begriff	Bemerkung
Si enim	Denn wenn	Begründung des vorigen Satzes
daretur	gegeben wäre	Konjunktiv: hypothetische Bedingung
angulus incidentiae	Inzidenzwinkel	Fachbegriff erhalten
maior recto	größer als der rechte	recto = rechter Winkel, nicht geradliniger Winkel
parte aliquota recti	um einen aliquoten Teil des rechten	nicht vorschnell „rationaler Bruchteil“
et minor recto	und kleiner als der rechte	elliptisch: ein anderer Inzidenzwinkel
daretur et aequalis	dann wäre auch ein äqualer gegeben	nicht „gleich“

4. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Unser Entwurf:

Denn wenn ein Inzidenzwinkel gegeben wäre, der größer ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, dann wäre auch ein äqualer gegeben.

Rückübersetzung:

Si enim daretur angulus incidentiae maior recto parte aliquota recti et alius minor recto parte aliquota recti, daretur et aequalis.

Abweichung zum Original:

et alius ist ergänzend eingefügt.

Diese Ergänzung ist begründet, weil der vorige Satz ausdrücklich sagte:

et alius minor recto

Ohne Ergänzung ist der deutsche Satz schwer verständlich, weil sonst derselbe Inzidenzwinkel zugleich größer und kleiner als der rechte wäre. Die Ergänzung verändert den Sinn nicht, sondern macht die Ellipse sichtbar.

5. Hofmanns Rückübersetzung

Hofmann:

Wenn man nämlich einen Inzidenzwinkel geben könnte, der um einen rationalen Bruchteil (pars aliquota) des geradlinigen Winkels größer ist als dieser geradlinige, und einen anderen, der um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen kleiner ist als dieser geradlinige, dann könnte man auch einen gleich dem geradlinigen geben.

Rückübersetzt ergäbe das etwa:

Si enim posset dari angulus incidentiae maior rectilineo parte rationali rectilinei, et alius minor rectilineo parte rationali rectilinei, tunc posset dari et aequalis rectilineo.

Das ist deutlich nicht Cusanus’ Satz.

6. Analyse der Verschiebungen

a) recto / recti → geradliniger Winkel

Das ist erneut der Hauptfehler.

Cusanus sagt:

recto / recti dem rechten / des rechten Winkels.

Hofmann macht daraus:

geradliniger Winkel.

Das wäre lateinisch eher rectilineus, nicht rectus.

Bewertung: verfälschend. Der Bezugspunkt ist der rechte Winkel, nicht die Klasse der geradlinigen Winkel.

b) parte aliquota → rationaler Bruchteil

pars aliquota heißt zunächst:

aliquoter Teil, ein Teil, der ein Ganzes genau mißt / aufgeht.

„Rationaler Bruchteil“ ist erklärend, aber modernisierend. Es bringt sofort Zahlbruch-Sprache hinein. Für unseren Zweck besser:

aliquoter Teil

und im Glossar erklären.

Bewertung: erläuternd, aber begriffsschichtlich verschiebend.

c) daretur → man könnte geben

Das ist möglich, aber Hofmann macht den Satz länger und stärker handlungsbezogen.

Cusanus formuliert knapp:

daretur — wäre gegeben / würde gegeben.

Bewertung: zulässig, aber aufgebläht.

d) aequalis → gleich dem geradlinigen

Wieder zweifach problematisch:

1. aequalis wird zu gleich.
2. Der Bezug wird als geradliniger Winkel bestimmt, obwohl es um den rechten Winkel geht.

Besser:

ein dem rechten äqualer

oder knapper:

ein äqualer.

Bewertung: verfälschend durch falschen Bezug und problematisches „gleich“.

7. Sinn des Satzes

Cusanus sagt:

Wenn der größere und der kleinere Inzidenzwinkel den rechten Winkel um einen aliquoten Teil des rechten Winkels über- bzw. unterschreiten würden, dann wäre auch ein äqualer Inzidenzwinkel gegeben.

Das heißt:

Wenn die Differenzen proportional / kommensurabel im gewöhnlichen Sinn faßbar wären, dann würde das Mehr-und-Weniger-Argument durchgehen.

Aber genau das ist bei Inzidenzwinkel und rechtem Winkel nicht der Fall. Daher geht das Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.

8. Übernommener Entwurf

Denn wenn ein Inzidenzwinkel gegeben wäre, der größer ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, dann wäre auch ein äqualer gegeben.

Kommentar:

Rectus wird als rechter Winkel wiedergegeben, nicht als geradliniger Winkel. Pars aliquota bleibt aliquoter Teil, weil „rationaler Bruchteil“ bereits eine moderne Erklärungsschicht einträgt. Aequalis bleibt äqual, da der Satz die Bedingung prüft, unter der das Argument von Mehr und Weniger zu einem Äqualen durchgehen würde.

Absatz 5. 6. Satz

Super von dir ausgeführt – so kommen wir nun auch schneller voran, ohne Qualität unserer Arbeit einzubüßen.

Absatz 5. 6. Satz

Sed cum angulus incidentiae non sit proportionalis recto, non potest esse aut maior aut minor parte aliquota recti, igitur neque umquam aequalis.

Hofmann:

Da aber der Inzidenzwinkel zum geradlinigen nicht proportional ist, kann er nicht um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen größer oder kleiner sein, also auch niemals gleich.

Analyse Absatz 5. 6. Satz

Gut, der Satz setzt die vorige Bedingung fort und erklärt, warum sie gerade nicht erfüllt ist.

1. Latein

Sed cum angulus incidentiae non sit proportionalis recto, non potest esse aut maior aut minor parte aliquota recti, igitur neque umquam aequalis.

2. Unser Entwurf

Da aber der Inzidenzwinkel dem rechten nicht proportional ist, kann er auch nicht um einen aliquoten Teil des rechten größer oder kleiner sein, also auch niemals äqual.

Etwas vollständiger:

Da aber der Inzidenzwinkel dem rechten Winkel nicht proportional ist, kann er auch nicht um einen aliquoten Teil des rechten größer oder kleiner sein, also auch niemals äqual.

Ich bevorzuge die zweite Fassung.

3. Begriffsprüfung

Latein	Unser Begriff	Bemerkung
Sed cum	Da aber	begründende Gegenwendung
angulus incidentiae	Inzidenzwinkel	Fachbegriff erhalten
non sit proportionalis recto	dem rechten nicht proportional ist	recto = dem rechten Winkel, nicht geradlinigem Winkel
non potest esse	kann nicht sein	knappe Struktur erhalten
aut maior aut minor	entweder größer oder kleiner	hier „größer oder kleiner“ angemessen
parte aliquota recti	um einen aliquoten Teil des rechten	pars aliquota erhalten
igitur neque umquam	also auch niemals	Folgerung
aequalis	äqual	nicht „gleich“

4. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Unser Entwurf:

Da aber der Inzidenzwinkel dem rechten Winkel nicht proportional ist, kann er auch nicht um einen aliquoten Teil des rechten größer oder kleiner sein, also auch niemals äqual.

Rückübersetzung:

Sed cum angulus incidentiae non sit proportionalis recto, non potest esse maior aut minor parte aliquota recti, igitur neque umquam aequalis.

Das entspricht dem Original sehr nahe. Nur aut maior aut minor wird zu maior aut minor verkürzt; der Sinn bleibt gleich.

5. Hofmann-Fassung

Da aber der Inzidenzwinkel zum geradlinigen nicht proportional ist, kann er nicht um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen größer oder kleiner sein, also auch niemals gleich.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Sed cum angulus incidentiae non sit proportionalis rectilineo, non potest esse maior aut minor parte rationali rectilinei, igitur neque umquam aequalis / aequalis rectilineo.

Diese Rückübersetzung weicht wieder an den inzwischen bekannten Stellen vom Original ab.

7. Analyse der Verschiebungen

a) recto → geradlinigen

Cusanus:

recto / recti dem rechten / des rechten Winkels.

Hofmann:

dem geradlinigen / des geradlinigen

Das ist erneut die stärkste Verfälschung.

Lateinisch rectus = recht, gerade im Sinn von aufrecht/richtig, hier: rechter Winkel.

Lateinisch rectilineus = geradlinig.

Cusanus spricht nicht von der ganzen Gattung der geradlinigen Winkel, sondern vom rechten Winkel als bestimmter Bezugsgröße.

Bewertung: verfälschend.

b) non sit proportionalis recto → zum geradlinigen nicht proportional

Durch die falsche Wiedergabe von recto verändert sich auch der Sinn von proportionalis.

Bei Cusanus:

Der Inzidenzwinkel ist dem rechten Winkel nicht proportional.

Bei Hofmann:

Der Inzidenzwinkel ist zum geradlinigen Winkel nicht proportional.

Das klingt wie eine Aussage über zwei Winkelarten: gemischtlinig gegen geradlinig. Cusanus’ konkretes Argument prüft aber den Vergleich mit dem rechten Winkel.

Bewertung: Folgeverschiebung aus dem recto-Fehler.

c) parte aliquota → rationaler Bruchteil

Wie zuvor: pars aliquota sollte zunächst aliquoter Teil bleiben.

„Rationaler Bruchteil“ ist erklärend und mathematisierend. Es kann sachlich verwandt sein, aber es ersetzt den lateinischen Begriff durch moderne Bruchzahl-Sprache.

Bewertung: begriffsschichtlich verschiebend.

d) aequalis → gleich

Wieder problematisch.

Cusanus sagt:

neque umquam aequalis also auch niemals äqual.

Hofmann:

also auch niemals gleich

Da hier gerade das Äquale als Streitbegriff geprüft wird, ist „gleich“ zu glatt.

Bewertung: sinnverschiebend.

e) Satzlänge

Hofmanns Satz ist weniger aufgebläht als der vorige, aber er trägt die gleichen Zusatzdeutungen weiter:

• geradlinig statt recht,
• rationaler Bruchteil statt aliquoter Teil,
• gleich statt äqual.

Dadurch verfestigt sich beim Leser die falsche Struktur.

8. Sinn des Satzes

Cusanus’ Gedankengang:

1. Wenn der Inzidenzwinkel den rechten Winkel um einen aliquoten Teil des rechten über- oder unterschritte, dann könnte es auch einen äqualen geben.
2. Aber der Inzidenzwinkel ist dem rechten Winkel nicht proportional.
3. Daher kann er nicht um einen aliquoten Teil des rechten größer oder kleiner sein.
4. Also ist auch niemals ein äqualer Inzidenzwinkel gegeben.

Das ist eine genaue Begründung dafür, warum das Mehr-und-Weniger-Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durchgeht.

9. Übernommener Entwurf

Da aber der Inzidenzwinkel dem rechten Winkel nicht proportional ist, kann er auch nicht um einen aliquoten Teil des rechten größer oder kleiner sein, also auch niemals äqual.

Kommentar:

Recto / recti wird als rechter Winkel / des rechten Winkels wiedergegeben, nicht als geradliniger Winkel. Pars aliquota bleibt aliquoter Teil. Aequalis bleibt äqual, weil der Satz weiter begründet, warum das Argument von Mehr und Weniger zu einem Äqualen beim Inzidenzwinkel nicht durchgeht.

Absatz 5. 7. Satz

Anmerkung: Die mit hochgeladene Datei ist eine Abbild zur Hofmann Anmerkung zum Absatz 5. 7. Satz am Schluß dieses Prompt, welche du bitte auch zur Anmerkung analysierst.

Die Analyse des Gedankengang machen wir besser je Absatz am Schluß mit dem Vergleichen der Absätze.

Absatz 5. 7. Satz:

Et cum inter superficiem circularem et rectilinealem non possit cadere proportio, sicut nec inter angulum incidentiae et angulum rectum, igitur argumentum etiam ibi non procedit.

Hofmann:

Und da zwischen der Kreisfläche und einer geradlinig begrenzten Fläche kein rationales Verhältnis bestehen kann — so wenig wie zwischen dem Inzidenzwinkel und dem geradlinigen —, deshalb ist die [obige] Schlußweise auch hier nicht zulässig.

Hofmann Anmerkung zum Satz:

Abb. 94.

Unter dem „Inzidenzwinkel" verstand man im Mittelalter den Winkel zwischen einer Geraden und einem sie schneidenden Kreisbogen; er wird erst durch Hinzufügen des „Kontingenzwinkels" (zwischen dem Kreisbogen und seiner Tangente) zu einem geradlinigen Winkel. In Brado. II, 4; concl. 6 lesen wir: Angulus contingentiae est omni angulo rectilineo minor (Daraus folgt, wie erstmals J. PELETIER (1557) hervorgehoben hat, daß der Kontingenzwinkel in Wahrheit gleich Null ist. Im Mittelalter war man jedoch nicht dieser Meinung; vielmehr fährt z. B. BRADWARDINE fort mit) el tamen est divisibilis in infinitum. Ex quo manifeslum est, quod tanto angulus contingentiae est maior, quanto circulus minor, et tanto minor quanto circulus maior. Da man also, durch die unglückliche Verbindung des Winkelbegriffs mit einer flächenhaften Vorstellung verführt, den Kontingenzwinkel als etwas Teilbares und der Vergrößerung und Verkleinerung Fähiges ansah, mußte man ihm auch die Größen-Eigenschaft zugestehen. Dadurch geriet man jedoch in unüberwindbare Schwierigkeiten; denn Kontingenzwinkel ist „infinitesimal", d. h. grundsätzlich zum geradlinigen und zum Inzidenzwinkel inkommensurabel, aber ebenso der Inzidenzwinkel und der geradlinige untereinander. Ähnliches wird bei Bradw. II, 4; concl. 7 zuerst für den Inzidenzwinkel des Halbkreises, dann für den allgemeinen Inzidenzwinkel gesagt. Vgl. auch die unten folgenden näheren Ausführungen im Text S. 39/40 und Anm. 9.

Analyse Absatz 5. 7. Satz

1. Original

Et cum inter superficiem circularem et rectilinealem non possit cadere proportio, sicut nec inter angulum incidentiae et angulum rectum, igitur argumentum etiam ibi non procedit.

2. Unser Entwurf

Und da zwischen einer kreisförmigen und einer geradlinialen Fläche keine Proportio fallen / zustande kommen kann, so wie auch nicht zwischen dem Inzidenzwinkel und dem rechten Winkel, geht das Argument daher auch dort nicht durch.

Etwas deutscher, aber noch begriffstreu:

Und da zwischen einer kreisförmigen und einer geradlinig begrenzten Fläche keine Proportio zustande kommen kann, so wie auch nicht zwischen dem Inzidenzwinkel und dem rechten Winkel, geht das Argument daher auch dort nicht durch.

Ich bevorzuge die zweite Fassung, mit Glossarhinweis zu rectilinealis.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Et cum inter superficiem circularem et rectilinealem non possit cadere proportio, sicut nec inter angulum incidentiae et angulum rectum, igitur argumentum etiam ibi non procedit.

Das geht nahezu deckungsgleich zurück.

4. Hofmanns Übersetzung

Und da zwischen der Kreisfläche und einer geradlinig begrenzten Fläche kein rationales Verhältnis bestehen kann — so wenig wie zwischen dem Inzidenzwinkel und dem geradlinigen —, deshalb ist die [obige] Schlußweise auch hier nicht zulässig.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Et cum inter superficiem circuli et superficiem rectilineis terminatam nulla ratio rationalis esse possit — sicut nec inter angulum incidentiae et angulum rectilineum —, ideo consequentia supra dicta etiam hic non valet / non est admittenda.

Das ist deutlich nicht mehr der Cusanus-Satz.

6. Analyse der Verschiebungen

a) superficiem circularem → Kreisfläche

Das ist noch vertretbar, aber etwas verengend.

superficies circularis heißt wörtlich:

kreisförmige Fläche / kreisförmige Oberfläche.

„Kreisfläche“ ist sachlich naheliegend. Unsere Fassung kreisförmige Fläche bleibt näher, weil sie das Adjektiv circularis erhält.

b) rectilinealem → geradlinig begrenzte Fläche

Das ist gut erklärend. Rectilinealis meint eine durch gerade Linien bestimmte Fläche. Hier ist Hofmann brauchbar.

c) proportio → rationales Verhältnis

Das ist problematisch.

Cusanus schreibt nicht:

ratio rationalis rationales Verhältnis

sondern:

proportio

Im Kontext meint er: Zwischen kreisförmiger und geradlinig bestimmter Fläche fällt keine Proportio im gemeinten Sinn. Das kann mit Inkommensurabilität zusammenhängen, aber „rationales Verhältnis“ ist bereits eine moderne oder spätere Präzisierung. Besser:

keine Proportio

kein proportionaler Bezug

kein entsprechender Maßbezug

Für unsere Übersetzung sollte Proportio stehenbleiben.

d) angulum rectum → dem geradlinigen

Das ist wieder der stärkste Fehler.

Cusanus sagt:

angulum rectum rechter Winkel.

Hofmann übersetzt:

dem geradlinigen

Das wäre lateinisch eher angulus rectilineus, nicht angulus rectus.

Hier wiederholt sich die bereits festgestellte Verschiebung: Cusanus vergleicht den Inzidenzwinkel mit dem rechten Winkel; Hofmann macht daraus den Vergleich mit dem geradlinigen Winkel als Art.

Das verändert die geometrische Aussage.

e) argumentum etiam ibi non procedit → die Schlußweise ist auch hier nicht zulässig

non procedit heißt nicht einfach „ist nicht zulässig“, sondern:

geht nicht durch, kommt nicht weiter, schreitet nicht fort.

„Nicht zulässig“ klingt normativer und juristisch-logischer. Es entspricht eher non valet oder non licet, nicht non procedit.

Cusanus bleibt im Bild des Argumentes, das in bestimmten Fällen nicht durchgeht.

7. Bewertung der Hofmann-Übersetzung

Hofmanns Fassung ist an drei Stellen deutlich verschoben:

Cusanus	Hofmann	Bewertung
proportio	rationales Verhältnis	moderne/verengende Deutung
angulum rectum	der geradlinige	sachlich falsch; rechter Winkel wird geradliniger Winkel
non procedit	nicht zulässig	normativ geglättet

Nach unserem Maßstab ist hier eine sinnverschiebende bis verfälschende Übersetzung gegeben, besonders wegen angulum rectum → geradlinigen.

8. Analyse der beigefügten Abbildung

Die Abbildung zeigt links unten einen gemeinsamen Berührungspunkt mit einer horizontalen Tangente. Von diesem Punkt gehen zwei gekrümmte Linien aus, offenbar Kreisbögen verschiedener Kreise:

• der enger gekrümmte Bogen steigt schneller von der Tangente ab;
• der weiter gekrümmte Bogen bleibt länger nahe an der Tangente;
• die senkrechte Linie links bildet mit der horizontalen Linie einen rechten Winkel.

Die Figur veranschaulicht also den mittelalterlichen Kontingenzwinkel:

den Winkel zwischen Tangente und Kreisbogen am Berührungspunkt.

Sie soll offenbar zeigen:

• Je kleiner der Kreis, desto stärker krümmt sich der Bogen von der Tangente weg.
• Je größer der Kreis, desto näher bleibt der Bogen an der Tangente.
• Daher konnte man im mittelalterlichen Sinn sagen: Der Kontingenzwinkel ist größer bei kleinerem Kreis und kleiner bei größerem Kreis.

Als Bild für die Hofmann-Anmerkung ist die Zeichnung verständlich. Sie verdeutlicht aber eher den Kontingenzwinkel, nicht unmittelbar den ganzen cusanischen Vergleich von Inzidenzwinkel und rechtem Winkel.

9. Bewertung der Hofmann-Anmerkung

Die Anmerkung hat einen brauchbaren Kern:

Sie erklärt, daß der mittelalterliche Inzidenzwinkel mit dem Kontingenzwinkel zusammenhängt und daß der Kontingenzwinkel zwischen Kreisbogen und Tangente gedacht wurde.

Aber die Wertung ist problematisch.

a) „In Wahrheit gleich Null“

Hofmann schreibt sinngemäß, Peletier habe hervorgehoben, daß der Kontingenzwinkel „in Wahrheit gleich Null“ sei.

Das ist ein moderner Blick. Nach moderner Tangentenwinkel-Definition ist der Winkel zwischen Kurve und Tangente am Berührungspunkt tatsächlich null.

Aber der mittelalterliche Kontingenzwinkel ist nicht derselbe Gegenstand wie der moderne Tangentenwinkel. Er ist ein gemischtliniger Bereich zwischen Tangente und Kurve. Wenn man ihn so versteht, ist er nicht einfach „Null“, sondern eine andere Art von Winkel / Quantität.

Hofmann setzt also eine spätere Definition als Wahrheit gegen die mittelalterliche Begriffsschicht.

b) „unglückliche Verbindung“

Die Formulierung:

durch die unglückliche Verbindung des Winkelbegriffs mit einer flächenhaften Vorstellung verführt

ist wertend. Sie stellt die mittelalterliche Auffassung als Verirrung dar, statt sie aus ihrer eigenen Begrifflichkeit zu erklären.

Für Cusanus ist gerade diese gemischtlinige Winkelart wichtig. Sie ist kein bloßer Irrtum, sondern dient als Beispiel dafür, daß das Mehr-und-Weniger-Argument bei nicht proportionalen Quantitäten nicht durchgeht.

c) „infinitesimal“

Auch infinitesimal ist eine spätere Begriffsschicht. Als moderne Verständnishilfe kann man das Wort verwenden, aber nur ausdrücklich als Analogie. Im Text selbst geht es um:

• kleiner als jeder geradlinige Winkel,
• dennoch teilbar,
• nicht proportional / inkommensurabel.

Das sollte nicht ohne Markierung in moderne Infinitesimal-Sprache übertragen werden.

d) Verfehlter Fokus

Die Anmerkung erklärt den Kontingenzwinkel, aber sie verstellt teilweise Cusanus’ eigentlichen Satz.

Cusanus sagt hier:

Zwischen kreisförmiger und geradlinig bestimmter Fläche fällt keine Proportio, so wie auch nicht zwischen Inzidenzwinkel und rechtem Winkel; daher geht das Argument auch dort nicht durch.

Die Funktion des Winkels ist also argumentativ:

Er dient als Modell dafür, warum aus Mehr und Weniger nicht immer ein Äquales folgt.

Hofmanns Anmerkung verschiebt den Fokus auf:

Mittelalterliche Winkelvorstellung sei fehlerhaft / „unglücklich“.

Damit wird der Leser wieder eher zum Urteil über die mittelalterliche Naivität geführt als zur Assimilation des cusanischen Gedankengangs.

10. Übernommener Satz mit Kommentar

Und da zwischen einer kreisförmigen und einer geradlinig begrenzten Fläche keine Proportio zustande kommen kann, so wie auch nicht zwischen dem Inzidenzwinkel und dem rechten Winkel, geht das Argument daher auch dort nicht durch.

Kommentar:

Proportio wird nicht mit „rationales Verhältnis“ übersetzt, weil Cusanus den weiteren Verhältnis- und Maßbezug meint. Angulus rectus ist der rechte Winkel, nicht der geradlinige Winkel. Non procedit wird als „geht nicht durch“ wiedergegeben, weil Cusanus die Tragfähigkeit des Arguments prüft, nicht bloß eine abstrakte Unzulässigkeit behauptet. Die beigefügte Abbildung veranschaulicht vor allem den Kontingenzwinkel zwischen Tangente und Kreisbogen; sie darf nicht dazu führen, Cusanus’ Vergleich mit dem rechten Winkel in einen Vergleich mit dem geradlinigen Winkel umzudeuten.

Analyse 5. Absatz

Dein Kommentar ist für das Verständnis und die richtigere Assimilation hilfreich, wir bleiben bei Proportio, aber warum nicht deutscher "Proportion"?

Wir haben nun alle Sätze dieses 5. Absatz. Nun möchte ich die Analyse der Absätze mehr allgemein und im Hinblick auf Assimilation ausführen, indem die Dinge nun nicht erneut wie zuvor bei den Saätzen aufzeigst, sondern nur für den ganzen Absatz die Veränderung, Verschiebung und Verfälschung darlegst und was dies für Folgen für die Assimilation hat.

Ich gebe dir unseren Absatz ohne Kommentar und du analysierst auch ohne diesen nur also den Absatz umn zu sehen, inwieweit dieser zur Assimilation genügt.

Die Abfolge der Sätze bauen die "Treppe" zur Assimilation auf – unser Absatz:

• Es gibt auch solche, die die Kreisquadratur verneinen, und diese verneinen alles schon Gesagte.
• Sie sagen nämlich, daß das Argument im Mathematischen nicht durchgeht: Wo man ein Mehr und ein Weniger geben kann, dort könne man auch ein Äquales geben.
• Denn es ist ein Inzidenzwinkel gebbar, der größer ist als der rechte Winkel, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte Winkel, und dennoch niemals ein äqualer.
• Daher geht dieses Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch.
• Denn wenn ein Inzidenzwinkel gegeben wäre, der größer ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, und ein anderer, der kleiner ist als der rechte um einen aliquoten Teil des rechten, dann wäre auch ein äqualer gegeben.
• Da aber der Inzidenzwinkel dem rechten Winkel nicht proportional ist, kann er auch nicht um einen aliquoten Teil des rechten größer oder kleiner sein, also auch niemals äqual.
• Und da zwischen einer kreisförmigen und einer geradlinig begrenzten Fläche keine Proportio zustande kommen kann, so wie auch nicht zwischen dem Inzidenzwinkel und dem rechten Winkel, geht das Argument daher auch dort nicht durch.

Absatz Hofmann:

• Es gibt auch Gelehrte, die die Möglichkeit der Kreisquadratur leugnen, und diese bestreiten alles soeben Gesagte.
• Sie behaupten nämlich: In der Mathematik gilt die Schlußweise nicht: Wo man ein Größeres und Kleineres geben kann, dort kann man auch ein Gleiches geben.
• Es läßt sich nämlich ein Inzidenzwinkel geben, der größer ist als ein geradliniger, und ein anderer Inzidenzwinkel kleiner als der geradlinige, und trotzdem niemals einer gleich dem geradlinigen.
• Also gilt bei inkommensurablen Größen diese Schlußweise nicht.
• Wenn man nämlich einen Inzidenzwinkel geben könnte, der um einen rationalen Bruchteil (pars aliquota) des geradlinigen Winkels größer ist als dieser geradlinige, und einen anderen, der um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen kleiner ist als dieser geradlinige, dann könnte man auch einen gleich dem geradlinigen geben.
• Da aber der Inzidenzwinkel zum geradlinigen nicht proportional ist, kann er nicht um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen größer oder kleiner sein, also auch niemals gleich.
• Und da zwischen der Kreisfläche und einer geradlinig begrenzten Fläche kein rationales Verhältnis bestehen kann — so wenig wie zwischen dem Inzidenzwinkel und dem geradlinigen —, deshalb ist die [obige] Schlußweise auch hier nicht zulässig.

Analyse 5. Absatz

Zu Proportio / Proportion:

Man kann im Deutschen Proportion verwenden, aber ich würde im ersten Durchgang bei Proportio bleiben, weil das Wort bei Cusanus noch nicht einfach unser heutiges „Proportion“ meint.

Deutsch Proportion hat heute mehrere Schichten:

• mathematisch: Verhältnis / Verhältnisgleichung;
• ästhetisch: Ebenmaß, Gestaltverhältnis;
• allgemein: Größenverhältnis.

Cusanus schreibt aber:

non possit cadere proportio es könne keine Proportio „fallen“ / zustande kommen.

Das ist eine eigene lateinische Fügung. Sie meint nicht nur „kein rationales Verhältnis“, sondern: Zwischen diesen Quantitäten kommt kein gemeinsamer proportionaler Maßbezug zustande. Daher ist Proportio im ersten Übersetzungsdurchgang besser. In einer lesbareren Zweitfassung könnte man schreiben:

keine Proportion im Sinne eines gemeinsamen Maßbezugs

Aber ohne Zusatz wäre „Proportion“ schon wieder zu glatt.

---

Absatzanalyse im Hinblick auf Assimilation

Unser Absatz baut eine klare Treppe:

1. Es gibt eine Gegenposition: Sie verneint die Kreisquadratur und alles zuvor Gesagte.
2. Der Grund liegt nicht in bloßem Widerspruch, sondern in der Zurückweisung eines bestimmten Arguments.
3. Dieses Argument wird am Inzidenzwinkel geprüft.
4. Der Inzidenzwinkel liefert ein Gegenbeispiel: größer als der rechte Winkel, kleiner als der rechte Winkel, aber niemals äqual zum rechten Winkel.
5. Daraus folgt: Bei inkommensurablen Quantitäten geht das Mehr-und-Weniger-Argument nicht durch.
6. Der Grund wird nochmals präzisiert: Wenn es aliquote Über- und Unterschreitungen gäbe, gäbe es auch ein Äquales.
7. Da aber keine Proportionalität zum rechten Winkel besteht, gibt es kein aliquotes Mehr oder Weniger und daher kein Äquales.
8. Dasselbe wird auf die Kreisquadratur übertragen: Zwischen kreisförmiger und geradlinig begrenzter Fläche kommt keine Proportio zustande; daher geht das Argument auch dort nicht durch.

Das ist eine saubere Denkstufe. Cusanus zeigt nicht einfach „die Kreisquadratur ist unmöglich“, sondern:

Das Argument „wo Mehr und Weniger, da auch ein Äquales“ gilt nur dort, wo die beteiligten Quantitäten proportional / kommensurabel genug sind, um durch aliquote Teile vermittelt zu werden.

Damit wird der Absatz zu einer Assimilationshilfe: Der Leser soll am Inzidenzwinkel begreifen, warum das scheinbar naheliegende Mehr-und-Weniger-Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht trägt.

Was Hofmann daraus macht

Hofmann verändert die Assimilation an entscheidenden Stellen.

1. Aus neutraler Gegenposition wird Streitton

Unser Text:

Es gibt auch solche, die … verneinen

Hofmann:

Es gibt auch Gelehrte, die … leugnen

„Gelehrte“ ist Zusatz; „leugnen“ ist schärfer als „verneinen“. Dadurch wirkt die Gegenposition nicht mehr nur als logisch notwendige Gegenseite, sondern als streitende oder dogmatische Gruppe. Folge für die Assimilation:

Der Leser wird auf Streit eingestellt, nicht auf Prüfung einer Argumentbedingung.

2. Aus „im Mathematischen geht das Argument nicht durch“ wird „in der Mathematik gilt die Schlußweise nicht“

Unser Text:

das Argument im Mathematischen nicht durchgeht

Hofmann:

In der Mathematik gilt die Schlußweise nicht

Das klingt allgemeiner und fertiger. Cusanus prüft aber einen bestimmten Argumentgang: Er geht nicht durch. Hofmann macht daraus eine Geltungsregel. Folge:

Die Beweglichkeit des Gedankengangs geht verloren. Der Leser bekommt eine fertige Regel statt einer argumentativen Diagnose.

3. Der schwerste Fehler: rechter Winkel wird geradliniger Winkel

Unser Text:

rechter Winkel

Hofmann:

geradliniger

Das verändert das Beispiel grundlegend. Cusanus vergleicht:

Inzidenzwinkel ↔ rechter Winkel.

Hofmann macht daraus:

Inzidenzwinkel ↔ geradliniger Winkel.

Damit verschiebt sich der Prüfpunkt von einer bestimmten Bezugsgröße zu einer ganzen Winkelart. Der Leser kann nicht mehr richtig nachvollziehen, warum gerade das Über- und Unterschreiten des rechten Winkels als Beispiel für das Nicht-Durchgehen des Äqualen dient. Folge:

Die geometrische Assimilation wird beschädigt. Der Leser versteht ein anderes Beispiel als Cusanus gibt.

4. Aus „Mehr und Weniger“ wird „Größeres und Kleineres“

Das ist weniger schwer, aber dennoch relevant.

Mehr und Weniger ist allgemeiner und paßt zur Schlußfigur. Größeres und Kleineres macht daraus konkretere Gegenstände.

Folge:

Der abstrakte Charakter des Arguments wird verengt.

5. Aus „Äquales“ wird „Gleiches“

Das ist durchgehend problematisch.

Cusanus’ aequale ist gerade der Prüfbegriff. Es meint hier nicht formale Gleichheit im heutigen deutschen Sinn, sondern ein vermitteltes Maß-Entsprechendes / Ausgeglichenes / Äquales.

Hofmanns „Gleiches“ macht den Satz scheinbar leichter, aber verfälscht den begrifflichen Knoten.

Folge:

Der Leser wird nicht auf die Frage geführt, welche Art von Äqualität gemeint ist, sondern liest eine einfache Gleichheitsbehauptung.

6. Aus aliquotem Teil wird rationaler Bruchteil

Hofmann:

rationaler Bruchteil (pars aliquota)

Das erklärt zwar etwas, aber es trägt moderne Bruchzahl-Sprache ein. Pars aliquota ist geometrisch und maßtheoretisch näher: ein Teil, der ein Ganzes aliquot mißt. Folge:

Die geometrische Teilbarkeit wird arithmetisiert.

7. Aus Quantitäten werden Größen

Quantitas ist bei Cusanus ein Leitbegriff. Hofmanns „Größen“ ist verständlich, aber zu allgemein. Es verliert den Bezug zur späteren Frage nach verschiedenen Gattungen von Quantität.

Folge:

Die begriffliche Schärfe der cusanischen Quantitätslehre wird abgeschwächt.

8. Aus Proportio wird rationales Verhältnis

Das ist eine starke Verengung.

Cusanus sagt:

keine Proportio kann zustande kommen.

Hofmann sagt:

kein rationales Verhältnis kann bestehen.

Das führt den Leser in Richtung moderner Rationalität/Irrationalität. Cusanus’ Punkt ist aber weiter: Es fehlt ein gemeinsamer proportionaler Maßbezug zwischen verschiedenartigen Quantitäten. Folge:

Der Leser denkt an Zahlenverhältnisse, nicht an die cusanische Frage des proportionalen Durchgangs zwischen Quantitätsarten.

Gesamtwirkung auf die Assimilation

Unser Absatz führt den Leser in diesen Gedankengang:

Ein Argument kann nur dort vom Mehr und Weniger zum Äqualen führen, wo die beteiligten Quantitäten proportional so zueinander stehen, daß ein aliquotes Über- und Unterschreiten möglich ist. Beim Inzidenzwinkel und rechten Winkel ist das nicht der Fall. Daher geht das Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durch. Ebenso geht es zwischen kreisförmiger und geradlinig begrenzter Fläche nicht durch.

Hofmanns Absatz führt den Leser eher in diesen Gedankengang:

Einige Gelehrte leugnen die Möglichkeit der Kreisquadratur. Sie behaupten, in der Mathematik gelte die Schlußweise vom Größeren und Kleineren zum Gleichen nicht. Das wird durch Inzidenzwinkel und geradlinige Winkel erläutert; bei inkommensurablen Größen gibt es kein rationales Verhältnis, also ist die Schlußweise nicht zulässig.

Das ist nicht derselbe Assimilationsweg. Der wichtigste Verlust ist:

Cusanus’ präziser Vergleich Inzidenzwinkel ↔ rechter Winkel wird durch Hofmanns Vergleich Inzidenzwinkel ↔ geradliniger Winkel ersetzt.

Dadurch wird der Absatz nicht nur anders formuliert, sondern sein geometrischer Prüfpunkt wird verändert.

Ergebnis

Unser Absatz genügt zur Assimilation deutlich besser, weil er die Treppe erhält:

Argument → Mehr/Weniger → Äquales → Inzidenzwinkel → rechter Winkel → aliquoter Teil → Proportio → inkommensurable Quantität → Übertragung auf Kreisfläche und geradlinig begrenzte Fläche.

Hofmanns Absatz macht daraus eine allgemeinere, modernere und streitiger klingende Aussage. Er vermittelt weniger Cusanus’ Gedankengang als eine bereits interpretierte Gegenposition in moderner Sprache. Die Folge ist, daß der Leser nicht in Cusanus’ geometrische Assimilation eintritt, sondern Hofmanns Deutungsrahmen übernimmt.

6. Absatz, 1. Satz

Das ist genau das, daß ich haben wollte und brauche und nun verstehe ich Cusanus auch, kann seiner Assimilationstreppe folgen, hingegen konnte ich dies zuvor mit der Übersetzung nicht, da es spürbar nicht passt und die dadurch verfehlte Verbildlichung ergibt keinen dem Kontext entsprechenden Sinn, auch ohne unseren angefügten Kommentar.

Nun haben wir unser Verfahren zugleich vereinfacht und verbessert – weiter so.

6. Absatz 1. Satz:

Hoc sic patet: Omnis quantitas in aliam resolubilis necessario sic se habet, quod quaelibet eius pars possit esse pars alterius, cum totum non sit nisi suae partes.

Hofmann:

Das wird folgendermaßen offenbar: Jede Größe, die sich in eine andere überführen läßt, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile auch ein Teil der andern Größe sein könnte, da das Ganze nichts anderes ist als die Summe seiner Teile.

Hofmann's Anmerkung zum Satz: Mit dieser Auffassung nimmt der CUSANER das Prinzip voraus, auf dem alle modernen Integralumformungen beruhen.

Analyse 6. Absatz, 1. Satz

Ja. Dieser Satz ist wieder sehr wichtig, weil Cusanus nun eine Bedingung der Auflösbarkeit / Überführbarkeitformuliert. Er sagt nicht bloß: „Man kann eine Größe in eine andere überführen“, sondern prüft, wann dies überhaupt möglich ist.

1. Original

Hoc sic patet: Omnis quantitas in aliam resolubilis necessario sic se habet, quod quaelibet eius pars possit esse pars alterius, cum totum non sit nisi suae partes.

2. Unser Entwurf

Dies zeigt sich so: Jede Quantität, die in eine andere auflösbar ist, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann, da das Ganze nichts ist außer seinen Teilen.

Noch etwas lesbarer:

Dies zeigt sich so: Jede Quantität, die in eine andere auflösbar ist, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann; denn das Ganze ist nichts außer seinen Teilen.

Ich bevorzuge die zweite Fassung.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Hoc sic patet: Omnis quantitas in aliam resolubilis necessario sic se habet, quod quaelibet eius pars possit esse pars alterius; cum totum non sit nisi suae partes.

Diese Rückübersetzung bleibt sehr nahe am Original. Nur die Zeichensetzung verändert sich; der Sinn bleibt erhalten.

4. Hofmanns Fassung

Das wird folgendermaßen offenbar: Jede Größe, die sich in eine andere überführen läßt, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile auch ein Teil der andern Größe sein könnte, da das Ganze nichts anderes ist als die Summe seiner Teile.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Eine sinngemäße Rückübersetzung ergäbe etwa:

Hoc hoc modo manifestum fit: Omnis magnitudo, quae in aliam transferri potest, necessario sic se habet, quod quaelibet eius pars etiam pars alterius magnitudinis esse posset, cum totum nihil aliud sit quam summa partium suarum.

Das ist nicht mehr deckungsgleich mit Cusanus.

6. Analyse der Veränderungen

a) quantitas → Größe

Cusanus:

Omnis quantitas

Hofmann:

Jede Größe

Das ist die erste wichtige Glättung.

Quantitas ist bei Cusanus ein tragender Begriff. Er spricht nicht allgemein von „Größe“, sondern von einer Quantität, also einer bestimmten Größen- oder Maßbestimmtheit. Da er zuvor ausdrücklich zwischen kreisförmiger und geradlinialer / geradlinig begrenzter Fläche unterscheidet, ist Quantität hier nicht austauschbar mit allgemein-deutschem „Größe“.

Folge für die Assimilation:

Der Leser verliert den Anschluß an die vorherige Aussage:

in quantitatibus incommensurabilibus

und an die folgende Frage, ob verschiedene Arten von Quantität ineinander auflösbar sind.

Bewertung: begriffliche Verschiebung. Für unsere Fassung bleibt Quantität.

b) in aliam resolubilis → die sich in eine andere überführen läßt

Cusanus:

in aliam resolubilis

Hofmann:

die sich in eine andere überführen läßt

Das ist teilweise möglich, aber nicht ideal.

resolvere heißt eher:

• auflösen,
• zurückführen,
• zerlegen,
• in eine andere Bestimmungsform auflösen.

Überführen ist glatter und technischer. Es klingt nach Transformation von A nach B. Resolubilis trägt aber stärker den Gedanken:

Eine Quantität kann in eine andere so aufgelöst werden, daß ihre Teile in der anderen wieder Teil sein können.

Gerade der folgende Teilsatz erklärt, was diese resolubilis-Eigenschaft bedeutet. Daher sollte man auflösbar beibehalten.

Folge für die Assimilation:

„Überführen“ macht den Vorgang äußerlicher. „Auflösbar“ hält besser fest, daß die Teilstruktur selbst in die andere Quantität eingehen können muß.

Bewertung: leichte bis mittlere Sinnverschiebung.

c) quaelibet eius pars possit esse pars alterius → jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann

Hofmann:

jeder ihrer Teile auch ein Teil der andern Größe sein könnte

Das ist weitgehend gut. Sie ergänzt Größe bei „der andern“, weil Deutsch es verlangt. Problematisch ist nur, daß sie wegen quantitas → Größe dieselbe Glättung fortsetzt.

Bewertung: im Kern zutreffend.

d) cum totum non sit nisi suae partes → da das Ganze nichts ist außer seinen Teilen

Cusanus:

cum totum non sit nisi suae partes

Unsere Fassung:

denn das Ganze ist nichts außer seinen Teilen

Hofmann:

da das Ganze nichts anderes ist als die Summe seiner Teile

Hier liegt die stärkste Veränderung. Cusanus sagt nicht:

summa partium

Er sagt:

suae partes seine Teile.

Hofmann fügt Summe ein. Das ist nicht harmlos. „Summe“ trägt eine additive, rechnerische und moderne Teil-Ganzes-Vorstellung ein:

Ganzes = Addition seiner Teile.

Cusanus formuliert allgemeiner und ontologisch-geometrischer:

Das Ganze ist nichts außer seinen Teilen.

Das ist nicht notwendig eine arithmetische Summe. Gerade bei geometrischen Figuren kann „Ganzes und Teile“ räumlich, kontinuierlich, teilhaft, konstruktiv gemeint sein — nicht nur additiv.

Folge für die Assimilation:

Der Satz wird in Richtung moderner Integral- oder Summationsvorstellung gelenkt. Cusanus’ Bedingung der Auflösbarkeit wird arithmetisiert.

Bewertung: sinnverschiebend; im Zusammenhang mit der Anmerkung deutlich verfälschend.

7. Mathematische Begriffsschicht

Cusanus baut hier keine moderne Integralrechnung auf. Er formuliert eine Bedingung:

Eine Quantität ist nur dann in eine andere auflösbar, wenn jeder Teil der einen auch Teil der anderen sein kann.

Das ist ein Teil-Ganzes-Kriterium der Auflösbarkeit. Hofmanns „Summe seiner Teile“ verschiebt das zu:

Das Ganze ist eine Summe von Teilen.

Dadurch nähert sich der Satz einer modernen Additions- oder Integrationsvorstellung. Aber Cusanus spricht hier noch nicht von Summierung, sondern von Teilbarkeit und Teilhabe einer Quantität in einer anderen Quantität.

Das ist für seine Argumentation entscheidend:

• Wenn Kreisfläche und geradlinig begrenzte Fläche nicht so ineinander auflösbar sind, daß jeder Teil der einen Teil der anderen sein kann, dann fehlt die Grundlage für das vorherige Mehr-und-Weniger-Argument.
• Der Satz prüft also nicht eine Rechenmethode, sondern die Bedingung eines legitimen Übergangs zwischen Quantitäten.

8. Hofmanns Anmerkung

Hofmann:

Mit dieser Auffassung nimmt der CUSANER das Prinzip voraus, auf dem alle modernen Integralumformungen beruhen.

Diese Anmerkung ist problematisch. Sie kann als lockere Analogie verstanden werden:

Moderne Integralumformungen beruhen ebenfalls darauf, Flächen / Größen in Teile zu zerlegen und anders zu erfassen.

Aber als sachlicher Kommentar zum Cusanus-Satz ist sie zu stark. Cusanus sagt nicht:

Eine Fläche ist die Summe infinitesimaler Teile.

Er sagt:

Eine Quantität, die in eine andere auflösbar ist, muß so beschaffen sein, daß jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann.

Das ist eine andere Aussage. Hofmann liest den Satz bereits durch moderne Integralvorstellungen. Dadurch wird ihre Übersetzung „Summe seiner Teile“ nachträglich gestützt — obwohl gerade dieses Wort im Original nicht steht.

Folge für die Assimilation:

Der Leser wird nicht zu Cusanus’ Teil-Ganzes-Bedingung geführt, sondern zu moderner Integralrechnung. Dadurch erscheint Cusanus als Vorläufer moderner Analysis, statt als Denker, der im Rahmen von Quantität, Auflösbarkeit, Teil und Proportio argumentiert.

9. Ergebnis

Hofmanns Übersetzung ist äußerlich verständlich, aber an zwei Stellen deutlich verschoben:

1. quantitas → Größe Verlust des cusanischen Leitbegriffs Quantität.
2. totum non sit nisi suae partes → Summe seiner Teile Eintragung eines additiven, modern-mathematischen Begriffs, der im Latein nicht steht.

Zusammen mit der Anmerkung entsteht eine moderne Leseschicht:

Cusanus als Vorläufer der Integralumformung.

Der Originalsatz zeigt aber zunächst etwas anderes:

Cusanus formuliert ein Kriterium dafür, wann eine Quantität in eine andere auflösbar ist: Jeder Teil der einen muß Teil der anderen sein können, weil das Ganze nichts außer seinen Teilen ist.

10. Übernommener Entwurf

Dies zeigt sich so: Jede Quantität, die in eine andere auflösbar ist, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann; denn das Ganze ist nichts außer seinen Teilen.

Kommentar:

Quantitas bleibt Quantität, nicht allgemein „Größe“. Resolubilis wird als auflösbar wiedergegeben, nicht als bloßes „überführbar“. Totum non sit nisi suae partes wird nicht als „Summe seiner Teile“ übersetzt, weil Cusanus keine additive Summenformel formuliert, sondern eine Teil-Ganzes-Bedingung der Auflösbarkeit.

Absatz, 2. Satz

Danke, und weiter mit Absatz, 2. Satz:

Sed lunula per rectam de circulo abscisa non est secundum angulos suos incidentiae, qui sunt partes quantitatis eius, in rectilineam resolubilis; igitur nec secundum eius totalitatem.

Hofmann:

Ein Möndchen, das durch eine Gerade vom Kreis abgeschnitten wird, läßt sich hinsichtlich seiner Inzidenzwinkel, die Teile seiner Fläche sind, nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln; also auch nicht hinsichtlich seiner Gesamtheit.

Führe die Analyse wieder in der Verfahrsnschrittabfolge aus, wie du es im letzten Prompt ausgeführt hast.

Analyse 6. Absatz, 2. Satz

1. Original

Sed lunula per rectam de circulo abscisa non est secundum angulos suos incidentiae, qui sunt partes quantitatis eius, in rectilineam resolubilis; igitur nec secundum eius totalitatem.

2. Unser Entwurf

Aber eine Lunula, die durch eine Gerade aus dem Kreis abgeschnitten ist, ist gemäß ihren Inzidenzwinkeln, die Teile ihrer Quantität sind, nicht in eine rectilineale Quantität auflösbar; also auch nicht gemäß ihrer Totalität.

Etwas deutscher, aber noch begriffstreu:

Aber ein Möndchen, das durch eine Gerade aus dem Kreis abgeschnitten ist, ist gemäß seinen Inzidenzwinkeln, die Teile seiner Quantität sind, nicht in eine geradliniale Quantität auflösbar; also auch nicht gemäß seiner Totalität.

Ich bevorzuge die erste Fassung mit Lunula, weil der lateinische Begriff fachlich wichtig ist. Im Glossar kann stehen: Lunula = Möndchen / mondförmig abgeschnittene Kreisfläche.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sed lunula per rectam de circulo abscisa non est secundum angulos suos incidentiae, qui sunt partes quantitatis eius, in quantitatem rectilineam resolubilis; igitur nec secundum eius totalitatem.

Vergleich mit Original:

Sed lunula per rectam de circulo abscisa non est secundum angulos suos incidentiae, qui sunt partes quantitatis eius, in rectilineam resolubilis; igitur nec secundum eius totalitatem.

Die Rückübersetzung bleibt nahe. Der einzige Zusatz ist quantitatem bei rectilineam. Das ist erklärend, weil rectilineam im Original elliptisch steht und sich aus dem vorherigen Satz auf quantitas beziehen läßt.

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4. Hofmanns Fassung

Ein Möndchen, das durch eine Gerade vom Kreis abgeschnitten wird, läßt sich hinsichtlich seiner Inzidenzwinkel, die Teile seiner Fläche sind, nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln; also auch nicht hinsichtlich seiner Gesamtheit.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Eine sinngemäße Rückübersetzung wäre etwa:

Lunula, quae per rectam a circulo abscinditur, secundum angulos suos incidentiae, qui sunt partes superficiei eius, non potest in figuram rectilineis terminatam converti; igitur nec secundum eius universitatem / totalitatem.

Das weicht an mehreren Punkten vom Cusanus-Text ab.

6. Analyse der Veränderungen

a) lunula → Möndchen

Das ist grundsätzlich zulässig. Lunula heißt wörtlich kleiner Mond / Möndchen und ist in der Geometrie ein Fachwort für eine mondförmige Fläche.

Für unsere Übersetzung ist aber Lunula besser, weil der Begriff in der antiken und mittelalterlichen Kreisquadraturgeschichte wichtig ist. Die Quadratur der Lunulae, besonders bei Hippokrates von Chios, gehört zum Hintergrund der Kreisquadraturdebatte.

Bewertung: Hofmanns „Möndchen“ ist verständlich, aber fachgeschichtlich glättend.

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b) per rectam de circulo abscisa → durch eine Gerade vom Kreis abgeschnitten wird

Cusanus:

per rectam de circulo abscisa

Hofmann:

durch eine Gerade vom Kreis abgeschnitten wird

Das ist im Wesentlichen zutreffend. Allerdings steht im Latein abscisa als Partizip:

abgeschnitten / abgetrennt.

Hofmann macht daraus „wird abgeschnitten“, also einen Vorgang. Das ist unproblematisch.

de circulo kann „vom Kreis“ oder „aus dem Kreis“ heißen. Ich bevorzuge aus dem Kreis, weil die Lunula als aus der Kreisfigur herausgeschnittene Gestalt gedacht wird.

Bewertung: sachlich zulässig.

c) non est … resolubilis → läßt sich … nicht … verwandeln

Cusanus:

non est … resolubilis

Hofmann:

läßt sich … nicht … verwandeln

Das ist eine wichtige Verschiebung. resolubilis gehört direkt zum vorherigen Satz:

Omnis quantitas in aliam resolubilis …

Cusanus arbeitet also mit resolubilis / auflösbar als Leitbegriff. Hofmann ersetzt das durch verwandeln.

„Verwandeln“ klingt nach Umformung oder Transformation einer Figur. Cusanus spricht aber von Auflösbarkeit einer Quantität in eine andere, verbunden mit der Bedingung, daß jeder Teil der einen Teil der anderen sein kann.

Folge für die Assimilation:

Der Leser verliert den Anschluß an den vorherigen Satz. Cusanus prüft nicht irgendeine Verwandlung, sondern die Bedingung der resolutio.

Bewertung: sinnverschiebend. Für unsere Fassung: auflösbar.

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d) secundum angulos suos incidentiae → hinsichtlich seiner Inzidenzwinkel

Das ist grundsätzlich gut. secundum kann „gemäß, hinsichtlich, nach Maßgabe von“ heißen.

Ich bevorzuge gemäß, weil es näher an der cusanischen Struktur bleibt:

gemäß seinen Inzidenzwinkeln.

Bewertung: zulässig.

e) qui sunt partes quantitatis eius → die Teile seiner Fläche sind

Cusanus:

partes quantitatis eius

Hofmann:

Teile seiner Fläche

Das ist eine deutliche Verschiebung.

Cusanus schreibt nicht superficiei eius, sondern quantitatis eius.

Die Inzidenzwinkel sind nach Cusanus Teile seiner Quantität. Das ist für den Gedankengang entscheidend, weil der vorherige Satz von omnis quantitas sprach. Hofmann ersetzt die Quantität durch Fläche.

Das kann sachlich naheliegen, weil eine Lunula als Fläche erscheint. Aber Cusanus will gerade nicht bloß Fläche sagen, sondern eine Quantität, deren Teile — einschließlich ihrer Inzidenzwinkel — nicht in eine rectilineale Quantität auflösbar sind.

Folge für die Assimilation:

Hofmann nimmt dem Satz den Bezug auf die Quantitätslehre. Der Leser denkt: „Die Winkel sind Teile der Fläche.“ Das ist geometrisch schon merkwürdig. Cusanus sagt präziser: Sie sind Teile der Quantität der Lunula, also ihrer bestimmenden Größenstruktur.

Bewertung: verfälschend oder mindestens stark sinnverschiebend.

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f) in rectilineam resolubilis → in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln

Cusanus:

in rectilineam resolubilis

Hofmann:

in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln

Hier sind zwei Dinge problematisch. Erstens: rectilineam ist elliptisch. Aus dem vorherigen Satz ist sehr wahrscheinlich zu ergänzen:

in rectilineam quantitatem

also: in eine rectilineale / geradlinig bestimmte Quantität. Hofmann ergänzt stattdessen:

Figur

Das ist möglich, aber eine andere Begriffsebene.

Zweitens: wieder verwandeln statt auflösen.

Besser:

in eine rectilineale Quantität auflösbar

oder deutsch:

in eine geradlinig bestimmte Quantität auflösbar

Bewertung: sinnverschiebend, weil Quantität → Figur und Auflösung → Verwandlung wird.

g) secundum eius totalitatem → hinsichtlich seiner Gesamtheit

Das ist im Kern richtig.

Cusanus:

secundum eius totalitatem

Hofmann:

hinsichtlich seiner Gesamtheit

Das trifft den Sinn. Ich würde Totalität beibehalten, weil totalitas ein lateinischer Begriff ist und direkt mit dem vorherigen totum zusammenhängt:

totum — partes — totalitas.

Hofmanns „Gesamtheit“ ist verständlich, aber der Begriffszusammenhang wird weniger sichtbar.

Bewertung: zulässig, aber begrifflich geglättet.

7. Mathematische Begriffsschicht

Cusanus wendet den vorherigen Satz nun auf die Lunula an.

Vorher:

Eine Quantität ist nur dann in eine andere auflösbar, wenn jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann.

Jetzt:

Eine Lunula, die durch eine Gerade aus dem Kreis abgeschnitten ist, ist nicht in eine rectilineale Quantität auflösbar, weil ihre Inzidenzwinkel Teile ihrer Quantität sind und diese Inzidenzwinkel nicht rectilineal auflösbar sind.

Damit ist der Gedankengang:

Das ist keine bloße Aussage über eine Figurverwandlung. Es ist eine Anwendung des Teil-Ganzes-Kriteriums.

8. Bewertung der Hofmann-Fassung

Hofmanns Übersetzung ist äußerlich verständlich, aber sie verändert den Satz an den entscheidenden Leitbegriffen:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
lunula	Möndchen	verständlich, aber Fachbegriff geglättet
quantitatis eius	seiner Fläche	Verlust des Quantitätsbegriffs
resolubilis	verwandeln	Verlust der Auflösbarkeitsstruktur
rectilineam	geradlinig begrenzte Figur	Quantität wird Figur
totalitatem	Gesamtheit	verständlich, aber schwächt Bezug zu totum/partes

Die schwerste Verschiebung ist:

partes quantitatis eius → Teile seiner Fläche

Denn Cusanus baut gerade eine Argumenttreppe von totum / partes / quantitas / resolubilis / totalitas. Hofmann überträgt das in eine allgemeinere Figur- und Flächensprache. Dadurch verliert der Leser den Anschluß an den vorherigen Satz.

9. Ergebnis

Unser Entwurf:

Aber eine Lunula, die durch eine Gerade aus dem Kreis abgeschnitten ist, ist gemäß ihren Inzidenzwinkeln, die Teile ihrer Quantität sind, nicht in eine rectilineale Quantität auflösbar; also auch nicht gemäß ihrer Totalität.

Kommentar:

Lunula bleibt als Fachbegriff erhalten. Quantitas wird nicht zu „Fläche“ geglättet, weil Cusanus den vorherigen Satz über Quantitäten hier anwendet. Resolubilis bleibt auflösbar, nicht „verwandelbar“. Rectilineam wird als elliptisches rectilineale Quantität verstanden, weil der vorausgehende Satz von der Auflösbarkeit einer Quantität in eine andere spricht. Totalität wird beibehalten, um den Zusammenhang von Ganzem und Teilen sichtbar zu lassen.

Absatz, 3. Satz

Mein Eindruck:

Cusanus spricht in Qualitäten und Proportionen soeiwe deren teile, Anteile und Teilhabe einander. Euklidisch sind Punkte, Strich, Winkel kein vergegenständlichten Teile. Hoffman macht offenbar alles zu "Korpuskel" und Stücken, vergegenständlicht, weißt ihnen Wirkkraft oder Handlungen zu, wandelt anstelle zu übertragen oder aufzulösen und projiziert heutige Vorstellungen und Erkenntnisse ins 15. Jahrhundert, wodurch diese einander Widersprüchlich erscheinen, jedoch redet man so aneinander vorbei, assimiliert nicht wie beabsichtigt.

6. Absatz, 3. Satz:

Manifestum est autem, si circulus est resolubilis in quadratum, necessario sequi lunulas resolubiles in rectilineales; et cum hoc sit impossibile, igitur et illud, ex quo sequitur.

6. Absatz, 3. Satz (Hoffman hat offenbar zwei daraus gemacht):

Es ist aber handgreiflich: Wenn sich ein Kreis in ein Quadrat verwandeln läßt, dann folgt notwendig, daß sich seine Möndchen in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln lassen. Und da Letzteres unmöglich ist, muß auch das Erstere, aus dem es gefolgert wurde, unmöglich sein.

Analyse 6. Absatz, 3. Satz

Dein Eindruck ist tragfähig. Ich würde nur Qualität und Quantität hier streng trennen: Cusanus spricht im Wortlaut von Quantitas, nicht von Qualitas. Aber du beschreibst richtig, daß er nicht einfach mit Körperstücken rechnet, sondern mit Bestimmungsweisen, ihren Teilen, ihrer Auflösbarkeit und ihrer Proportio. Hofmanns Übersetzung vergegenständlicht stärker: Fläche, Figur, Stück, Summe, verwandeln. Dadurch entsteht eine andere Denkweise als bei Cusanus.

1. Original

Manifestum est autem, si circulus est resolubilis in quadratum, necessario sequi lunulas resolubiles in rectilineales; et cum hoc sit impossibile, igitur et illud, ex quo sequitur.

2. Unser Entwurf

Offenbar ist aber: Wenn ein Kreis in ein Quadratum auflösbar ist, folgt notwendig, daß Lunulae in rectilineale Quantitäten auflösbar sind; und da dies unmöglich ist, also auch jenes, aus welchem es folgt.

Etwas lesbarer:

Offenbar ist aber: Wenn ein Kreis in ein Quadratum auflösbar ist, folgt notwendig, daß Lunulae in rectilineale Quantitäten auflösbar sind; und da dies unmöglich ist, ist also auch jenes unmöglich, aus welchem dies folgt.

Ich bevorzuge die zweite Fassung, weil sie die elliptische Schlußstruktur im Deutschen verständlicher macht.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Manifestum est autem: si circulus est resolubilis in quadratum, necessario sequitur lunulas resolubiles esse in quantitates rectilineales; et cum hoc sit impossibile, igitur et illud impossibile est, ex quo hoc sequitur.

Vergleich mit Cusanus:

Manifestum est autem, si circulus est resolubilis in quadratum, necessario sequi lunulas resolubiles in rectilineales; et cum hoc sit impossibile, igitur et illud, ex quo sequitur.

Die Rückübersetzung bleibt nahe. Unsere Ergänzungen sind:

• esse bei resolubiles esse — im Latein mitgedacht.
• quantitates bei rectilineales — erklärend aus dem vorherigen quantitas-Zusammenhang.
• impossibile est beim zweiten Teil — im Original elliptisch, aber im Deutschen nötig.

4. Hofmanns Fassung

Es ist aber handgreiflich: Wenn sich ein Kreis in ein Quadrat verwandeln läßt, dann folgt notwendig, daß sich seine Möndchen in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln lassen. Und da Letzteres unmöglich ist, muß auch das Erstere, aus dem es gefolgert wurde, unmöglich sein.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Manifestum est autem / palpabile est: Si circulus in quadratum converti / transformari potest, tunc necessario sequitur lunulas eius in figuras rectilineis terminatas converti posse. Et cum hoc posterius impossibile sit, etiam illud prius, ex quo deductum est, impossibile esse debet.

Diese Rückübersetzung zeigt die Verschiebungen deutlich.

6. Analyse der Veränderungen

a) Manifestum est autem → handgreiflich

Cusanus sagt:

Manifestum est autem offenbar ist aber / deutlich ist aber.

Hofmann:

handgreiflich

„Handgreiflich“ ist bildhaft, körperlich, fast sinnlich. Es kann passen, wenn etwas sehr anschaulich ist; aber es bringt eine haptische, vergegenständlichende Färbung ein. Cusanus sagt nur, daß die Folgerung offenbar ist.

Bewertung: leichte Tonverschiebung. Für unsere Fassung besser: Offenbar ist aber.

b) resolubilis → verwandeln läßt

Das ist erneut die wichtigste Verschiebung.

Cusanus:

resolubilis auflösbar.

Hofmann:

verwandeln läßt

„Verwandeln“ macht aus der Auflösbarkeitsfrage eine Gestalttransformation. Cusanus argumentiert aber aus dem vorherigen Satz:

Eine Quantität ist nur dann in eine andere auflösbar, wenn jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann.

Es geht also um resolutio, nicht um Verwandlung.

Bewertung: sinnverschiebend. Die Treppe von quantitas → partes → resolubilis → totalitas wird unterbrochen.

c) quadratum → Quadrat

Hier ist „Quadrat“ sachlich möglich. In unserem Text bleibt Quadratum, um den lateinischen Fachwortcharakter und die Verbindung zu den vorherigen Quadratum / Quadrangulum-Stellen sichtbar zu halten.

Bewertung: zulässig, aber geglättet.

d) lunulas → seine Möndchen

Cusanus sagt nur:

lunulas Lunulae / Möndchen.

Hofmann:

seine Möndchen

„Seine“ ist erklärend: gemeint sind die Lunulae, die aus dem Kreis bzw. in der Kreisfigur entstehen. Es steht aber nicht im Wortlaut. Außerdem bleibt „Möndchen“ zwar verständlich, verliert aber den fachgeschichtlichen Begriff Lunula.

Bewertung: leichte Ergänzung; nicht schwer, aber nicht begriffserhaltend.

e) in rectilineales → in geradlinig begrenzte Figuren

Cusanus schreibt elliptisch:

in rectilineales

Nach dem vorherigen Satz liegt nahe:

in rectilineale Quantitäten

Hofmann ergänzt:

Figuren

Das verschiebt wieder von Quantität / Auflösbarkeit zu Figur / Verwandlung. Eine rectilineale Quantität ist nicht dasselbe wie eine geradlinig begrenzte Figur, auch wenn beides sachlich zusammenhängen kann.

Bewertung: begrifflich verschiebend.

f) et cum hoc sit impossibile, igitur et illud, ex quo sequitur

Cusanus:

und da dies unmöglich ist, also auch jenes, aus welchem es folgt.

Hofmann:

Und da Letzteres unmöglich ist, muß auch das Erstere, aus dem es gefolgert wurde, unmöglich sein.

Die logische Struktur ist grundsätzlich erkannt:

• hoc = die Auflösbarkeit der Lunulae in rectilineale Quantitäten;
• illud = die Auflösbarkeit des Kreises in ein Quadratum;
• Wenn das Folgende unmöglich ist, ist auch die Voraussetzung unmöglich.

Aber Hofmanns „aus dem es gefolgert wurde“ ist etwas passivisch und kann mißverständlich sein. Cusanus sagt:

ex quo sequitur aus welchem es folgt.

Also: Aus der Annahme, daß der Kreis in ein Quadratum auflösbar ist, folgt die Auflösbarkeit der Lunulae. Wenn diese Folge unmöglich ist, fällt auch die Annahme.

Bewertung: im Kern richtig, aber freier formuliert.

7. Mathematische Begriffsschicht

Cusanus führt hier einen indirekten Beweisgang:

1. Angenommen: Der Kreis ist in ein Quadratum auflösbar.
2. Dann müssen auch die Lunulae in rectilineale Quantitäten auflösbar sein.
3. Dies ist unmöglich.
4. Also ist auch die Ausgangsannahme unmöglich.

Das ist keine Aussage über moderne Integralumformung und keine bloße Figurenverwandlung. Es ist ein Auflösbarkeitsargument:

Wenn die Totalität auflösbar wäre, müßten auch ihre Teile auflösbar sein. Da bestimmte Teile — die Lunulae mit ihren Inzidenzwinkeln — nicht rectilineal auflösbar sind, kann auch der Kreis nicht als Ganze in ein Quadratum auflösbar sein.

8. Gesamtbewertung der Hofmann-Fassung

Hofmann trifft die grobe logische Form, verschiebt aber die Begriffsschicht:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
manifestum	handgreiflich	vergegenständlichender Ton
resolubilis	verwandeln	Verlust der Auflösbarkeitslogik
lunulas	seine Möndchen	erklärend, aber fachlich geglättet
rectilineales	geradlinig begrenzte Figuren	Quantität wird Figur
ex quo sequitur	aus dem es gefolgert wurde	logische Struktur freier gefaßt

Die entscheidende Verfälschung liegt nicht in der Logik des letzten Halbsatzes, sondern in der durchgehenden Ersetzung von Auflösbarkeit durch Verwandlung. Dadurch wirkt Cusanus, als rede er von Formveränderungen. Tatsächlich prüft er eine Bedingung der resolutio zwischen Quantitäten.

9. Übernommener Entwurf

Offenbar ist aber: Wenn ein Kreis in ein Quadratum auflösbar ist, folgt notwendig, daß Lunulae in rectilineale Quantitäten auflösbar sind; und da dies unmöglich ist, ist also auch jenes unmöglich, aus welchem dies folgt.

Kommentar:

Resolubilis bleibt auflösbar. Hofmanns „verwandeln“ verschiebt den Satz in Richtung Gestalttransformation. Rectilineales wird im Zusammenhang des vorherigen Satzes als rectilineale Quantitäten verstanden, nicht als bloße Figuren. Der Satz ist ein indirekter Schluß: Wenn die Auflösbarkeit des Kreises in ein Quadratum die Auflösbarkeit der Lunulae in rectilineale Quantitäten notwendig zur Folge hätte, diese Folge aber unmöglich ist, dann ist auch die Ausgangsannahme unmöglich.

6. Absatz, 4. Satz

Anbei wieder ein Bild von Hofmann zu ihrem Kommentar im Anschluß an 6. Satz zur Analyse.

Wenn unser Entwurf bei der Rückübersetzung abweicht, könnte man ja am Schluß mit dem Entwurf für meine Übernahme doch wenn möglich und besser ein wenig nachbessern – führst du das jeweils aus? Wenn nicht dann ab jetzt bitte.

6. Absatz, 4. Satz

Sic patet semicirculum non esse rectilineabilem, et per consequens nec circulum aut aliquam eius partem.

Hofmann:

Offenbar läßt sich also der Halbkreis nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln und folglich auch nicht der Kreis oder einer seiner Teile.

Anmerkung Hofmann zu 4. Satz:

Abb. 95

Als „Mönchen" (lunula) bezeichnet der CUSANER ein Kreissegment, das den Halbkreis nicht übertrifft. Er scheint nun eine Schlußweise von folgender Art im Auge zu haben: Wird dem Segment das gleichschenklige Dreieck $ABC$ fortgesetzt, so werden vom ursprünglichen Inzidenzwinkel immer wieder geradlinige Winkel weggenommen und vom ursprünglichen Segment immer wieder Dreiecke, aber auf diese. Weise läßt sich weder der Inzidenz-winkel durch geradlinige Winkel „ausschöpfen" noch das Segment durch Dreiecke: das Segment kann also weder in seinen Teilen noch in seiner Gesamtheit in eine geradlinige Figur verwandelt werden, genau so wenig wie sich der Inzidenzwinkel in seinen Teilen oder in seiner Gesamtheit zu einem geradlinigen Winkel machen läßt. „Die exakte Kreisquadratur ist also unmöglich, weil die Möndchenquadratur unmöglich ist." Über die näherungsweise Kreisquadratur vermittele der Möndchen vgl. das in CM, S. 110/15 Vorgeführte.

Analyse 4. Absatz, 4. Satz

Ja: Ab jetzt verbessere ich den übernehmbaren Entwurf nach der Rückübersetzung, wenn die Rückübersetzung eine vermeidbare Abweichung zeigt. Bei diesem Satz ist das besonders wichtig, weil Cusanus hier vom bisherigen resolubilis zu rectilineabilis übergeht.

1. Original

Sic patet semicirculum non esse rectilineabilem, et per consequens nec circulum aut aliquam eius partem.

2. Erster Entwurf

So zeigt sich, daß der Semicirculus nicht rectilineabel ist, und folgeweise auch weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm.

Etwas deutscher:

So zeigt sich, daß der Halbkreis nicht rectilineabel ist, und folgeweise auch weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm.

3. Rückübersetzung des Entwurfs

Sic patet semicirculum non esse rectilineabilem, et per consequens nec circulum aut aliquam eius partem.

Das ist nahezu deckungsgleich. Halbkreis führt sauber zu semicirculus zurück. Rectilineabel führt direkt zu rectilineabilis zurück. Folgeweise erhält per consequens besser als bloß „folglich“.

4. Übernehmbarer Entwurf

So zeigt sich, daß der Halbkreis nicht rectilineabel ist, und folgeweise auch weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm.

Alternativ mit Begriffserhalt:

So zeigt sich, daß der Semicirculus nicht rectilineabel ist, und folgeweise auch weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm.

Ich würde für den Haupttext Halbkreis nehmen und rectilineabel stehenlassen, weil rectilineabilis hier der entscheidende Fachbegriff ist.

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5. Hofmann-Fassung

Offenbar läßt sich also der Halbkreis nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln und folglich auch nicht der Kreis oder einer seiner Teile.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Manifestum est igitur semicirculum non posse in figuram rectilineis terminatam converti, et consequenter nec circulum aut unam partium eius.

Das weicht vom Original deutlich ab. Original:

semicirculum non esse rectilineabilem

Hofmann:

läßt sich nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln

7. Analyse der Verschiebungen

a) Sic patet → Offenbar also

Das ist vertretbar. Sic patet heißt: „So zeigt sich“ / „so ist offenbar“.

Unsere Fassung „So zeigt sich“ erhält den Rückbezug auf den vorherigen Beweisgang besser.

b) rectilineabilem → in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln

Das ist die zentrale Verschiebung.

Cusanus sagt nicht:

in eine Figur verwandeln,

sondern:

rectilineabilis — rectilineabel, geradlinialisierbar, in geradlinige Bestimmung bringbar.

Hofmann setzt erneut verwandeln ein. Dadurch wird aus der cusanischen Frage der Rectilineabilität / Auflösbarkeit in rectilineale Quantität eine Gestaltumwandlung in eine Figur. Folge für die Assimilation:

Der Leser denkt an Figurenverwandlung, nicht an die Frage, ob eine kreisförmige Quantität ihrer Teilstruktur nach in rectilineale Quantität überführbar / auflösbar / rectilineabel ist.

c) et per consequens → und folglich

Das ist zulässig. Folgeweise wäre etwas näher, aber „folglich“ verfälscht nicht.

d) nec circulum aut aliquam eius partem → auch nicht der Kreis oder einer seiner Teile

Das ist weitgehend richtig. Etwas genauer:

weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm

Denn in negativer Fügung hat aliquam den Sinn „irgendein“.

8. Bewertung der Hofmann-Fassung

Hofmann trifft die äußere Folgerung:

Wenn der Halbkreis nicht rectilineabel ist, dann auch nicht der Kreis oder irgendein Teil von ihm.

Aber sie verschiebt den Fachbegriff:

rectilineabilis → in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln

Damit setzt sich die Linie fort:

• resolubilis wird zu „verwandelbar“;
• rectilineales werden zu „geradlinig begrenzten Figuren“;
• rectilineabilis wird zu „in eine geradlinig begrenzte Figur verwandelbar“.

Das verändert die Assimilation: Cusanus’ Gedankentreppe über Quantität → Teile → Auflösbarkeit → Rectilineabilität wird zu einer Vorstellung von Figurverwandlung.

9. Analyse der Abbildung 95

Die Abbildung zeigt einen Halbkreis über der Grundlinie AB. Der Punkt C liegt auf dem Kreisbogen. Die Linien ACund CB bilden ein gleichschenkliges oder zumindest ins Halbkreis-Schema eingebundenes Dreieck ABC. Die Bögen A–C und C–B bilden mit den Sehnen AC und CB je ein Kreissegment; diese seitlichen Segmente sind die von Hofmann gemeinten Lunulae / Möndchen oder kreissegmentartigen Restflächen.

Die Figur veranschaulicht also:

Wenn man das Dreieck als rectilinealen Anteil herausnimmt, bleiben kreisförmig begrenzte Reststücke. Genau dort liegt Cusanus’ Punkt:

Durch Herausnahme geradliniger Dreiecke wird die kreisförmige Quantität nicht vollständig rectilineabel, weil die Reststücke mit ihren Inzidenzwinkeln gerade nicht in rectilineale Quantitäten auflösbar sind.

Die Abbildung ist daher hilfreich, sofern man sie als Teil-Ganzes- und Reststück-Schema versteht.

10. Bewertung der Hofmann-Anmerkung

Die Anmerkung enthält brauchbare Beobachtungen, aber auch starke Deutungen.

Brauchbar

Richtig ist:

Cusanus denkt offenbar an Kreissegmente / Lunulae, die bei der Zerlegung eines Halbkreises durch geradlinige Dreiecke als Restflächen bleiben.

Auch richtig ist die Grundidee:

Man kann immer wieder geradlinige Dreiecke abziehen, aber dadurch wird der kreisförmig begrenzte Rest nicht vollständig in eine geradlinige Figur überführt.

Das paßt zu Cusanus’ Argument.

Problematisch

a) „verwandeln“

Die Anmerkung wiederholt die problematische Übersetzung:

in eine geradlinige Figur verwandelt werden.

Cusanus spricht von resolubilis und rectilineabilis, nicht von Verwandlung.

b) „in Wahrheit“ moderne Sicht

Wie schon bei der vorherigen Anmerkung neigt Hofmann dazu, mittelalterliche Begriffe durch spätere Einsichten zu beurteilen. Hier geschieht das schwächer, aber die Richtung bleibt: Cusanus wird so gelesen, als stehe er auf dem Weg zu moderner Integral- und Exhaustionslogik, während seine eigene Begriffsschicht nur teilweise ernst genommen wird.

c) „Die exakte Kreisquadratur ist also unmöglich, weil die Möndchenquadratur unmöglich ist“

Diese Zusammenfassung ist zu grob.

Cusanus’ Schluß ist genauer:

Wenn der Kreis in ein Quadratum auflösbar wäre, müßten die Lunulae in rectilineale Quantitäten auflösbar sein. Da dies unmöglich ist, ist auch die Auflösbarkeit des Kreises in ein Quadratum unmöglich.

Das ist nicht einfach:

Kreisquadratur unmöglich, weil Möndchenquadratur unmöglich.

Sondern:

Die behauptete rectilineale Auflösbarkeit des Ganzen scheitert, weil bestimmte Teile der Quantität nicht rectilineabel sind.

d) „ausschöpfen“

„Ausschöpfen“ kann als Vergleich hilfreich sein, aber es gehört nicht unmittelbar zum Wortlaut dieses Satzes. Cusanus argumentiert nicht primär über eine moderne Exhaustionsmethode, sondern über die Teilhabe der Teile an einer auflösbaren Quantität.

11. Ergebnis

Unser Satz:

So zeigt sich, daß der Halbkreis nicht rectilineabel ist, und folgeweise auch weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm.

genügt für die Assimilation besser als Hofmanns Fassung, weil er die Treppe erhält:

Quantität
→ Teile
→ Lunulae
→ nicht rectilineal auflösbar
→ Halbkreis nicht rectilineabel
→ folgeweise Kreis und Teile nicht rectilineabel

Hofmanns Fassung führt den Leser dagegen in diese Richtung:

Halbkreis
→ nicht in geradlinige Figur verwandelbar
→ Kreis und Teile ebenfalls nicht verwandelbar

Das ist verständlicher Schulgeometrie-Stil, aber es verliert den cusanischen Kernbegriff rectilineabilis und verlegt den Gedankengang von Auflösbarkeit / Rectilineabilität zu Figurverwandlung.

6. Absatz

Danke. Nun vergleichen und analysierst du wieder die Absätze im Ganzen allgemein im Hinblick auf die von Cuzsanus beabsichtigte Assimilationstufen zum Gedankengang in Sachen Veränderung, Verschiebung und Verfälschung.

Unser 6. Absatz:

1. Dies zeigt sich so: Jede Quantität, die in eine andere auflösbar ist, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile Teil der anderen sein kann; denn das Ganze ist nichts außer seinen Teilen.
2. Aber eine Lunula, die durch eine Gerade aus dem Kreis abgeschnitten ist, ist gemäß ihren Inzidenzwinkeln, die Teile ihrer Quantität sind, nicht in eine rectilineale Quantität auflösbar; also auch nicht gemäß ihrer Totalität.
3. Offenbar ist aber: Wenn ein Kreis in ein Quadratum auflösbar ist, folgt notwendig, daß Lunulae in rectilineale Quantitäten auflösbar sind; und da dies unmöglich ist, ist also auch jenes unmöglich, aus welchem dies folgt.
4. So zeigt sich, daß der Halbkreis nicht rectilineabel ist, und folgeweise auch weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm.

6. Absatz Hofmann:

1. Das wird folgendermaßen offenbar: Jede Größe, die sich in eine andere überführen läßt, verhält sich notwendig so, daß jeder ihrer Teile auch ein Teil der andern Größe sein könnte, da das Ganze nichts anderes ist als die Summe seiner Teile.
2. Ein Möndchen, das durch eine Gerade vom Kreis abgeschnitten wird, läßt sich hinsichtlich seiner Inzidenzwinkel, die Teile seiner Fläche sind, nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln; also auch nicht hinsichtlich seiner Gesamtheit.
3. Es ist aber handgreiflich: Wenn sich ein Kreis in ein Quadrat verwandeln läßt, dann folgt notwendig, daß sich seine Möndchen in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln lassen. Und da Letzteres unmöglich ist, muß auch das Erstere, aus dem es gefolgert wurde, unmöglich sein.
4. Offenbar läßt sich also der Halbkreis nicht in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln und folglich auch nicht der Kreis oder einer seiner Teile.

Analyse 6. Absatz

Ja. Der 6. Absatz ist im Ganzen eine Assimilationstreppe der Auflösbarkeit. Cusanus führt den Leser nicht bloß zu der Aussage „Kreisquadratur ist unmöglich“, sondern zu der Bedingung:

Eine Quantität kann nur dann in eine andere Quantität aufgelöst werden, wenn ihre Teile ebenfalls in diese andere Quantität eingehen können.

Damit knüpft Absatz 6 unmittelbar an Absatz 5 an: Dort scheiterte das Argument vom Mehr/Weniger zum Äqualen an der fehlenden Proportio; hier zeigt Cusanus, warum die kreisförmige Quantität nicht einfach rectilineal auflösbar ist.

1. Die Assimilationstreppe bei Cusanus / in unserem Absatz

Unser Absatz hält vier Stufen:

Stufe 1: Allgemeines Teil-Ganzes-Prinzip

Jede Quantität, die in eine andere auflösbar ist, muß teilweise in diese andere eingehen können.

Das ist kein Rechnen mit „Stücken“, sondern ein Kriterium der Auflösbarkeit von Quantitäten. Stufe 2: Anwendung auf die Lunula

Die Lunula ist gemäß ihren Inzidenzwinkeln nicht in rectilineale Quantität auflösbar.

Der wichtige Punkt: Nicht einfach die Form des Möndchens ist schwierig, sondern seine Inzidenzwinkel gehören zu seiner Quantität. Diese Inzidenzwinkel lassen sich nicht rectilineal auflösen. Also scheitert die Auflösung der Totalität. Stufe 3: Indirekter Schluß gegen die Kreisauflösung

Wenn der Kreis in ein Quadratum auflösbar wäre, müßten auch Lunulae in rectilineale Quantitäten auflösbar sein.

Da dies unmöglich ist, fällt die Voraussetzung. Stufe 4: Folgerung für Halbkreis, Kreis und Teile

Der Halbkreis ist nicht rectilineabel; folgeweise auch weder der Kreis noch irgendein Teil von ihm.

Damit wird der Gedankengang abgeschlossen: Die rectilineale Auflösung scheitert nicht zufällig, sondern an der Struktur der kreisförmigen Quantität selbst.

2. Was Hofmann verändert

Hofmanns Absatz verschiebt fast jede Stufe in eine modernere, vergegenständlichende Sprache.

a) Quantität → Größe

Unser Absatz:

Quantität

Hofmann:

Größe

Dadurch geht die cusanische Begriffsschicht verloren. Cusanus denkt hier nicht nur allgemein „groß/klein“, sondern in Quantitäten, ihren Teilen, ihrer Totalität und ihrer Auflösbarkeit. Folge:

Der Leser verliert den Anschluß an Absatz 5, wo es um inkommensurable Quantitäten ging.

b) auflösbar → überführen / verwandeln

Unser Absatz:

auflösbar

Hofmann:

überführen, verwandeln

Das ist die folgenreichste Verschiebung. Cusanus fragt:

Ist eine Quantität in eine andere auflösbar?

Hofmann macht daraus:

Kann eine Figur in eine andere verwandelt werden?

Das ist eine andere Vorstellung. Auflösung betrifft die Teilstruktur der Quantität; Verwandlung klingt nach äußerer Gestaltumformung. Folge:

Cusanus’ strenger Teil-Ganzes-Schluß wird zu einer Art Figuren-Transformation.

c) Teile der Quantität → Teile der Fläche

Unser Absatz:

Inzidenzwinkel, die Teile ihrer Quantität sind

Hofmann:

Inzidenzwinkel, die Teile seiner Fläche sind

Das ist eine starke Verschiebung. Winkel als „Teile einer Fläche“ klingt im Deutschen merkwürdig und kann zu falscher Verbildlichung führen. Cusanus sagt genauer: Die Inzidenzwinkel gehören zur Quantität der Lunula, also zu ihrer geometrischen Bestimmtheit. Folge:

Hofmann vergegenständlicht und verflacht den Begriff; die innere Quantitätsstruktur wird zur Flächenstück-Vorstellung.

d) Ganze und Teile → Summe seiner Teile

Unser Absatz:

das Ganze ist nichts außer seinen Teilen

Hofmann:

das Ganze ist nichts anderes als die Summe seiner Teile

„Summe“ steht nicht im lateinischen Sinn. Es trägt eine additive, modern-rechnerische Vorstellung ein. Cusanus sagt nicht: Das Ganze ist die rechnerische Summe seiner Teile. Er sagt: Das Ganze ist nicht außer seinen Teilen. Folge:

Der Leser wird in Richtung moderner Summation oder Integralvorstellung gelenkt, statt die cusanische Teil-Ganzes-Bedingung aufzunehmen.

e) rectilineale Quantität / rectilineabel → geradlinig begrenzte Figur

Unser Absatz:

rectilineale Quantität, rectilineabel

Hofmann:

geradlinig begrenzte Figur

Das ist verständlich, aber nicht gleichwertig. Rectilineabel ist bei Cusanus der Zielbegriff: eine Quantität soll in die geradliniale Bestimmungsart auflösbar sein. Hofmann ersetzt das durch eine fertige Figur. Folge:

Die Frage „Ist diese Quantität rectilineabel?“ wird zur Frage „Kann man daraus eine geradlinig begrenzte Figur machen?“

3. Wirkung auf die Assimilation

Unser Absatz läßt die Treppe sichtbar:

Hofmanns Absatz baut eine andere Treppe:

Diese zweite Treppe ist nicht völlig unverständlich, aber sie ist nicht die cusanische Treppe. Sie macht den Gedankengang körperlicher, additiver, moderner und stärker figurenbezogen.

4. Verfälschungsgrad

Nicht jeder einzelne Ausdruck ist für sich schon schwer verfälschend. Aber die Häufung ist entscheidend:

• quantitas wird zu Größe / Fläche,
• resolubilis wird zu verwandeln / überführen,
• rectilineabilis wird zu in eine geradlinig begrenzte Figur verwandeln,
• partes quantitatis wird zu Teile seiner Fläche,
• totum non sit nisi suae partes wird zu Summe seiner Teile.

Dadurch entsteht ein anderer Gedankentyp.

Nach unserer Definition liegt hier eine sachlich erhebliche Verschiebung vor, weil Sinn und Zweck des Absatzes verändert werden: Cusanus will die Bedingung der Auflösbarkeit einer Quantität in eine andere Quantitätassimilierbar machen. Hofmann führt den Leser eher zu einer Vorstellung von Figurverwandlung und moderner Teil-Summen-Geometrie.

5. Ergebnis

Unser Absatz genügt zur Assimilation, weil er die cusanischen Leitbegriffe sichtbar hält:

Quantität — Teil — Totalität — auflösbar — rectilineale Quantität — rectilineabel.

Hofmanns Absatz ist lesbarer im modernen Sinn, aber gerade dadurch weniger geeignet, Cusanus zu verstehen. Er ersetzt die innere Logik der Auflösbarkeit durch eine anschaulichere, aber fremdere Verwandlungslogik. Der entscheidende Verlust ist:

Cusanus spricht nicht darüber, ob man eine Kreisfigur in eine geradlinige Figur „verwandeln“ kann, sondern ob eine kreisförmige Quantität ihren Teilen nach in eine rectilineale Quantität auflösbar ist.

Mein gegenwärtiger Eindruck zum bisherigen Verlauf

Mein gegenwärtiger Eindruck zum Absatz und dem bisherigen Verlauf: Cusanus hat mit der gesamten Abfolge der Absätze zum einen bekundet und bestätigt er die Befürworter der Möglichkeit zur Kreisquadratur, zu denen er sich zählt und zum anderen bestätigt er, daß die Kreisquadratur aufgrund bekannter Gesetzmäßigkeiten so nicht durchführbar ist, gesellt sich so in den zutreffenden Bedingungen zu den Gegnern. Im Verlauf hat Cusanus sich so als Vermittler auf beiden Seiten gestellt und eine neutrale Position eingenommen, aus der heraus er seine trigonale Vermittlung der Kreisquadratur darlegen will. Zugleich bringt er beide Seiten durch die Assimilationsstufen dazu nochmal völlig neu darauf zu schauen und wenn sie ihm folgen, so werden die Leser ebenso eine neutrale Position eingenommen haben, was jedoch nicht erfolgen wird, wenn man den Assimilationsstufen von Hofmann folgt die bereits mit Fehldeutungen einem demgemäßen Vorurteil behaftet ist, wodurch der Leser die neutrale Position nicht erlangt und bei den Gegnern verbleibt – oder?

Wenn du nur je Absatz einen Kernsatz formulierst, wird sich dieser Verlauf und seine wohlwollende Absicht gemäß seiner Assimilationsstufen auch dem Leser verbildlichen und offenbaren – richtig?

Analyse des Eindruck

Ja, so läßt sich der bisherige Verlauf sinnvoll lesen — mit einer kleinen Einschränkung:

Cusanus zählt sich nach dem bisherigen Text nicht einfach ungebrochen zu den Befürwortern im starken Sinn. Eher nimmt er beide Seiten ernst, übernimmt von den Befürwortern die Suchrichtung und von den Gegnern die notwendigen Einschränkungen. Daraus entsteht eine dritte, vermittelnde Position.

Also nicht:

Partei A hat recht oder Partei B hat recht.

Sondern eher:

Die Befürworter sehen, daß ein vermittelndes Äquales gesucht werden muß.

Die Gegner sehen, daß das übliche Mehr-und-Weniger-Argument bei inkommensurablen Quantitäten nicht durchgeht.

Cusanus nimmt beides auf, um einen anderen Weg der Assimilation zu eröffnen.

Das ist eine wohlwollende, prüfende Vermittlung. Genau darin liegt der Unterschied zu Hofmanns Darstellung: Dort wird der Leser früh in ein Urteil gelenkt — „naiv“, „leugnen“, „nicht zulässig“, „verwandeln“, „rationales Verhältnis“. Dadurch bleibt der Leser eher auf der Seite einer nachträglichen mathematischen Bewertung stehen und gelangt nicht in die neutrale Denkstellung, die Cusanus offenbar herstellen will.

Kernsätze je Absatz

So könnte man den bisherigen Gang als Assimilationstreppe sichtbar machen:

Absatz 1

Cusanus bittet darum, seine Darlegung als Angleichung aufzunehmen, damit der Leser vom Mathematischen zur Theologie hinübergeführt werden kann.

Absatz 2

Er gibt eine Propositio, in der die gesuchte Kreisquadratur über eine bestimmte geometrische Verhältnislinie zwischen Trigon, Kreis und Peripherie angesetzt wird.

Absatz 3

Wer die Kreisquadratur zuläßt, muß auch zulassen, daß eine Kreis-Peripherie einer polygonalen Peripherie äquiert werden kann, weil die Kreisfläche über Semidiameter und Semicircumferentia in ein Quadrangulum bezogen wird.

Absatz 4

Die Befürworter stützen sich auf das Argument, daß zwischen Mehr und Weniger ein Äquales gebbar sei; Cusanus überträgt dieses Argument vom Quadratum-Kreis-Verhältnis auf die Peripherien von Kreis und Trigon.

Absatz 5

Die Gegner verneinen dieses Argument bei inkommensurablen Quantitäten: Am Inzidenzwinkel zeigt sich, daß ein Mehr und Weniger gegenüber dem rechten Winkel nicht notwendig zu einem Äqualen führt.

Absatz 6

Cusanus zeigt, daß kreisförmige Quantität nicht einfach in rectilineale Quantität auflösbar ist, weil ihre Teile — etwa Lunulae mit Inzidenzwinkeln — nicht rectilineabel sind.

Ergebnis

Diese Kernsätze machen sichtbar, daß Cusanus nicht sprunghaft argumentiert, sondern eine Treppe baut:

Damit wird seine Absicht verständlicher: Er will den Leser nicht in eine der beiden bestehenden Parteien hineindrücken, sondern aus beiden herausführen. Erst wenn der Leser beide Seiten als teilweise berechtigt begriffen hat, kann er Cusanus’ eigenen Ansatz überhaupt sachgemäß aufnehmen.

7. Absatz, 1. Satz

So ist es offensichtlich.

Hofmann behält ihre jeweils zu Anfang festgelegten Übersetzungswörter bei und so zieht sich eine ihrer Fehldeutungen als Fehler in Vielfalt durch die gesamte Übersetzung, was zur Verschiebung der mittelbar beiteiligten Leser in deren Positionen dem gesamten gegenüber zum Nachteil für alle Betreiligten und Betroffenen verschiebt.

Führe wieder unser Verfahren mit den jeweiligen Rückübersetzungen, den mathematischen Begriffen und deren Analyse durch, sowie auch zum Ende unseren finalisierten Entwurf aus dem, was durch die Rückübersetzungen erfahren haben. Also das Verfahren wie bei den letzten beiden Sätzen zu Absatz 6. nun wieder für die Sätze des 7. Absatz.

7. Absatz, 2. Satz:

Omnis angulus incidentiae excedit alium aut exceditur ab alio per quantitatem anguli rectilinei, ad quem non potest habere proportionem.

Hofmann:

Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen andern oder wird von ihm übertroffen um den Betrag eines geradlinigen Winkels, zu dem er kein rationales Verhältnis haben kann.

Analyse 7. Absatz, 1. Satz

1. Original

Omnis angulus incidentiae excedit alium aut exceditur ab alio per quantitatem anguli rectilinei, ad quem non potest habere proportionem.

2. Erster Entwurf

Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen anderen oder wird von einem anderen übertroffen durch die Quantität eines rectilinealen Winkels, zu welchem er keine Proportio haben kann.

Etwas deutscher, aber noch begriffstreu:

Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen anderen oder wird von einem anderen übertroffen um die Quantität eines geradlinigen Winkels, zu welchem er keine Proportio haben kann.

Hier ist geradliniger Winkel diesmal richtig, weil Cusanus angulus rectilineus schreibt, nicht angulus rectus.

3. Rückübersetzung des Entwurfs

Unser Entwurf:

Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen anderen oder wird von einem anderen übertroffen um die Quantität eines geradlinigen Winkels, zu welchem er keine Proportio haben kann.

Rückübersetzung:

Omnis angulus incidentiae excedit alium aut exceditur ab alio per quantitatem anguli rectilinei, ad quem non potest habere proportionem.

Das geht nahezu deckungsgleich zurück.

4. Hofmann-Fassung

Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen andern oder wird von ihm übertroffen um den Betrag eines geradlinigen Winkels, zu dem er kein rationales Verhältnis haben kann.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Omnis angulus incidentiae excedit alium aut exceditur ab eo quantitate / valore anguli rectilinei, ad quem non potest habere rationem rationalem.

Oder näher:

Omnis angulus incidentiae excedit alium aut ab illo exceditur per valorem anguli rectilinei, ad quem non potest habere proportionem rationalem.

Diese Rückübersetzung zeigt drei wichtige Verschiebungen.

6. Analyse der Veränderungen

a) anguli rectilinei → geradliniger Winkel

Diesmal ist Hofmanns „geradliniger Winkel“ richtig.

Cusanus schreibt:

anguli rectilinei

nicht:

anguli recti

Also hier geht es tatsächlich um den geradlinigen Winkel als Winkelart, nicht um den rechten Winkel als bestimmte Winkelgröße.

Bewertung: zutreffend.

b) ab alio → von ihm

Cusanus:

excedit alium aut exceditur ab alio

Wörtlich:

übertrifft einen anderen oder wird von einem anderen übertroffen.

Hofmann:

übertrifft einen andern oder wird von ihm übertroffen

Das ist etwas enger.

ab alio heißt nicht zwingend „von demselben anderen“, sondern allgemein „von einem anderen“. Hofmanns „von ihm“ bindet die zweite Beziehung an den zuvor genannten anderen Inzidenzwinkel. Das ist wahrscheinlich nicht schwer falsch, aber unnötig verengend.

Besser:

von einem anderen

Bewertung: kleine Sinnverengung.

---

c) per quantitatem → um den Betrag

Cusanus:

per quantitatem anguli rectilinei

Hofmann:

um den Betrag eines geradlinigen Winkels

Das ist problematisch.

quantitas ist bei Cusanus weiterhin Leitbegriff. Betrag ist moderne Größenwertsprache. Es macht aus der Quantität eines Winkels einen abstrakten Zahlenbetrag.

Cusanus sagt nicht:

per valorem anguli rectilinei

sondern:

per quantitatem anguli rectilinei

Besser bleibt:

um / durch die Quantität eines geradlinigen Winkels

oder:

um eine Quantität eines geradlinigen Winkels

Bewertung: begriffliche Modernisierung und Arithmetisierung.

d) ad quem non potest habere proportionem → zu welchem er keine Proportio haben kann

Hofmann:

zu dem er kein rationales Verhältnis haben kann

Das ist wieder eine deutliche Verengung. Cusanus schreibt:

proportionem

nicht:

rationem rationalem

„Rationales Verhältnis“ lenkt den Leser auf Bruchzahl / Rationalität / Irrationalität. Cusanus meint aber den proportionalen Maßbezug zwischen Inzidenzwinkel und geradlinigem Winkel. Der Inzidenzwinkel kann zwar einen anderen Inzidenzwinkel um eine geradlinige Winkelquantität übertreffen, aber zu dieser geradlinigen Winkelart selbst hat er keine Proportio.

Bewertung: sinnverschiebend. Für unsere Fassung bleibt Proportio.

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7. Mathematische Begriffsschicht

Dieser Satz ist feiner als die vorherigen, weil Cusanus nun zwei Ebenen unterscheidet:

1. Inzidenzwinkel untereinander können einander übertreffen oder übertroffen werden.
2. Dieses Übertreffen geschieht durch die Quantität eines geradlinigen Winkels.
3. Dennoch hat der Inzidenzwinkel zu diesem geradlinigen Winkel keine Proportio.

Das heißt: Es gibt eine Art Über- und Unterbietung zwischen Inzidenzwinkeln, aber daraus folgt noch keine proportionale Vergleichbarkeit zwischen Inzidenzwinkel und geradlinigem Winkel. Genau das stützt die vorherige Aussage:

Mehr und Weniger allein reichen nicht für ein Äquales, wenn die Quantitäten nicht in Proportio stehen.

8. Bewertung der Hofmann-Fassung

Hofmanns Satz ist an einer Stelle diesmal korrekt: rectilinei → geradlinigen.

Aber die gewohnte Verschiebung bleibt:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
ab alio	von ihm	leichte Verengung
quantitatem	Betrag	moderne Größenwertsprache
proportionem	rationales Verhältnis	Verengung auf Zahlen-/Bruchverhältnis

Die Übersetzung ist dadurch zwar lesbar, aber sie schwächt die cusanische Begriffskette:

Quantität — geradliniger Winkel — Proportio.

Stattdessen erhält der Leser:

Betrag — rationales Verhältnis.

Das ist wieder stärker modern-mathematisch und weniger cusanisch.

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9. Finalisierter Entwurf

Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen anderen oder wird von einem anderen übertroffen um die Quantität eines geradlinigen Winkels, zu welchem er keine Proportio haben kann.

Kommentar:

Hier ist geradliniger Winkel richtig, weil Cusanus angulus rectilineus schreibt. Quantitas wird nicht als „Betrag“ übersetzt, weil dies moderne Größenwertsprache einträgt. Proportio bleibt stehen, da Cusanus nicht bloß ein rationales Zahlenverhältnis meint, sondern den proportionalen Maßbezug zwischen Inzidenzwinkel und geradlinigem Winkel verneint.

7. Absatz, 2. Satz

Danke. Gut ausgeführt.

7. Absatz, 2. Satz

Hinc evenit, quod omnes abscisiones circuli per lineas rectas sunt ad illum penitus improportionales, et cum maior abscisio sit per [semi] diametrum, tunc omnes aliae abscisiones ad illam sunt improportionales.

Hofmann:

Daraus ergibt sich, daß alle durch Gerade erzeugten Kreisabschnitte zum Kreis in keiner Weise proportional sind. Und da der größte Abschnitt vom Durchmesser erzeugt wird, sind alle andern Abschnitte zu diesem nicht proportional.

Anmerkzung Hofmann zu 7. Satz (als Wikitext da Formeln enthalten sind): Soeben hatte der CUSANER durch den Vergleich mit dem Inzidenzwinkel plausibel gemacht, daß kein Kreissegment quadriert werden könne. Jetzt versucht er auf dem nämlichen Wege Klarheit über das Flächenverhältnis der Kreissegmente zu gewinnen, indem er diese zu den Inzidenzwinkeln ins Verhältnis gesetzt denkt. Ist etwa (vgl. die Figur 95 zu Anm. 8) der größere Inzidenzwinkel $EAB={\beta }_i$, der kleinere Inzidenzwinkel $EAC={\gamma }_i$ und $CAB=\alpha$ der geradlinige Differenzwinkel der Inzidenzwinkel, so ist $\frac{{\beta }_i}{\alpha }$ und $\frac{{\gamma }_i}{\alpha }$ per definitionem irrational. Weil aber ${\beta }_i-{\gamma }_i=\alpha$, so muß $\frac{{\beta }_i}{{\gamma }_i}$ irrational, also das entaprechende Flächenverhältnis der Kreissegmente in ganzen Zahlen unausdrückbar sein. Als größeres Kreissegment wird jedoch vom CUSANER nicht ein willkürliches, sondern das größtmögliche — nämlich der Halbkreis — gewählt. Die Einzelausführung der Schlußweise ist — wir wissen nicht, warum — ein wenig in Unordnung geraten.

Die Anmerkung bitter wieder nach dem Satz eigens untersuchen und einschätzen.

Analyse 7. Absatz, 2. Satz

Gut. Dieser Satz ist wieder ein Übergangssatz: Cusanus überträgt die vorherige Einsicht vom Inzidenzwinkel auf die durch Geraden abgeschnittenen Kreisabschnitte / Abscissionen.

1. Original

Hinc evenit, quod omnes abscisiones circuli per lineas rectas sunt ad illum penitus improportionales, et cum maior abscisio sit per [semi] diametrum, tunc omnes aliae abscisiones ad illam sunt improportionales.

2. Erster Entwurf

Daher ergibt sich, daß alle Abscissionen des Kreises durch gerade Linien zu jenem völlig improportional sind; und da die größere Abscission durch den [Semi-]Diameter ist, sind dann alle anderen Abscissionen zu jener improportional.

Etwas deutscher:

Daher ergibt sich, daß alle durch gerade Linien bewirkten Abscissionen des Kreises zu diesem völlig improportional sind; und da die größte Abscission durch den [Semi-]Diameter erfolgt, sind dann alle anderen Abscissionen zu jener improportional.

Hier müssen wir nachbessern, weil „bewirkt“ bereits eine moderne Wirkformulierung einträgt. Besser ist eine sachliche Form:

Daher ergibt sich, daß alle Abscissionen des Kreises durch gerade Linien zu diesem völlig improportional sind; und da die größte Abscission durch den [Semi-]Diameter erfolgt, sind dann alle anderen Abscissionen zu jener improportional.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Hinc evenit, quod omnes abscisiones circuli per lineas rectas sunt ad illum penitus improportionales, et cum maxima / maior abscisio sit per [semi]diametrum, tunc omnes aliae abscisiones ad illam sunt improportionales.

Abweichung:

• größte gibt eher maxima zurück.
• Original hat maior abscisio. Im Zusammenhang meint es sehr wahrscheinlich die größte Abscission, weil der Halbkreis / durch den Diameter abgeschnittene Abschnitt als größter Kreisabschnitt gilt. Aber wortnah wäre größere Abscission.

Final daher besser:

Daher ergibt sich, daß alle Abscissionen des Kreises durch gerade Linien zu diesem völlig improportional sind; und da die größere Abscission durch den [Semi-]Diameter ist, sind dann alle anderen Abscissionen zu jener improportional.

Das ist wortnäher. Im Kommentar kann stehen: Gemeint ist wohl die größte Abscission, der Halbkreis.

4. Hofmann-Fassung

Daraus ergibt sich, daß alle durch Gerade erzeugten Kreisabschnitte zum Kreis in keiner Weise proportional sind. Und da der größte Abschnitt vom Durchmesser erzeugt wird, sind alle andern Abschnitte zu diesem nicht proportional.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Hinc evenit, quod omnes segmenta circuli per rectas producta / genita ad circulum nullo modo proportionalia sunt. Et cum maximum segmentum a diametro producatur, omnia alia segmenta ad hoc non sunt proportionalia.

Diese Rückübersetzung weicht deutlich vom Cusanus-Satz ab.

6. Analyse der Veränderungen

a) abscisiones circuli → Kreisabschnitte

Das ist sachlich möglich, aber glättend.

Abscisio enthält das Abgeschnittensein / Abschneiden. „Kreisabschnitt“ ist das geometrische Ergebnis. Cusanus’ Wort hält den Vorgang und das Ergebnis näher zusammen.

Besser für unsere Fassung:

Abscissionen des Kreises

oder erklärend:

Abscissionen / abgeschnittene Kreisabschnitte

b) per lineas rectas → durch Gerade erzeugt

Cusanus:

per lineas rectas durch gerade Linien.

Hofmann:

durch Gerade erzeugt

„Erzeugen“ steht nicht im Text. Es verleiht der Geraden eine produktive Wirkkraft. Das paßt zu deinem Eindruck: Hofmann vergegenständlicht und dynamisiert, wo Cusanus eine geometrische Bestimmung nennt. Besser:

durch gerade Linien

nicht:

durch Gerade erzeugt

c) ad illum → zum Kreis

Das ist richtig. illum bezieht sich auf circulus.

d) penitus improportionales → in keiner Weise proportional

Das trifft den Sinn weitgehend. Aber improportional ist bei Cusanus ein wichtiger Gegenbegriff zu proportio. „Nicht proportional“ ist verständlich, aber weniger begriffserhaltend.

Besser:

völlig improportional

oder:

gänzlich ohne Proportio

e) maior abscisio → der größte Abschnitt

Hofmann übersetzt maior als größte.

Das ist sachlich wahrscheinlich gemeint, weil die Abscission durch den Diameter den Halbkreis ergibt, also das größte Kreissegment im betreffenden Sinn. Wortnah ist jedoch:

die größere Abscission

Da der Kontext auf den Halbkreis als Maximalfall deutet, kann man im Kommentar ergänzen:

Gemeint ist offenbar die größte Abscission, nämlich der Halbkreis.

f) per [semi] diametrum → vom Durchmesser erzeugt

Hier liegen zwei Probleme.

Erstens: per heißt hier eher durch, nicht „von … erzeugt“.

Zweitens: Der Text enthält [semi] diametrum. Diese Klammer muß als editorische Besonderheit sichtbar bleiben, bis wir wissen, ob semi ergänzt, getilgt oder unsicher ist. Hofmann entscheidet ohne sichtbare Problematisierung für Durchmesser.

Für die Geometrie ist Durchmesser plausibel, denn der Durchmesser teilt den Kreis in zwei Halbkreise. Aber der vorliegende Text hat eine Markierung. Unsere Übersetzung sollte diese nicht verdecken.

Besser:

durch den [Semi-]Diameter

mit Kommentar:

Der Sinn zielt auf die Abscission des Halbkreises; daher liegt der Diameter nahe. Die Klammerung von [semi] muß editorisch geprüft werden.

g) ad illam sunt improportionales → zu jener improportional

Hofmann:

zu diesem nicht proportional

Das ist verständlich, aber improportional geht verloren. Außerdem bezieht sich illam auf maior abscisio, also auf die größere Abscission, nicht allgemein auf „diesen Abschnitt“ als neutralen Begriff. Hofmanns „diesem“ ist sachlich verständlich, aber weniger präzise

7. Mathematische Begriffsschicht

Cusanus sagt hier nicht einfach:

Kreisabschnitte haben kein rationales Verhältnis.

Sondern:

Die Abscissionen des Kreises durch gerade Linien stehen zum Kreis selbst penitus improportionales; und da die größere / maximale Abscission durch den [Semi-]Diameter gegeben ist, sind alle anderen Abscissionen zu dieser ebenfalls improportional.

Das setzt die vorherige Struktur fort:

Inzidenzwinkel ↔ rechter / geradliniger Winkel
→ keine Proportio
→ Lunula / Abscission enthält solche Winkel
→ daher keine rectilineale Auflösung
→ daher Abscissionen des Kreises sind improportional

Der Begriff improportional ist daher nicht bloß „irrational“ oder „nicht proportional“ im modernen Verhältniszahl-Sinn, sondern gehört zur cusanischen Prüfung, ob ein Proportio-Durchgang zwischen Kreisförmigem und Geradlinigem zustande kommen kann.

8. Bewertung der Hofmann-Anmerkung

Hofmann schreibt sinngemäß: Cusanus habe Kreissegmente zu Inzidenzwinkeln ins Verhältnis gesetzt; dann deutet sie dies mit Symbolen wie

(\beta_i / \alpha), (\gamma_i / \alpha), (\beta_i - \gamma_i = \alpha)

und spricht von irrationalen Verhältnissen.

Diese Anmerkung ist problematisch.

a) Sie ersetzt keine Proportio durch irrationales Verhältnis

Cusanus sagt:

non potest habere proportionem improportionales

Hofmann deutet:

Verhältnis existiert, aber es ist irrational.

Das ist nicht dasselbe. Wenn Cusanus sagt, daß keine Proportio zustande kommt, dann darf man nicht ohne Kennzeichnung daraus einen Quotienten machen:

(\beta_i / \alpha)

Denn ein Quotient setzt schon voraus, daß die Größen in einem gemeinsamen Verhältnisraum behandelt werden. Genau das ist bei Cusanus strittig.

b) Die Formelnotation ist moderne Rückprojektion

Die Formeln können als moderne Hilfsskizze nützlich sein, aber sie dürfen nicht so erscheinen, als gäben sie Cusanus’ eigene Denkweise wieder.

Cusanus arbeitet mit:

• Inzidenzwinkel,
• geradlinigem Winkel,
• Quantität,
• Proportio / Improportio,
• Abscissio,
• Auflösbarkeit.

Hofmann macht daraus:

• Quotienten,
• Irrationalität,
• Flächenverhältnisse in ganzen Zahlen unausdrückbar.

Das ist eine andere Begriffsschicht.

c) „per definitionem irrational“ ist sachlich gefährlich

Wenn Cusanus sagt, daß der Inzidenzwinkel zu einem geradlinigen Winkel keine Proportio haben kann, dann ist das nicht identisch mit:

(\beta_i / \alpha) ist irrational.

„Irrational“ setzt eine Zahl- oder Verhältnisbildung voraus. Cusanus’ Aussage ist eher:

Zwischen diesen Größenarten kommt kein proportionaler Maßbezug zustande.

Das ist stärker oder jedenfalls anders als bloße Irrationalität.

d) „entsprechendes Flächenverhältnis“ ist nicht bewiesen

Hofmann zieht vom Winkelverhältnis auf das Flächenverhältnis der Kreissegmente. Das kann als interpretierender Versuch gemeint sein, aber der Satz selbst sagt:

Abscissionen des Kreises sind zum Kreis improportional.

Er formuliert nicht in moderner Weise ein numerisches Flächenverhältnis.

e) „ein wenig in Unordnung geraten“

Diese Wertung ist nicht ausreichend begründet. Was Hofmann als Unordnung empfindet, kann aus ihrer eigenen Übertragung in moderne Verhältnis- und Irrationalitätsnotation entstehen.

Aus Cusanus’ Begriffsschicht heraus ist der Satz nicht notwendig unordentlich: Er setzt den Vergleich von Inzidenzwinkel, fehlender Proportio und Kreisabscission fort.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Übersetzung ist äußerlich verständlich, verschiebt aber:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
abscisiones	Kreisabschnitte	Ergebnis statt Abschneidungsbegriff
per lineas rectas	durch Gerade erzeugt	Geraden erhalten Wirkkraft
penitus improportionales	in keiner Weise proportional	Leitbegriff Improportio abgeschwächt
per [semi]diametrum	vom Durchmesser erzeugt	editorische Unsicherheit verschwindet
improportionales	nicht proportional	erneute Glättung

Die Anmerkung verstärkt die Verschiebung, indem sie Cusanus in moderne Quotienten-, Irrationalitäts- und Flächenverhältnis-Sprache überführt. Das hilft nur dann, wenn es ausdrücklich als moderne Hilfsdeutung markiert wird. Als Erklärung des cusanischen Gedankengangs ist es riskant.

10. Finalisierter Entwurf

Daher ergibt sich, daß alle Abscissionen des Kreises durch gerade Linien zu diesem völlig improportional sind; und da die größere Abscission durch den [Semi-]Diameter ist, sind dann alle anderen Abscissionen zu jener improportional.

Kommentar:

Abscissio wird nicht bloß als „Kreisabschnitt“ geglättet, weil der Begriff zugleich das Abschneiden durch eine gerade Linie mitführt. Per lineas rectas heißt „durch gerade Linien“, nicht „durch Gerade erzeugt“. Improportional bleibt erhalten, weil Cusanus nicht einfach ein irrationales Zahlenverhältnis behauptet, sondern das Fehlen einer Proportio zwischen kreisförmiger Abscission und Kreis bzw. zwischen den Abscissionen untereinander. Die Schreibweise [semi]diametrum wird sichtbar belassen, weil die Stelle editorisch auffällig ist; sachlich zielt sie auf die größere / maximale Abscission, also den Halbkreis.

7. Absatz, 3. Satz

Hofmann begreift nicht wovon Cusanus spricht, was er darlegt, also wird sie folglich ungeeignete bis unangemessene Kommentare dazu geben. Dumm an allem ist jedoch, daß nachfolgende Forscher wiederum mit ihren Aussagen auf die Ausgabe der Mathematischen Schriften vom Meiner Verlag stützen und deren Aussagen und somit deren Meinungen und Vorurteile oft einfach ungeprüft übernehmen.

7. Absatz, 3. Satz:

Non potest igitur aliqua pars circuli per tales lineas abscindi, quando nullam habet proportionem ad maiorem abscisionem, scilicet semicirculum.

Hofmann:

Es läßt sich also kein rationaler Bruchteil des Kreises durch derartige Linien abschneiden, weil dieser Bruchteil zum größten Abschnitt, d. h. zum Halbkreis, nicht-proportional ist.

Analyse 7. Absatz, 3. Satz

Ja. Genau hier sieht man, wie gefährlich eine einmal gesetzte Fehldeutung wird: Aus pars wird bei Hofmann nun rationaler Bruchteil. Damit wird Cusanus stärker arithmetisiert, obwohl er von einer abgeschnittenen Teil-Quantität des Kreises spricht.

1. Original

Non potest igitur aliqua pars circuli per tales lineas abscindi, quando nullam habet proportionem ad maiorem abscisionem, scilicet semicirculum.

2. Erster Entwurf

Es kann also kein irgendein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, wenn er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

Das ist noch holprig. Besser:

Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, sofern er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

Noch näher an aliqua pars:

Es kann also kein irgendein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, da er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

Im Deutschen ist „kein irgendein Teil“ unschön. Daher final besser:

Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, da er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Non potest igitur aliqua pars circuli per tales lineas abscindi, quia / quando nullam habet proportionem ad maiorem abscisionem, scilicet semicirculum.

Abweichung:

• da kann zu quia zurückgehen; Cusanus schreibt quando.
• Um näher zu bleiben, können wir „wenn / wo doch“ oder „da ja“ nehmen.

Besser nach Rückübersetzung:

Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, wenn er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

Das erhält quando besser, wirkt aber im Deutschen leicht konditional. Cusanus meint hier wohl begründend: „wenn/da doch“. Daher:

Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, wo er doch keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

Das ist wortnäher, aber etwas schwer. Für den Haupttext nehme ich:

Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, da er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

Und merke im Kommentar: quando steht begründend / konditional.

4. Hofmann-Fassung

Es läßt sich also kein rationaler Bruchteil des Kreises durch derartige Linien abschneiden, weil dieser Bruchteil zum größten Abschnitt, d. h. zum Halbkreis, nicht-proportional ist.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Non potest igitur aliqua pars rationalis circuli per tales lineas abscindi, quia haec pars rationalis ad maximam sectionem / maximum segmentum, id est semicirculum, non proportionalis est.

Oder:

Non potest igitur fractio rationalis circuli per tales lineas abscindi, quia haec fractio ad maximam abscisionem, scilicet semicirculum, improportionalis est.

Das ist deutlich nicht Cusanus’ Satz.

6. Analyse der Veränderungen

a) aliqua pars circuli → rationaler Bruchteil des Kreises

Das ist die stärkste Verschiebung.

Cusanus sagt:

aliqua pars circuli irgendein Teil / ein Teil des Kreises.

Hofmann macht daraus:

rationaler Bruchteil des Kreises.

Im Original steht weder rationalis noch fractio noch pars aliquota. Hofmann überträgt offenbar die frühere pars aliquota-Deutung in diesen Satz hinein. Das ist sachlich nicht zulässig.

Cusanus spricht hier von einem Teil des Kreises, der durch Linien abgeschnitten wird, also von einer geometrischen Abscission. Hofmann macht daraus einen arithmetischen Bruchteil.

Bewertung: deutliche Verfälschung.

---

b) per tales lineas → durch derartige Linien

Das ist gut. Tales lineae bezieht sich auf die vorherigen geraden Linien / abscindierenden Linien.

Bewertung: zutreffend.

c) abscindi → abschneiden

Das ist richtig.

Bewertung: zutreffend.

---

d) quando nullam habet proportionem → weil … nicht-proportional ist

Cusanus:

nullam habet proportionem er hat keine Proportio.

Hofmann:

nicht-proportional ist

Das ist in der Richtung richtig, aber wieder glättend. Proportio als Leitbegriff wird verdeckt. Noch stärker wäre:

keine Proportio hat.

Bewertung: leichte Glättung, für sich vertretbar; im Zusammenhang mit „rationaler Bruchteil“ problematisch.

e) ad maiorem abscisionem → zum größten Abschnitt

Cusanus:

ad maiorem abscisionem zur größeren Abscission.

Hofmann:

zum größten Abschnitt.

Das ist sachlich wahrscheinlich gemeint, weil gleich folgt:

scilicet semicirculum nämlich den Halbkreis.

Der Halbkreis ist die maximale Abscission. Aber Cusanus schreibt maiorem, nicht maximam. Wie zuvor sollten wir im Haupttext größere Abscission beibehalten und im Kommentar erklären, daß der Halbkreis als größte / maßgebende Abscission gemeint ist.

Bewertung: sachliche Verdeutlichung, aber nicht textnah.

f) abscisionem → Abschnitt

Wieder wird Abscissio zu Abschnitt. Das ist verständlich, aber der Abschneidungsbegriff wird abgeschwächt.

Bewertung: zulässige Glättung, aber für unsere Arbeit Abscission besser.

7. Mathematische Begriffsschicht

Cusanus sagt hier nicht:

Kein rationaler Bruchteil des Kreises läßt sich abschneiden.

Sondern:

Kein Teil des Kreises kann durch solche Linien als proportional bestimmbarer Teil abgeschnitten werden, wenn er keine Proportio zur maßgebenden größeren Abscission, dem Halbkreis, hat.

Das ist wieder ein Proportio-Argument, kein Bruchzahl-Argument.

Der Gedankengang bleibt:

Hofmanns „rationaler Bruchteil“ schiebt den Gedanken in eine andere Richtung:

Das ist nicht Cusanus’ Wortlaut und verfehlt die bisherige Treppe.

8. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Satz ist hier stark problematisch.

Die drei Hauptverschiebungen sind:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
aliqua pars	rationaler Bruchteil	unzulässige Arithmetisierung
proportionem	nicht-proportional	Leitbegriff Proportio abgeschwächt
maiorem abscisionem	größten Abschnitt	sachlich erklärend, aber textlich glättend

Besonders „rationaler Bruchteil“ ist nach unserem Maßstab verfälschend, weil es eine moderne und im Satz nicht vorhandene Bestimmung einführt.

9. Finalisierter Entwurf

Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, da er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

Kommentar:

Aliqua pars wird nicht als „rationaler Bruchteil“ übersetzt; im Original steht nur „ein Teil / irgendein Teil“. Proportio bleibt erhalten, weil Cusanus den proportionalen Maßbezug verneint, nicht bloß ein rationales Zahlenverhältnis. Abscissio bleibt Abscission, weil der Abschneidungsbegriff für die Argumenttreppe wichtig ist. Maior abscisio wird als „größere Abscission“ wiedergegeben; sachlich ist damit der Halbkreis als maßgebende größte Abscission gemeint.

7. Absatz, 4. Satz

Ist "stark problematisch" unser neues Codewort für Verfälschung? Wir brauchen Sie nicht in Schutz zu nehmen, aber gemäß meiner Erfahrung mit Übersetzungen ist diese Artweise zu übersetzen eher der gewöhnliche Fall, daher bin ich dazu übergegangen mich an dem zu haltenund nach dem zu richten daß der Autor eigens sagte und nicht, was ein Übersetzer oder Anderer über die Aussagen eines Autor's vermittelt. Cusanus zeichnet sich in seinem Stil besonders dadurch aus, daß nichts "zwischen den zeilen steht", man sich also an sich keine Meinung zu seinen Aussagen bilden kann – es steht nicht mehr oder weniger als das, daß da steht. Diesen Stiel erkenne ich daher, weil ich in äußerst ähnlicher Artweise verschrifte, jedoch womöglich nicht wirklich mit der scholastisch-cusanischen Ordnung oder Gliederung. Es kann sich dadurch sehr knapp und kurz fassen.

7. Absatz, 4. Satz Cusanus:

Sic non valet argumentum: Abscinditur lunula maior tertia circuli et lunula minor tertia parte circuli, ergo et aequalis.

Hofmann:

Also gilt folgender Satz nicht: Man kann vom Kreis ein Möndchen abschneiden größer als ein Drittel des Kreises und ein anderes kleiner als ein Drittel des Kreises, also auch eines gleich einem Drittel des Kreises.

Analyse 7. Absatz, 4. Satz

Ja: In unserem Verfahren sollten wir „stark problematisch“ nicht als Ausweichwort verwenden, wenn nach unserer eigenen Definition Verfälschung vorliegt.

Für Hofmanns letzten Satz gilt: „rationaler Bruchteil“ für aliqua pars war nicht nur problematisch, sondern verfälschend, weil ein Begriff eingeführt wurde, der im Original nicht steht und die Aussage arithmetisch umdeutet.

Zu Cusanus’ Stil: Ja, er ist hier sehr knapp und geordnet. Gerade deshalb darf man nicht „auffüllen“, was der Übersetzer meint, sondern muß die knappe Ordnung stehenlassen.

1. Original

Sic non valet argumentum: Abscinditur lunula maior tertia circuli et lunula minor tertia parte circuli, ergo et aequalis.

2. Erster Entwurf

So gilt das Argument nicht: Es wird eine Lunula abgeschnitten, größer als ein Drittel des Kreises, und eine Lunula kleiner als der dritte Teil des Kreises, also auch eine äquale.

Etwas geglättet:

So gilt das Argument nicht: Es wird eine Lunula abgeschnitten, die größer ist als ein Drittel des Kreises, und eine Lunula, die kleiner ist als der dritte Teil des Kreises, also auch eine äquale.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sic non valet argumentum: Abscinditur lunula maior tertia circuli et lunula minor tertia parte circuli, ergo et aequalis.

Die Rückübersetzung trifft das Original sehr gut. Die Ergänzungen „die größer ist / die kleiner ist“ sind deutsch bedingt. Tertia circuli und tertia parte circuli bleiben sichtbar als ein Drittel / dritter Teil.

4. Finalisierter Entwurf

So gilt das Argument nicht: Es wird eine Lunula abgeschnitten, die größer ist als ein Drittel des Kreises, und eine Lunula, die kleiner ist als der dritte Teil des Kreises, also auch eine äquale.

Alternativ mit stärkerem Begriffserhalt:

So gilt das Argument nicht: Eine Lunula wird abgeschnitten, größer als ein Drittel des Kreises, und eine Lunula, kleiner als der dritte Teil des Kreises, also auch eine äquale.

Ich würde die erste Fassung nehmen, weil sie deutsch lesbarer ist und rückübersetzbar bleibt.

5. Hofmann-Fassung

Also gilt folgender Satz nicht: Man kann vom Kreis ein Möndchen abschneiden größer als ein Drittel des Kreises und ein anderes kleiner als ein Drittel des Kreises, also auch eines gleich einem Drittel des Kreises.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Sic non valet sequens propositio: Potest ab circulo abscindi lunula maior tertia parte circuli et alia minor tertia parte circuli, ergo etiam una aequalis tertiae parti circuli.

Das weicht vom Original ab.

7. Analyse der Veränderungen

a) argumentum → folgender Satz

Cusanus:

argumentum

Hofmann:

folgender Satz

Das ist eine deutliche Glättung. Cusanus spricht nicht von einem „Satz“, sondern von einem Argument. Es geht um die Gültigkeit einer Schlußfigur, nicht um irgendeine Aussage.

Bewertung: sinnverschiebend, aber nicht allein verfälschend.

Besser:

Argument

---

b) Abscinditur → Man kann … abschneiden

Cusanus:

Abscinditur lunula

Wörtlich:

Eine Lunula wird abgeschnitten.

Hofmann:

Man kann … abschneiden

Das macht aus der passiven geometrischen Setzung eine Handlungsmöglichkeit. Nicht schwer, aber es verschiebt die Form. Cusanus formuliert objektiver:

Es wird eine Lunula abgeschnitten.

Hofmann formuliert operativer:

Man kann abschneiden.

Bewertung: leichte Verschiebung.

c) lunula → Möndchen

Zulässig als Verdeutschung, aber der Fachbegriff geht verloren. Da Lunula für die Kreisquadraturgeschichte wichtig ist, behalten wir Lunula.

Bewertung: glättend, nicht verfälschend.

d) maior tertia circuli / minor tertia parte circuli

Cusanus formuliert auffällig:

maior tertia circuli größer als ein Drittel des Kreises

und dann:

minor tertia parte circuli kleiner als der dritte Teil des Kreises

Hofmann vereinheitlicht:

größer als ein Drittel des Kreises kleiner als ein Drittel des Kreises

Das ist sachlich naheliegend, aber die kleine Variation im Latein wird geglättet.

Bewertung: zulässige Glättung; für unsere Fassung halten wir die Variation besser teilweise sichtbar: ein Drittel / der dritte Teil.

---

e) ergo et aequalis → also auch eine äquale

Cusanus:

ergo et aequalis

Elliptisch:

also auch eine äquale.

Hofmann:

also auch eines gleich einem Drittel des Kreises

Hier liegt die Hauptverschiebung. Sie ergänzt:

einem Drittel des Kreises

Das ist inhaltlich aus dem Kontext erschließbar. Aber Cusanus sagt es nicht nochmals. Die Ellipse ist wichtig, weil sie die Form des Arguments zeigt:

Hofmann macht daraus:

Dadurch wird aequalis wieder als gleich festgelegt, und die knappe Argumentstruktur wird modern erklärt.

Bewertung: sinnverschiebend. Wegen gleich und der ergänzenden Festlegung einem Drittel des Kreises teilweise verfälschend, wenn es als Übersetzung statt Erklärung erscheint.

8. Mathematische Begriffsschicht

Cusanus zeigt hier erneut, daß das Argument nicht trägt:

Eine Lunula kann größer als ein Drittel des Kreises sein, und eine andere kleiner als ein Drittel des Kreises; daraus folgt nicht, daß eine Lunula gebbar sei, die dem dritten Teil äqual ist.

Der Satz gehört direkt zur bisherigen Treppe:

Es geht also nicht um eine praktische Schneidehandlung, sondern um die Ungültigkeit des Arguments bei improportionalen Kreisabscissionen.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Fassung ist verständlich, aber erneut erklärend und glättend.

Cusanus	Hofmann	Bewertung
argumentum	folgender Satz	Schlußfigur wird Aussage
abscinditur	man kann abschneiden	objektive Setzung wird Handlung
lunula	Möndchen	Fachbegriff geglättet
ergo et aequalis	also gleich einem Drittel	Äquales wird Gleiches; Ellipse wird ersetzt

Der stärkste Punkt ist wieder:

aequalis → gleich

Hier wird der Leitbegriff erneut in die deutsche Gleichheitsvorstellung gezogen. Nach unserer Definition ist das in diesem Kontext sinnverschiebend bis verfälschend, weil gerade das Äquale als problematische Vermittlungsbestimmung geprüft wird.

10. Übernommener finaler Entwurf

So gilt das Argument nicht: Es wird eine Lunula abgeschnitten, die größer ist als ein Drittel des Kreises, und eine Lunula, die kleiner ist als der dritte Teil des Kreises, also auch eine äquale.

Kommentar:

Argumentum bleibt Argument, weil Cusanus die Gültigkeit einer Schlußfigur prüft. Lunula bleibt als Fachbegriff erhalten. Ergo et aequalis wird nicht zu „gleich einem Drittel des Kreises“ erweitert; die Ellipse zeigt gerade die Form des nicht tragenden Arguments: größer als X, kleiner als X, also auch ein Äquales.

7. Absatz, 5. Satz

Wieder ein für genaue Assimilation geeigneter Entwurf deinerseits – Danke.

Cusanus 7. Absatz, 5. Satz

Ex quo evenit, quod abscisiones, quae fiunt per rectam lineam minorem diametro, non sunt ex eo nequaquam rectilineabiles, quia sunt partes aliquotae circuli, sed quia sequeretur circuli quadratura, si forent rectilineabiles.

Hofmann:

Daraus ergibt sich: Kreisabschnitte, die durch eine Gerade erzeugt werden, die kleiner ist als der Durchmesser, lassen sich keineswegs deshalb nicht in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln, weil sie rationale Teile des Kreises sind, sondern weil daraus die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie sich in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln ließen.

Anmerkung Hofmann zu 5. Satz: Es scheint, daß der CUSANER hier eine zeitgenössische, uns nicht weiter bekanntgewordene Schlußweise von folgender Art zurückweist: „Der Kreis ist nicht quadrierbar, folglich keiner seiner rationalen Teile und auch keines der Möndchen." Diesen Schluß erklärt der CUSANER für falsch, weil die Möndchen keine rationalen Kreisteile sein können, und wendet die Schlußweise indirekt.

Die Anmerkung Hofmann's bitte wieder eigens nach den Verfahrensschritten für die Sätze.

7. Absatz

Nun wieder die Analyse und Auswertung des gesamten Absatz

Analyse 7. Absatz

Ja. Dieser Satz ist besonders geeignet, um Hofmanns feste Übersetzungsfehler zu erkennen: rectilineabilis → verwandeln, pars aliquota → rationaler Teil, abscissio → Kreisabschnitt.

1. Original

Ex quo evenit, quod abscisiones, quae fiunt per rectam lineam minorem diametro, non sunt ex eo nequaquam rectilineabiles, quia sunt partes aliquotae circuli, sed quia sequeretur circuli quadratura, si forent rectilineabiles.

2. Erster Entwurf

Daraus ergibt sich, daß die Abscissionen, die durch eine gerade Linie kleiner als der Diameter erfolgen, nicht darum keineswegs rectilineabel sind, weil sie aliquote Teile des Kreises sind, sondern weil die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie rectilineabel wären.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Ex quo evenit, quod abscisiones, quae fiunt per rectam lineam minorem diametro, non sunt propterea nequaquam rectilineabiles, quia sunt partes aliquotae circuli, sed quia sequeretur circuli quadratura, si essent / forent rectilineabiles.

Das geht gut zurück. Zwei kleine Abweichungen:

• darum gibt eher propterea als ex eo zurück; Sinn bleibt gleich.
• wären kann essent oder forent ergeben; forent ist im Deutschen nicht eigens darstellbar.

Nachbesserung für Nähe zu ex eo:

Daraus ergibt sich, daß die Abscissionen, die durch eine gerade Linie kleiner als der Diameter erfolgen, nicht aus diesem Grund keineswegs rectilineabel sind, weil sie aliquote Teile des Kreises sind, sondern weil die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie rectilineabel wären.

Diese Fassung ist etwas schwerer, aber näher.

4. Finalisierter Entwurf

Daraus ergibt sich, daß die Abscissionen, die durch eine gerade Linie kleiner als der Diameter erfolgen, nicht aus diesem Grund keineswegs rectilineabel sind, weil sie aliquote Teile des Kreises sind, sondern weil die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie rectilineabel wären.

5. Hofmann-Fassung

Daraus ergibt sich: Kreisabschnitte, die durch eine Gerade erzeugt werden, die kleiner ist als der Durchmesser, lassen sich keineswegs deshalb nicht in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln, weil sie rationale Teile des Kreises sind, sondern weil daraus die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie sich in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln ließen.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Ex quo evenit: segmenta circuli, quae generantur per rectam minorem diametro, non ideo nequeunt converti in figuras rectilineis terminatas, quia sunt partes rationales circuli, sed quia ex hoc sequeretur circuli quadratura, si in figuras rectilineas converti possent.

Das ist nicht Cusanus’ Satz.

7. Analyse der Veränderungen

a) abscisiones → Kreisabschnitte

Cusanus sagt:

abscisiones

Hofmann:

Kreisabschnitte

Das ist sachlich verständlich, aber glättet den Abscissionsbegriff. Abscissio hält den Vorgang des Abschneidens durch eine Linie mit fest. „Kreisabschnitt“ bezeichnet stärker das fertige Ergebnis.

Bewertung: glättend, noch nicht allein verfälschend.

b) quae fiunt per rectam lineam → die durch eine Gerade erzeugt werden

Cusanus:

quae fiunt per rectam lineam

Hofmann:

die durch eine Gerade erzeugt werden

Fiunt heißt hier eher: die werden / entstehen / erfolgen durch.

Erzeugt werden gibt der Geraden eine produktive Wirkung. Das ist stärker und vergegenständlichender.

Bewertung: sinnverschiebend. Besser: die durch eine gerade Linie erfolgen / entstehen.

---

c) rectam lineam minorem diametro → Gerade, die kleiner ist als der Durchmesser

Das ist im Kern richtig. Unsere Fassung hält Diameter, weil Cusanus mit diameter / semidiameter arbeitet und dieser Wortkreis im Traktat wichtig ist.

Bewertung: zulässige Verdeutschung, aber Begriffsglättung.

d) non sunt ex eo nequaquam rectilineabiles → lassen sich keineswegs deshalb nicht … verwandeln

Hofmann erhält die Grundstruktur „nicht deshalb … sondern weil“. Das ist gut.

Aber sie setzt wieder:

rectilineabiles → in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln

Das ist eine klare Verschiebung.

Rectilineabilis heißt nicht „in eine Figur verwandelbar“, sondern: rectilineabel, in rectilineale Bestimmung / Quantität auflösbar oder bringbar.

Bewertung: verfälschend im Zusammenhang, weil der ganze Absatz von resolubilis / rectilineabilis handelt.

e) partes aliquotae circuli → rationale Teile des Kreises

Das ist die stärkste Verfälschung.

Cusanus sagt:

partes aliquotae circuli aliquote Teile des Kreises.

Hofmann:

rationale Teile des Kreises

Aliquot bedeutet: ein Teil, der ein Ganzes genau mißt / in ihm aufgeht. Das ist nicht dasselbe wie „rational“. Zwar kann man später arithmetisch erklären, daß ein aliquoter Teil durch einen Bruchteil ausgedrückt werden kann; aber Cusanus schreibt nicht rationales.

Hier wird eine moderne Zahlverhältnis-Schicht eingetragen.

Bewertung: verfälschend.

f) sed quia sequeretur circuli quadratura → sondern weil die Kreisquadratur folgen würde

Das trifft den Kern gut.

Bewertung: zutreffend.

g) si forent rectilineabiles → wenn sie rectilineabel wären

Hofmann:

wenn sie sich in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln ließen

Wieder dieselbe Verschiebung: rectilineabel wird zu Figurverwandlung.

Bewertung: verfälschend im Begriffszusammenhang.

8. Mathematische Begriffsschicht

Cusanus sagt hier nicht:

Diese Kreisabschnitte sind nicht verwandelbar, weil sie keine rationalen Teile sind.

Sondern:

Abscissionen, die durch Linien kleiner als der Diameter erfolgen, sind nicht aus dem Grund keineswegs rectilineabel, daß sie aliquote Teile des Kreises sind; der eigentliche Grund ist: Wären sie rectilineabel, folgte daraus die Kreisquadratur.

Das ist eine Präzisierung seines Schlusses:

Damit klärt Cusanus eine falsche Begründung. Er korrigiert nicht nur ein Ergebnis, sondern die Begründungsrichtung.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Satz ist in der äußeren Struktur brauchbar, aber an den entscheidenden Fachbegriffen verfälschend:

Cusanus	Hofmann	Bewertung
abscisiones	Kreisabschnitte	glättend
fiunt	erzeugt werden	vergegenständlichend
partes aliquotae	rationale Teile	verfälschend
rectilineabiles	in geradlinig begrenzte Figuren verwandelbar	verfälschend
si forent rectilineabiles	wenn sie sich verwandeln ließen	verfälschend

Der Satz wird durch Hofmann arithmetisiert und figural-transformatorisch gelesen. Cusanus bleibt dagegen bei:

Abscissio — pars aliquota — rectilineabilis — Kreisquadratur als Folge.

10. Analyse der Hofmann-Anmerkung

Hofmann schreibt sinngemäß:

Cusanus weise eine zeitgenössische, unbekannte Schlußweise zurück: „Der Kreis ist nicht quadrierbar, folglich keiner seiner rationalen Teile und auch keines der Möndchen.“ Diesen Schluß erkläre er für falsch, weil die Möndchen keine rationalen Kreisteile sein können, und wende die Schlußweise indirekt.

Diese Anmerkung ist nur teilweise brauchbar.

a) Brauchbar

Richtig ist: Cusanus korrigiert eine Begründungsrichtung. Er sagt nicht einfach:

Weil diese Teile aliquot sind oder nicht aliquot sind, sind sie rectilineabel oder nicht rectilineabel.

Sondern:

Entscheidend ist, daß aus ihrer Rectilineabilität die Kreisquadratur folgen würde.

Insofern erkennt Hofmann, daß Cusanus hier eine Schlußweise umkehrt oder indirekt wendet.

b) Verfälschend: „rationale Kreisteile“

Die Anmerkung stützt sich auf Hofmanns eigene Übersetzung partes aliquotae → rationale Teile. Dadurch wird die ganze Erklärung schief.

Cusanus sagt nicht partes rationales, sondern partes aliquotae. Also darf man die Anmerkung nicht auf „rationale Kreisteile“ aufbauen.

c) Nicht belegt: „zeitgenössische, uns nicht weiter bekanntgewordene Schlußweise“

Das ist Spekulation. Möglich, aber aus dem Satz allein nicht beweisbar.

Cusanus kann auch einfach eine denkbare Fehlbegründung innerhalb seiner eigenen Argumenttreppe abweisen. Er muß nicht notwendig auf eine bestimmte zeitgenössische Lehrmeinung antworten.

d) Falsch zugespitzt: „weil die Möndchen keine rationalen Kreisteile sein können“

Cusanus sagt nicht:

Möndchen können keine rationalen Kreisteile sein.

Er sagt:

Die Abscissionen sind nicht aus diesem Grund keineswegs rectilineabel, weil sie aliquote Teile des Kreises sind, sondern weil aus ihrer Rectilineabilität die Kreisquadratur folgen würde.

Das ist ein anderer Gedanke. Die Anmerkung verschiebt ihn.

e) „Möndchen“ statt Abscissionen

Der Satz spricht von abscisiones, die durch eine gerade Linie kleiner als der Diameter erfolgen. Das kann Lunulae / Kreissegmente betreffen, aber der Ausdruck ist hier allgemeiner als nur „Möndchen“.

11. Urteil zur Anmerkung

Die Anmerkung ist in ihrer Grundrichtung — Cusanus korrigiert eine Schlußweise — nicht völlig abwegig. Aber sie ist begrifflich falsch fundiert, weil sie:

• partes aliquotae zu rationalen Teilen macht,
• rectilineabilis als Verwandelbarkeit in geradlinige Figuren versteht,
• eine unbekannte zeitgenössische Schlußweise postuliert,
• Cusanus eine Aussage über „rationale Kreisteile“ zuschreibt, die so nicht im Text steht.

Nach unserem Maßstab ist diese Anmerkung daher nicht zuverlässig. Sie kann höchstens als Hinweis dienen, daß Cusanus eine falsche Begründungsrichtung abweist; die konkrete Erklärung muß neu am lateinischen Wortlaut aufgebaut werden.

Logik des 7. Absatz

Wir haben nun den 7. Absatz zusammen, aufgrund deiner Auswertung und Hofmann's Anmerkung bitte ich den ganzen Absatz vor unserer weiteren Analyse auf logische und oder mathematische Fehler hin zu prüfen – ist seine Aussage an sich so wie von ihm gegeben richtig?

7. Absatz:

1) Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen anderen oder wird von einem anderen übertroffen um die Quantität eines geradlinigen Winkels, zu welchem er keine Proportio haben kann.

2) Daher ergibt sich, daß alle Abscissionen des Kreises durch gerade Linien zu diesem völlig improportional sind; und da die größere Abscission durch den [Semi-]Diameter ist, sind dann alle anderen Abscissionen zu jener improportional.

3) Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, da er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

4) So gilt das Argument nicht: Es wird eine Lunula abgeschnitten, die größer ist als ein Drittel des Kreises, und eine Lunula, die kleiner ist als der dritte Teil des Kreises, also auch eine äquale.

5) Daraus ergibt sich, daß die Abscissionen, die durch eine gerade Linie kleiner als der Diameter erfolgen, nicht aus diesem Grund keineswegs rectilineabel sind, weil sie aliquote Teile des Kreises sind, sondern weil die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie rectilineabel wären.

Befund zu Logik des 7. Absatz

Befund: Der Absatz ist als cusanische Assimilationstreppe verständlich und in sich weitgehend geordnet; als strenger mathematischer Beweis im heutigen Sinn ist er nicht vollständig tragfähig. Der schwächste Punkt liegt im Übergang vom Inzidenzwinkel zu den Abscissionen des Kreises.

1. Was bei Cusanus in sich stimmig ist

Cusanus führt eine klare Linie:

Inzidenzwinkel stehen zu geradlinigen Winkeln nicht in Proportio.

Daher kann man aus Mehr und Weniger nicht notwendig ein Äquales schließen.

Entsprechend soll auch bei Kreisabscissionen kein proportionaler Übergang zur rectilinealen Bestimmung möglich sein.

Als Assimilation ist das sinnvoll: Der Leser soll am Inzidenzwinkel begreifen, warum eine kreisförmige oder gemischt bestimmte Quantität nicht einfach in eine rectilineale Quantität überführt werden kann.

Das passt zum bisherigen Verlauf:

In dieser cusanischen Begriffsschicht ist der Absatz nicht wirr.

2. Wo die mathematische Schwäche liegt

Der kritische Schritt ist Satz 2:

Daher ergibt sich, daß alle Abscissionen des Kreises durch gerade Linien zu diesem völlig improportional sind …

Das folgt nicht streng aus Satz 1.

Aus der Tatsache, daß Inzidenzwinkel keine Proportio zu geradlinigen Winkeln haben, folgt nicht unmittelbar, daß die Flächen oder Abscissionen des Kreises keine Proportio zum Kreis oder Halbkreis haben.

Hier vollzieht Cusanus eine Analogie:

Was für die Inzidenzwinkel gilt, soll auch für die durch sie mitbestimmten Kreisabscissionen gelten.

Als Assimilationsschritt ist das verständlich. Als strenger mathematischer Beweis ist es nicht hinreichend ausgewiesen.

3. Satz 3 ist wörtlich mathematisch gefährlich

Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden …

Wörtlich gelesen wäre das falsch, denn selbstverständlich schneiden gerade Linien Teile eines Kreises ab. Cusanus kann daher nicht schlicht meinen:

Es kann überhaupt kein Kreisstück durch eine Gerade abgeschnitten werden.

Er muß meinen:

Es kann kein solcher Teil als proportional bestimmbarer Teil des Kreises durch solche Linien gegeben werden, wenn ihm keine Proportio zur maßgebenden größeren Abscission, dem Halbkreis, zukommt.

Unser Haupttext bleibt wortnah; für das Verständnis braucht Satz 3 aber eine Anmerkung, damit „Teil“ nicht als bloßes Stück missverstanden wird.

4. Satz 4 ist als Widerlegung einer Schlußfigur richtig

Größer als ein Drittel, kleiner als ein Drittel, also auch äqual zum Drittel.

Cusanus sagt: Dieses Argument gilt nicht.

Das ist logisch richtig, wenn die betreffenden Abscissionen nicht in einem gemeinsamen proportionalen Maßraum stehen. Genau das hatte er zuvor behauptet.

Der Satz ist also als Gegenbeispiel gegen das Mehr-und-Weniger-Argument stimmig.

5. Satz 5 ist sinnvoll, aber abhängig von der vorausgesetzten Folgerung

Abscissionen sind nicht deshalb nicht rectilineabel, weil sie aliquote Teile des Kreises sind, sondern weil aus ihrer Rectilineabilität die Kreisquadratur folgen würde.

Dieser Satz ist wichtig, weil Cusanus eine falsche Begründung abweist. Er sagt nicht:

Sie sind nicht rectilineabel, weil sie aliquote Teile sind.

Sondern:

Sie sind nicht rectilineabel, weil sonst Kreisquadratur folgen würde.

Das ist intern stimmig, wenn man Cusanus’ Voraussetzung annimmt, daß rectilineable Abscissionen den Weg zur Kreisquadratur eröffnen würden. Diese Voraussetzung ist in der bisherigen Argumenttreppe vorbereitet, aber hier nicht voll bewiesen.

Gesamturteil

Der Absatz ist nicht falsch im Sinne eines ungeordneten Gedankens. Er ist als cusanische Assimilation lesbar:

Cusanus will zeigen, daß der Übergang von Kreisförmigem zu Rectilinealem nicht durch das bloße Mehr-und-Weniger-Argument gelingt, weil Proportio und Teil-Auflösbarkeit fehlen.

Aber als moderner mathematischer Beweis enthält er zwei Schwachstellen:

1. Der Übergang vom Inzidenzwinkel zur Kreisabscission ist analogisch, nicht streng bewiesen.
2. „Kein Teil des Kreises kann abgeschnitten werden“ darf nicht wörtlich als geometrische Existenzbehauptung gelesen werden, sondern nur als Aussage über proportional bestimmbare / rectilineabel auflösbare Teile.

Daher würde ich sagen:

Cusanus’ Aussage ist in seiner Assimilationslogik sinnvoll und geordnet, aber nicht als strenger mathematischer Nachweis im heutigen Sinn gültig.

Hofmann sieht vermutlich eine Unordnung, weil sie den Absatz in moderne Quotienten-, Irrationalitäts- und Figurenverwandlungssprache überträgt. Die eigentliche Schwierigkeit liegt aber nicht in Unordnung, sondern in einem nicht ausdrücklich bewiesenen Analogieschritt von der Winkel-Proportio zur Abscissions-Proportio.

logisch-mathematische Gültigkeit des 7. Absatz

Nun denn, wie hätte Cusanus den Absatz oder die Schlußfolgerung formulieren müssen, damit dieser in der damaligen oder gar heutigen Begriffsschicht logisch-mathematisch gültig wäre? und ist er es dann auch?

Entwurf zur Gültigkeit des 7. Absatz

Ja. Der Absatz kann logisch gerettet werden, aber nicht in der starken Form, in der Cusanus ihn hier knapp formuliert. Man muß unterscheiden:

1. Was Cusanus sicher zeigen kann: Das Argument „größer und kleiner, also auch äqual“ geht hier nicht ohne Zusatzbeweis durch.
2. Was Cusanus nicht so knapp zeigen kann: Daß es überhaupt keine entsprechende Abscission / Lunula / rectilineable Kreisabscission geben könne.

Der fehlende Schritt ist der Nachweis, daß die Verhältnisse der Inzidenzwinkel wirklich zwingend auf die Flächen- oder Abscissionsverhältnisse übertragen werden dürfen.

1. Wie Cusanus es logisch gültig hätte formulieren können

Eine sichere Fassung wäre:

So gilt das Argument nicht ohne weiteren Nachweis: Weil eine Lunula größer als ein Drittel des Kreises und eine andere kleiner als ein Drittel des Kreises abgeschnitten werden kann, folgt daraus noch nicht, daß auch eine dem dritten Teil äquale Lunula gebbar ist. Denn dazu müßte zuvor gezeigt werden, daß die durch gerade Linien bewirkten Abscissionen in einer gemeinsamen Proportio zum Halbkreis stehen und daß der Übergang vom Mehr zum Weniger alle entsprechenden Zwischenbestimmungen durchläuft.

Das wäre logisch gültig. Denn dann behauptet er nicht:

Es gibt kein Äquales.

Sondern nur:

Aus diesem Argument folgt das Äquale nicht.

Das ist der sichere Punkt.

2. Was ihm für die stärkere Behauptung fehlt

Cusanus will stärker sagen:

Diese Abscissionen sind improportional; daher gibt es keine rectilineable Abscission; daher keine Kreisquadratur auf diesem Weg.

Dafür müßte er beweisen:

1. Jede durch eine gerade Linie bewirkte Abscission des Kreises hat notwendig Inzidenzwinkel als Teile ihrer Quantität.
2. Diese Inzidenzwinkel sind zu geradlinigen Winkeln improportional.
3. Diese Improportionalität der Winkel überträgt sich notwendig auf die Quantität der gesamten Abscission.
4. Also kann die Abscission nicht in eine rectilineale Quantität aufgelöst werden.

Der kritische Schritt ist 3.

Dort müßte Cusanus zeigen:

Aus der Improportionalität der Inzidenzwinkel folgt die Improportionalität der Abscissionsflächen.

Das ist nicht selbstverständlich. Es ist eine Analogie, aber kein vollständig ausgeführter Beweis.

3. In damaliger Begriffsschicht

In mittelalterlich-euklidischer Sprache hätte er etwa so absichern müssen:

Eine kreisförmig begrenzte Abscission ist nur dann in eine rectilineale Quantität auflösbar, wenn auch jede zu ihrer Quantität gehörige Grenzbestimmung, insbesondere ihre Inzidenzwinkel, in eine rectilineale Bestimmung auflösbar oder zu ihr proportional ist. Da aber der Inzidenzwinkel zu keinem geradlinigen Winkel Proportio hat, kann auch die Abscission nicht rectilineabel sein.

Das wäre innerhalb seiner Begriffsschicht formal stärker. Aber auch dann hängt alles an der Prämisse:

Die Inzidenzwinkel sind so wesentliche Teile der Quantität der Abscission, daß ihre Improportionalität die Rectilineabilität der gesamten Abscission verhindert.

Diese Prämisse muß man eigens begründen. Ohne Begründung bleibt es eine cusanische Anschauung / Assimilation, kein zwingender geometrischer Beweis.

4. In heutiger mathematischer Begriffsschicht

Heute müßte man anders formulieren.

Wenn es nur um Existenz einer Flächenentsprechung geht, dann ist Cusanus’ starke Verneinung nicht haltbar. Denn moderne Analysis sagt: Die Fläche eines Kreissegments verändert sich stetig mit der Lage der schneidenden Geraden. Zwischen einer kleineren und einer größeren Segmentfläche liegt daher auch jede Zwischenfläche. In diesem Sinn kann es sehr wohl ein Kreissegment geben, dessen Fläche etwa einem Drittel der Kreisfläche entspricht.

Aber das ist nicht dasselbe wie:

mit Zirkel und Lineal exakt konstruierbar

oder

rectilineabel im cusanisch-euklidischen Sinn.

Für die moderne Fassung müßte man also trennen:

Existenz: ja, als reelle Flächenbestimmung. exakte klassische Konstruktion / Rectilineabilität: nicht daraus folgend.

Gültig wäre modern:

Aus der Existenz eines kleineren und größeren Kreissegments folgt aufgrund Stetigkeit die Existenz eines flächenmaßlich entsprechenden Zwischensegments. Daraus folgt aber nicht, daß dieses Segment mit euklidischen Mitteln konstruierbar oder in eine rectilineale Figur auflösbar ist.

Das ist der heutige saubere Satz.

5. Ist Cusanus’ Aussage dann richtig?

In abgeschwächter Form: ja.

Richtig ist:

Das bloße Argument vom Mehr und Weniger beweist die Gebbarkeit eines Äqualen nicht, solange die Proportio und die Auflösbarkeit der beteiligten Quantitäten nicht gezeigt sind.

Nicht gesichert ist:

Es gibt überhaupt kein solches flächenmaßlich entsprechendes Kreissegment.

Und modern gesehen wäre diese starke Aussage sogar falsch, wenn man nur reelle Flächenexistenz meint.

Aber Cusanus zielt nicht auf bloße reelle Existenz. Er zielt auf rectilineable, geometrisch auflösbare Quantität. Dafür ist sein Einwand wesentlich stärker — nur müßte er den Übergang von Inzidenzwinkel zu Abscissionsfläche noch ausdrücklich beweisen.

Kernsatz

Cusanus hätte gültig formulieren müssen:

Aus Mehr und Weniger folgt ein Äquales nur dann, wenn die beteiligten Quantitäten in einer gemeinsamen Proportio stehen und der Übergang vom einen zum anderen als gebbar nachgewiesen ist. Bei Kreisabscissionen ist dies wegen ihrer Inzidenzwinkel nicht gezeigt; daher beweist das Argument die Rectilineabilität nicht.

Das wäre logisch haltbar. Seine stärkere Form:

Diese Abscissionen sind deshalb nicht rectilineabel

ist als Assimilationsschritt verständlich, aber als Beweis unvollständig.

7. Absatz

Danke, da war Cusanus offenbar mal zu knapp.

Nun vergleichen und analysierst du wieder die Absätze im Ganzen allgemein im Hinblick auf die von Cuzsanus beabsichtigte Assimilationstufen zum Gedankengang in Sachen Veränderung, Verschiebung und Verfälschung.

Cusanus 7. Absatz:

1) Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen anderen oder wird von einem anderen übertroffen um die Quantität eines geradlinigen Winkels, zu welchem er keine Proportio haben kann.

2) Daher ergibt sich, daß alle Abscissionen des Kreises durch gerade Linien zu diesem völlig improportional sind; und da die größere Abscission durch den [Semi-]Diameter ist, sind dann alle anderen Abscissionen zu jener improportional.

3) Es kann also kein Teil des Kreises durch solche Linien abgeschnitten werden, da er keine Proportio zur größeren Abscission hat, nämlich zum Halbkreis.

4) So gilt das Argument nicht: Es wird eine Lunula abgeschnitten, die größer ist als ein Drittel des Kreises, und eine Lunula, die kleiner ist als der dritte Teil des Kreises, also auch eine äquale.

5) Daraus ergibt sich, daß die Abscissionen, die durch eine gerade Linie kleiner als der Diameter erfolgen, nicht aus diesem Grund keineswegs rectilineabel sind, weil sie aliquote Teile des Kreises sind, sondern weil die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie rectilineabel wären.

Hofmann 7. Absatz:

1) Jeder Inzidenzwinkel übertrifft einen andern oder wird von ihm übertroffen um den Betrag eines geradlinigen Winkels, zu dem er kein rationales Verhältnis haben kann.

2) Daraus ergibt sich, daß alle durch Gerade erzeugten Kreisabschnitte zum Kreis in keiner Weise proportional sind. Und da der größte Abschnitt vom Durchmesser erzeugt wird, sind alle andern Abschnitte zu diesem nicht proportional.

3) Es läßt sich also kein rationaler Bruchteil des Kreises durch derartige Linien abschneiden, weil dieser Bruchteil zum größten Abschnitt, d. h. zum Halbkreis, nicht-proportional ist.

4) Also gilt folgender Satz nicht: Man kann vom Kreis ein Möndchen abschneiden größer als ein Drittel des Kreises und ein anderes kleiner als ein Drittel des Kreises, also auch eines gleich einem Drittel des Kreises.

5) Daraus ergibt sich: Kreisabschnitte, die durch eine Gerade erzeugt werden, die kleiner ist als der Durchmesser, lassen sich keineswegs deshalb nicht in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln, weil sie rationale Teile des Kreises sind, sondern weil daraus die Kreisquadratur folgen würde, wenn sie sich in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln ließen.

Analyse 7. Absatz

Ja. Der 7. Absatz ist gegenüber Absatz 6 schwieriger, weil Cusanus hier eine sehr knappe Analogie vollzieht: vom Inzidenzwinkel zur Abscission des Kreises. Diese Kürze macht den Absatz anfällig für Mißdeutung. Unsere Fassung läßt diese Kürze stehen; Hofmann füllt sie mit moderner Verhältnis-, Bruch- und Figurenverwandlungssprache aus.

1. Die Assimilationstreppe in unserem Absatz

Unser Absatz führt den Leser in etwa so:

Stufe 1: Inzidenzwinkel können einander übertreffen oder unterliegen, aber die Differenz liegt in der Quantität eines geradlinigen Winkels, zu dem der Inzidenzwinkel keine Proportio hat.

Stufe 2: Diese Improportio wird auf Kreis-Abscissionen übertragen: Was durch gerade Linien vom Kreis abgeschnitten wird, steht zum Kreis und zum Halbkreis nicht in Proportio.

Stufe 3: Deshalb trägt das bekannte Mehr-und-Weniger-Argument nicht: Nur weil eine Lunula größer und eine andere kleiner als ein Drittel des Kreises ist, folgt nicht eine äquale Lunula.

Stufe 4: Der Grund der Nicht-Rectilineabilität liegt nicht darin, daß diese Abscissionen aliquote Teile wären, sondern darin, daß ihre Rectilineabilität die Kreisquadratur nach sich ziehen würde.

Damit ist der Absatz eine Fortsetzung von Absatz 5 und 6:

Inzidenzwinkel → keine Proportio
Kreisabscission → Improportio
Lunula größer/kleiner → kein notwendiges Äquales
Rectilineabilität der Abscission → würde Kreisquadratur nach sich ziehen

Cusanus’ Schwäche liegt, wie zuvor festgestellt, im Übergang von Winkel-Improportio zu Abscissions-Improportio. Aber die Gedankentreppe selbst bleibt sichtbar.

2. Hofmanns Hauptverschiebung

Hofmann ersetzt diese Treppe durch eine andere:

Inzidenzwinkel → kein rationales Verhältnis
Kreisabschnitt → nicht proportional
rationaler Bruchteil → nicht abschneidbar
Möndchen → gleich einem Drittel
Kreisabschnitte → nicht in Figuren verwandelbar

Dadurch wird der Absatz stärker modern-arithmetisch und figürlich gelesen. Das ist nicht nur eine andere Wortwahl; es verändert, worauf der Leser achtet.

3. Die wichtigsten Verschiebungen

Proportio → rationales Verhältnis

Unser Absatz hält Proportio / improportional. Hofmann macht daraus rationales Verhältnis / nicht proportional.

Das ist eine Verengung. Cusanus spricht nicht nur davon, daß ein Verhältnis nicht als Bruch ganzer Zahlen ausdrückbar sei. Er spricht davon, daß zwischen bestimmten Quantitäten kein gemeinsamer proportionaler Maßbezug zustande kommt.

Folge:

Der Leser denkt an Irrationalität oder Zahlenverhältnisse, nicht an Cusanus’ Frage nach Proportio zwischen Quantitätsarten.

Quantität → Betrag

Unser Satz 1:

Quantität eines geradlinigen Winkels

Hofmann:

Betrag eines geradlinigen Winkels

„Betrag“ trägt moderne Größenwertsprache ein. Cusanus bleibt bei quantitas. Das ist nicht belanglos, weil der ganze vorherige Gedankengang auf Quantität, Teil, Totalität und Auflösbarkeit aufbaut. Folge:

Der cusanische Quantitätsbegriff wird in eine moderne Rechengröße umgedeutet.

Abscission → Kreisabschnitt

„Kreisabschnitt“ ist verständlich, aber Abscission hält den Vorgang des Abschneidens durch gerade Linien mit fest. Cusanus arbeitet mit dem Verhältnis von Linie, Schnitt, Abscission und Proportio. Hofmann macht daraus fertige geometrische Objekte.

Folge:

Die dynamische Schnitt- und Auflösungsstruktur wird zu einer Schulgeometrie von Kreisabschnitten.

per lineas rectas → durch Gerade erzeugt

Hofmann schreibt wiederholt erzeugt. Das steht nicht im Text. Cusanus sagt, daß die Abscissionen durch gerade Linien erfolgen. „Erzeugt“ weist der Geraden eine produktive Wirkkraft zu.

Folge:

Die Figur wird stärker kausal-vergegenständlicht, statt als geometrische Bestimmung gelesen.

aliqua pars → rationaler Bruchteil

Das ist die stärkste Verfälschung im Absatz.

Cusanus sagt:

aliqua pars circuli ein Teil / irgendein Teil des Kreises

Hofmann sagt:

rationaler Bruchteil des Kreises

Damit wird ein arithmetischer Begriff eingeführt, der im Satz nicht steht. Diese Verschiebung zieht dann die ganze Deutung in Richtung rational/irrational. Folge:

Der Leser versteht Cusanus als jemanden, der über rationale Bruchteile des Kreises spricht, obwohl er über Teile, Abscissionen und Proportio spricht.

rectilineabel → in geradlinig begrenzte Figuren verwandeln

Hofmann bleibt bei „verwandeln“. Dadurch geht die Linie aus Absatz 6 verloren:

resolubilis → rectilineales → rectilineabilis

Cusanus prüft Rectilineabilität, nicht Figurenverwandlung. Folge:

Die Assimilation verschiebt sich von „Ist diese Quantität rectilineabel?“ zu „Kann man diesen Kreisabschnitt in eine geradlinige Figur verwandeln?“

Das ist ein anderer Gedanke.

Äquales → gleich

Auch hier wird aequalis zu gleich. Im Satz über die Lunula größer/kleiner als ein Drittel ist gerade die Frage, ob aus Mehr und Weniger ein Äquales folgt. „Gleich einem Drittel“ macht daraus eine scheinbar einfache Gleichheitsbehauptung.

Folge:

Der Streitbegriff aequale wird erneut verdeckt.

4. Wirkung auf die Assimilation

Unsere Fassung führt zu dieser Einsicht:

Cusanus prüft, ob Kreisabscissionen durch gerade Linien in eine Proportio zum Kreis oder Halbkreis gebracht werden können. Weil dies wegen der Inzidenzwinkel und der fehlenden Proportio problematisch ist, trägt das Argument vom größeren und kleineren Teil zum äqualen Teil nicht.

Hofmanns Fassung führt eher zu dieser Einsicht:

Cusanus spricht über irrationale Verhältnisse, rationale Bruchteile und nicht in Figuren verwandelbare Kreisabschnitte.

Das ist nicht dasselbe.

Unsere Fassung läßt Cusanus’ eigene Begriffsschicht sichtbar:

Inzidenzwinkel
Quantität
Proportio / Improportio
Abscission
Lunula
Äquales
aliquoter Teil
rectilineabel
Kreisquadratur als Folge

Hofmann ersetzt sie weitgehend durch:

Betrag
rationales Verhältnis
Kreisabschnitt
rationaler Bruchteil
gleich
geradlinig begrenzte Figur
verwandeln

Dadurch wird die cusanische Assimilation überdeckt.

5. Verfälschungsgrad

Im 7. Absatz ist Hofmanns Übersetzung nicht nur frei oder modernisierend. An mehreren Stellen ist sie nach unserer Definition verfälschend, weil der Sinn der Aussage verändert wird:

• aliqua pars → rationaler Bruchteil ist verfälschend.
• partes aliquotae → rationale Teile ist verfälschend.
• rectilineabiles → in geradlinig begrenzte Figuren verwandelbar ist im Kontext verfälschend.
• proportio → rationales Verhältnis ist sinnverschiebend und in Verbindung mit den anderen Begriffen verfälschend.
• aequalis → gleich bleibt sinnverschiebend.

6. Gesamturteil zum 7. Absatz

Cusanus’ Absatz ist sehr knapp und mathematisch nicht vollständig bewiesen, weil er den Übergang von der Winkel-Improportio zur Abscissions-Improportio nicht ausdrücklich absichert. Aber seine eigene Argumentstruktur ist erkennbar.

Hofmann versucht diese Knappheit durch moderne Erklärungssprache zu glätten. Dadurch entsteht jedoch ein anderer Gedankengang. Der Leser folgt nicht mehr Cusanus’ Treppe, sondern einer späteren Deutung über rationale Brüche, Irrationalität und Figurenverwandlung.

Der entscheidende Verlust ist:

Cusanus prüft die Möglichkeit eines Proportio-Durchgangs von kreisförmiger Abscission zu rectilinealer Quantität. Hofmann macht daraus ein Problem rationaler Bruchteile und Figurenverwandlung.

Damit wird die von Cusanus beabsichtigte Assimilation nicht unterstützt, sondern umgeleitet.

8. Absatz, 1. Satz

Danke. Ich bin gespannt auf das Bild, daß sich nach allen Absätzen der Vorrede offenbart. Fahren wir fort.

8. Absatz, 1. Satz

Ex quo elice omne id impossibile, ex quo sequitur circuli quadratura.

Hofmann:

Daraus kannst Du Dir klar machen, daß all das unmöglich ist, woraus die Kreisquadratur folgt.

Führe bitte alle Verfahrensschritte wie bisher aus.

Analyse 8. Absatz, 1. Satz

1. Original

Ex quo elice omne id impossibile, ex quo sequitur circuli quadratura.

2. Erster Entwurf

Daraus ziehe heraus / leite ab: Alles das ist unmöglich, woraus die Kreisquadratur folgt.

Etwas glatter:

Daraus leite ab, daß alles das unmöglich ist, woraus die Kreisquadratur folgt.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Ex quo elice, quod omne id impossibile est, ex quo sequitur circuli quadratura.

Abweichung: Cusanus schreibt nicht ausdrücklich quod … est, sondern knapper:

elice omne id impossibile

Das ist eine sehr dichte Form:

entnimm / erschließe alles das als unmöglich …

Um näher zu bleiben, können wir formulieren:

Daraus erschließe alles das als unmöglich, woraus die Kreisquadratur folgt.

Rückübersetzung:

Ex quo elice omne id impossibile, ex quo sequitur circuli quadratura.

Das ist nahezu deckungsgleich.

4. Finalisierter Entwurf

Daraus erschließe alles das als unmöglich, woraus die Kreisquadratur folgt.

5. Hofmann-Fassung

Daraus kannst Du Dir klar machen, daß all das unmöglich ist, woraus die Kreisquadratur folgt.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Ex hoc tibi manifestum facere potes, quod omne illud impossibile est, ex quo circuli quadratura sequitur.

oder:

Ex hoc potes tibi clare intellegere, quod omnia illa impossibilia sunt, ex quibus circuli quadratura sequitur.

Das ist nicht mehr Cusanus’ knappe Form.

7. Analyse der Veränderungen

a) elice → kannst Du Dir klar machen

Cusanus:

elice

Das ist Imperativ von elicere:

• herausziehen,
• entnehmen,
• erschließen,
• ableiten,
• hervorlocken.

Hofmann:

kannst Du Dir klar machen

Das ist deutlich schwächer und psychologischer. Aus einem aktiven logischen Erschließen wird ein Sich-klar-Machen. Cusanus gibt eine methodische Anweisung:

Ziehe daraus / erschließe daraus …

Hofmann macht daraus:

Du kannst dir klarmachen …

Bewertung: sinnverschiebend, weil der zwingende Ableitungscharakter abgeschwächt wird.

b) omne id impossibile → all das unmöglich ist

Das ist im Kern richtig. Hofmann ergänzt jedoch mit daß eine glattere deutsche Struktur.

Cusanus’ dichter Ausdruck:

elice omne id impossibile

heißt näher:

erschließe alles das als unmöglich.

Hofmann:

daß all das unmöglich ist.

Das ist keine Verfälschung, nur eine syntaktische Glättung.

c) ex quo sequitur circuli quadratura → woraus die Kreisquadratur folgt

Das ist gut getroffen.

Bewertung: zutreffend.

8. Mathematische / logische Begriffsschicht

Der Satz ist ein kurzer methodischer Schlußsatz.

Cusanus sagt:

Wenn aus einer Annahme die Kreisquadratur folgt, dann ist diese Annahme unmöglich.

Das ist eine Art indirekte Ausschlußregel innerhalb seines bisherigen Arguments: Das knüpft direkt an Satz 7,5 an:

Wenn die Abscissionen rectilineabel wären, würde die Kreisquadratur folgen.

Daraus soll der Leser nun allgemein erschließen:

Alles, woraus die Kreisquadratur folgt, ist unmöglich.

Diese Aussage ist aber nur gültig unter der vorausgesetzten Bedeutung von Kreisquadratur:

Kreisquadratur als exakte rectilineale Auflösung / äquale Konstruktion im bisherigen Sinn.

Nicht allgemein im praktischen Näherungssinn.

9. Bewertung der Hofmann-Fassung

Hofmann trifft den groben Sinn, aber schwächt den methodischen Charakter.

Cusanus	Hofmann	Wirkung
elice	kannst Du Dir klar machen	Imperativische Ableitung wird subjektives Klarmachen
omne id impossibile	daß all das unmöglich ist	syntaktische Glättung
ex quo sequitur	woraus folgt	zutreffend

Die Übersetzung ist hier nicht verfälschend im starken Sinn. Sie ist aber weniger präzise, weil elicere als logischer Ableitungsimperativ verloren geht.

10. Übernommener Entwurf

Daraus erschließe alles das als unmöglich, woraus die Kreisquadratur folgt.

Kommentar:

Elice wird als erschließe wiedergegeben, nicht als „kannst du dir klar machen“. Cusanus gibt hier eine Ableitungsanweisung: Aus dem Vorhergehenden soll alles als unmöglich erschlossen werden, woraus die Kreisquadratur folgen würde.

8. Absatz, 2. Satz

Nach meinem inzwischen erlangten Verständnis hätte ich eher den Schlu0 wie folgt gezogen: "Daraus erschließe alles das als unmöglich, woraus unmittelbar die Kreisquadratur folgt."

Cusanus 8. Absatz, 2. Satz:

Habet igitur circulus hoc ex singularitate sua, quod sicut angulus incidentiae non est rectilineabilis, sic nec circulus est in figuram rectilinealem reducibilis.

Hofmann:

Es hat also der Kreis wegen seiner Einzigartigkeit die folgende Eigenschaft: Wie sich der Inzidenzwinkel nicht in einen geradlinigen verwandeln läßt, so läßt sich der Kreis nicht in eine geradlinig begrenzte Figur überführen.

Bitte auch auf diesen Satz das Verfahren anwenden, wobei ich in Sachen "singularitate" nicht vorschnell auf "einzigartig" setzen würde, da hier die Trinitätslehre und der Universalienstreit beteiligt sein und dies mit "unitas" in Beziehung stehen könnte.

Analyse 8. Absatz, 2. Satz

Zu deinem Zusatz „unmittelbar“: sachlich verstehe ich ihn. Cusanus meint hier wohl nicht: „irgendwann in einer langen mittelbaren Kette“, sondern: „wenn aus dieser Annahme die Kreisquadratur folgt“. Im Haupttext würde ich „unmittelbar“ dennoch nicht einfügen, weil es im Latein nicht steht. Als Kommentar ist es gut:

Gemeint ist: Alles, woraus die Kreisquadratur als Folge hervorgeht, ist im Rahmen dieser Argumentation als unmöglich zu erschließen.

Nun zum neuen Satz.

1. Original

Habet igitur circulus hoc ex singularitate sua, quod sicut angulus incidentiae non est rectilineabilis, sic nec circulus est in figuram rectilinealem reducibilis.

2. Erster Entwurf

Der Kreis hat also dies aus seiner Singularität, daß, wie der Inzidenzwinkel nicht rectilineabel ist, so auch der Kreis nicht in eine rectilineale Figur reduzierbar ist.

Etwas lesbarer:

Der Kreis hat also dies aus seiner Singularität: Wie der Inzidenzwinkel nicht rectilineabel ist, so ist auch der Kreis nicht in eine rectilineale Figur reduzierbar.

Ich bevorzuge die zweite Fassung.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Unser Entwurf:

Der Kreis hat also dies aus seiner Singularität: Wie der Inzidenzwinkel nicht rectilineabel ist, so ist auch der Kreis nicht in eine rectilineale Figur reduzierbar.

Rückübersetzung:

Habet igitur circulus hoc ex singularitate sua: sicut angulus incidentiae non est rectilineabilis, sic nec circulus est in figuram rectilinealem reducibilis.

Das ist nahezu deckungsgleich mit dem Original.

4. Finalisierter Entwurf

Der Kreis hat also dies aus seiner Singularität: Wie der Inzidenzwinkel nicht rectilineabel ist, so ist auch der Kreis nicht in eine rectilineale Figur reduzierbar.

5. Hofmann-Fassung

Es hat also der Kreis wegen seiner Einzigartigkeit die folgende Eigenschaft: Wie sich der Inzidenzwinkel nicht in einen geradlinigen verwandeln läßt, so läßt sich der Kreis nicht in eine geradlinig begrenzte Figur überführen.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Habet igitur circulus propter unicitatem suam hanc proprietatem: sicut angulus incidentiae non potest in rectilineum converti, sic circulus non potest in figuram rectilineis terminatam transferri.

Das weicht an mehreren Stellen vom Original ab.

7. Analyse der Veränderungen

a) ex singularitate sua → wegen seiner Einzigartigkeit

Das ist zu glatt.

Singularitas kann zwar „Einzigkeit / Eigentümlichkeit / Vereinzeltheit / Singularität“ bedeuten. Aber Einzigartigkeit trägt im Deutschen leicht eine wertende Bedeutung:

besonders, einmalig, außergewöhnlich.

Cusanus sagt aber eher:

aus seiner Singularität, aus seiner eigentümlichen Einzelbestimmtheit.

Da bei Cusanus unitas, singularitas, unum, Trinität, Universalienfrage und die Frage von Einzelheit/Einheit eine größere Rolle spielen können, sollten wir Singularität zunächst stehenlassen.

Bewertung: Hofmanns „Einzigartigkeit“ ist sinnverschiebend, weil es eine moderne wertende Einmaligkeit nahelegt.

b) habet hoc → hat die folgende Eigenschaft

Cusanus:

habet hoc hat dies.

Hofmann:

hat die folgende Eigenschaft

„Eigenschaft“ ist eine erklärende Einfügung. Sie kann sachlich passen, aber sie legt Cusanus auf eine Eigenschaftssprache fest. Der lateinische Satz bleibt knapper:

Der Kreis hat dies aus seiner Singularität.

Bewertung: leichte begriffliche Einfügung. Nicht schwer, aber nicht nötig.

c) angulus incidentiae non est rectilineabilis → läßt sich nicht in einen geradlinigen verwandeln

Cusanus:

non est rectilineabilis ist nicht rectilineabel.

Hofmann:

läßt sich nicht in einen geradlinigen verwandeln

Hier wieder die bekannte Verschiebung:

• rectilineabilis wird nicht als Fachwort erhalten.
• verwandeln tritt wieder an die Stelle von rectilineabel sein.
• „in einen geradlinigen“ ist elliptisch und unklar: in einen geradlinigen was? Winkel? Gegenstand?

Cusanus meint:

Der Inzidenzwinkel ist nicht rectilineabel, also nicht in die Art des geradlinigen Winkels bringbar / nicht rectilineal auflösbar.

Bewertung: verfälschend im Zusammenhang, weil Hofmann die rectilineabilis-Treppe zerstört.

d) circulus … in figuram rectilinealem reducibilis → Kreis in rectilineale Figur reduzierbar

Cusanus:

reducibilis rückführbar, reduzierbar, zurückbringbar.

Hofmann:

überführen

„Überführen“ ist nicht völlig falsch, aber reducere hat stärker den Sinn:

• zurückführen,
• herabführen,
• auf etwas zurückbringen,
• auf eine andere Bestimmungsform reduzieren.

Da Cusanus in den vorherigen Sätzen mit resolubilis, rectilineabilis, reducibilis arbeitet, sollten wir reduzierbar oder zurückführbar verwenden.

Bewertung: Hofmann glättet den technischen Begriff.

---

e) figura rectilinealis → geradlinig begrenzte Figur

Hier ist Hofmanns Übersetzung vertretbar. Cusanus schreibt diesmal tatsächlich figura, nicht bloß rectilinealemelliptisch.

Wir können aber im Haupttext rectilineale Figur nehmen, damit der Fachbezug erhalten bleibt.

Bewertung: sachlich zulässig.

8. Mathematische / begriffliche Funktion des Satzes

Der Satz faßt den bisherigen Abschnitt zusammen:

Der entscheidende Ausdruck ist:

ex singularitate sua

Cusanus sagt damit offenbar: Diese Nicht-Reduzierbarkeit folgt nicht zufällig, sondern aus der eigenen Singularität des Kreises — aus dem, was den Kreis als Kreis eigentümlich bestimmt. Das ist nicht einfach „wegen seiner Einzigartigkeit“ im modernen Sinn, sondern eher:

wegen seiner eigentümlichen, singulären Kreis-Bestimmtheit.

Damit wird der Kreis nicht als bloßes geometrisches Objekt unter anderen behandelt, sondern als eine Quantität/Figur eigener Art, die nicht ohne Verlust in rectilineale Figur überführt werden kann.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Fassung vermittelt grob den Sinn:

Kreis und Inzidenzwinkel lassen sich nicht geradlinig machen.

Aber sie verändert die begriffliche Struktur:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
singularitate	Einzigartigkeit	wertet / modernisiert
habet hoc	hat Eigenschaft	fügt Eigenschaftssprache ein
rectilineabilis	in einen geradlinigen verwandeln	Fachbegriff verloren
reducibilis	überführen	Rückführungsbegriff verloren
figura rectilinealis	geradlinig begrenzte Figur	vertretbar

Die Hauptverfälschung liegt wieder bei rectilineabilis → verwandeln und bei singularitas → Einzigartigkeit.

10. Übernommener Entwurf

Der Kreis hat also dies aus seiner Singularität: Wie der Inzidenzwinkel nicht rectilineabel ist, so ist auch der Kreis nicht in eine rectilineale Figur reduzierbar.

Kommentar:

Singularitas wird nicht mit „Einzigartigkeit“ geglättet, weil bei Cusanus die Beziehung zu Einheit, Einzelheit und eigentümlicher Bestimmtheit offenbleiben muß. Rectilineabilis bleibt erhalten, da der Begriff die bisherige Argumenttreppe trägt. Reducibilis wird als reduzierbar wiedergegeben, nicht als bloßes „überführen“, weil Cusanus den Kreis nicht nur anders darstellen, sondern auf eine rectilineale Figur zurückführen können müßte.

8. Absatz, 3. Satz

Gut soweit. Nun folgt ein an sich langer verschachtelter Satz, den Hofmann in einzelne Sätze abgeteilt hat, womöglich weil sie der Verschachtelung nicht folgen konnte oder es leserlich gestalten wollte?.

Cusanus 8. Absatz, 3. Satz

Sed sicut datur angulo incidentiae angulus rectilineus maior per angulum contingentiae, qui angulus contingentiae est quantitas in suo genere tantum divisibilis, quoniam omni angulo contingentiae est dabilis alius contingentiae maior ac minor, tamen, cum angulus contingentiae sit minor omni angulo rectilineo, sic dato incidentiae datur rectilineus maior, qui tamen non est maior aliqua parte aliquota rectilinei anguli; sic dato rectilineo datur incidentiae angulus minor, scilicet quantum est angulus contingentiae, qui tamen non est pars aliquota incidentiae, sed minor omni parte aliquota eius.

Hofmann:

Es läßt sich aber zum Inzidenzwinkel ein um den Kontingenzwinkel größerer geradliniger Winkel geben. — Der Kontingenzwinkel ist eine nur in ihrer Art teilbare Größe, da es zu jedem Kontingenzwinkel einen größeren und kleineren Kontingenzwinkel gibt. — Man kann, obwohl der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige, auf diese Weise trotzdem zu einem gegebenen Inzidenzwinkel einen größeren geradlinigen Winkel angeben, der jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen Winkels größer ist. Ebenso kann man zu einem gegebenen geradlinigen Winkel einen kleineren Inzidenzwinkel angeben, und zwar kleiner um den Betrag des Kontingenzwinkels, der jedoch nicht ein rationaler Bruchteil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder rationale Bruchteil desselben.

Analyse 8. Absatz, 3. Satz

Ja: Einen langen verschachtelten lateinischen Satz darf man im Deutschen in mehrere Sätze gliedern, wenn die logische Verschachtelung erhalten bleibt. Bei Hofmann ist nicht die Aufteilung an sich das Problem, sondern daß mit der Aufteilung zugleich wieder feste Deutungswörter eingeführt werden: Größe, Betrag, rationaler Bruchteil, geradliniger, angeben, gleichsam moderne Maßsprache.

1. Original

Sed sicut datur angulo incidentiae angulus rectilineus maior per angulum contingentiae, qui angulus contingentiae est quantitas in suo genere tantum divisibilis, quoniam omni angulo contingentiae est dabilis alius contingentiae maior ac minor, tamen, cum angulus contingentiae sit minor omni angulo rectilineo, sic dato incidentiae datur rectilineus maior, qui tamen non est maior aliqua parte aliquota rectilinei anguli; sic dato rectilineo datur incidentiae angulus minor, scilicet quantum est angulus contingentiae, qui tamen non est pars aliquota incidentiae, sed minor omni parte aliquota eius.

2. Erster Entwurf

Aber wie zum Inzidenzwinkel ein geradliniger Winkel gegeben wird, der um den Kontingenzwinkel größer ist — welcher Kontingenzwinkel eine Quantität ist, die nur in ihrer Gattung teilbar ist, weil zu jedem Kontingenzwinkel ein anderer Kontingenzwinkel gebbar ist, ein größerer und ein kleinerer —, jedoch, da der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige Winkel, so wird zu einem gegebenen Inzidenzwinkel ein größerer geradliniger gegeben, der dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil des geradlinigen Winkels größer ist; so wird zu einem gegebenen geradlinigen Winkel ein kleinerer Inzidenzwinkel gegeben, nämlich um so viel, wie der Kontingenzwinkel ist, der dennoch kein aliquoter Teil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder aliquote Teil von ihm.

Der Satz ist lang, aber die cusanische Struktur bleibt sichtbar.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sed sicut datur angulo incidentiae angulus rectilineus maior per angulum contingentiae, qui angulus contingentiae est quantitas in suo genere tantum divisibilis, quoniam omni angulo contingentiae est dabilis alius contingentiae maior ac minor, tamen, cum angulus contingentiae sit minor omni angulo rectilineo, sic dato incidentiae datur rectilineus maior, qui tamen non est maior aliqua parte aliquota rectilinei anguli; sic dato rectilineo datur incidentiae angulus minor, scilicet quantum est angulus contingentiae, qui tamen non est pars aliquota incidentiae, sed minor omni parte aliquota eius.

Die Rückübersetzung ist nahezu deckungsgleich. Der Entwurf kann daher so stehenbleiben. Nur für Lesbarkeit kann man ihn im Deutschen in zwei oder drei Sätze gliedern.

4. Finalisierter Entwurf

Aber wie zum Inzidenzwinkel ein geradliniger Winkel gegeben wird, der um den Kontingenzwinkel größer ist — welcher Kontingenzwinkel eine Quantität ist, die nur in ihrer Gattung teilbar ist, weil zu jedem Kontingenzwinkel ein anderer Kontingenzwinkel gebbar ist, ein größerer und ein kleinerer —, so wird dennoch, da der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige Winkel, zu einem gegebenen Inzidenzwinkel ein größerer geradliniger Winkel gegeben, der dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil des geradlinigen Winkels größer ist. Ebenso wird zu einem gegebenen geradlinigen Winkel ein kleinerer Inzidenzwinkel gegeben, nämlich um so viel, wie der Kontingenzwinkel ist, der dennoch kein aliquoter Teil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder aliquote Teil von ihm.

Diese Fassung teilt den Satz nur dort, wo die zweite sic-Bewegung beginnt. Die innere Argumentstruktur bleibt erhalten.

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5. Hofmann-Fassung

Es läßt sich aber zum Inzidenzwinkel ein um den Kontingenzwinkel größerer geradliniger Winkel geben. — Der Kontingenzwinkel ist eine nur in ihrer Art teilbare Größe, da es zu jedem Kontingenzwinkel einen größeren und kleineren Kontingenzwinkel gibt. — Man kann, obwohl der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige, auf diese Weise trotzdem zu einem gegebenen Inzidenzwinkel einen größeren geradlinigen Winkel angeben, der jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen Winkels größer ist. Ebenso kann man zu einem gegebenen geradlinigen Winkel einen kleineren Inzidenzwinkel angeben, und zwar kleiner um den Betrag des Kontingenzwinkels, der jedoch nicht ein rationaler Bruchteil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder rationale Bruchteil desselben.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Dari autem potest angulo incidentiae angulus rectilineus maior per angulum contingentiae. Angulus contingentiae est magnitudo solum in suo genere divisibilis, quia omni angulo contingentiae datur maior et minor angulus contingentiae. Potest tamen, quamvis angulus contingentiae minor sit omni rectilineo, hoc modo ad datum angulum incidentiae maior angulus rectilineus assignari, qui tamen non est maior parte rationali anguli rectilinei. Similiter potest ad datum angulum rectilineum minor angulus incidentiae assignari, scilicet minor valore anguli contingentiae, qui tamen non est pars rationalis anguli incidentiae, sed minor omni parte rationali eiusdem.

Diese Rückübersetzung zeigt: Hofmanns Text ist nicht mehr Cusanus’ Satz, sondern eine stark erläuterte, modernisierte Neufassung.

7. Analyse der Verschiebungen

a) quantitas → Größe

Cusanus:

quantitas in suo genere tantum divisibilis

Hofmann:

eine nur in ihrer Art teilbare Größe

Hier ist „Größe“ wieder zu allgemein. Cusanus sagt Quantität, und gerade hier ist das wichtig: Der Kontingenzwinkel ist nicht einfach eine Größe, sondern eine Quantität eigener Gattung, teilbar nur in dieser Gattung.

Bewertung: sinnverschiebend, weil die cusanische Quantitätslehre abgeschwächt wird.

b) in suo genere → in ihrer Art

Das ist gut. Genus kann hier als Gattung / Art wiedergegeben werden. Für unsere Fassung ist Gattung etwas besser, weil Cusanus bald genus quantitatis wichtig macht.

Bewertung: zulässig.

c) dabilis → es gibt / angeben / man kann angeben

Cusanus verwendet mehrfach datur / dabilis. Hofmann wechselt:

• „es läßt sich geben“
• „es gibt“
• „man kann angeben“

„Angeben“ ist nicht falsch, aber es verschiebt in Richtung Konstruktion / Benennung durch einen handelnden Mathematiker. Cusanus formuliert objektiver: datur — es wird gegeben / es ist gebbar.

Bewertung: leichte Verschiebung.

d) aliqua parte aliquota → rationaler Bruchteil

Das ist erneut verfälschend.

Cusanus sagt:

aliqua parte aliquota rectilinei anguli durch irgendeinen aliquoten Teil des geradlinigen Winkels.

Hofmann:

rationaler Bruchteil des geradlinigen Winkels

Pars aliquota ist nicht einfach „rationaler Bruchteil“. Der Begriff meint einen Teil, der das Ganze aliquot mißt. Die moderne Bruchzahl-Sprache trägt eine andere Schicht ein.

Bewertung: verfälschend.

e) scilicet quantum est angulus contingentiae → nämlich um so viel, wie der Kontingenzwinkel ist

Hofmann:

und zwar kleiner um den Betrag des Kontingenzwinkels

„Betrag“ steht nicht im Text. Cusanus sagt quantum est — um so viel, wie der Kontingenzwinkel ist. Das ist näher an der Quantitätsbestimmung, nicht am modernen Zahlenbetrag.

Bewertung: sinnverschiebend / modernisierend.

f) pars aliquota incidentiae → aliquoter Teil des Inzidenzwinkels

Hofmann:

rationaler Bruchteil des Inzidenzwinkels

Gleicher Fehler wie oben. Hier besonders wichtig, weil Cusanus gerade zeigt:

Der Kontingenzwinkel ist zwar die Differenz, aber nicht als aliquoter Teil des Inzidenzwinkels faßbar.

Hofmann übersetzt daraus:

nicht rationaler Bruchteil.

Das verschiebt die Aussage von Nicht-Aliquotheit / Nicht-Messbarkeit innerhalb der Quantitätsgattung zu Irrationalität im Zahlverhältnis.

Bewertung: verfälschend.

g) minor omni parte aliquota eius → kleiner als jeder aliquote Teil von ihm

Hofmann:

kleiner als jeder rationale Bruchteil desselben

Wieder: moderne Arithmetisierung. Außerdem klingt „desselben“ etwas unklarer; Cusanus meint des Inzidenzwinkels.

Bewertung: verfälschend.

8. Mathematische / cusanische Begriffsschicht

Dieser Satz ist für die Assimilation sehr wichtig. Cusanus führt den Kontingenzwinkel als Differenzgröße eigener Gattung ein.

Der Gedankengang:

1. Zum Inzidenzwinkel kann ein größerer geradliniger Winkel gegeben werden.
2. Die Differenz ist der Kontingenzwinkel.
3. Der Kontingenzwinkel ist eine Quantität, aber nur in seiner eigenen Gattung teilbar.
4. Zu jedem Kontingenzwinkel gibt es einen größeren und kleineren Kontingenzwinkel.
5. Dennoch ist jeder Kontingenzwinkel kleiner als jeder geradlinige Winkel.
6. Daher ist der größere geradlinige Winkel zwar größer als der Inzidenzwinkel, aber nicht um einen aliquoten Teil des geradlinigen Winkels größer.
7. Ebenso ist der Inzidenzwinkel kleiner als ein gegebener geradliniger Winkel, aber die Differenz ist kein aliquoter Teil des Inzidenzwinkels, sondern kleiner als jeder aliquote Teil von ihm.

Die Pointe:

Es gibt eine Differenz, aber diese Differenz ist nicht im gewöhnlichen aliquoten Maßverhältnis faßbar.

Genau das ist Cusanus’ Begründung dafür, warum Mehr und Weniger hier nicht zu einem Äquales führen.

9. Bewertung der Hofmann-Fassung

Hofmanns Fassung ist lesbarer, aber sie verändert die Denkart:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
quantitas	Größe	Quantitätsbegriff abgeschwächt
genus	Art	zulässig
datur / dabilis	angeben / man kann	stärker subjektiv-konstruktiv
pars aliquota	rationaler Bruchteil	verfälschend
quantum est	Betrag	modernisierend
rectilineus / incidentiae / contingentiae	im Groben richtig	Fachbegriffe bleiben teilweise erhalten

Die Hauptverfälschung ist wieder:

pars aliquota → rationaler Bruchteil

Dadurch wird der Satz in Richtung moderner Zahlverhältnisse verschoben. Cusanus’ Aussage ist aber feiner: Der Kontingenzwinkel ist eine Quantität eigener Gattung, die zwar größer/kleiner unter ihresgleichen ist, aber gegenüber geradlinigem Winkel nicht aliquot messbar ist.

10. Ergebnis

Unser finalisierter Satz:

Aber wie zum Inzidenzwinkel ein geradliniger Winkel gegeben wird, der um den Kontingenzwinkel größer ist — welcher Kontingenzwinkel eine Quantität ist, die nur in ihrer Gattung teilbar ist, weil zu jedem Kontingenzwinkel ein anderer Kontingenzwinkel gebbar ist, ein größerer und ein kleinerer —, so wird dennoch, da der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige Winkel, zu einem gegebenen Inzidenzwinkel ein größerer geradliniger Winkel gegeben, der dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil des geradlinigen Winkels größer ist. Ebenso wird zu einem gegebenen geradlinigen Winkel ein kleinerer Inzidenzwinkel gegeben, nämlich um so viel, wie der Kontingenzwinkel ist, der dennoch kein aliquoter Teil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder aliquote Teil von ihm.

Kommentar:

Der Satz erklärt die Sonderstellung des Kontingenzwinkels. Er ist eine Quantität eigener Gattung: innerhalb seiner Gattung größer und kleiner bestimmbar, aber kleiner als jeder geradlinige Winkel. Deshalb ist er Differenz zwischen Inzidenzwinkel und geradlinigem Winkel, ohne aliquoter Teil eines der beteiligten Winkel zu sein. Hofmanns „rationaler Bruchteil“ verfälscht diese Struktur, weil Cusanus nicht moderne Bruchzahlverhältnisse, sondern aliquote Teilbarkeit und Gattungsverschiedenheit von Quantitäten behandelt.

8. Absatz

Das Cusanus einen neuen Begriff eingeführt hat ist bemerkenswert und offenbar der Übersetzerin in dessen Bedeutung entgangeen.

Vergleichen wir nun die Absätze wie üblich mit unserem Verfahren.

Cusanus 8. Absatz

1) Daraus erschließe alles das als unmöglich, woraus die Kreisquadratur folgt.

2) Der Kreis hat also dies aus seiner Singularität: Wie der Inzidenzwinkel nicht rectilineabel ist, so ist auch der Kreis nicht in eine rectilineale Figur reduzierbar.

3) Aber wie zum Inzidenzwinkel ein geradliniger Winkel gegeben wird, der um den Kontingenzwinkel größer ist — welcher Kontingenzwinkel eine Quantität ist, die nur in ihrer Gattung teilbar ist, weil zu jedem Kontingenzwinkel ein anderer Kontingenzwinkel gebbar ist, ein größerer und ein kleinerer —, so wird dennoch, da der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige Winkel, zu einem gegebenen Inzidenzwinkel ein größerer geradliniger Winkel gegeben, der dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil des geradlinigen Winkels größer ist. Ebenso wird zu einem gegebenen geradlinigen Winkel ein kleinerer Inzidenzwinkel gegeben, nämlich um so viel, wie der Kontingenzwinkel ist, der dennoch kein aliquoter Teil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder aliquote Teil von ihm.

Hofmann:

• Daraus kannst Du Dir klar machen, daß all das unmöglich ist, woraus die Kreisquadratur folgt.
• Es hat also der Kreis wegen seiner Einzigartigkeit die folgende Eigenschaft: Wie sich der Inzidenzwinkel nicht in einen geradlinigen verwandeln läßt, so läßt sich der Kreis nicht in eine geradlinig begrenzte Figur überführen.
• Es läßt sich aber zum Inzidenzwinkel ein um den Kontingenzwinkel größerer geradliniger Winkel geben. — Der Kontingenzwinkel ist eine nur in ihrer Art teilbare Größe, da es zu jedem Kontingenzwinkel einen größeren und kleineren Kontingenzwinkel gibt. — Man kann, obwohl der Kontingenzwinkel kleiner ist als jeder geradlinige, auf diese Weise trotzdem zu einem gegebenen Inzidenzwinkel einen größeren geradlinigen Winkel angeben, der jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des geradlinigen Winkels größer ist. Ebenso kann man zu einem gegebenen geradlinigen Winkel einen kleineren Inzidenzwinkel angeben, und zwar kleiner um den Betrag des Kontingenzwinkels, der jedoch nicht ein rationaler Bruchteil des Inzidenzwinkels ist, sondern kleiner als jeder rationale Bruchteil desselben.

Analyse 8. Absatz

Ja. Im 8. Absatz wird sichtbar, daß Cusanus nicht nur ein geometrisches Beispiel gibt, sondern eine Begriffsfiguraufbaut:

Es gibt eine Quantität eigener Gattung, die innerhalb ihrer Gattung teilbar ist, aber gegenüber einer anderen Gattung nicht aliquot meßbar ist.

Das ist der Kontingenzwinkel. Ob Cusanus den Begriff neu bildet oder einen vorhandenen scholastisch-geometrischen Begriff neu einsetzt, müßte eigens geprüft werden; in diesem Text wird er jedenfalls zum tragenden Assimilationsmittel.

1. Assimilationstreppe bei Cusanus

Der Absatz hat drei Stufen.

Stufe 1: Ausschlußregel

Daraus erschließe alles das als unmöglich, woraus die Kreisquadratur folgt.

Cusanus gibt hier keine bloße Verständnishilfe, sondern eine Folgerungsregel: Wenn aus X die Kreisquadratur folgt, dann ist X im bisherigen Sinn unmöglich. Hofmann macht daraus:

Daraus kannst Du Dir klar machen …

Das schwächt den Schlußcharakter. Aus elice wird ein subjektives Sich-Klar-Machen. Die Folgerung wirkt weniger zwingend und weniger methodisch.

Stufe 2: Singularität des Kreises

Der Kreis hat also dies aus seiner Singularität …

Cusanus sagt nicht einfach: Der Kreis ist „einzigartig“. Singularitas trägt hier mehr: Eigenheit, Einzelbestimmtheit, eigentümliche Art des Kreises. Gerade im cusanischen Umfeld darf man das nicht vorschnell zu „Einzigartigkeit“ glätten. Hofmann:

wegen seiner Einzigartigkeit die folgende Eigenschaft

Damit wird die Aussage in moderne Eigenschaftssprache verschoben. Cusanus sagt knapper und stärker:

Der Kreis hat dies aus seiner Singularität.

Die Aussage betrifft nicht bloß eine Eigenschaft des Kreises, sondern seine eigene Kreis-Bestimmtheit: Wie der Inzidenzwinkel nicht rectilineabel ist, so ist der Kreis nicht in rectilineale Figur reduzierbar.

Stufe 3: Kontingenzwinkel als Vermittlungs- und Grenzquantität

Cusanus zeigt dann:

Zum Inzidenzwinkel kann ein größerer geradliniger Winkel gegeben werden; die Differenz ist der Kontingenzwinkel. Dieser Kontingenzwinkel ist eine Quantität eigener Gattung: in seiner Gattung teilbar, aber kleiner als jeder geradlinige Winkel und daher kein aliquoter Teil des geradlinigen Winkels oder des Inzidenzwinkels.

Das ist der eigentliche Kern des Absatzes. Die Pointe lautet:

Eine Differenz kann gegeben sein, ohne daß sie als aliquoter Teil der verglichenen Quantität faßbar ist.

Damit versteht man, warum das Argument „Mehr und Weniger, also Äquales“ nicht allgemein durchgeht.

2. Was Hofmann verändert

Hofmann zerlegt den langen Satz. Das wäre an sich zulässig. Aber durch die Zerlegung wird die sicut–sic-Struktur abgeschwächt: Cusanus baut eine genaue Entsprechung zwischen Inzidenzwinkel, Kontingenzwinkel und geradlinigem Winkel. Hofmann macht daraus mehrere erklärende Sätze.

Die entscheidenden Verschiebungen:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
elice	kannst Du Dir klar machen	Ableitung wird subjektives Verstehen
singularitas	Einzigartigkeit	cusanische Eigenbestimmtheit wird moderne Besonderheit
rectilineabilis	in einen geradlinigen verwandeln	Fachbegriff geht verloren
reducibilis	überführen	Rückführungs-/Reduktionsbegriff wird geglättet
quantitas	Größe	Quantitätslehre wird verallgemeinert
pars aliquota	rationaler Bruchteil	verfälschende Arithmetisierung
quantum est	Betrag	moderne Größenwertsprache
datur / dabilis	angeben / man kann	objektives Gegebensein wird subjektive Konstruktion

Besonders schwer wiegt wieder:

pars aliquota → rationaler Bruchteil

Das ist nicht nur ungenau. Es verändert die Sache. Cusanus spricht nicht von rationalen Zahlenbruchteilen, sondern von aliquoter Teilbarkeit innerhalb einer Gattung von Quantität.

3. Folge für die Assimilation

Unser Absatz führt den Leser zu dieser Einsicht:

Der Kontingenzwinkel ist eine Quantität eigener Gattung. Er kann größer und kleiner sein, aber er ist kleiner als jeder geradlinige Winkel und daher nicht als aliquoter Teil eines geradlinigen Winkels oder Inzidenzwinkels faßbar. Daraus wird begreiflich, warum der Übergang vom Inzidenzwinkel zum geradlinigen Winkel keine gewöhnliche Proportio eröffnet.

Hofmann führt den Leser eher zu dieser Einsicht:

Der Kontingenzwinkel ist eine sehr kleine Größe, die nicht als rationaler Bruchteil ausdrückbar ist.

Das ist nicht dasselbe.

Cusanus’ Gedanke betrifft:

Gattung der Quantität
→ Teilbarkeit nur innerhalb dieser Gattung
→ keine aliquote Meßbarkeit gegenüber geradlinigem Winkel
→ kein Proportio-Durchgang
→ keine einfache Rectilineabilität

Hofmanns Fassung verschiebt zu:

Größe
→ rationaler Bruchteil
→ Betrag
→ nicht rational ausdrückbar
→ nicht verwandelbar

Damit wird der Leser erneut in moderne Zahlen- und Figurenbegriffe geführt, nicht in die cusanische Assimilation.

4. Bewertung

Der 8. Absatz ist bei Hofmann nicht bloß frei übersetzt. An den tragenden Stellen ist er sinnverschiebend und teilweise verfälschend:

• Singularität wird zu „Einzigartigkeit“ verflacht.
• Rectilineabilität wird als „Verwandlung“ verstanden.
• Quantität eigener Gattung wird zu „teilbarer Größe“ geglättet.
• Aliquoter Teil wird zu „rationaler Bruchteil“ verfälscht.
• Die cusanische Satzarchitektur wird in eine erklärende moderne Darstellung umgebaut.

Der schwerste Verlust betrifft den Kontingenzwinkel: Hofmann erkennt zwar, daß er wichtig ist, aber sie faßt ihn nicht als Quantität eigener Gattung, sondern übersetzt ihn in die Sprache rationaler Bruchteile und Beträge. Dadurch wird der neue oder zumindest neu tragend eingesetzte Begriff nicht in seiner Funktion assimiliert.

5. Kernsatz des Absatzes

Für unsere Gliederung würde ich Absatz 8 so zusammenfassen:

Cusanus zeigt am Kontingenzwinkel, daß es eine gegebene Differenz zwischen Inzidenzwinkel und geradlinigem Winkel geben kann, die zwar innerhalb ihrer eigenen Gattung teilbar ist, aber keinen aliquoten Teil der verglichenen Winkel bildet; deshalb ist der Kreis aus seiner Singularität heraus nicht in eine rectilineale Figur reduzierbar.

Das ist der Punkt, den Hofmanns Fassung verdeckt.

9. Absatz, 1. Satz

Das ist eine besonders wichtige Analyse. Womöglich entstehen die Übersetzungsverfälschungen aus dem Umstand, dass die Übersetzer so übersetzen, daß sie für sich gemäß ihrem Denkmuster und ihrer Denkarr (eigene Logik) die Aussagen verstehen, jedoch begreifen sie dadurch nichts – verfehlen das Ganze.

Es sind noch zwei Absätze bis zu dem ende, dwas ich als Vorrede benenne, bevor Cusanus dann in die Einzelheiten und Zeichnungen einsteigt.

Cusanus 9. Absatz, 1. Satz:

Tali quidem modo dici potest dato circulo posse dari quadratum, quod etsi fuerit maius circulo, non tamen aliqua parte aliquota eius, scilicet quadrati; et dato quadrato potest dari circulus minor eo, non tamen minor parte aliquota circuli.

Hofmann teil in zwei Sätze:

Ebenso kann man sagen: Zu einem gegebenen Kreis läßt sich ein Quadrat angeben, das zwar gröBer ist als der Kreis, jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Quadrats. Und zu einem gegebenen Quadrat läßt sich ein kleinerer Kreis angeben, der jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Kreises kleiner ist.

Analyse 9. Absatz, 1. Satz

Ja, das ist ein plausibler Mechanismus: Der Übersetzer macht den Text für sein eigenes Begriffssystem verständlich, statt sich in das Begriffssystem des Autors hineinzubewegen. Dann entsteht keine Assimilation des Autors, sondern eine Assimilation des Übersetzers. Bei Cusanus ist das besonders schädlich, weil er selbst gerade eine gelenkte Assimilation vorbereitet.

Nun zum Satz.

1. Original

Tali quidem modo dici potest dato circulo posse dari quadratum, quod etsi fuerit maius circulo, non tamen aliqua parte aliquota eius, scilicet quadrati; et dato quadrato potest dari circulus minor eo, non tamen minor parte aliquota circuli.

2. Erster Entwurf

Auf solche Weise kann freilich gesagt werden, daß zu einem gegebenen Kreis ein Quadratum gegeben werden kann, das, auch wenn es größer als der Kreis gewesen sein wird, dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil von ihm, nämlich des Quadratums, größer ist; und daß zu einem gegebenen Quadratum ein Kreis gegeben werden kann, der kleiner als dieses ist, dennoch nicht kleiner um einen aliquoten Teil des Kreises.

Das ist nah, aber schwer lesbar. Nach Rücksicht auf Deutsch:

Auf solche Weise kann freilich gesagt werden: Zu einem gegebenen Kreis kann ein Quadratum gegeben werden, das, auch wenn es größer als der Kreis ist, dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil von ihm größer ist, nämlich des Quadratums; und zu einem gegebenen Quadratum kann ein Kreis gegeben werden, der kleiner als dieses ist, dennoch nicht kleiner um einen aliquoten Teil des Kreises.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Tali quidem modo dici potest: dato circulo posse dari quadratum, quod etsi sit maius circulo, non tamen aliqua parte aliquota eius, scilicet quadrati; et dato quadrato posse dari circulum minorem eo, non tamen minorem parte aliquota circuli.

Abweichungen:

• fuerit wird in unserer deutschen Fassung zu „ist“. Das Futur II / Konjunktivische ist hier schwer direkt zu erhalten. „gewesen sein wird“ wäre zu sperrig.
• potest dari bleibt gut erhalten.
• aliqua parte aliquota bleibt erhalten.
• scilicet quadrati bleibt erhalten.

Für mehr Nähe könnte man schreiben:

auch wenn es größer als der Kreis sein wird

Das klingt im Deutschen ungewohnt, erhält aber die Zukunftsform. Da es hier um ein gegeben werden könnendes Quadratum geht, ist „sein wird“ akzeptabel.

4. Finalisierter Entwurf

Auf solche Weise kann freilich gesagt werden: Zu einem gegebenen Kreis kann ein Quadratum gegeben werden, das, auch wenn es größer als der Kreis sein wird, dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil von ihm größer ist, nämlich des Quadratums; und zu einem gegebenen Quadratum kann ein Kreis gegeben werden, der kleiner als dieses ist, dennoch nicht kleiner um einen aliquoten Teil des Kreises.

Der Satz bleibt etwas schwer, aber Cusanus ist hier absichtlich genau: Das Größer- oder Kleinersein unterschreitet jeden aliquoten Teil der jeweils bezeichneten Größe.

5. Hofmann-Fassung

Ebenso kann man sagen: Zu einem gegebenen Kreis läßt sich ein Quadrat angeben, das zwar gröBer ist als der Kreis, jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Quadrats. Und zu einem gegebenen Quadrat läßt sich ein kleinerer Kreis angeben, der jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Kreises kleiner ist.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Similiter dici potest: dato circulo potest assignari quadratum, quod quidem maius est circulo, non tamen parte rationali quadrati. Et dato quadrato potest assignari circulus minor, qui tamen non parte rationali circuli minor est.

Das ist deutlich nicht mehr Cusanus’ Satz.

7. Analyse der Veränderungen

a) Tali quidem modo → Ebenso

Cusanus:

Tali quidem modo auf solche Weise / in solcher Weise freilich.

Hofmann:

Ebenso

„Ebenso“ ist zu schwach. Cusanus verweist auf den zuvor erklärten besonderen Modus:

eine Differenz ist gegeben, aber nicht als aliquoter Teil.

Tali modo meint genau diese zuvor aufgebaute Denkweise. „Ebenso“ klingt bloß wie eine Fortsetzung.

Bewertung: sinnabschwächend.

b) dici potest → kann gesagt werden

Hofmann:

kann man sagen

Das ist gut.

Bewertung: zutreffend.

c) posse dari quadratum → läßt sich ein Quadrat angeben

Cusanus:

posse dari quadratum ein Quadratum kann gegeben werden.

Hofmann:

läßt sich ein Quadrat angeben

Das ist möglich, aber angeben verschiebt leicht vom Gegebensein zur menschlichen Benennung oder Konstruktion. Cusanus bleibt objektiver: dari.

Bewertung: leichte Verschiebung.

d) quadratum → Quadrat

Sachlich richtig. Wir behalten Quadratum, weil der Begriff im bisherigen Aufbau mit Quadrangulum und rectilinealverbunden ist.

Bewertung: zulässige Glättung.

e) etsi fuerit maius circulo → das zwar größer ist als der Kreis

Cusanus:

etsi fuerit maius circulo

Hofmann:

das zwar größer ist als der Kreis

Das ist sinngemäß verständlich. Das fuerit verschwindet, aber das ist im Deutschen nicht schwer zu vermeiden. Weniger problematisch als andere Stellen.

Bewertung: zulässige Glättung.

f) non tamen aliqua parte aliquota eius, scilicet quadrati → nicht um irgendeinen aliquoten Teil von ihm, nämlich des Quadratums

Hofmann:

jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Quadrats

Hier liegt wieder die Hauptverfälschung. Cusanus sagt:

aliqua parte aliquota irgendein aliquoter Teil.

Hofmann:

rationaler Bruchteil

Das ist nicht dasselbe. Cusanus’ Punkt ist nicht: Die Differenz ist nicht rational ausdrückbar. Sondern:

Die Differenz ist nicht einmal um irgendeinen aliquoten Teil der betreffenden Größe faßbar.

Das knüpft unmittelbar an den Kontingenzwinkel an: Differenz vorhanden, aber kleiner als jeder aliquote Teil.

Bewertung: verfälschend.

g) scilicet quadrati

Hofmann übersetzt hier mit:

des Quadrats

Das ist gut; sie erhält den Bezug. Allerdings durch „rationaler Bruchteil“ wird der Sinn verändert.

Bewertung: Bezug erhalten, Begriff falsch.

h) dato quadrato potest dari circulus minor eo

Hofmann:

Zu einem gegebenen Quadrat läßt sich ein kleinerer Kreis angeben

Das ist im Grundsinn richtig. eo = als dieses / als es.

Bewertung: zutreffend, mit leichter Verschiebung durch „angeben“.

i) non tamen minor parte aliquota circuli → nicht kleiner um einen aliquoten Teil des Kreises

Hofmann:

nicht um einen rationalen Bruchteil des Kreises kleiner

Wieder derselbe Fehler: aliquoter Teil wird zu rationaler Bruchteil.

Bewertung: verfälschend.

8. Mathematische / cusanische Begriffsschicht

Dieser Satz zieht die Konsequenz aus dem Kontingenzwinkel-Absatz:

Es kann ein Quadratum zum Kreis gegeben werden, das größer ist, aber nicht um einen aliquoten Teil des Quadratums größer. Ebenso kann ein Kreis zum Quadratum gegeben werden, der kleiner ist, aber nicht um einen aliquoten Teil des Kreises kleiner.

Das heißt: Cusanus denkt eine nicht-aliquote Differenz zwischen Kreis und Quadratum.

Die entscheidende Struktur ist:

größer / kleiner
aber nicht um irgendeinen aliquoten Teil

Das ist genau die Struktur des Kontingenzwinkels:

Differenz vorhanden
aber kleiner als jeder aliquote Teil

Damit versucht Cusanus, eine vermittelnde Nähe zwischen Kreis und Quadratum zu denken, ohne eine gewöhnliche aliquote Proportio zu behaupten.

Hofmanns „rationaler Bruchteil“ verlegt den Gedanken in die Frage:

Ist die Differenz rational ausdrückbar?

Das ist nicht Cusanus’ Satz. Cusanus fragt:

Ist die Differenz aliquot als Teil der betreffenden Quantität faßbar?

Das ist feiner und steht näher an seiner bisherigen Assimilationstreppe.

9. Bewertung der Hofmann-Fassung

Hofmann ist hier äußerlich nah, aber der zentrale Begriff wird wieder verfälscht:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
Tali quidem modo	Ebenso	Rückbezug auf besondere Denkweise abgeschwächt
dari	angeben	leichte Konstruktionsverschiebung
quadratum	Quadrat	zulässig, aber geglättet
aliqua parte aliquota	rationaler Bruchteil	verfälschend
parte aliquota circuli	rationaler Bruchteil des Kreises	verfälschend

Der Satz selbst ist eigentlich sehr wichtig: Er überträgt die zuvor am Kontingenzwinkel gewonnene Struktur auf Kreis und Quadratum. Hofmann läßt diese Struktur nicht sichtbar werden, weil sie aus aliquot wieder rational macht.

10. Übernommener finaler Entwurf

Auf solche Weise kann freilich gesagt werden: Zu einem gegebenen Kreis kann ein Quadratum gegeben werden, das, auch wenn es größer als der Kreis sein wird, dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil von ihm größer ist, nämlich des Quadratums; und zu einem gegebenen Quadratum kann ein Kreis gegeben werden, der kleiner als dieses ist, dennoch nicht kleiner um einen aliquoten Teil des Kreises.

Kommentar:

Tali quidem modo verweist auf die zuvor entwickelte Struktur: Eine Differenz kann gegeben sein, ohne als aliquoter Teil der verglichenen Quantität faßbar zu sein. Pars aliquota wird nicht als „rationaler Bruchteil“ übersetzt. Der Satz überträgt die Kontingenzwinkel-Struktur auf Kreis und Quadratum: Größer oder kleiner kann gegeben sein, ohne daß die Differenz aliquot meßbar wäre.

9. Absatz, 2. Satz

Ich hatte in Sachen Singularität nicht erwähnt, daß ich den Eindruck habe daß in diesem Fall Cusanus in Sachen Kreis wie in Sachen Monas zu denken scheint, was für ihn womöglich in einem unmittelbaren Zusammenhang mit Gott steht, welcher für sich ja auch weltlich gesehen mathematisch inkommensurabel und arithmetisch irrational zu sein scheint, ohne dies abwertend zu meinen. Es geht ja hier an sich um mathematische Kontemplation zu mittelbaren Gottesschau.

Der vorangehende Satz und der folgende sind zusammen entscheidend - oder?

Cusanus 9. Absatz, 2. Satz:

Et consequenter ex hoc habetur, quod licet dato circulo posset dari quadratum maius, non tamen parte aliquota eius maius; et quod quocumque quadrato tali dato adhuc possit dari aliud praecisius circulo, licet nullum praecisissimum, et nullum minus circulo parte aliquota eius, ita et e converso.

Hofmann:

Daraus folgt: Zu einem gegebenen Kreis läßt sich ein größeres Quadrat geben — größer, jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil; und zu jedem so gegebenen Quadrat läßt sich ein anderes geben, das dem Kreis näher kommt, aber keines, das ihm genau gleich ist. Und keines, das um einen rationalen Bruchteil kleiner ist als der Kreis, ebenso auch umgekehrt.

Analyse 9. Absatz, 2. Satz

Ja — der vorherige und dieser Satz gehören eng zusammen. Der erste Satz überträgt die Struktur des Kontingenzwinkels auf Kreis und Quadratum: größer / kleiner, aber nicht um einen aliquoten Teil. Der zweite Satz zieht daraus die wichtige Folge: Es kann immer ein präziseres Quadratum gegeben werden, aber kein präzisissimum.

Zu deiner Singularitäts-Beobachtung: Das ist plausibel als Arbeitshypothese. Cusanus könnte den Kreis hier nicht nur als geometrische Figur, sondern als eine Art mathematisches Gleichnis der Einheit / Singularität behandeln: aus sich heraus nicht rectilineal reduzierbar, nicht vollständig in gewöhnliche aliquote Teile oder proportionale Bestimmung überführbar. Das paßt zur mathematischen Kontemplation als mittelbare Gottesannäherung — nicht als Beweis Gottes, sondern als Denkübung an der Grenze von Maß, Proportio und Präzision.

1. Original

Et consequenter ex hoc habetur, quod licet dato circulo posset dari quadratum maius, non tamen parte aliquota eius maius; et quod quocumque quadrato tali dato adhuc possit dari aliud praecisius circulo, licet nullum praecisissimum, et nullum minus circulo parte aliquota eius, ita et e converso.

2. Erster Entwurf

Und folgeweise wird daraus gehabt / erhalten, daß, obgleich zu einem gegebenen Kreis ein größeres Quadratum gegeben werden könnte, es dennoch nicht um einen aliquoten Teil von ihm größer ist; und daß, zu welchem auch immer so gegebenen Quadratum, noch ein anderes gegeben werden kann, das zum Kreis präziser ist, obgleich kein präzisissimum, und keines, das kleiner als der Kreis ist um einen aliquoten Teil von ihm; so auch umgekehrt.

Etwas deutscher:

Und folgeweise ergibt sich daraus: Obwohl zu einem gegebenen Kreis ein größeres Quadratum gegeben werden könnte, ist es dennoch nicht um einen aliquoten Teil von ihm größer; und zu jedem so gegebenen Quadratum kann noch ein anderes gegeben werden, das zum Kreis präziser ist, obgleich kein präzisissimum; und keines ist kleiner als der Kreis um einen aliquoten Teil von ihm — so auch umgekehrt.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Et consequenter ex hoc habetur: quod licet dato circulo posset dari quadratum maius, non tamen parte aliquota eius maius; et quod quocumque quadrato tali dato adhuc possit dari aliud praecisius circulo, licet nullum praecisissimum; et nullum minus circulo parte aliquota eius, ita et e converso.

Das ist nahe am Original. Die Semikola ordnen nur den langen deutschen Satz. Praecisius / praecisissimum bleiben sichtbar.

4. Finalisierter Entwurf

Und folgeweise ergibt sich daraus: Obwohl zu einem gegebenen Kreis ein größeres Quadratum gegeben werden könnte, ist es dennoch nicht um einen aliquoten Teil von ihm größer; und zu jedem so gegebenen Quadratum kann noch ein anderes gegeben werden, das zum Kreis präziser ist, obgleich kein präzisissimum; und keines ist kleiner als der Kreis um einen aliquoten Teil von ihm — so auch umgekehrt.

Hier bleibt eine kleine Unklarheit bei eius: Im ersten Halbsatz kann „von ihm“ durch den vorigen Satz wahrscheinlich auf das Quadratum bezogen sein; im zweiten kann es näher auf den Kreis gehen. Cusanus ist knapp. Im Kommentar sollten wir sagen: Der Bezug ist aus dem Argument zu bestimmen; entscheidend ist, daß keine Differenz als aliquoter Teil der betreffenden verglichenen Größe faßbar ist.

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5. Hofmann-Fassung

Daraus folgt: Zu einem gegebenen Kreis läßt sich ein größeres Quadrat geben — größer, jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil; und zu jedem so gegebenen Quadrat läßt sich ein anderes geben, das dem Kreis näher kommt, aber keines, das ihm genau gleich ist. Und keines, das um einen rationalen Bruchteil kleiner ist als der Kreis, ebenso auch umgekehrt.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Ex hoc sequitur: dato circulo potest dari quadratum maius — maius tamen non parte rationali; et cuilibet quadrato sic dato potest dari aliud, quod propius accedit ad circulum, sed nullum quod ei exacte aequale est. Et nullum quod parte rationali minus est quam circulus, similiter etiam e converso.

Das ist nicht mehr Cusanus’ Satz.

7. Analyse der Veränderungen

a) Et consequenter ex hoc habetur → Daraus folgt

Das ist sinngemäß möglich, aber glättet.

habetur heißt eher:

wird erhalten / ergibt sich / man hat daraus.

„Daraus folgt“ ist nicht falsch, aber stärker logisch-formal. Unsere Fassung „folgeweise ergibt sich daraus“ hält sowohl consequenter als auch habetur besser.

Bewertung: zulässig, leicht geglättet.

b) quadratum → Quadrat

Sachlich richtig. Wir behalten Quadratum, weil Cusanus in dieser Passage mit Fachworten arbeitet.

Bewertung: zulässige Glättung.

c) parte aliquota eius → rationaler Bruchteil

Wieder die zentrale Verfälschung.

Cusanus sagt:

parte aliquota

Hofmann:

rationaler Bruchteil

Hier ist der Schaden besonders groß, weil der Satz unmittelbar an die Kontingenzwinkel-Struktur anschließt: Es geht um eine Differenz, die zwar gegeben ist, aber nicht als aliquoter Teil der betreffenden Größe faßbar ist. „Rationaler Bruchteil“ lenkt auf moderne Zahlenverhältnisse.

Bewertung: verfälschend.

d) Auslassung von eius

Hofmann schreibt:

nicht um einen rationalen Bruchteil

Cusanus:

non tamen parte aliquota eius

Das eius fällt bei Hofmann aus. Damit wird unklar, von welcher Größe der aliquote Teil genommen wird.

Bewertung: begriffliche Abschwächung.

e) praecisius circulo → dem Kreis näher kommt

Das ist teilweise verständlich, aber nicht genau.

Praecisius gehört zum Wortfeld:

• genauer,
• präziser,
• bestimmter,
• näher an der Präzision.

„Dem Kreis näher kommt“ ist anschaulich, aber es verschiebt von Präzision zu räumlicher Nähe oder Annäherung. Cusanus’ praecisius ist für seine Philosophie zentral: praecisio ist gerade das, was in endlicher Erkenntnis immer weiter angenähert, aber nicht voll erreicht wird.

Besser:

das zum Kreis präziser ist

oder erklärend:

das den Kreis präziser trifft / ihm präziser entspricht

Bewertung: sinnverschiebend, weil der cusanische Präzisionsbegriff abgeschwächt wird.

f) licet nullum praecisissimum → aber keines, das ihm genau gleich ist

Das ist die zweite starke Verfälschung.

Cusanus sagt:

kein praecisissimum

nicht:

kein genau gleiches

Praecisissimum heißt das Präziseste / am genauesten Bestimmte / vollkommen Präzise. Es geht um den Grenzpunkt der Präzision, nicht um einfache Gleichheit. Hofmann macht daraus:

keines, das ihm genau gleich ist

Damit wird praecisissimum in Gleichheit übersetzt. Der ganze cusanische Präzisionsgedanke wird verdeckt.

Bewertung: verfälschend.

g) nullum minus circulo parte aliquota eius → keines kleiner als der Kreis um einen aliquoten Teil von ihm

Hofmann:

keines, das um einen rationalen Bruchteil kleiner ist als der Kreis

Wieder:

• aliquoter Teil → rationaler Bruchteil;
• eius wird nicht sauber erhalten;
• minus circulo bleibt korrekt in der Grundrichtung.

Bewertung: verfälschend durch „rationaler Bruchteil“.

h) ita et e converso → ebenso auch umgekehrt

Das ist gut.

Bewertung: zutreffend.

8. Mathematische / cusanische Begriffsschicht

Dieser Satz ist sehr wichtig. Cusanus führt den Präzisionsgedanken ein:

gegebenes Kreismaß
→ größeres Quadratum möglich
→ aber nicht um aliquoten Teil größer
→ zu jedem solchen Quadratum ein präziseres möglich
→ aber kein praecisissimum
→ kein aliquot kleineres
→ umgekehrt ebenso

Das ist die Struktur der unendlichen Annäherung ohne erreichte absolute Präzision.

Damit ist der Satz nicht bloß mathematisch, sondern cusanisch-philosophisch zentral:

Endliche mathematische Bestimmung kann immer präziser werden, erreicht aber kein präzisissimum.

Das paßt zu docta ignorantia: Präzision wird angenähert, aber nicht als letzte exakte Übereinstimmung erreicht.

Hofmanns Fassung mit „dem Kreis näher kommt“ und „genau gleich“ macht daraus eine gewöhnliche Annäherung an Gleichheit. Das ist verständlich, aber weniger cusanisch.

9. Zusammenhang mit dem vorherigen Satz

Der vorherige Satz sagte:

Ein Quadratum kann größer sein als der Kreis, aber nicht um einen aliquoten Teil des Quadratums; ein Kreis kann kleiner sein als ein Quadratum, aber nicht um einen aliquoten Teil des Kreises.

Dieser Satz ergänzt:

Zu jedem solchen gegebenen Quadratum kann ein präziseres gegeben werden; aber kein absolut präzisestes.

Zusammen bilden sie die zentrale cusanische Einsicht:

Zwischen Kreis und Quadratum ist eine beliebige Annäherung möglich, aber die Differenz bleibt nicht aliquot faßbar und erreicht kein praecisissimum.

Das ist mehr als Rechnen. Es ist eine Kontemplation über Grenze, Maß, Präzision und Singularität.

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10. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Fassung ist hier an mehreren tragenden Stellen verfälschend:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
parte aliquota	rationaler Bruchteil	verfälschende Arithmetisierung
eius	ausgelassen	Bezug der Teilgröße geht verloren
praecisius	kommt näher	Präzisionsbegriff wird räumlich-annähernd
praecisissimum	genau gleich	cusanischer Grenzbegriff wird Gleichheitsbegriff
Quadratum	Quadrat	zulässige Glättung

Der schwerste Verlust ist praecisius / praecisissimum. Cusanus führt hier einen entscheidenden Begriff ein. Hofmann übersetzt ihn in gewöhnliche Näherung und Gleichheit um. Dadurch wird der philosophische Kern abgeschwächt.

11. Übernommener finaler Entwurf

Und folgeweise ergibt sich daraus: Obwohl zu einem gegebenen Kreis ein größeres Quadratum gegeben werden könnte, ist es dennoch nicht um einen aliquoten Teil von ihm größer; und zu jedem so gegebenen Quadratum kann noch ein anderes gegeben werden, das zum Kreis präziser ist, obgleich kein präzisissimum; und keines ist kleiner als der Kreis um einen aliquoten Teil von ihm — so auch umgekehrt.

Kommentar:

Pars aliquota bleibt aliquoter Teil, nicht „rationaler Bruchteil“. Praecisius und praecisissimum werden nicht mit „näher“ und „genau gleich“ ersetzt, weil Cusanus hier seinen Präzisionsgedanken einführt: Es kann immer ein präziseres Quadratum gegeben werden, aber kein präzisissimum. Damit wird die mathematische Annäherung als unbeendbare Präzisierung beschrieben, nicht als einfache Nähe zu Gleichheit.

9. Absatz

An sich hast du damit schon die Analyse der Absätze ausgeführt. Führe sie dennoch allgemein gehalten durch ohne dich zu sehr zu wiederholen.

Cusanus 9. Absatzt:

1) Auf solche Weise kann freilich gesagt werden: Zu einem gegebenen Kreis kann ein Quadratum gegeben werden, das, auch wenn es größer als der Kreis sein wird, dennoch nicht um irgendeinen aliquoten Teil von ihm größer ist, nämlich des Quadratums; und zu einem gegebenen Quadratum kann ein Kreis gegeben werden, der kleiner als dieses ist, dennoch nicht kleiner um einen aliquoten Teil des Kreises.

2) Und folgeweise ergibt sich daraus: Obwohl zu einem gegebenen Kreis ein größeres Quadratum gegeben werden könnte, ist es dennoch nicht um einen aliquoten Teil von ihm größer; und zu jedem so gegebenen Quadratum kann noch ein anderes gegeben werden, das zum Kreis präziser ist, obgleich kein präzisissimum; und keines ist kleiner als der Kreis um einen aliquoten Teil von ihm — so auch umgekehrt.

Hofmann:

1) Ebenso kann man sagen: Zu einem gegebenen Kreis läßt sich ein Quadrat angeben, das zwar gröBer ist als der Kreis, jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Quadrats. Und zu einem gegebenen Quadrat läßt sich ein kleinerer Kreis angeben, der jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil des Kreises kleiner ist.

2) Daraus folgt: Zu einem gegebenen Kreis läßt sich ein größeres Quadrat geben — größer, jedoch nicht um einen rationalen Bruchteil; und zu jedem so gegebenen Quadrat läßt sich ein anderes geben, das dem Kreis näher kommt, aber keines, das ihm genau gleich ist. Und keines, das um einen rationalen Bruchteil kleiner ist als der Kreis, ebenso auch umgekehrt.

Analyse 9. Absatz

Ja. Der 9. Absatz ist im bisherigen Verlauf ein Wendepunkt: Cusanus geht von der Unmöglichkeit einer aliquot faßbaren Differenz zur Möglichkeit unbeendbarer Präzisierung über.

1. Assimilationsstufe des 9. Absatzes

Der Absatz sagt im Kern:

Zwischen Kreis und Quadratum kann ein Größer- oder Kleinersein gegeben werden, aber diese Differenz ist nicht als aliquoter Teil der beteiligten Quantität faßbar. Dennoch kann immer ein präziseres Quadratum zum Kreis gegeben werden — nur kein praecisissimum.

Damit verschiebt Cusanus die Frage: Nicht mehr:

Gibt es ein exakt gleiches Quadrat?

Sondern:

Wie kann man eine immer präzisere Annäherung denken, ohne eine letzte Präzision zu behaupten?

Das ist cusanisch sehr wichtig. Hier erscheint die Grundfigur:

größer / kleiner
→ nicht aliquot meßbar
→ immer präziser möglich
→ kein praecisissimum

Das ist keine Niederlage der Vernunft, sondern eine gelenkte Einsicht in die Grenze mathematischer Präzision.

2. Was unsere Fassung erhält

Unsere Fassung erhält die drei tragenden Begriffe:

• Quadratum
• aliquoter Teil
• praecisius / praecisissimum

Dadurch bleibt sichtbar, daß Cusanus nicht bloß von einem „größeren“ oder „näher kommenden“ Quadrat spricht, sondern von einer besonderen Art der Differenz:

Die Differenz ist vorhanden, aber nicht aliquot faßbar.

Und:

Präzisierung ist möglich, aber ein letztes Präzisestes ist nicht gegeben.

Diese Begriffe tragen die Assimilation. Ohne sie verliert der Absatz seinen eigentlichen philosophisch-mathematischen Gehalt.

3. Was Hofmann verändert

Hofmann übersetzt den Absatz in eine moderne Näherungs- und Gleichheitssprache.

Aus aliquoter Teil wird:

rationaler Bruchteil

Das verschiebt den Sinn in Richtung Bruchzahlen / Rationalität. Cusanus spricht aber von einer Differenz, die nicht als aliquoter Teil der betreffenden Quantität faßbar ist. Aus praecisius wird:

dem Kreis näher kommt

Das ist anschaulich, aber schwächer. Praecisius meint nicht nur räumliche oder rechnerische Nähe, sondern größere Präzision im cusanischen Sinn. Aus praecisissimum wird:

genau gleich

Das ist die stärkste Verschiebung. Cusanus sagt nicht einfach: „kein genau gleiches Quadrat“, sondern: kein Präzisissimum. Damit spricht er nicht nur über Gleichheit, sondern über die Grenze endlicher Präzision überhaupt.

4. Wirkung auf die Assimilation

Unsere Fassung führt den Leser zu:

Es gibt eine immer weiter steigerbare Präzisierung, aber keine letzte, vollständig erreichbare Präzision.

Hofmann führt den Leser eher zu:

Es gibt immer bessere Annäherungen, aber kein genau gleiches Quadrat.

Das klingt ähnlich, ist aber nicht dasselbe. Hofmann reduziert den cusanischen Präzisionsgedanken auf eine gewöhnliche Näherungsformel. Dadurch wird der Zusammenhang mit docta ignorantia, mathematischer Kontemplation und der Grenze endlicher Erkenntnis abgeschwächt.

5. Gesamturteil

Der 9. Absatz ist bei Hofmann nicht bloß sprachlich geglättet, sondern an den entscheidenden Begriffen verschoben:

aliquotus → rational
praecisius → näher
praecisissimum → genau gleich

Das verändert die Assimilation erheblich. Der Leser wird nicht auf Cusanus’ eigentliche Einsicht geführt:

Das mathematische Denken kann sich unbegrenzt präzisieren, aber es erreicht kein praecisissimum.

Gerade dieser Satz ist für die Verbindung von Kreisquadratur, Singularität des Kreises und theologischer Kontemplation zentral.

Hybris der Mathematik

Diese beiden Sätze sind eine für mich anhand von Inziedenzwinkel Kontigenzswinkel und Äquale zur Genüge ein Beweis, der den Wissenschaften im Ganzen seine Grenzen aufzeigt, da nun maöl die Wissenschaften grundlegend mathematisch aufgestellt sind, diese also nur in Wahrscheinlichkeiten berechnen können, wenn es über rationale Verhältnisse und Zählen hinausgeht – oder? Die sit bedeutend, da sich Mathematiker oft einen göttlichen Hybris der überlegenen mathematischen Genauigkeit und Unfehlbarkeit zu unrecht zueigenmachen – oder, deute ich das verfehlt oder zu scharf.

Für mich wurde jedenfalls die Bedeutung dieses Schriftstück für die Wissenschaften bislang verkannt, wozu die bisherige Übersetzung beigetragen hat – oder?

Mathematik ist nicht das Problem

Deine Deutung ist im Kern tragfähig, aber sie sollte nicht gegen die Mathematik als solche gerichtet werden, sondern gegen einen Hybris der Anwendung und Auslegung mathematischer Verfahren.

Ich würde es so fassen:

Cusanus zeigt hier nicht, daß Mathematik wertlos oder ungenau sei, sondern daß endliche mathematische Verfahren dort an Grenzen kommen, wo verschiedene Gattungen von Quantität nicht in eine gemeinsame Proportio gebracht werden können.

1. Nicht die Mathematik selbst ist das Problem

Die Mathematik kann innerhalb ihrer gesetzten Begriffe äußerst streng sein. Ein Beweis innerhalb eines Axiomensystems kann gültig oder ungültig sein.

Aber sobald Mathematik auf Natur, Körper, Messung, Bewegung, Fläche, Zeit, Kraft, Leben, Gott, Sinn oder Wirklichkeit angewandt wird, entsteht ein Übergang:

mathematische Form
→ gemessene / gedachte Wirklichkeit
→ Auslegung

Und genau dort liegt die Grenze.

Cusanus zeigt an Kreis, Inzidenzwinkel, Kontingenzwinkel, Äqualem und praecisissimum:

Man kann sich immer weiter annähern, aber die letzte Präzision wird nicht als endliche Bestimmung ergriffen.

Das ist nicht Anti-Mathematik, sondern docta ignorantia innerhalb mathematischer Kontemplation.

2. „Nur Wahrscheinlichkeiten“ wäre zu stark

Zu scharf wäre:

Wissenschaften können nur Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Denn manche wissenschaftlichen Aussagen sind innerhalb ihres Modells streng ableitbar. Auch moderne Mathematik kann mit irrationalen, transzendenten und unendlichen Strukturen sehr wohl arbeiten. Treffender wäre:

Wissenschaften können in der Anwendung auf Wirklichkeit nur innerhalb ihrer gewählten Modelle, Maße, Näherungen und Begriffsrahmen präzise sein; sie erreichen kein absolutes praecisissimum der Wirklichkeit selbst.

Das ist cusanisch näher.

3. Der eigentliche Punkt

Cusanus trifft meines Erachtens nicht die Rechenfähigkeit der Mathematik, sondern die Selbstüberschätzung des mathematischen Zugriffs.

Seine Einsicht lautet ungefähr:

Wo eine Differenz nicht als aliquoter Teil faßbar ist und keine Proportio zwischen den beteiligten Quantitäten zustande kommt, kann das Denken zwar immer präziser werden, aber es erreicht nicht das Präzisissimum.

Das betrifft nicht nur Kreisquadratur. Es betrifft allgemein den Übergang:

Messen
→ Proportionieren
→ Berechnen
→ daraus absolute Erkenntnis beanspruchen

Diesen letzten Schritt begrenzt Cusanus.

4. Zur Bedeutung des Schriftstücks

Ja: Wenn unsere bisherige Analyse stimmt, dann wird die Bedeutung von De circuli quadratura in der Hofmann-Übersetzung teilweise verdeckt.

Besonders durch:

• aliquoter Teil → rationaler Bruchteil
• Proportio → rationales Verhältnis
• praecisissimum → genau gleich
• rectilineabel → in Figur verwandeln
• Singularität → Einzigartigkeit

wird aus Cusanus’ Gedankengang eine moderne mathematische Näherungsdiskussion. Dadurch verliert der Text seine eigentliche Tragweite:

Es geht nicht nur um eine mißlungene Kreisquadratur, sondern um eine Lehre der Grenze mathematischer Präzision und der Unmöglichkeit, jede Quantität in jede andere Gattung zu überführen.

5. Kurzurteil

Deine Deutung ist dann zu scharf, wenn sie sagt:

Mathematik oder Wissenschaft sei grundsätzlich nur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Sie ist stark und berechtigt, wenn sie sagt:

Cusanus zeigt, daß mathematische Wissenschaften kein absolutes Erkenntnisrecht über alle Wirklichkeit besitzen, weil Präzisierung nicht dasselbe ist wie Erreichen des praecisissimum.

Und ja: Diese Bedeutung scheint durch die untersuchte Übersetzung eher verdeckt als erschlossen zu werden.

10. Absatz, 1.–2. Satz

Ja meine Wortwahl war zu knapp und scharf – ich stimme dir zu, da ich ein Befürworter der Mathematik jedoch nicht das damit oft anzutreffende Gehabe so mancher Mathematiker. Schließlich mach ich das ganze auch um die heutige Mathematik zu verstehen, zu dem ich offenbar den Umweg über die Antike und das Mittelalter gehen muß.

Ich habe vor 20 Jahren einige Bücher in der Artweise wie Cusanus geschrieben und diese bislang nicht veröffentlicht, weil ich bei Überprüfung feststellte, das Leser diese einfache knappen kompakten klaren Verschriftungen nicht begreifen. Sie lesen nicht das, daß da steht. Ich stellte fest, daß ich um an ein vierfaches mehr schreiben muß um alle möglichen Mißverständnisse abzuwehren, doch dann wurden die Texte den Lesern zu lang und ich arbeite immer noch daran unmißverständlich zu formulieren. Dieser Umstand spielt eine Rolle in dieser und ähnlichen Übersetzungen.

Fahren wir mit dem vorletzten Absatz fort.

Cusanus 10. Absatz, 1.-2. Satz:

1) Et hanc partem puto veriorem.

2)Nam cum figurae polygoniae non sint eiusdem generis quantitatis cum figura circulari, tunc, etsi reperiatur una polygonia dato circulo quoad quantitatem aequalior quam alia, habebit tamen regula locum: In recipientibus maius et minus non deveniri ad maximum simpliciter in esse et posse.

Hofmann:

1) Und diese Ansicht halte ich für die richtigere.

2) Denn da Vieleckfiguren nicht Größen der nämlichen Art sind wie die Kreisfigur, gilt, selbst wenn sich ein Vieleck finden läßt, das einem gegebenen Kreis der Größe nach näher kommt als ein anderes, trotzdem der Satz: Bei Dingen, die ein Größer und Kleiner zulassen, gelangt man nicht zu einem schlechthin Größten im Sein und in der Möglichkeit (in esse et posse).

Analyse 10. Absatz, 1. Satz

Ja, dieser Umstand paßt sehr genau zu Cusanus: knappe klare Sätze können gerade deshalb mißverstanden werden, weil Leser nicht beim Gesagten bleiben, sondern sofort ihr eigenes Begriffssystem darüberlegen. Bei Cusanus ist die knappe Form nicht Vereinfachung, sondern Verdichtung.

Nun zum 10. Absatz.

1. Original

Et hanc partem puto veriorem.

Nam cum figurae polygoniae non sint eiusdem generis quantitatis cum figura circulari, tunc, etsi reperiatur una polygonia dato circulo quoad quantitatem aequalior quam alia, habebit tamen regula locum: In recipientibus maius et minus non deveniri ad maximum simpliciter in esse et posse.

Unser Entwurf

Und diese Seite halte ich für wahrer.

Alternativ:

Und diesen Teil halte ich für wahrer.

Ich bevorzuge „diese Seite“, weil Cusanus zuvor zwei Positionen gegeneinander gestellt hat: die Zulassenden und die Verneinenden. Pars kann hier also die Seite / Partei / Auffassungsseite meinen.

Rückübersetzung

Et hanc partem puto veriorem.

Sehr nahe.

Hofmann

Und diese Ansicht halte ich für die richtigere.

Das ist verständlich, aber „Ansicht“ glättet pars. Cusanus sagt nicht ausdrücklich opinionem oder sententiam, sondern partem. Das ist wichtig, weil er offenbar aus der Gegenüberstellung zweier Seiten spricht.

Bewertung: Hofmann ist hier nicht verfälschend, aber glättend. „Diese Seite“ ist cusanisch näher.

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Satz 2

Unser erster Entwurf

Denn da polygonale Figuren nicht derselben Gattung der Quantität sind wie die kreisförmige Figur, wird dennoch die Regel ihren Ort haben: Bei denjenigen, die Mehr und Weniger aufnehmen, gelangt man nicht zum Maximum schlechthin im Sein und Können, auch wenn eine polygonale Figur gefunden wird, die einem gegebenen Kreis der Quantität nach äqualer ist als eine andere.

Das ist nah, aber die Satzstellung ist schwer. Besser:

Finalisierter Entwurf

Denn da polygonale Figuren nicht derselben Gattung der Quantität sind wie die kreisförmige Figur, wird, auch wenn eine polygonale Figur gefunden wird, die einem gegebenen Kreis der Quantität nach äqualer ist als eine andere, dennoch die Regel ihren Ort haben: Bei denjenigen, die Mehr und Weniger aufnehmen, gelangt man nicht zum Maximum schlechthin im Sein und Können.

Rückübersetzung unseres Entwurfs

Nam cum figurae polygoniae non sint eiusdem generis quantitatis cum figura circulari, tunc, etsi reperiatur una polygonia dato circulo quoad quantitatem aequalior quam alia, habebit tamen regula locum: In recipientibus maius et minus non deveniri ad maximum simpliciter in esse et posse.

Das geht fast vollständig zum Original zurück. „ihren Ort haben“ erhält habebit regula locum besser als „gilt“.

Analyse der Hofmann-Fassung

Hofmann:

Denn da Vieleckfiguren nicht Größen der nämlichen Art sind wie die Kreisfigur, gilt, selbst wenn sich ein Vieleck finden läßt, das einem gegebenen Kreis der Größe nach näher kommt als ein anderes, trotzdem der Satz: Bei Dingen, die ein Größer und Kleiner zulassen, gelangt man nicht zu einem schlechthin Größten im Sein und in der Möglichkeit (in esse et posse).

1. figurae polygoniae → Vieleckfiguren

Das ist sachlich möglich. Polygonale Figuren ist näher, weil Cusanus den griechisch-lateinischen Fachbegriff polygoniae verwendet. „Vieleckfiguren“ ist aber nicht schwer verfälschend.

2. non sint eiusdem generis quantitatis → nicht Größen der nämlichen Art

Hier liegt eine wichtige Verschiebung.

Cusanus sagt:

nicht derselben Gattung der Quantität

Hofmann sagt:

nicht Größen der nämlichen Art

Das ist glatter, aber schwächer. Der Ausdruck genus quantitatis ist hier zentral. Cusanus spricht nicht bloß von „Größenarten“, sondern von einer Gattung der Quantität. Das paßt genau zu unserer bisherigen Treppe: Quantität, Gattung, Proportio, rectilineal, circular.

Bewertung: sinnverschiebend durch Vereinfachung.

3. figura circularis → Kreisfigur

Das ist möglich. Kreisförmige Figur ist näher, weil circularis die kreisförmige Bestimmtheit ausdrückt, nicht bloß „der Kreis“ als Objekt.

4. quoad quantitatem aequalior → der Größe nach näher kommt

Das ist eine deutliche Verschiebung.

Cusanus sagt:

aequalior äqualer / entsprechender / mehr zum Äqualen hin.

Hofmann sagt:

näher kommt

Damit wird aequalior in eine Annäherungssprache übersetzt. Das ist verständlich, aber nicht identisch. Cusanus sagt nicht nur „näher“, sondern „der Quantität nach äqualer“. Wieder wird aequale verdeckt.

Bewertung: sinnverschiebend. Besser: der Quantität nach äqualer.

5. habebit regula locum → gilt der Satz

Cusanus:

die Regel wird ihren Ort haben

Hofmann:

gilt der Satz

„Gilt“ ist glatt und verständlich, aber habere locum bedeutet eher: die Regel findet Anwendung / hat hier ihren Ort. Unsere Fassung erhält das besser.

Bewertung: zulässige Glättung, aber weniger cusanisch.

6. In recipientibus maius et minus → Bei Dingen, die ein Größer und Kleiner zulassen

Das ist verständlich, aber nicht ganz nah.

recipientibus heißt wörtlich:

bei den Aufnehmenden / Empfangenden / denjenigen, die Mehr und Weniger aufnehmen.

Hofmanns „Dinge, die … zulassen“ ist sachlich möglich. Aber Cusanus spricht wieder sehr allgemein und regelhaft: nicht einfach Dinge, sondern recipientia — etwas, das Mehr und Weniger aufnehmen kann.

Unser „bei denjenigen, die Mehr und Weniger aufnehmen“ ist ungewohnt, aber näher.

7. maximum simpliciter in esse et posse → schlechthin Größtes im Sein und in der Möglichkeit

Hier ist Hofmann teils gut, teils zu modern.

maximum simpliciter = Maximum schlechthin.

in esse et posse = im Sein und Können / Sein und Vermögen / Sein und Möglichkeit.

Hofmanns „Möglichkeit“ ist vertretbar. Aber posse kann bei Cusanus stärker Können / Vermögen bedeuten, nicht nur abstrakte Möglichkeit. Da Cusanus später oft mit posse als Vermögen / Können arbeitet, würde ich Könnenbevorzugen.

Gesamtbewertung des Satzes

Dieser Satz ist einer der wichtigsten bisherigen Sätze.

Cusanus sagt:

Polygonale Figuren und kreisförmige Figur gehören nicht derselben Gattung der Quantität an. Deshalb kann eine polygonale Figur dem Kreis zwar der Quantität nach äqualer sein als eine andere; aber bei allem, was Mehr und Weniger aufnimmt, gelangt man nicht zum Maximum schlechthin im Sein und Können.

Das ist der Übergang von der mathematischen Debatte zur cusanischen Grundregel:

Mehr und Weniger
→ immer äqualer / präziser möglich
→ aber kein Maximum schlechthin
→ kein praecisissimum im Bereich des Mehr und Weniger

Das ist genau die Linie aus Absatz 9.

Hofmann macht daraus:

Vielecke sind nicht Größen derselben Art wie die Kreisfigur; ein Vieleck kann der Größe nach näher kommen; aber man gelangt nicht zum schlechthin Größten.

Das ist verständlich, aber es verliert drei zentrale Begriffe:

• Gattung der Quantität
• äqualer
• Sein und Können

Dadurch wird der Satz allgemeiner, moderner und weniger cusanisch.

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Übernommener Entwurf

Und diese Seite halte ich für wahrer. Denn da polygonale Figuren nicht derselben Gattung der Quantität sind wie die kreisförmige Figur, wird, auch wenn eine polygonale Figur gefunden wird, die einem gegebenen Kreis der Quantität nach äqualer ist als eine andere, dennoch die Regel ihren Ort haben: Bei denjenigen, die Mehr und Weniger aufnehmen, gelangt man nicht zum Maximum schlechthin im Sein und Können.

Kommentar:

Pars wird als Seite wiedergegeben, weil Cusanus zwischen zwei Auffassungsseiten vermittelt. Genus quantitatis wird nicht zu „Größenart“ geglättet, da die Gattung der Quantität für die Argumentation entscheidend ist. Aequalior bleibt äqualer, nicht bloß „näher“. Maximum simpliciter in esse et possebezeichnet kein bloß größtes Ding, sondern das Maximum schlechthin im Sein und Können; im Bereich von Mehr und Weniger wird dieses nicht erreicht.

10. Absatz, 3. Satz

Die Formulierung seitens Cusanus ist verständlicher.

Cusanus 10. Absatz, 3. Satz

Capacitas enim circularis est quod maximum simpliciter in comparatione ad capacitates polygoniarum, quae recipiunt maius et minus et ideo eam non attingunt, sicut numeri non attingunt capacitatem unitatis et multiplicitates non attingunt virtutem simplicis.

Hofmann:

Die Kreisfläche ist nämlich im Vergleich zu den Vieleckflächen, die ein Größer und Kleiner zulassen und die Kreisfläche daher nicht erreichen, das schlechthin Größte, so wie die Zahlen nicht erreichen die Fassungskraft der Einheit und die Vielfachheiten nicht die Kraft des Einfachen.

Analyse 10. Absatz, 3. Satz

Ja, hier ist Cusanus tatsächlich verständlicher als Hofmann, weil er denselben Begriff capacitas durch den ganzen Satz trägt. Hofmann zerlegt ihn in „Kreisfläche“, „Vieleckflächen“ und „Fassungskraft“ — dadurch geht die innere Analogie teilweise verloren.

1. Original

Capacitas enim circularis est quod maximum simpliciter in comparatione ad capacitates polygoniarum, quae recipiunt maius et minus et ideo eam non attingunt, sicut numeri non attingunt capacitatem unitatis et multiplicitates non attingunt virtutem simplicis.

2. Erster Entwurf

Die kreisförmige Capacitas ist nämlich das Maximum schlechthin im Vergleich zu den Capacitäten polygonaler [Figuren], die Mehr und Weniger aufnehmen und sie deshalb nicht erreichen, so wie die Zahlen die Capacitas der Einheit nicht erreichen und die Vielfachheiten nicht die Virtus des Einfachen.

Etwas deutscher, aber noch begriffstreu:

Die kreisförmige Capacitas ist nämlich das Maximum schlechthin im Vergleich zu den Capacitäten polygonaler Figuren, welche Mehr und Weniger aufnehmen und sie deshalb nicht erreichen, so wie die Zahlen die Capacitas der Einheit nicht erreichen und die Vielfachheiten nicht die Virtus des Einfachen.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Capacitas enim circularis est maximum simpliciter in comparatione ad capacitates figurarum polygoniarum, quae recipiunt maius et minus et ideo eam non attingunt, sicut numeri non attingunt capacitatem unitatis et multiplicitates non attingunt virtutem simplicis.

Abweichung:

• Original: est quod maximum simpliciter
• Rückübersetzung: est maximum simpliciter

Das quod ist im Deutschen schwer direkt zu erhalten. Man könnte näher schreiben:

Die kreisförmige Capacitas ist nämlich das, was Maximum schlechthin ist …

Das ist etwas ungewohnt, aber näher.

4. Finalisierter Entwurf

Die kreisförmige Capacitas ist nämlich das, was Maximum schlechthin ist im Vergleich zu den Capacitäten polygonaler Figuren, welche Mehr und Weniger aufnehmen und sie deshalb nicht erreichen, so wie die Zahlen die Capacitas der Einheit nicht erreichen und die Vielfachheiten nicht die Virtus des Einfachen.

Diese Fassung erhält die entscheidenden Leitwörter:

• Capacitas
• Maximum schlechthin
• Mehr und Weniger aufnehmen
• nicht erreichen
• Capacitas der Einheit
• Virtus des Einfachen

5. Hofmann-Fassung

Die Kreisfläche ist nämlich im Vergleich zu den Vieleckflächen, die ein Größer und Kleiner zulassen und die Kreisfläche daher nicht erreichen, das schlechthin Größte, so wie die Zahlen nicht erreichen die Fassungskraft der Einheit und die Vielfachheiten nicht die Kraft des Einfachen.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Superficies circuli enim est in comparatione ad superficies polygoniarum, quae maius et minus admittunt et ideo superficiem circuli non attingunt, maximum simpliciter, sicut numeri non attingunt capacitatem unitatis et multiplicitates non attingunt virtutem simplicis.

Diese Rückübersetzung zeigt die Hauptverschiebung:

capacitas circularis wird zu superficies circuli capacitates polygoniarum werden zu superficies polygoniarum

Das ist nicht Cusanus’ Begriffswahl.

7. Analyse der Veränderungen

a) capacitas circularis → Kreisfläche

Das ist die entscheidende Verschiebung.

Cusanus schreibt nicht superficies circularis, sondern capacitas circularis.

Capacitas kann flächenbezogen verstanden werden — etwa als Fassungsvermögen, Aufnahmevermögen, Flächenaufnahme. Aber wenn Hofmann daraus direkt Kreisfläche macht, verliert der Satz seine begriffliche Tiefe.

Denn Cusanus verbindet später im selben Satz:

capacitas circularis

capacitates polygoniarum

capacitas unitatis

Wenn man zuerst „Kreisfläche“ und später „Fassungskraft der Einheit“ übersetzt, sieht der Leser nicht mehr, daß Cusanus dasselbe Wortfeld benutzt.

Bewertung: sinnverschiebend, im Zusammenhang stark problematisch bis verfälschend.

b) capacitates polygoniarum → Vieleckflächen

Wieder dieselbe Verschiebung.

Cusanus sagt:

Capacitäten polygonaler Figuren

Hofmann:

Vieleckflächen

Das macht den Satz schulgeometrisch verständlich, aber es zerstört die Verbindung zur Capacitas der Einheit.

Cusanus vergleicht nicht bloß Flächen, sondern Capacitäten:

kreisförmige Capacitas
↔ polygonale Capacitäten
↔ Capacitas der Einheit
↔ Virtus des Einfachen

Hofmann macht daraus:

Kreisfläche
↔ Vieleckflächen
↔ Fassungskraft der Einheit
↔ Kraft des Einfachen

Dadurch bricht der Gedankengang in zwei Bereiche auseinander: Geometrie hier, Metaphysik dort. Bei Cusanus sind sie sprachlich verbunden.

c) recipiunt maius et minus → ein Größer und Kleiner zulassen

Das ist verständlich, aber aufnehmen wäre näher.

Recipere heißt aufnehmen, empfangen, in sich aufnehmen. Cusanus sagt:

polygonale Capacitäten nehmen Mehr und Weniger auf.

Das paßt zu der bisherigen Regel:

In recipientibus maius et minus …

Hofmanns „zulassen“ ist sachlich möglich, aber glättet den Rezeptionscharakter.

Bewertung: leichte Sinnverschiebung.

d) attingunt → erreichen

Das ist gut. Attingere kann erreichen, berühren, anlangen heißen. „Erreichen“ ist brauchbar.

e) numeri → Zahlen

Das ist zulässig. Man könnte auch Numeri beibehalten, aber „Zahlen“ ist hier nicht schwer problematisch.

Wichtig ist jedoch:

Die Zahlen erreichen die Capacitas der Einheit nicht.

Das ist ein starker Satz. Er sagt nicht nur, daß Zahlen die Eins nicht „vollständig ausdrücken“. Er setzt Zahl/Vielheit gegen Einheit/Einfachheit.

f) capacitatem unitatis → Fassungskraft der Einheit

Das ist hier gar nicht schlecht. Fassungskraft kann capacitas gut treffen.

Aber gerade deshalb ist Hofmanns vorheriges Kreisfläche / Vieleckflächen problematisch. Sie erkennt bei unitas den Capacitas-Sinn, aber nicht bei circulus und polygonia.

Ein konsequenterer deutscher Satz wäre:

kreisförmiges Fassungsvermögen / polygonale Fassungsvermögen / Fassungsvermögen der Einheit

Das klingt ungewohnt, zeigt aber die Analogie. Noch besser für unsere Arbeit: Capacitas stehenlassen.

g) virtutem simplicis → Kraft des Einfachen

Das ist grundsätzlich gut. Virtus kann Kraft, Vermögen, Wirksamkeit, Potenz bedeuten.

Wir lassen Virtus zunächst stehen, weil bei Cusanus virtus oft mehr als bloße Kraft ist: ein inneres Vermögen / eine tragende Wirkkraft.

8. Mathematische und cusanische Bedeutung

Dieser Satz ist ein Schlüssel.

Cusanus sagt:

Die kreisförmige Capacitas ist im Verhältnis zu polygonalen Capacitäten das Maximum schlechthin.

Warum?

Weil polygonale Figuren Mehr und Weniger aufnehmen. Man kann sie vermehren, verfeinern, annähern, präzisieren. Aber gerade deshalb erreichen sie das Maximum schlechthin nicht.

Die Analogie:

Polygonale Capacitäten erreichen die kreisförmige Capacitas nicht.
Zahlen erreichen die Capacitas der Einheit nicht.
Vielfachheiten erreichen die Virtus des Einfachen nicht.

Das ist nicht bloß Mathematik. Hier wird die geometrische Kreisfrage direkt mit Einheit und Einfachheit verbunden.

Der Kreis steht in dieser Argumentation nahe bei:

• Einheit,
• Einfachheit,
• Maximum,
• Singularität,
• nicht erreichbarer Präzision.

Das stützt deine Beobachtung zur Monas / Gott-Nähe. Cusanus formuliert hier eine mathematische Kontemplation: Die Vielheit der polygonalen Annäherungen erreicht das kreisförmige Maximum nicht, so wie Zahlen die Einheit und Vielfachheiten das Einfache nicht erreichen.

9. Bewertung der Hofmann-Fassung

Hofmanns Übersetzung ist äußerlich lesbar, aber sie verdeckt den wichtigsten Bau des Satzes: die Capacitas-Kette.

Die Hauptveränderungen:

Cusanus	Hofmann	Bewertung
capacitas circularis	Kreisfläche	verfälschend im Zusammenhang
capacitates polygoniarum	Vieleckflächen	verfälschend im Zusammenhang
recipiunt	zulassen	glättend
capacitas unitatis	Fassungskraft der Einheit	hier gut, aber inkonsequent
virtus simplicis	Kraft des Einfachen	vertretbar

Der entscheidende Verlust ist:

Hofmann trennt die geometrische Aussage von der metaphysischen Analogie, obwohl Cusanus sie durch dasselbe Wort capacitas verbindet.

Damit wird die Assimilation geschwächt. Der Leser sieht nicht mehr deutlich, daß Cusanus Kreis, Einheit und Einfachheit in einem gemeinsamen Denkmuster behandelt.

Übernommener Entwurf

Die kreisförmige Capacitas ist nämlich das, was Maximum schlechthin ist im Vergleich zu den Capacitäten polygonaler Figuren, welche Mehr und Weniger aufnehmen und sie deshalb nicht erreichen, so wie die Zahlen die Capacitas der Einheit nicht erreichen und die Vielfachheiten nicht die Virtus des Einfachen.

Kommentar:

Capacitas wird nicht mit „Kreisfläche“ oder „Vieleckfläche“ ersetzt, weil Cusanus denselben Begriff anschließend auf die unitas bezieht. Der Satz baut eine Analogie: polygonale Capacitäten erreichen die kreisförmige Capacitas nicht, wie Zahlen die Capacitas der Einheit und Vielfachheiten die Virtus des Einfachen nicht erreichen. Dadurch wird der mathematische Gedankengang ausdrücklich in Richtung Einheit und Einfachheit geöffnet.

11. Absatz, 1. Satz

Man muß dabei jedoch zugestehen daß jeder diesen Schlüssel hat, der sich an die Euklid'ische Geometrie hält, es zwar meisterhaft formuliert, jedoch an sich nichts neues ist. Da gab es auch bereits in der Antike einen Beweis zu, indem man zu ermitteln hatte welche Form ein Stück Land haben muß, um die größtmögliche Fläche zu erhalten. Bis jetzt habe ich keine Fehler in den Aussagen des Cusanus bemerken können, jedoch "Verdrehungen" seiner Aussagen durch die Übersetzung, um nicht vorsätzliche Verfälschung sagen zu müssen. Die Übersetzer stützen sich mehr auf die Elemente, ich habe den Eindruck daß sich Cusanus in seinen Aussagen auf die Stoicheia stützt, sie sind einander nicht dasselbe, wie wir es im Vergleich dieser bereits von Stoicheia zu Elemente als so seiend ermittelt haben – oder?

Fahren wir fort.

Cusanus 11. Absatz, 1. Satz

Sufficere autem videbatur primam opinionem tenentibus, quod dato circulo posset dari quadratum, quod non esset nec maius nec minus circulo.

Hofmann:

Jenen Leuten, die an der ersten Ansicht festhalten, schien es zu genügen, daß sich zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat geben läßt, das weder größer noch kleiner ist als der Kreis.

Analyse 11. Absatz, 1. Satz

Ja — man sollte hier sachlich trennen:

Nicht jeder mathematische Schlüssel ist neu; neu oder besonders kann aber sein, wie Cusanus ihn in eine theologisch-philosophische Assimilation einbindet.

Daß der Kreis bei gegebener Begrenzung die größte Fläche faßt, ist kein cusanischer Neufund. Aber Cusanus verbindet diese geometrische Einsicht mit Capacitas, unitas, simplex, maximum simpliciter, praecisio und singularitas. Darin liegt die besondere cusanische Leistung.

Zu Stoicheia / Elemente: Ja, deine Unterscheidung ist methodisch wichtig. Wenn Cusanus stärker aus einer noch kontinuierlicher gedachten euklidischen Geometrie heraus argumentiert, dann verfälscht eine spätere „Elemente“-Lesart mit vergegenständlichten Punkten, Flächenstücken, Beträgen und modernen Gleichheitsbegriffen seinen Gedankengang leichter.

Vorsatz bei Hofmann können wir nicht feststellen. Aber die Wirkung ist klar: Die Übersetzung verschiebt wiederholt den Sinn.

1. Original

Sufficere autem videbatur primam opinionem tenentibus, quod dato circulo posset dari quadratum, quod non esset nec maius nec minus circulo.

2. Erster Entwurf

Den die erste Meinung Haltenden aber schien zu genügen, daß zu einem gegebenen Kreis ein Quadratum gegeben werden könnte, das weder größer noch kleiner als der Kreis wäre.

Etwas deutscher:

Denjenigen aber, die die erste Meinung halten, schien zu genügen, daß zu einem gegebenen Kreis ein Quadratum gegeben werden könnte, das weder größer noch kleiner als der Kreis wäre.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sufficere autem videbatur primam opinionem tenentibus, quod dato circulo posset dari quadratum, quod nec maius nec minus circulo esset.

Sehr nahe. Die Wortstellung weicht leicht ab; der Sinn bleibt erhalten. Quadratum bleibt sichtbar. Posset dari bleibt „gegeben werden könnte“.

4. Finalisierter Entwurf

Denjenigen aber, die die erste Meinung halten, schien zu genügen, daß zu einem gegebenen Kreis ein Quadratum gegeben werden könnte, das weder größer noch kleiner als der Kreis wäre.

5. Hofmann-Fassung

Jenen Leuten, die an der ersten Ansicht festhalten, schien es zu genügen, daß sich zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat geben läßt, das weder größer noch kleiner ist als der Kreis.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Illis hominibus, qui primae sententiae adhaerent, sufficere videbatur, quod dato circulo possit dari quadratum, quod nec maius nec minus est circulo.

Das weicht an einigen Punkten ab.

7. Analyse der Veränderungen

a) primam opinionem tenentibus → jenen Leuten, die an der ersten Ansicht festhalten

Cusanus:

primam opinionem tenentibus den die erste Meinung Haltenden.

Hofmann:

Jenen Leuten, die an der ersten Ansicht festhalten

Problematisch ist wieder „Leute“. Es kann leicht abwertend oder distanzierend wirken. Tenere opinionem heißt schlicht: eine Meinung / Auffassung halten. „Festhalten“ ist möglich, kann aber einen starrsinnigen Beiklang haben. Besser:

denjenigen, die die erste Meinung halten

oder:

den Vertretern der ersten Meinung

Bewertung: leichte Tonverschiebung.

b) opinionem → Ansicht

Das ist möglich. Meinung ist näher, Ansicht etwas glatter.

Bewertung: zulässig.

c) posset dari → geben läßt

Cusanus:

posset dari gegeben werden könnte.

Hofmann:

geben läßt

Der Konjunktiv / Möglichkeitscharakter wird abgeschwächt. Hofmann formuliert gegenwärtiger und glatter:

es läßt sich geben

statt:

es könnte gegeben werden.

Da Cusanus gerade über eine Auffassung referiert, ist könnte gegeben werden besser.

Bewertung: leichte Sinnverschiebung.

d) quadratum → Quadrat

Sachlich zulässig; wir halten Quadratum wegen der Begriffskette.

Bewertung: glättend, nicht allein verfälschend.

e) quod non esset nec maius nec minus circulo → das weder größer noch kleiner ist

Cusanus:

non esset nec maius nec minus nicht wäre, weder größer noch kleiner.

Hofmann:

das weder größer noch kleiner ist

Hier wird der Konjunktiv esset zu einem Indikativ ist. Das macht die Aussage stärker. Cusanus referiert die Bedingung innerhalb der Meinung der ersten Seite: ihnen genügte, daß ein Quadratum gegeben werden könnte, das weder größer noch kleiner wäre.

Hofmann klingt, als sei die Möglichkeit stärker gesetzt.

Bewertung: kleine, aber relevante Verschiebung.

8. Mathematische / cusanische Bedeutung

Der Satz beschreibt die erste Position rückblickend:

Den Befürwortern genügte die Annahme, daß es zu einem Kreis ein Quadratum geben könnte, das weder größer noch kleiner als der Kreis wäre.

Das ist die klassische intuitive Mitte:

Cusanus hat aber in den vorherigen Absätzen gezeigt, daß diese bloße Mitte nicht ausreicht, wenn die Quantitäten verschiedener Gattung sind und kein aliquoter / proportionaler Durchgang gegeben ist.

Der Satz ist daher nicht Cusanus’ abschließende Position, sondern eine Zusammenfassung dessen, was der ersten Meinung genügte.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Übersetzung ist hier weniger schwer als in vorherigen Sätzen, aber sie setzt denselben Ton fort:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
tenentibus	festhalten	etwas starrer
primam opinionem	erste Ansicht	zulässig
posset dari	geben läßt	Möglichkeit abgeschwächt
esset	ist	referierte Möglichkeit wird stärker
Leute	Zusatzton	distanzierend

Nach unserem Maßstab liegt hier eher Ton- und Modusverschiebung vor, keine starke Verfälschung. Aber im Zusammenhang verstärkt Hofmann wieder das Bild einer Gruppe, die an einer Ansicht „festhält“, statt neutral eine vertretene Meinung zu beschreiben.

10. Übernommener finaler Entwurf

Denjenigen aber, die die erste Meinung halten, schien zu genügen, daß zu einem gegebenen Kreis ein Quadratum gegeben werden könnte, das weder größer noch kleiner als der Kreis wäre.

Kommentar:

Opinionem tenere wird neutral als „eine Meinung halten“ wiedergegeben, nicht als starres „Festhalten“. Posset dari und esset bleiben im Möglichkeitsmodus: Cusanus referiert, was der ersten Auffassungsseite zu genügen schien, nicht eine bereits gesicherte Gegebenheit.

11. Absatz, 2. Satz

Keine bedeutende Verfälschung aufgrund von Veränderung, aber: Hofmann's Übersetzung läßt Cusanus mit dem Charakterzug engstirnig und dogmatisch zu sein zurück, daber wirkt er auf mich aus unserer Übersetzung wohlwollen, offen, gesprächsbereit, ja sogar bereit widerlegt zu werden. Er bittet geradezu darum, daß jemand seine Aussagen prüft um festzustellen, ob er sich womöglich in dem irrt, daß für ihn gegenwärtig vollkommen richtig zu sein scheint. Ich empfinde die Übersetzung inzwischen als unfair, zumal diese Abfolge der Absätze auch das Verhandlungsgeschick des Cusanus in Sachen einer Streitfrage offenbart, seine frühe Ausbildung und Tätigkeit als Anwalt ihm in derartigen Sachfragen zuträglich ist.

Cusanus 11. Absatz, 2. Satz

Omne enim maius aut est parte aliquota aut sui aut alterius, cui comparatur, maius; sic, si minus.

Hofmann:

Jedes Größere ist nämlich größer um einen Bruchteil seiner selbst oder der andern Größe, mit der es verglichen wird. Ebenso verhält es sich mit dem Kleineren.

Analyse 11. Absatz, 2. Satz

Ja, diese Passage bestätigt deinen Eindruck: Cusanus wirkt hier nicht dogmatisch, sondern verfahrensklug. Er legt die Positionen offen, prüft ihre Voraussetzungen und zeigt, wo ein Argument trägt oder nicht trägt. Das hat tatsächlich etwas von einer sachlichen Verhandlung.

1. Original

Omne enim maius aut est parte aliquota aut sui aut alterius, cui comparatur, maius; sic, si minus.

2. Erster Entwurf

Jedes Größere nämlich ist größer um einen aliquoten Teil entweder seiner selbst oder eines anderen, mit dem es verglichen wird; so auch, wenn es kleiner ist.

Etwas geglättet:

Jedes Größere ist nämlich größer um einen aliquoten Teil entweder seiner selbst oder des anderen, mit dem es verglichen wird; ebenso, wenn es kleiner ist.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Omne enim maius est parte aliquota aut sui aut alterius, cui comparatur, maius; similiter, si minus.

Sehr nah am Original. Nur sic wird als similiter zurückgegeben. Das ist deutsch bedingt. Um sic näher zu halten:

so, wenn es kleiner ist

Das ist aber im Deutschen weniger klar.

4. Finalisierter Entwurf

Jedes Größere ist nämlich größer um einen aliquoten Teil entweder seiner selbst oder des anderen, mit dem es verglichen wird; ebenso, wenn es kleiner ist.

5. Hofmann-Fassung

Jedes Größere ist nämlich größer um einen Bruchteil seiner selbst oder der andern Größe, mit der es verglichen wird. Ebenso verhält es sich mit dem Kleineren.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Omne enim maius est maius parte fractionis sui ipsius aut alterius magnitudinis, cui comparatur. Similiter se habet de minore.

Das weicht an den entscheidenden Begriffen ab.

7. Analyse der Veränderungen

a) parte aliquota → Bruchteil

Das ist die wichtigste Verschiebung.

Cusanus sagt:

parte aliquota

Hofmann:

Bruchteil

„Bruchteil“ ist näher als „rationaler Bruchteil“, aber immer noch nicht genau. Pars aliquota meint einen aliquoten Teil: einen Teil, der das Ganze mißt / in ihm aufgeht. Nicht jeder beliebige Bruchteil ist im historischen Sinn automatisch eine pars aliquota. Besser:

aliquoter Teil

oder erklärend:

ein aliquoter, das Ganze messender Teil

Bewertung: sinnverschiebend, aber weniger stark als Hofmanns frühere „rationaler Bruchteil“-Übersetzungen.

b) aut sui aut alterius → seiner selbst oder des anderen

Hofmann:

seiner selbst oder der andern Größe

Das ist im Sinn richtig, aber Größe ist ergänzt. Cusanus sagt nur alterius. Aus dem Kontext ist die andere verglichene Quantität gemeint.

Diese Ergänzung ist nicht schwer problematisch, aber sie setzt wieder „Größe“ als Standardwort ein.

Bewertung: leichte Glättung.

c) cui comparatur → mit der es verglichen wird

Das ist gut.

Bewertung: zutreffend.

d) sic, si minus → Ebenso verhält es sich mit dem Kleineren

Das ist sinngemäß richtig. Cusanus ist knapper:

so, wenn kleiner

Hofmann macht daraus einen vollständigen deutschen Satz. Das ist zulässig.

Bewertung: keine Verfälschung.

8. Mathematische / logische Funktion

Der Satz erklärt, warum den Vertretern der ersten Meinung ihr Schluß genügte.

Cusanus sagt:

Wenn etwas wirklich größer oder kleiner ist, dann müßte dieses Größer- oder Kleinersein durch einen aliquoten Teil seiner selbst oder des anderen Vergleichsgliedes bestimmbar sein.

Das ist die Voraussetzung, die er vorher immer wieder geprüft hat:

Dieser Satz ist also eine Brücke zwischen:

• Mehr/Weniger,
• aliquotem Teil,
• Vergleichbarkeit,
• Äqualität.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Übersetzung ist hier im Grundsinn verständlich. Die Hauptschwäche ist wieder die Glättung von pars aliquota zu Bruchteil. Das ist keine so starke Verfälschung wie „rationaler Bruchteil“, aber es bleibt unpräzise, weil Cusanus nicht irgendeinen Bruchteil meint, sondern den aliquoten Teil als Maßteil.

10. Übernommener Entwurf

Jedes Größere ist nämlich größer um einen aliquoten Teil entweder seiner selbst oder des anderen, mit dem es verglichen wird; ebenso, wenn es kleiner ist.

Kommentar:

Pars aliquota wird als aliquoter Teil wiedergegeben, nicht als allgemeiner „Bruchteil“. Der Satz erklärt die Vergleichsbedingung: Größer- oder Kleinersein müßte durch einen aliquoten Teil des einen oder des anderen Vergleichsgliedes bestimmbar sein.

11. Absatz, 3. Satz

Wenn Cusanus Bruchteil meinen würde, würde er irgent eine Wortbildung mit fractio verwenden – richtig?

Cusanus 11. Absatz, 3. Satz:

Sed cum quadratum, quod datur, neque minima dabili parte aut quadrati aut circuli est circulo aut maius aut minus, hoc vocarunt aequale.

Hofmann:

Wenn aber das Quadrat, das sich angeben läßt, auch nicht um den kleinsten angebbaren Bruchteil des Quadrats oder des Kreises größer oder kleiner ist als der Kreis, nennen sie es gleich.

Analyse 11. Absatz, 3. Satz

Ja — wenn Cusanus ausdrücklich „Bruchteil“ im später-arithmetischen Sinn gemeint hätte, wäre eher eine Wortbildung mit fractio / fractus oder eine deutlichere Bruchterminologie zu erwarten. Zwingend ist das nicht, weil mittelalterliches Latein verschieden arbeitet; aber pars aliquota und hier minima dabilis pars sind nicht einfach „Bruchteil“. Hofmanns „Bruchteil“ trägt wieder eine spätere arithmetische Lesart ein.

1. Original

Sed cum quadratum, quod datur, neque minima dabili parte aut quadrati aut circuli est circulo aut maius aut minus, hoc vocarunt aequale.

2. Erster Entwurf

Wenn aber das Quadratum, das gegeben wird, weder um den kleinsten gebbaren Teil entweder des Quadratums oder des Kreises größer oder kleiner ist als der Kreis, nannten sie dies äqual.

Etwas geglättet:

Wenn aber das Quadratum, das gegeben wird, weder um den kleinsten gebbaren Teil des Quadratums noch des Kreises größer oder kleiner ist als der Kreis, nannten sie dies äqual.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sed cum quadratum, quod datur, neque minima dabili parte quadrati neque circuli est circulo aut maius aut minus, hoc vocarunt aequale.

Das ist nahe. Die Struktur aut quadrati aut circuli wird im Deutschen durch „des Quadratums noch des Kreises“gut wiedergegeben. Wenn wir noch näher bleiben wollen:

weder um den kleinsten gebbaren Teil entweder des Quadratums oder des Kreises

Das ist wortnäher, aber deutscher schwerer.

4. Finalisierter Entwurf

Wenn aber das Quadratum, das gegeben wird, weder um den kleinsten gebbaren Teil des Quadratums noch des Kreises größer oder kleiner ist als der Kreis, nannten sie dies äqual.

5. Hofmann-Fassung

Wenn aber das Quadrat, das sich angeben läßt, auch nicht um den kleinsten angebbaren Bruchteil des Quadrats oder des Kreises größer oder kleiner ist als der Kreis, nennen sie es gleich.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Sed cum quadratum, quod assignari potest, ne quidem minima assignabili fractione quadrati aut circuli sit circulo maius aut minus, hoc vocant aequale.

Das weicht mehrfach ab.

7. Analyse der Veränderungen

a) quadratum → Quadrat

Sachlich zulässig, aber wir behalten Quadratum, weil der Begriff in der Argumentkette steht.

b) quod datur → das sich angeben läßt

Cusanus:

quod datur das gegeben wird / gegeben ist.

Hofmann:

das sich angeben läßt

Das macht aus dem Gegebensein eine Anzeichen- oder Konstruktionsmöglichkeit. Nicht schwer, aber wieder verschoben. Besser:

das gegeben wird

c) neque minima dabili parte → auch nicht um den kleinsten angebbaren Bruchteil

Hier liegt die zentrale Verfälschung.

Cusanus sagt:

minima dabili parte um den kleinsten gebbaren Teil.

Er sagt nicht:

minima fractione

minima parte fracta

minima parte rationali.

Dabilis gehört zu Cusanus’ bisherigem Wortkreis: gebbar, bestimmbar, in der geometrischen Ordnung gegeben. Hofmanns „angebbarer Bruchteil“ verschiebt zu arithmetischer Bruchteil-Bestimmung.

Außerdem ist minima dabilis pars nicht einfach ein Bruchteil. Es geht um die Frage, ob überhaupt eine gebbare Teilgröße angegeben werden kann, um die das Quadratum größer oder kleiner wäre.

d) aut quadrati aut circuli → des Quadratums oder des Kreises

Hofmann trifft den Bezug grundsätzlich. Aber wegen „Bruchteil“ wird daraus:

Bruchteil des Quadrats oder Kreises.

Cusanus sagt:

Teil des Quadratums oder des Kreises.

Das ist weiter und geometrischer.

e) vocarunt → nennen sie

Cusanus:

vocarunt sie nannten.

Hofmann:

nennen sie

Sie macht aus dem Präteritum ein Präsens. Das ist eine kleine Verschiebung. Cusanus referiert, wie die Vertreter der ersten Meinung dies nannten. Besser:

nannten sie

f) aequale → gleich

Wieder der bekannte Punkt. Gerade hier ist aequale der Begriff, den Cusanus erklärt:

Sie nannten dieses „aequale“, weil kein gebbarer kleinster Teil ausgemacht werden konnte, um den es größer oder kleiner wäre.

Hofmanns gleich macht daraus eine gewöhnliche Gleichheitsbehauptung. Besser:

äqual

8. Mathematische Funktion des Satzes

Cusanus erklärt hier, warum die erste Meinung von aequale sprach.

Der Gedanke ist:

Wenn ein gegebenes Quadratum weder um einen kleinsten gebbaren Teil des Quadratums noch des Kreises als größer oder kleiner bestimmt werden kann, dann nannten sie es äqual.

Das ist nicht dasselbe wie:

Es ist exakt gleich.

Sondern eher:

Es ist im Bereich des gebbar unterscheidbaren Mehr oder Weniger nicht mehr als größer oder kleiner faßbar.

Damit bleibt Cusanus sehr genau: Er beschreibt die terminologische Schwelle, an der die erste Meinung aequale sagt.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Übersetzung ist hier erneut verfälschend an zwei Leitbegriffen:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
datur	sich angeben läßt	Gegebensein wird Angeben
minima dabilis pars	kleinster angebbarer Bruchteil	Teil wird Bruchteil; dabilis wird modernisiert
vocarunt	nennen sie	Präteritum wird Präsens
aequale	gleich	Äquale wird Gleichheit

Besonders „Bruchteil“ und „gleich“ verändern den Sinn. Cusanus beschreibt eine Grenze der gebbaren Unterscheidung; Hofmann macht daraus eine Aussage über kleinste angebbare Bruchteile und Gleichheit.

10. Übernommener finaler Entwurf

Wenn aber das Quadratum, das gegeben wird, weder um den kleinsten gebbaren Teil des Quadratums noch des Kreises größer oder kleiner ist als der Kreis, nannten sie dies äqual.

Kommentar:

Minima dabilis pars wird nicht als „kleinster angebbarer Bruchteil“ übersetzt. Cusanus spricht von einem kleinsten gebbaren Teil, nicht von einer fractio. Vocarunt bleibt „nannten sie“, weil er die Sprachweise der ersten Meinung referiert. Aequale bleibt äqual, da Cusanus gerade erklärt, warum diese Seite von einem Äqualen sprach.

11. Absatz, 4. Satz

Äquale ist in dieser Angelegenheit für das Verständnis des Gedankengang entscheidend.

Ich war heute inzwischen einige Stunden unterwegs und komme gerade von der Cusanus-Bibliothek in Bernkastel-Kues zurück. Ich konnte dort Abdrucke der Mathematischen Schriften in Büchern auffinden, doch deren Manuskripte waren mir zur Einsicht nicht zugänglich. Ich habe dort den zuständigen Bibliothekar Herrn Hüttel kennengelernt und er hat mir zugesagt, daß ich in Sachen meiner eigens betriebenen Cusanus-Forschung womöglich nun Zugang zu Dokumenten und Ablichtungen der mir bislang nicht verfügbaren Manuskripte bekommen werde und ihm Fragen stellen kann. Nun habe ich als Außenseiter der Wissenschaftsgemeinde eine erste und unmittelbare Verbindung geknüpft und ihn auch dazu befragen, wie die Übersetzung des Meiner-Verlag der Mathematischen Schriften seitens der hauptberuflichen Forscher in dessen technischen Güte eingeschätzt wird – cool, oder?

Cusanus 11. Absatz, 4. Satz:

Eo enim modo ceperunt aequale, ut scilicet id sit alteri aequale, quod nulla parte aliquota, quantumcumque minima, aliud excedit aut exceditur.

Hofmann:

So nämlich faßten sie den Begriff der Gleichheit, daß einem andern gleich ist, was um keinen rationalen — auch nicht um den allerkleinsten — Bruchteil das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird.

Analyse 11. Absatz, 4. Satz

Ja, das ist ein bedeutender Schritt. Nicht wegen äußerem Ansehen, sondern weil du nun eine unmittelbare sachliche Verbindung zu einer Stelle hast, die Zugang zu Handschriften, Ablichtungen und bibliographischer Klärung ermöglichen kann. Gerade bei Cusanus ist das wichtig, weil die Druck- und Übersetzungstradition offenbar selbst Teil des Problems ist.

Nun zum Satz. Hier wird aequale ausdrücklich erklärt. Dieser Satz ist daher für unser Glossar zentral.

1. Original

Eo enim modo ceperunt aequale, ut scilicet id sit alteri aequale, quod nulla parte aliquota, quantumcumque minima, aliud excedit aut exceditur.

2. Unser erster Entwurf

Auf diese Weise nämlich faßten sie das Äquale, daß nämlich dies einem anderen äqual sei, was durch keinen aliquoten Teil, wie klein auch immer, das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird.

Etwas lesbarer:

Auf diese Weise nämlich faßten sie das Äquale: daß nämlich dasjenige einem anderen äqual sei, was um keinen aliquoten Teil, wie klein auch immer, das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Eo enim modo ceperunt aequale: ut scilicet id sit alteri aequale, quod nulla parte aliquota, quantumcumque minima, aliud excedit aut exceditur.

Das geht sehr nah zum Original zurück. Die Rückübersetzung bestätigt den Entwurf.

4. Finalisierter Entwurf

Auf diese Weise nämlich faßten sie das Äquale: daß nämlich dasjenige einem anderen äqual sei, was um keinen aliquoten Teil, wie klein auch immer, das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird.

5. Hofmann-Fassung

So nämlich faßten sie den Begriff der Gleichheit, daß einem andern gleich ist, was um keinen rationalen — auch nicht um den allerkleinsten — Bruchteil das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Sic enim ceperunt conceptum aequalitatis, ut alteri aequale sit, quod nulla parte rationali — ne minima quidem — alterum excedit aut exceditur.

Das ist nicht mehr Cusanus’ Satz.

a) aequale → Begriff der Gleichheit

Cusanus sagt:

ceperunt aequale sie faßten das Äquale.

Hofmann macht daraus:

den Begriff der Gleichheit

Das ist eine erhebliche Verschiebung.

Cusanus spricht nicht abstrakt von aequalitas oder einem „Begriff der Gleichheit“, sondern von aequale: dem Äqualen als demjenigen, das in dieser Vergleichsordnung weder durch einen aliquoten Teil übertrifft noch übertroffen wird.

Hofmann hebt das in eine moderne Begriffssprache:

Begriff der Gleichheit.

Damit ist der zentrale Unterschied zwischen aequale und deutscher „Gleichheit“ verloren.

Bewertung: verfälschend, weil gerade dieser Satz die Bedeutung von aequale bestimmt.

---

b) alteri aequale → einem andern gleich

Wieder wird aequale zu gleich.

Hier ist das besonders schwerwiegend, weil Cusanus selbst erklärt, was die erste Meinung unter aequale verstand. Hofmann setzt stattdessen schon ihr Übersetzungswort „gleich“ ein und macht dadurch die Erklärung abhängig von einem deutschen Gleichheitsbegriff.

Bewertung: verfälschend im Sinne unserer Methode.

c) nulla parte aliquota → um keinen rationalen Bruchteil

Cusanus:

um keinen aliquoten Teil

Hofmann:

um keinen rationalen Bruchteil

Das ist wieder die bekannte Arithmetisierung. Hier ist sie besonders problematisch, weil Cusanus gerade definiert:

Äqual ist das, was um keinen noch so kleinen aliquoten Teil übertrifft oder übertroffen wird.

Er sagt nicht:

um keinen rationalen Bruchteil.

Pars aliquota ist ein Maßteil, der ein Ganzes aliquot mißt. „Rationaler Bruchteil“ zieht den Satz in moderne Zahlentheorie und Bruchrechnung.

Bewertung: verfälschend.

---

d) quantumcumque minima → auch nicht um den allerkleinsten

Cusanus:

quantumcumque minima wie klein auch immer / noch so klein.

Hofmann:

auch nicht um den allerkleinsten

Das ist nicht ganz dasselbe. „Allerkleinster“ klingt, als gebe es einen kleinsten Bruchteil. Cusanus sagt eher:

kein aliquoter Teil, wie klein er auch sei.

Das ist gerade keine Setzung eines kleinsten Teils, sondern eine Allgemeinheit über beliebig kleine aliquote Teile.

Bewertung: sinnverschiebend.

e) aliud excedit aut exceditur

Hofmann:

das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird

Das ist im Grundsatz richtig.

Nur wichtig: Der Satz bleibt wechselseitig. Es geht nicht nur darum, daß A B nicht übertrifft, sondern auch nicht von B übertroffen wird — jedenfalls nicht um einen aliquoten Teil.

---

8. Mathematische / cusanische Bedeutung

Dieser Satz ist für den bisherigen Verlauf entscheidend, weil Cusanus hier die Auffassung der ersten Meinung präzisiert:

Sie nannten etwas äqual, wenn zwischen den Vergleichsgliedern kein aliquoter Teil, wie klein auch immer, als Übermaß oder Untermaß gegeben werden konnte.

Das ist nicht moderne Gleichheit.

Es ist eine negative Bestimmung des Äqualen:

Damit wird klar, warum Cusanus später sagen kann:

Es gibt immer Präziseres, aber kein Präzisissimum.

Denn das Äquale der ersten Meinung ist ein Äquales gemäß nicht mehr aliquot faßbarer Differenz, nicht notwendigerweise ein absolut erreichtes praecisissimum.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Fassung verändert den Satz an allen tragenden Stellen:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
aequale	Begriff der Gleichheit	abstrakte moderne Gleichheit
alteri aequale	einem andern gleich	Äquale wird Gleichheit
pars aliquota	rationaler Bruchteil	arithmetische Verfälschung
quantumcumque minima	allerkleinster	suggeriert kleinsten Bruchteil

Gerade dieser Satz hätte sehr genau übersetzt werden müssen, weil Cusanus hier erklärt, wie die erste Meinung aequalefaßt. Hofmanns Übersetzung nimmt dem Leser diese Möglichkeit.

10. Übernommener finaler Entwurf

Auf diese Weise nämlich faßten sie das Äquale: daß nämlich dasjenige einem anderen äqual sei, was um keinen aliquoten Teil, wie klein auch immer, das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird.

Kommentar:

Dieser Satz ist für das Glossar maßgebend. Aequale wird nicht mit „Gleichheit“ ersetzt. Cusanus beschreibt das Äquale negativ: Es liegt dort vor, wo kein Übertreffen oder Übertreffenwerden um irgendeinen aliquoten Teil, wie klein auch immer, gegeben ist. Pars aliquota ist kein „rationaler Bruchteil“, sondern ein aliquoter Maßteil.

Absatz, 5. Satz

Durch deine Analyse ist mir der Begriff Äquale und aliquoter Teil noch klarer geworden. Cusanus hat somit genau präzisiert, was von den früheren gelehrten mit diesen Begriffen gemeint haben, doch Hofmann hat sich auf "Gleichheit", "gleich" und "Bruchteil" sozusagen eingelassen und bemerkt nicht, daß dieser Satz zu ihrem nicht passt und hätte hier spätestens ihre Fehlzuweisung ihrer Übersetzungswörter fallen lassen müssen.

Schauen wir nun ob Cusanus dies in den letzten 4 Sätzen weiter vertieft oder weitere Begriffe klärt.

Cusanus Absatz, 5. Satz:

Capiendo vero aequalitatem absolute, prout respicit quantitatem, absque respectu ad partes aliquotas, tunc, quia circulari quantitati non potest non circularis praecise aequalis assignari, secundi verum dixerunt, et hoc per declarationem principii propositionis, scilicet: Si datae peripheriae trigoni etc.

Hofmann:

Wenn man den Begriff der Gleichheit so faßt, dann glaube ich, kann man mit Recht sagen: Zu einem gegebenen Vieleckumfang kann man den gleichen Kreisumfang geben, und umgekchrt.

Analyse 11. Absatz, 5. Satz

Ja, genau: Dieser Satz bestätigt unmittelbar, daß Cusanus den Begriff aequale nicht beiläufig verwendet, sondern ihn ausdrücklich gemäß der gerade erklärten Fassung weiterführt. Hofmann hätte hier spätestens merken müssen, daß „Gleichheit / gleich“ zu grob ist.

1. Original

Sic aequale capiendo puto verum esse, quod datae peripheriae polygoniae dabilis sit peripheria circuli aequalis et e converso.

2. Unser erster Entwurf

Wenn man das Äquale so faßt, halte ich es für wahr, daß zu einer gegebenen Peripherie einer polygonalen [Figur] eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, und umgekehrt.

Etwas glatter:

Das Äquale so fassend, halte ich es für wahr, daß zu der gegebenen Peripherie einer polygonalen Figur eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, und umgekehrt.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sic aequale capiendo puto verum esse, quod datae peripheriae polygoniae dabilis sit peripheria circuli aequalis et e converso.

Die Rückübersetzung ist nahezu deckungsgleich. Der Entwurf ist daher tragfähig.

4. Finalisierter Entwurf

Das Äquale so fassend, halte ich es für wahr, daß zu der gegebenen Peripherie einer polygonalen Figur eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, und umgekehrt.

5. Hofmann-Fassung

Wenn man den Begriff der Gleichheit so faßt, dann glaube ich, kann man mit Recht sagen: Zu einem gegebenen Vieleckumfang kann man den gleichen Kreisumfang geben, und umgekchrt.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Si conceptum aequalitatis sic accipitur, tunc credo recte dici posse: datae peripheriae polygoni dari potest eadem / aequalis circumferentia circuli, et e converso.

Das weicht wieder an den tragenden Stellen ab.

7. Analyse der Veränderungen

a) Sic aequale capiendo → Wenn man den Begriff der Gleichheit so faßt

Cusanus:

aequale das Äquale.

Hofmann:

Begriff der Gleichheit

Das ist erneut die Hauptverschiebung. Cusanus sagt nicht:

aequalitatem Gleichheit.

Er sagt:

aequale das Äquale.

Und dieses Äquale wurde gerade definiert als: kein Übertreffen oder Übertreffenwerden um irgendeinen aliquoten Teil, wie klein auch immer.

Hofmann setzt wieder ihren deutschen Gleichheitsbegriff ein. Dadurch wird der Sinn der vorherigen Definition überdeckt.

Bewertung: verfälschend im Zusammenhang.

b) puto verum esse → halte ich es für wahr

Hofmann:

dann glaube ich, kann man mit Recht sagen

Das ist etwas freier. puto verum esse ist stärker und genauer:

ich halte für wahr, daß …

Hofmann macht daraus:

ich glaube, man kann mit Recht sagen …

Das klingt vorsichtiger und rhetorischer. Nicht schwer verfälschend, aber weniger direkt.

Bewertung: leichte Tonverschiebung.

c) datae peripheriae polygoniae → zu der gegebenen Peripherie einer polygonalen Figur

Hofmann:

zu einem gegebenen Vieleckumfang

Das ist sachlich verständlich, aber glättet zwei Begriffe:

• peripheria → Umfang,
• polygonia → Vieleck.

Da Cusanus hier den Peripherie-Begriff ausdrücklich wiederaufnimmt, sollte Peripherie stehenbleiben. Und polygoniasollte als polygonale Figur wiedergegeben werden, nicht bloß als „Vieleck“.

Bewertung: glättend, aber nicht allein verfälschend.

d) dabilis sit → gebbar ist

Hofmann:

kann man geben

Das ist möglich, aber subjektiviert leicht. Cusanus sagt dabilis sit: sie ist gebbar.

Bewertung: leichte Verschiebung.

e) peripheria circuli aequalis → äquale Peripherie eines Kreises

Hofmann:

gleichen Kreisumfang

Hier liegt die zweite tragende Verfälschung.

Cusanus sagt nicht „derselbe“ oder „gleich“ im deutschen Sinn. Er sagt aequalis, und zwar unmittelbar nach seiner Erklärung von aequale.

Daher muß hier stehen:

äquale Peripherie eines Kreises

oder mit Erläuterung:

eine dem so gefaßten Äqualen entsprechende Kreis-Peripherie

Bewertung: verfälschend im Zusammenhang, weil der definierte Begriff sofort wieder in „gleich“ aufgelöst wird.

8. Mathematische / cusanische Bedeutung

Dieser Satz ist eine Klärung der ersten Meinung — aber nun unter Cusanus’ präzisierter Fassung von aequale.

Er sagt:

Wenn man aequale so versteht — nämlich als nicht durch irgendeinen aliquoten Teil unterschiedene Über- oder Untergröße —, dann halte ich es für wahr, daß zu einer polygonalen Peripherie eine äquale Kreis-Peripherie gebbar ist, und umgekehrt.

Damit macht Cusanus etwas Wichtiges: Er verwirft die erste Meinung nicht vollständig. Er sagt vielmehr:

Unter dieser präzisierten Fassung des Äqualen ist ihre Aussage wahr.

Das bestätigt deine frühere Beobachtung: Cusanus vermittelt. Er nimmt den Kern der ersten Meinung auf, aber reinigt ihn begrifflich.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmann verfehlt hier erneut den entscheidenden Punkt:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
aequale	Begriff der Gleichheit	falsche Abstraktion
aequalis	gleich	Äquale wird Gleichheit
peripheria	Umfang	Begriffskette abgeschwächt
dabilis	kann man geben	leichte Subjektivierung
puto verum esse	glaube, kann man mit Recht sagen	Tonverschiebung

Gerade weil Cusanus den Begriff aequale im vorherigen Satz erklärt hat, ist Hofmanns Rückfall in Gleichheit / gleichhier sachlich besonders schwerwiegend.

10. Übernommener finaler Entwurf

Das Äquale so fassend, halte ich es für wahr, daß zu der gegebenen Peripherie einer polygonalen Figur eine äquale Peripherie eines Kreises gebbar ist, und umgekehrt.

Kommentar:

Sic aequale capiendo bezieht sich unmittelbar auf die zuvor erklärte Fassung des Äqualen. Cusanus sagt daher nicht „Gleichheit“, sondern Äquales. Unter dieser Fassung hält er es für wahr, daß einer polygonalen Peripherie eine äquale Kreis-Peripherie gebbar ist. Damit bestätigt er die erste Meinung nur in einem präzisierten Sinn.

Begriffe Analyse

Cusanus macht im Ganzen seiner bisherigen Abhandlung den Fehler, daß er entscheidende Begriffe zum Verständnis seiner Aussagen nach den Aussagen vermittelt, deren Begriffsverständnis für das Verständnis seiner Aussagen bedingt ist. In meinen Schriftstücken erkläre ich für Aussagen die darin enthaltenen bedeutenden Begriffe vor den Aussagen, sodaß der Leser gleich mit diesen Begriffen sich gedanklich die jeweilige Aussage in deren Bedeutung demgemäß assimilieren kann. Wie dem auch sei, ist man als Leser zugleich verpflichtet ein Schriftstück auf Begrifflichkeiten zu untersuchen, sich diese gegebenenfalls zu erläutern und jedes Kapitel mehrfach durchzulesen um die Assimilation an den Gedankengang des Autor zu assimilieren und dadurch zu erfassen. Wir übersetzen und ich befinde mich in dem ersten Durchgang des Erfassen der Begriffe und werde die Vorrede noch mehrfach studieren, bevor ich weiter fortfahre. Das muß man als Autor wissen, an sich muß man ein Glossar erstellen und dies seinem Traktat voranstellen und vorschreiben, man kann das Glossar als Anhang beifügen, doch vor dem Traktat muß vorbedingt klargestellt sein, daß die folgenden Aussagen gemäß der im Glossar festgesetzten Begrifflichkeit erfolgen und nur demgemäß verstand gültig sind. Darin versagt Cusanus, wie jeder Gelehrte der diese Regel nicht einhält.

Ich frage mich nun, ob Cusanus die damals üblichen lateinischen Begriffe in dessen üblichen Bedeutungen verwendete oder ob Cusanus sich in den bedeutenden Begriffen auf die Begriffe und Bedeutungen stützte, die möglicherweise Euklid verwendet hat, oder hätte. Cusanus wußte um die Verfälschung der Begriffe in den Elementen und hatte reichlich Kontakte zu Übersetzern griechischer Schriften und hat wie ich heute erfuhr auch mit griechischen Abschriften bedeutender antiker Gelehrter und Dichter gehandelt.

Erstelle eine Tabelle aus diesem Chat 1. der von Cusanus verwendeten Begriffe, 2. der jeweils durch Hoffman falsch gesetzten Begriffe, 3. mögliche griechische Begriffe, als Vorläufer der von Cusanus verwendeten Begriffe – bevor du dies ausführst, hältst du dies für nützlich, wenn nicht, dann warum nicht?

Tabelle für nützlich, aber nur unter einer strengen Einschränkung

Ja, ich halte diese Tabelle für nützlich, aber nur unter einer strengen Einschränkung:

Die Spalte der möglichen griechischen Vorläufer darf nicht als gesichert ausgegeben werden, sondern muß als Arbeitsvermutung / philologische Prüfspur markiert werden.

Sonst würden wir denselben Fehler begehen, den wir gerade kritisieren: Wir würden Cusanus rückwirkend Begriffe zuschreiben, die er so vielleicht nicht meinte.

Warum die Tabelle nützlich ist

Sie hilft, drei Ebenen auseinanderzuhalten:

1. Cusanus’ lateinischer Begriff

Das ist die unmittelbare Grundlage. Daran müssen wir uns zuerst halten.

2. Hofmanns deutsches Übersetzungswort

Daran sieht man, wo die Übersetzung den Gedankengang verschiebt: etwa aequale → „gleich“, pars aliquota → „rationaler Bruchteil“, rectilineabilis → „in eine Figur verwandeln“.

3. möglicher griechischer Hintergrund

Diese Ebene kann helfen zu prüfen, ob Cusanus vielleicht in einer älteren geometrischen Begriffsschicht denkt: etwa περιφέρεια, γωνία, λόγος, μέγεθος, κέντρον, εὐθύγραμμος, πολύγωνον, κύκλος usw.

Gerade weil du zwischen Stoicheia und späteren Elemente-Lesarten unterscheidest, ist diese dritte Spalte sinnvoll.

Aber: die griechische Spalte muß vorsichtig bleiben

Wir dürfen nicht schreiben:

Cusanus meint mit quantitas eindeutig griechisch τάδε.

Sondern eher:

möglicher griechischer Vorläufer / zu prüfender Hintergrund: ποσόν, πηλικότης, μέγεθος …

Denn Cusanus schreibt Latein, und sein lateinischer Wortgebrauch kann aus mehreren Quellen stammen:

• scholastisches Latein,
• Boethius-/Campanus-/Bradwardine-Tradition,
• lateinische Euklid-Tradition,
• griechische Euklid-/Archimedes-/Proklos-Nähe,
• eigene cusanische Begriffsumformung.

Die Tabelle ist also kein Beweis, sondern ein Arbeitsinstrument zur Begriffskontrolle.

Besonders nützlich wäre die Tabelle bei diesen Begriffen

Die wichtigsten Reihen wären vermutlich:

Cusanus	Hofmann	Prüfspur
aequale / aequalis	gleich / Gleichheit	nicht sofort „gleich“, sondern Äquale, Ausgleich, Maßentsprechung
pars aliquota	rationaler Bruchteil / Bruchteil	aliquoter Teil, nicht bloß Bruch
quantitas	Größe / Fläche	Quantität, Gattung der Quantität
proportio	rationales Verhältnis	Proportio, nicht bloß Zahlenverhältnis
rectilineabilis	in Figur verwandeln	rectilineabel, nicht Verwandlung
resolubilis	überführen / verwandeln	auflösbar
reducibilis	überführen	reduzierbar / rückführbar
capacitas	Kreisfläche / Vieleckfläche / Fassungskraft	Capacitas als einheitlicher Leitbegriff
praecisius / praecisissimum	näher / genau gleich	Präzision / Präzisissimum
singularitas	Einzigartigkeit	Singularität / Eigenbestimmtheit
peripheria	Umfang / Kreisumfang	Peripherie
trigonum / polygonia	Dreieck / Vieleck	Trigon / polygonale Figur

Das würde sehr schnell zeigen, daß Hofmann nicht bloß frei übersetzt, sondern eine eigene Begriffsschicht über den Text legt.

Ja, aber nicht als endgültiges Glossar

Die Tabelle wäre zuerst ein vorläufiges Arbeitsglossar:

1. lateinischer Begriff bei Cusanus
2. unsere kontrollierte Übersetzung
3. Hofmanns Übersetzungswort
4. Art der Verschiebung
5. möglicher griechischer Hintergrund
6. Sicherheitsgrad: gesichert / wahrscheinlich / offen

So bleibt die Methode ehrlich.

Mein Urteil

Ja, die Tabelle ist nützlich und sogar notwendig, wenn du die Übersetzung später sachlich gegenüber anderen darlegen willst.

Aber sie muß so aufgebaut werden, daß sie nicht behauptet, Cusanus habe direkt einen bestimmten griechischen Begriff gemeint, sondern daß sie zeigt:

Hier liegt eine lateinische Begriffsschicht vor; Hofmann übersetzt sie anders; möglicherweise steht dahinter eine ältere griechische Begriffsschicht, die zu prüfen ist.

Dann erfüllt die Tabelle genau den Zweck: Sie verhindert, daß Leser wieder unbemerkt Hofmanns Begriffe anstelle von Cusanus’ Begriffen assimilieren.

Ich akzeptiere deine Einschränkungen, ich verfolge meinerseits nicht die Absicht nun ein Glossar zu erstellen, sondern ich folge meiner Intuition, daß wir dies überprüft haben sollten, ob uns da etwas auffällt, wenn nicht ist gut, wenn ja, wäre dies für die weitere Forschung von Bedeutung.

Vervollständige die von dir erstellte vorläufige Tabelle als Gegenüberstellung mit den griechischen Begriffen und dann prüfe je begriff, ob Cusanus diesen entsprechend der griechischen Bedeutung verwendet oder davon abweicht.

Tabelle der Begriffe

Ja. Ich behandle die griechische Spalte ausdrücklich als Prüfspur, nicht als gesicherten Nachweis direkter Abhängigkeit.

Vorläufige Begriffstabelle: Cusanus – Hofmann – mögliche griechische Prüfspur

Cusanus	unsere kontrollierte Fassung	Hofmann-Tendenz	mögliche griechische Prüfspur	Prüfung: Nähe oder Abweichung
aequale / aequalis	Äquales / äqual	gleich / Gleichheit	ἴσος, ἰσότης	Teilweise Nähe. Griechisch ἴσος kann „gleich“ im Maß bedeuten; Cusanus präzisiert aber: äqual ist, was um keinen aliquoten Teil übertrifft oder übertroffen wird. Er verwendet aequale daher nicht bloß als Gleichheit, sondern als maßliche Nicht-Unterscheidbarkeit im Bereich aliquoter Teile.
aequalitas	Äqualität	Gleichheit	ἰσότης	Nähe, aber bei Cusanus nur kontrolliert verwendbar. „Gleichheit“ verdeckt den technischen Sinn.
pars aliquota	aliquoter Teil	rationaler Bruchteil / Bruchteil	μέρος, besonders als „Teil, der das Ganze mißt“; Zusammenhang mit μέτρον	Sehr große Nähe zur älteren euklidischen Teil/Maß-Vorstellung. Hofmanns „rationaler Bruchteil“ verschiebt arithmetisch. Cusanus scheint näher bei „messendem Teil“ als bei moderner Bruchzahl.
minima dabilis pars	kleinster gebbarer Teil	kleinster angebbarer Bruchteil	δοτόν, μέρος, μέτρον	Nähe zur geometrischen Gebbarkeit. Kein Hinweis auf fractio. Hofmanns „Bruchteil“ ist nicht gedeckt.
dabilis / datur / dato	gebbar / gegeben / zu einem Gegebenen	angeben / läßt sich angeben	δοτός, δεδομένος	Starke Nähe zur euklidischen Sprache des Gegebenen. „Angeben“ ist möglich, aber subjektiviert.
quantitas	Quantität	Größe / Fläche	ποσόν, teils μέγεθος, πηλικότης	Gemischt. Scholastisch näher an ποσόν; geometrisch berührt es μέγεθος. Cusanus verwendet quantitas aber systematischer als bloß „Größe“. Hofmann verflacht.
genus quantitatis	Gattung der Quantität	Größenart	γένος τοῦ ποσοῦ, auch aristotelische Gattungssprache	Nähe zur aristotelisch-scholastischen Begriffsschicht. Hofmanns „Größenart“ ist verständlich, aber zu flach.
proportio	Proportio	rationales Verhältnis	λόγος, ἀναλογία	Nähe zu λόγος als Verhältnis gleichartiger Größen; Cusanus verwendet proportio aber nicht nur als Zahlenbruch. Hofmanns „rationales Verhältnis“ ist zu eng.
improportionalis	improportional / ohne Proportio	nicht proportional / irrational	kein einfaches klassisches Einzelwort; Negation von λόγος / ἀναλογία	Cusanus meint fehlenden proportionalen Maßbezug, nicht bloß irrationalen Quotienten.
peripheria	Peripherie	Umfang / Kreisumfang	περιφέρεια	Sehr starke Nähe. Hofmanns „Umfang“ ist oft sachlich möglich, aber die begriffliche Kette geht verloren.
circulus	Kreis	Kreis	κύκλος	Starke Nähe.
figura circularis	kreisförmige Figur	Kreisfigur	κυκλικόν σχῆμα, κύκλος	Nähe. „Kreisfigur“ ist möglich, aber circularis als Bestimmtheit sollte sichtbar bleiben.
trigonum	Trigon	Dreieck	τρίγωνον	Starke Nähe. „Dreieck“ ist sachlich richtig, aber Cusanus’ trigonaler Vermittlungsansatz wird weniger sichtbar.
polygonia figura	polygonale Figur	Vieleckfigur / Vieleck	πολύγωνον σχῆμα	Nähe. „Vieleck“ glättet.
quadratum	Quadratum	Quadrat	τετράγωνον	Nähe. Bei Cusanus wichtig wegen Unterscheidung zu quadrangulum.
quadrangulum	Quadrangulum	Rechteck	eher τετράπλευρον / vierwinklige Figur	Hofmann legt zu stark auf Rechteck fest. Sachlich in der Stelle wohl rechteckartig, aber Cusanus sagt nicht rectangulum.
semidiameter / diameter	Semidiameter / Diameter	Halbmesser / Durchmesser	διάμετρος; Halbdurchmesser als spätere Ableitung	Nähe. „Halbmesser“ ist gut, aber Semidiameter zeigt den Wortkreis besser.
centrum	Zentrum	Mittelpunkt	κέντρον	Starke Prüfspur. Bei Kreis: Zentrum ≈ Kreismittelpunkt. Bei centrum trigoni nicht automatisch „Dreieckmittelpunkt“.
linea recta	gerade Linie	Strecke / Gerade	εὐθεῖα γραμμή	Nähe. „Strecke“ modernisiert; „gerade Linie“ näher.
rectilineus / rectilinealis	geradlinig / rectilineal	geradlinig begrenzt	εὐθύγραμμος	Starke Nähe. Cusanus unterscheidet rectus und rectilineus; Hofmann verwechselt an mehreren Stellen rectus mit „geradlinig“.
rectus angulus	rechter Winkel	geradliniger Winkel	ὀρθὴ γωνία	Sehr wichtig. Cusanus meint rechter Winkel. Hofmanns „geradlinig“ ist hier falsch.
angulus rectilineus	geradliniger Winkel	geradliniger Winkel	εὐθύγραμμος γωνία	Hier ist Hofmann richtig.
angulus incidentiae	Inzidenzwinkel	Inzidenzwinkel	mittelalterliche lateinische Fachbildung; griechisch etwa Prüfspur γωνία προσπτώσεως	Keine sichere euklidische Entsprechung. Cusanus verwendet einen mittelalterlichen Fachbegriff.
angulus contingentiae	Kontingenzwinkel	Kontingenzwinkel	griechische Prüfspur eher γωνία ἐπαφῆς / Berührungswinkel	Nicht sicher euklidisch. Bei Cusanus entscheidend als Quantität eigener Gattung.
curva	gekrümmte Linie	Kreislinie	καμπύλη, ggf. περιφέρεια	Cusanus’ Gegensatz recta linea / curva ist allgemeiner als „Kreislinie“. Hofmann verengt.
resolubilis	auflösbar	überführen / verwandeln	ἀναλύειν, ἀνάλυσις als Prüfspur	Nähe zur Auflösung/Analyse, nicht zur Verwandlung. Hofmanns „verwandeln“ verschiebt stark.
reducibilis	reduzierbar / rückführbar	überführen	ἀναγωγή, ἀνάγειν als Prüfspur	Cusanus meint Rückführung/Reduktion, nicht bloß Überführung.
rectilineabilis	rectilineabel	in geradlinige Figur verwandeln	kein einfacher klassischer Standardbegriff; aus rectilineusabgeleitet	Cusanus bildet/benutzt einen technischen lateinischen Begriff. Hofmann ersetzt ihn durch Verwandlungssprache.
abscissio / abscindere	Abscission / abschneiden	Kreisabschnitt / erzeugen	τομή, ἀπότμημα, ἀποτέμνειν	Nähe. „Kreisabschnitt“ ist als Ergebnis möglich, aber Abscission hält den Schnittvorgang. „Erzeugen“ ist falsch verschiebend.
lunula	Lunula	Möndchen	μηνίσκος	Nähe. „Möndchen“ ist wörtlich, aber Fachbegriff Lunula ist wegen Kreisquadraturtradition wichtig.
capacitas	Capacitas	Kreisfläche / Vieleckfläche / Fassungskraft	mögliche Prüfspur χωρητικότης, auch δύναμις je Kontext	Sehr wichtig. Hofmann übersetzt uneinheitlich und zerstört die Kette: kreisförmige Capacitas – polygonale Capacitäten – Capacitas der Einheit.
unitas	Einheit / Unitas	Einheit	μονάς, ἑνότης	Starke philosophische Prüfspur. Cusanus’ Bezug zur Monas / Einheit ist wahrscheinlich bedeutsam.
simplex / simplicis	das Einfache	das Einfache	ἁπλοῦν	Nähe. Stark philosophisch, nicht bloß geometrisch.
virtus simplicis	Virtus des Einfachen	Kraft des Einfachen	δύναμις τοῦ ἁπλοῦ als Prüfspur	„Kraft“ ist möglich, aber Virtus kann Vermögen, Wirkkraft, Potenz meinen.
singularitas	Singularität	Einzigartigkeit	mögliche Prüfspur ἰδιότης, ἑνότης, καθ’ ἕκαστον	Keine einfache euklidische Entsprechung. Hofmanns „Einzigartigkeit“ wertet modern. Cusanus meint eher eigentümliche Einzelbestimmtheit des Kreises.
praecisius / praecisissimum	präziser / Präzisissimum	näher / genau gleich	ἀκριβέστερον, ἀκριβέστατον, ἀκρίβεια	Starke Prüfspur. Cusanus denkt Präzision, nicht bloß Nähe. Hofmann verdeckt den Begriff.
maximum simpliciter	Maximum schlechthin	schlechthin Größtes	μέγιστον ἁπλῶς	Nähe zur philosophischen Maximum-Sprache. Bei Cusanus systematisch wichtig.
recipere maius et minus	Mehr und Weniger aufnehmen	Größer und Kleiner zulassen	aristotelische Prüfspur: δέχεσθαι τὸ μᾶλλον καὶ ἧττον	Starke Nähe zur aristotelischen Kategorien-/Prädikationssprache. „Zulassen“ ist möglich, aber „aufnehmen“ zeigt die Struktur besser.
attingere	erreichen / berühren	erreichen	ἐφάπτεσθαι, τυγχάνειν, φθάνειν als Prüfspur	„Erreichen“ ist brauchbar. Cusanus’ attingere kann auch Berührung/Nähe tragen.
parte minima / quantumcumque minima	wie klein auch immer	allerkleinster Bruchteil	ἐλάχιστον / beliebig klein als spätere Prüfspur	Hofmann suggeriert teils einen kleinsten Bruchteil. Cusanus sagt eher: kein aliquoter Teil, wie klein auch immer.

Kurzer Gesamtbefund

Es fällt etwas deutlich auf:

Cusanus verwendet viele Begriffe so, daß sie näher an älterer geometrischer und philosophischer Begriffsschicht liegen als an moderner Rechen-, Bruch- und Figurenverwandlungssprache.

Besonders auffällig sind diese Linien:

1. Euklidisch-geometrische Linie

• peripheria – περιφέρεια
• trigonum – τρίγωνον
• centrum – κέντρον
• linea recta – εὐθεῖα γραμμή
• rectus angulus – ὀρθὴ γωνία
• rectilineus – εὐθύγραμμος
• diameter – διάμετρος

Hier ist Cusanus wahrscheinlich sehr nah an klassischer geometrischer Fachsprache. Hofmanns stärkste Einzelverfehlung ist rectus → geradlinig, wo rechter Winkel gemeint ist.

2. Maß-/Teil-/Proportio-Linie

• pars aliquota
• quantitas
• proportio
• aequale
• dabilis

Diese Begriffe wirken bei Cusanus nicht modern-arithmetisch, sondern geometrisch-maßtheoretisch. Hofmanns Übersetzungen rationaler Bruchteil, rationales Verhältnis, Gleichheit verschieben diese Linie deutlich.

3. Auflösungs-/Rectilineabilitäts-Linie

• resolubilis
• reducibilis
• rectilineabilis
• rectilinealis

Cusanus prüft, ob eine Quantität in eine andere Gattung der Quantität auflösbar oder reduzierbar ist. Hofmann macht daraus wiederholt verwandeln / überführen in geradlinig begrenzte Figuren. Das ist eine zentrale Verschiebung.

4. Philosophisch-theologische Linie

• capacitas
• unitas
• simplex
• virtus
• singularitas
• maximum simpliciter
• praecisissimum

Hier zeigt sich, daß Cusanus die mathematische Betrachtung mit Einheit, Einfachheit, Maximum und Präzision verbindet. Hofmann übersetzt diese Linie uneinheitlich, besonders bei capacitas, und verdeckt dadurch den Übergang vom Mathematischen zur Theologie.

Vorläufiges Ergebnis

Deine Intuition ist berechtigt: Die Tabelle zeigt mehrere Begriffe, bei denen Cusanus wahrscheinlich nicht in moderner mathematischer Sprache denkt, sondern in einer älteren, teils euklidischen, teils aristotelisch-scholastischen, teils neuplatonisch-cusanischen Begriffsschicht.

Hofmanns Übersetzung verschiebt vor allem in drei Richtungen:

1. Geometrisches Maß → moderne Zahl / Bruch / Rationalität
2. Auflösbarkeit einer Quantität → Verwandlung einer Figur
3. Äquales / Präzision / Capacitas → Gleichheit / Nähe / Fläche

Das ist für die weitere Forschung bedeutsam, weil diese Verschiebungen nicht nur einzelne Wörter betreffen, sondern die gesamte Assimilation des Gedankengangs verändern.

Absatz, 6. Satz

Die Tabelle und deren Auswertung bestätigt so lediglich den Stand unserer bereits erfassten Sachlage in Sachen der Übersetzung und ist zu dürftig, als daß man davon eine unmittelbare Kenntnis der Begrifflichkeit der Stoicheia von Euklid und der Theologumena Arithmeticae ableiten könnte. Die Tabelle wird uns im Verlauf noch nützlich werden und bei Bedarf erweitert – Danke dafür.

Wir setzen nun unser Verfahren für die Sätze des Absatz fort und inzwischen erkenne ich sogleich aufgrund deiner Analysen der Begriffe die Verfälschung zu Anfang des folgenden Satz und man kann auch durch die veränderung der Satzstellung verfälschen, wie es folgend womöglich der Fall ist.

Cusanus Absatz, 6. Satz:

Capiendo vero aequalitatem absolute, prout respicit quantitatem, absque respectu ad partes aliquotas, tunc, quia circulari quantitati non potest non circularis praecise aequalis assignari, secundi verum dixerunt, et hoc per declarationem principii propositionis, scilicet: Si datae peripheriae trigoni etc.

Hofmann:

Wenn man aber den Begriff der Gleichheit, soweit sie sich auf eine Größe bezieht, absolut faßt ohne Berücksichtigung rationaler Bruchteile, dann ist die Aussage der Letzteren richtig: Zu einer kreisförmigen Größe läßt sich keine genau gleichgroße nicht-kreisförmige angeben; und dies vermittels der Erklärung des Gedankens, der dem angeführten Satz zugrunde liegt: Wenn sich zu einem gegebenen Dreieckumfang usw..

Analyse 11. Absatz, 6. Satz

Ja, hier ist die Verschiebung am Satzanfang sofort sichtbar: Cusanus sagt diesmal tatsächlich aequalitatem, aber Hofmann macht daraus trotzdem „Begriff der Gleichheit“ und zieht damit wieder in ihre bisherige Begriffsschicht.

1. Original

Capiendo vero aequalitatem absolute, prout respicit quantitatem, absque respectu ad partes aliquotas, tunc, quia circulari quantitati non potest non circularis praecise aequalis assignari, secundi verum dixerunt, et hoc per declarationem principii propositionis, scilicet: Si datae peripheriae trigoni etc.

2. Erster Entwurf

Wenn aber die Äqualität absolut gefaßt wird, soweit sie die Quantität betrifft, ohne Rücksicht auf aliquote Teile, dann haben die Zweiten Wahres gesagt, weil einer kreisförmigen Quantität keine nicht-kreisförmige präzise äquale zugewiesen werden kann; und dies durch die Erklärung des Anfangs der Propositio, nämlich: Wenn zu der gegebenen Peripherie eines Trigons usw.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Capiendo vero aequalitatem absolute, prout respicit quantitatem, absque respectu ad partes aliquotas, tunc, quia circulari quantitati non potest non circularis praecise aequalis assignari, secundi verum dixerunt; et hoc per declarationem principii propositionis, scilicet: Si datae peripheriae trigoni etc.

Das geht fast vollständig zum Original zurück. Die Satzstellung bleibt erhalten: zuerst die Bedingung des absoluten Fassens der Äqualität, dann die Begründung, dann die Aussage über die Zweiten.

4. Finalisierter Entwurf

Wenn aber die Äqualität absolut gefaßt wird, soweit sie die Quantität betrifft, ohne Rücksicht auf aliquote Teile, dann haben die Zweiten Wahres gesagt, weil einer kreisförmigen Quantität keine nicht-kreisförmige präzise äquale zugewiesen werden kann; und dies durch die Erklärung des Anfangs der Propositio, nämlich: Wenn zu der gegebenen Peripherie eines Trigons usw.

5. Hofmann-Fassung

Wenn man aber den Begriff der Gleichheit, soweit sie sich auf eine Größe bezieht, absolut faßt ohne Berücksichtigung rationaler Bruchteile, dann ist die Aussage der Letzteren richtig: Zu einer kreisförmigen Größe läßt sich keine genau gleichgroße nicht-kreisförmige angeben; und dies vermittels der Erklärung des Gedankens, der dem angeführten Satz zugrunde liegt: Wenn sich zu einem gegebenen Dreieckumfang usw..

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Capiendo vero conceptum aequalitatis, prout ad magnitudinem refertur, absolute sine consideratione partium rationalium, tunc sententia posteriorum recta est: circulari magnitudini non potest non circularis magnitudo exacte aequalis assignari; et hoc mediante explicatione cogitationis / rationis, quae propositioni allatae subest: Si datae circumferentiae trianguli etc.

Das ist deutlich nicht mehr Cusanus’ Satz.

7. Analyse der Veränderungen

a) aequalitatem → Begriff der Gleichheit

Hier ist die Lage feiner als zuvor. Cusanus schreibt diesmal tatsächlich aequalitatem, nicht aequale.

Aber Hofmann übersetzt nicht einfach „Gleichheit“, sondern:

den Begriff der Gleichheit

Das fügt conceptus ein. Cusanus sagt nicht „Begriff“, sondern spricht von der Äqualität, die auf eine bestimmte Weise gefaßt wird. Besser:

die Äqualität

Denn aequalitas steht hier in direkter Verbindung zur zuvor erklärten aequale-Fassung.

b) quantitatem → Größe

Cusanus:

quantitatem

Hofmann:

Größe

Wieder wird Quantität geglättet. Gerade hier ist das wichtig, weil Cusanus sagt:

Äqualität, soweit sie die Quantität betrifft.

Nicht allgemein Größe, sondern Quantität als cusanischer Leitbegriff.

c) absque respectu ad partes aliquotas → ohne Rücksicht auf aliquote Teile

Hofmann:

ohne Berücksichtigung rationaler Bruchteile

Das ist erneut verfälschend. Cusanus sagt:

partes aliquotas

nicht:

rationale Bruchteile.

Der Satz unterscheidet genau zwei Fassungen:

1. Äqualität gemäß aliquoten Teilen;
2. Äqualität absolut, ohne Rücksicht auf aliquote Teile.

Hofmann macht daraus:

1. Gleichheit mit rationalen Bruchteilen;
2. Gleichheit ohne rationale Bruchteile.

Das ist eine andere Begriffsschicht.

d) secundi verum dixerunt → die Zweiten haben Wahres gesagt

Hofmann:

die Aussage der Letzteren ist richtig

Das ist sinngemäß möglich. Aber Cusanus formuliert personaler:

die Zweiten sagten Wahres

Das paßt zu seiner Vermittlungsweise: Er gibt nun auch den zweiten Vertretern Recht, unter einer bestimmten Fassung von Äqualität.

Hofmann macht daraus eine abstraktere „Aussage“.

e) circulari quantitati → kreisförmige Quantität

Hofmann:

kreisförmige Größe

Wieder Verlust von Quantität.

f) non circularis → nicht-kreisförmige

Das ist gut.

g) praecise aequalis → präzise äquale

Hofmann:

genau gleichgroße

Hier liegt eine deutliche Verschiebung. Cusanus sagt:

praecise aequalis

Das verbindet praecisio und aequalitas. Es meint nicht einfach „genau gleichgroß“, sondern: präzise äqual im strengen Sinn.

Hofmann ersetzt:

• praecise → genau,
• aequalis → gleichgroß.

Damit verliert der Satz den cusanischen Präzisionsbegriff und das Äquale.

h) assignari → zugewiesen werden

Hofmann:

angeben

Das ist nicht völlig falsch, aber assignari ist eher zuweisen, zuteilen, zuordnen. Angeben ist subjektiver.

i) per declarationem principii propositionis → durch die Erklärung des Anfangs der Propositio

Hofmann:

vermittels der Erklärung des Gedankens, der dem angeführten Satz zugrunde liegt

Das ist eine der stärkeren Verschiebungen im Satz. Cusanus schreibt:

principii propositionis, scilicet: Si datae peripheriae trigoni etc.

Weil er direkt die Anfangsworte der Propositio zitiert, liegt principium propositionis sehr wahrscheinlich als Anfang der Propositio nahe, nicht als „Gedanke, der dem Satz zugrunde liegt“.

Hofmann macht aus dem Textanfang einen zugrundeliegenden Gedanken. Dadurch wird aus einer textbezogenen Erklärung eine interpretierende Grundlage.

Das kann verfälschen, weil Cusanus offenbar sagt:

Das wird durch die Erklärung des Anfangs der Propositio sichtbar.

Nicht:

durch Erklärung eines dahinterliegenden Gedankens.

j) peripheriae trigoni → Peripherie eines Trigons

Hofmann:

Dreieckumfang

Wie zuvor: sachlich verständlich, aber der trigonale Ansatz und die Peripherie-Kette werden verdeckt.

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8. Mathematische / cusanische Bedeutung

Dieser Satz vermittelt beide Parteien:

• Die Ersten haben in gewissem Sinn recht, wenn aequale über nicht mehr aliquot faßbares Übertreffen verstanden wird.
• Die Zweiten haben in anderem Sinn recht, wenn aequalitas absolute, also ohne Rücksicht auf aliquote Teile, gefaßt wird.

Dann gilt:

Einer kreisförmigen Quantität kann keine nicht-kreisförmige präzise äquale Quantität zugewiesen werden.

Das ist der zentrale Vermittlungspunkt:

Äquale nach aliquoten Teilen → erste Meinung hat recht.
Äqualität absolut / präzise → zweite Meinung hat recht.

Cusanus ist also nicht parteiisch. Er ordnet die Wahrheitsanteile beider Seiten nach unterschiedlichen Bedeutungen von Äqualität.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Übersetzung verschiebt den Satz stark, weil sie die entscheidenden Unterscheidungen nicht sauber erhält:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
aequalitas	Begriff der Gleichheit	Begriffsschicht wird modernisiert
quantitas	Größe	Quantitätsbegriff verloren
partes aliquotae	rationale Bruchteile	verfälschend
praecise aequalis	genau gleichgroß	Präzision + Äqualität gehen verloren
assignari	angeben	leichte Subjektivierung
principium propositionis	zugrundeliegender Gedanke	Textanfang wird Interpretationsgrund
peripheria trigoni	Dreieckumfang	trigonale Peripherie-Kette verdeckt

Besonders wichtig: Hofmanns Satzstellung macht die Aussage der Zweiten stärker als abstrakte Lehrmeinung sichtbar; Cusanus formuliert hingegen eine präzise Bedingung, unter der die Zweiten Wahres sagten.

10. Übernommener finaler Entwurf

Wenn aber die Äqualität absolut gefaßt wird, soweit sie die Quantität betrifft, ohne Rücksicht auf aliquote Teile, dann haben die Zweiten Wahres gesagt, weil einer kreisförmigen Quantität keine nicht-kreisförmige präzise äquale zugewiesen werden kann; und dies durch die Erklärung des Anfangs der Propositio, nämlich: Wenn zu der gegebenen Peripherie eines Trigons usw.

Kommentar:

Cusanus vermittelt hier beide Seiten: Das Äquale gemäß aliquoten Teilen gibt den Ersten einen Wahrheitsanteil; die absolute Äqualität hinsichtlich der Quantität gibt den Zweiten recht. Partes aliquotaesind keine „rationalen Bruchteile“. Praecise aequalis ist nicht bloß „genau gleichgroß“, sondern präzise äqual. Principium propositionis wird wegen des folgenden Zitats als Anfang der Propositio verstanden, nicht als bloß zugrundeliegender Gedanke.

Absatz, 7.–8. Satz

Geradezu genial wie Cusanus in der Abfolge das jeweils Wahre herausgearbeitet hat und dies nun wie folgt abschließt.

Cusanus Absatz, 7.–8. Satz:

7) Sic dixisse sufficiat.

8) Per quae intelligas ea, quae de hac re in certis aliis libellulis meis varie scripta reperies.

Hofmann:

7) Soviel möge genügen.

8) Daraus magst Du einsehen, was Du über diesen Gegenstand in einigen meiner anderen Schriftchen auf verschiedene Weise dargelegt findest.

Analyse 11. Absatz, 7. Satz

Ja, der Abschluß ist bemerkenswert knapp: Cusanus sagt nicht „damit ist alles bewiesen“, sondern beendet die begriffliche Klärung und verweist auf andere Schriften, in denen dasselbe verschieden ausgearbeitet ist.

1. Original

Sic dixisse sufficiat.

Per quae intelligas ea, quae de hac re in certis aliis libellulis meis varie scripta reperies.

2. Unser erster Entwurf

So möge es genügen, gesagt zu haben. Durch dieses mögest du das verstehen, was du über diese Sache in gewissen anderen meiner Libelli verschieden geschrieben finden wirst.

Etwas deutscher:

So möge es genügen, gesprochen zu haben. Durch dies mögest du das verstehen, was du über diese Sache in gewissen anderen meiner Libelli auf verschiedene Weise geschrieben finden wirst.

Noch besser:

So möge das Gesagte genügen. Durch dieses mögest du das verstehen, was du über diese Sache in gewissen anderen meiner Libelli auf verschiedene Weise geschrieben finden wirst.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Sic dictum sufficiat. Per haec intelligas ea, quae de hac re in certis aliis libellulis meis varie scripta reperies.

Abweichung:

• Original: Sic dixisse sufficiat — „so möge genügt haben, gesagt zu haben“ / „so möge das Gesagt-Haben genügen“.
• Unser „So möge das Gesagte genügen“ ist glatter, aber verliert das Infinitivische dixisse.

Näher wäre:

So möge es genügen, dies gesagt zu haben.

Rückübersetzung:

Sic dixisse sufficiat.

Das ist sehr nah.

4. Finalisierter Entwurf

So möge es genügen, dies gesagt zu haben. Durch dieses mögest du das verstehen, was du über diese Sache in gewissen anderen meiner Libelli auf verschiedene Weise geschrieben finden wirst.

5. Hofmann-Fassung

Soviel möge genügen. Daraus magst Du einsehen, was Du über diesen Gegenstand in einigen meiner anderen Schriftchen auf verschiedene Weise dargelegt findest.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Tantum sufficiat. Ex hoc intellegere possis, quae de hoc argumento in nonnullis aliis libellis meis varie exposita invenis.

Das weicht an mehreren kleineren Stellen ab.

7. Analyse der Veränderungen

a) Sic dixisse sufficiat → Soviel möge genügen

Cusanus:

Sic dixisse sufficiat So möge es genügen, dies gesagt zu haben.

Hofmann:

Soviel möge genügen.

Das ist verständlich, aber sic und dixisse verschwinden. Cusanus sagt nicht nur „soviel“, sondern bezieht sich auf die Weise des Gesagten:

So — in dieser Weise — möge das Gesagt-Haben genügen.

Das paßt zu seiner Vorrede: Er hat keine vollständige Ausarbeitung gegeben, sondern eine begriffliche Hinführung.

Bewertung: leichte Sinnverkürzung, keine schwere Verfälschung.

b) Per quae → Daraus

Cusanus:

Per quae durch welche / durch dieses.

Hofmann:

Daraus

Das ist nah. Per quae betont aber stärker: durch die vorhergehenden Klärungen hindurch soll der Leser das Weitere verstehen.

Bewertung: zulässig.

c) intelligas → magst du einsehen

Das ist gut. Intelligere kann verstehen, einsehen, geistig erfassen heißen.

Bewertung: zutreffend.

d) de hac re → über diese Sache

Hofmann:

über diesen Gegenstand

Das ist zulässig.

e) certis aliis libellulis meis → in gewissen anderen meiner Libelli

Hofmann:

in einigen meiner anderen Schriftchen

Certis heißt nicht einfach „einigen“, sondern eher „gewissen / bestimmten“.

Libellulis ist Diminutiv von libellus: kleine Schrift / Büchlein / Schriftchen. „Schriftchen“ ist in Ordnung, kann aber leicht abwertend klingen; bei Cusanus ist es wohl bescheiden gemeint.

Ich würde Libelli oder kleinen Schriften nehmen.

Bewertung: „einigen“ ist etwas ungenau; „Schriftchen“ möglich, aber Ton beachten.

f) varie scripta → auf verschiedene Weise geschrieben

Hofmann:

auf verschiedene Weise dargelegt

Cusanus sagt scripta, nicht exposita. „Dargelegt“ ist erklärend, aber es ersetzt das schlichte „geschrieben“.

Zugleich ist varie wichtig: Cusanus sagt, daß er diese Sache in anderen Libelli verschieden geschrieben hat. Das paßt zum bisherigen Vorgehen: Unterschiedliche Schriften können verschiedene Zugänge enthalten.

Bewertung: leichte Glättung.

g) reperies → finden wirst

Hofmann:

findest

Original Futur:

du wirst finden

Hofmann macht Präsens. Nicht schwer, aber Cusanus verweist auf künftige Lektüre.

Bewertung: kleine Modus-/Zeitverschiebung.

8. Bedeutung für den Abschluß der Vorrede

Diese beiden Sätze schließen die Vorrede nicht dogmatisch, sondern offen:

Das Gesagte soll genügen, damit der Leser durch diese Klärung andere Schriften des Cusanus über denselben Gegenstand verstehen kann.

Das bestätigt unsere Lesung:

• Cusanus will intelligere bewirken.
• Er will, daß der Leser andere Texte durch diese begriffliche Klärung richtig liest.
• Er sagt ausdrücklich, daß er über dieselbe Sache varie geschrieben hat.

Das ist wichtig: Die Vorrede ist nicht bloß Einleitung zu einer Zeichnung oder Konstruktion, sondern ein Schlüssel zum Verständnis seiner verschiedenen mathematischen Libelli.

9. Ergebnis zur Hofmann-Fassung

Hofmanns Übersetzung ist hier nicht stark verfälschend, aber glättet:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
Sic dixisse sufficiat	Soviel möge genügen	Weise des Gesagthabens verkürzt
Per quae	Daraus	zulässig
certis	einigen	„gewissen / bestimmten“ abgeschwächt
libellulis	Schriftchen	möglich, aber Ton beachten
scripta reperies	dargelegt findest	Schreiben/Futur geglättet

10. Übernommener finaler Entwurf

So möge es genügen, dies gesagt zu haben. Durch dieses mögest du das verstehen, was du über diese Sache in gewissen anderen meiner Libelli auf verschiedene Weise geschrieben finden wirst.

Kommentar:

Per quae intelligas zeigt den Zweck der Vorrede: Die bisherigen Klärungen sollen das Verstehen der anderen mathematischen Libelli ermöglichen. Varie scripta weist darauf, daß Cusanus dieselbe Sache in verschiedenen Schriften verschieden behandelt hat. Die Vorrede ist daher ein Schlüssel zur Assimilation seiner weiteren Ausführungen.

Abschluß der Vorrede

Im Deutsch kann man doch auch "Büchlein" zu "libelli" sagen - oder?

Reflektiere und Kommentiere die folgenden Aussagen:

Sein Abschlußwort gehört an sich auch an den Anfang, dort wo er um Assimilation bittet. Man weiß übrigens nicht genau wem er dies schrieb, man mutmaßt lediglich es sei Bessarion gewesen. Gleich wem er schrieb, so habe ich die Erfahrung gemacht, daß man jemand noch so oft verschiedene Sichtweisen zur Klärung einer Sachfrage geben kann, doch jeder nur das aufnehmen kann, was seinem jeweiligen Bewußtseinsvermögen entspricht, es muß eine gewisse Ebene vom Leser erlangt sein um mittels eines solchen Schriftstück eigens zur höherer Kenntnis zu gelangen und wie Cusanus ahnt woran es metal hapert – das Vermögen zur Assimilation eines Urbild aus dessen verschriftetem Abbild.

Wir haben nun die 11. Absätze, welche ich zusammengefaßt als Vorrede benannt habe insofern abgeschlossen, daß wir davon eine Grundlage für die Assimilation des Gedankengang des Cusanus erstellt haben, die im Deutsch sehr nahe an das gelangt, daß Cusanus gemäß seiner Auswahl der Begriffe und Formulierung der Sätze als verschriftetes Abbild des Urbild seines Gedenkengang hat. Wir haben dargelegt wie weit die Übersetzung Hofmann's von dem abweicht und die seitens Cusanus erbetene und beabsichtigte Assimilation verhindert und so aus den jeweils verschrifteten Abbildern weit voneinander abweichende Gedankenbilder entstehen, so daß sich der jeweilige Leser mit einem verfälschten Abbild sich dem Urbild des Cusanus nicht annähern kann.

Man kann nun den weiteren Verlauf von De circuli quadratura in der gleichen Verfahrensweise überarbeiten und nehmen wir an, daß wir dies bereits erledigt hätten, doch niemand braucht über die nun von uns berichtigte Vorrede hinaus weiterlesen, wenn im mittels des Abbild die Assimilation an das Urbild gewissenhaft ausführt und zu einer genügenen Assimilation gelangt. Die Wichtigkeit der Vorrede zeigt sich anhand der 11. Absätze zu den insgesamt 39. Absätzen, also nahezu ein Drittel, wobei die verbleibenden Absätze aufgrund der beschreibenden Konstruktion der Zeichnungen umfassender sind.

Mit anderen Worten, nur wenn ein Leser die Vorrede als ein sprachlich bedingt gemindertes Abbild eines nicht sprachlichen Urbild begreift und die Assimilation an das Urbild zur genüge erlangt, kann er auch das Nachfolgende begreifen und darüber eigen urteilen, ansonsten kann er sich den Auswand schenken, es dabei belassen, da er die Kenntnis über das er sich zu urteilen erlaubt, zur Genüge erlangt hat.

Reflektion der Vorrede

Ja, diese Aussagen sind im Kern tragfähig. Ich würde sie nur an einigen Stellen methodisch begrenzen, damit sie nicht selbst zu scharf oder zu absolut werden.

1. Abschlußsatz als Schlüssel zum Anfang

Der Abschluß:

Per quae intelligas ea … Durch dieses mögest du das verstehen …

gehört sachlich tatsächlich zum Anfang zurück. Er erklärt nachträglich, was die ersten Absätze bereits fordern: nicht vorschnell mathematisch urteilen, sondern den Gedankengang so aufnehmen, daß man die späteren Ausführungen und auch andere Libelli richtig versteht.

Cusanus baut damit eine Schleife:

Anfang: Nimm es durch Assimilation auf.
Ende der Vorrede: Durch dieses sollst du die anderen Schriften verstehen.

Das bestätigt, daß die Vorrede nicht bloß Einleitung ist, sondern ein Leseinstrument.

2. Assimilation statt bloßer Übersetzung

Deine Formulierung vom sprachlichen Abbild eines nichtsprachlichen Urbildes trifft den Vorgang gut, solange man sie als Erkenntnismodell verwendet und nicht als mystische Überhöhung.

Cusanus hat einen Gedankengang, der sprachlich nur vermindert, nacheinander, gestückelt und begrifflich gebunden erscheint. Der Leser muß aus dem verschrifteten Nacheinander wieder eine innere Anschauung / Ordnung herstellen.

Das ist mehr als „Text verstehen“. Es ist:

aus Worten eine innere geometrisch-intelligible Figur bilden.

Genau dort kann eine Übersetzung versagen: Nicht erst, wenn einzelne Wörter falsch sind, sondern wenn sie den Leser zu einem anderen inneren Bild führt.

3. Hofmanns Übersetzung als anderes Gedankenbild

Unsere Analyse hat gezeigt: Die Übersetzung Hofmanns ist nicht nur „freier“. Sie erzeugt an vielen Schlüsselstellen ein anderes Begriffsnetz:

Cusanus:
Äquales – aliquoter Teil – Quantität – Proportio – rectilineabel – Capacitas – Präzisissimum

Hofmann:
Gleichheit – rationaler Bruchteil – Größe/Fläche – rationales Verhältnis – verwandeln – Fläche – genau gleich

Damit entsteht nicht nur ein anderer Stil, sondern ein anderer Denkraum. Der Leser assimiliert dann nicht mehr Cusanus’ Gedankengang, sondern Hofmanns Auslegung.

Das ist besonders schwerwiegend, weil Cusanus gerade eine kontrollierte Assimilation verlangt.

4. Die Vorrede als notwendige Eintrittsstufe

Die 11 Absätze bilden tatsächlich eine Art Prüfung oder Schwelle:

• Wer Äquales als bloß „gleich“ liest, verfehlt den weiteren Text.
• Wer pars aliquota als „rationalen Bruchteil“ liest, verfehlt den Maßbezug.
• Wer rectilineabilis als „verwandeln“ liest, verfehlt die Frage der Auflösbarkeit.
• Wer praecisissimum als „genau gleich“ liest, verfehlt die cusanische Präzisionslehre.
• Wer Capacitas als bloße Fläche liest, verfehlt die Verbindung von Geometrie, Einheit und Einfachheit.

Damit ist die Vorrede nicht nebensächlich. Sie legt die Begriffe fest, mit denen das Folgende überhaupt verstanden werden kann.

5. Eine notwendige Begrenzung deiner letzten Aussage

Dein Satz:

Wer die Vorrede nicht assimiliert, kann sich den Aufwand des Weiterlesen sparen.

ist als methodische Warnung berechtigt, aber als endgültiges Urteil etwas zu hart. Präziser wäre:

Wer die Vorrede nicht wenigstens vorläufig in ihrem Begriffsgang erfaßt hat, kann das Folgende zwar lesen, wird aber wahrscheinlich nicht über Cusanus urteilen können, sondern nur über das eigene oder übersetzte Gedankenbild.

Das ist sachlich stärker und weniger ausschließend.

6. Kernsatz deiner Einsicht

Ich würde deine Gesamtbeobachtung so bündeln:

Die Vorrede von De circuli quadratura ist nicht bloß eine Einleitung, sondern der Schlüssel zur richtigen Assimilation des ganzen Traktats. Cusanus klärt darin die Bedingungen, unter denen die Aussagen der Befürworter und Gegner der Kreisquadratur jeweils wahr sind. Wer diese begriffliche Stufe verfehlt, liest die nachfolgenden Konstruktionen nicht aus Cusanus’ Gedankenordnung, sondern aus einer fremden, meist modernen Begriffsschicht.

Das ist der Punkt, den du nun herausgearbeitet hast.

Ich bin rein sachlich, nicht mystisch. Wenn Cusanus die trigonomische Kreisquadratur beschreibt, dann sieht er diese, es schaut die geometrischen Formen – daß geschieht dann beim Mensch wortlos. Das Geschaute wird über den Weg der Versprachlichung zu einem spachlichen Abbild übertragen. Der leser muß dieses sprachliche Abbild wieder zu einem räumlichen Abbild umwandeln und es eigens schauen, dabei assimiliert der Leser in dem Grad in Angleichung an das für ihn unerreichbare Urbild in dem AUsmaß, wie er dieselben Wörter und Begriffe mit denselben Bedeutungen zu verbidlichen vermag. Hofmann hat die Bedeuteungen, Worte und Begriffe verändert und damit den Weg von Urbild zu Abbild seitens des Auto, mit der Verfälschung des verschrifteten Abbild zu einem Abbild ihrer eigenen Bilder und Bildung gemacht und dem Leser den Weg zur Abbildung eines zumindest zur Genüge änlichen Bild versperrt.

"Wer die Vorrede nicht assimiliert, kann sich den Aufwand des Weiterlesen sparen." ist hart, aber aufrichtig, gemäß eigener Erfahrung als Ausbilder und Coach – es ist so – er kann sich dies ersparen!

Sollen wir mit den nächsten Absätzen fortfahren?

Übergang zum nächsten Teil

Ja, setzen wir fort.

Deine Präzisierung ist sachlich: Urbild → sprachliches Abbild → inneres Anschauungsbild des Lesers. Genau dort entscheidet sich, ob Assimilation gelingt. Bei geometrischen Texten ist das besonders streng, weil die Wörter nicht nur Bedeutungen tragen, sondern Konstruktionsanweisungen für ein inneres Bild sind.

Bei Hofmann liegt nach unserer bisherigen Prüfung nicht bloß eine stilistische Abweichung vor, sondern eine Verschiebung dieser Bildkette:

Cusanus’ geschauter Gedankengang
→ Cusanus’ lateinisches Abbild
→ Hofmanns begrifflich verändertes deutsches Abbild
→ Leser bildet daraus ein anderes inneres Bild

Dadurch wird der Weg zur hinreichend ähnlichen inneren Abbildung tatsächlich erschwert oder versperrt.

Zum harten Satz: In Bezug auf Urteilsfähigkeit ist er haltbar. Wer die Vorrede nicht assimiliert, kann weiterlesen, aber nicht sachgemäß über das Folgende urteilen. Für Forschung und Kritik heißt das praktisch: Erst die Vorrede assimilieren, dann die Konstruktionen prüfen.

Gib mir den nächsten lateinischen Satz mit Hofmanns Übersetzung; wir setzen dasselbe Verfahren fort.

Vorbereitung mit Bild

Nicht wirklich – ich sage sogar es sollte es möglichst nicht lesen! Man schadet sich tatsächlich, wenn man etwas liest, daß man zu begreifen nicht in der Lage ist. Infolge wird man darüber falsch urteilen, falsches denken und dem Autor im Nachgang schaden.

Die ersten beiden Absätze des nächsten Teil sind je auf Konstruktion bezogen und gebe ich dir daher zusammen in dessen Sätzen aufgegliedert und es gibt eine Abbildung dazu. OK?

Weiter: Über Kreisquadratur des Cusanus III