Werk:Die mathematischen Schriften/Die Kreisquadratur

(Quadratura circuli)

Die Kreisquadratur

des Herrn Kardinal Nikolaus von Cues, des Legaten und Bischofs von Brixen.

Zwar haben uns eine höhere Betrachtung und das allgemeine Beste schon lange von geometrischen Studien abgezogen, aber zwischen den zahllosen ernsten Sorgen, die mit dem Amt eines päpstlichen Gesandten verbunden sind, mischte sich ergötzend in die Gespräche der Gelehrten die Behauptung von der wissensmöglichen, aber nicht gefundenen Quadratur des Kreises; neulich haben wir sie zu Pferde immer wieder überdacht und dann zusammengeschrieben, was wir erreicht haben.

Wir lesen nicht, daß irgend jemand der Erkenntnis dieses Sachverhaltes näher gekommen ist als Archimedes, der zuerst aufzeigte, daß ein Rechteck aus dem Halbmesser und dem halben Umfang des Kreises gleich der Kreisfläche ist. Das muß notwendig so sein, wenn das Folgende gelten soll: Nach allgemeiner Übereinkunft ist gleich, was weder größer noch kleiner ist . In allen regelmäßigen Vielecken gleichen Umfangs — in dieser Schrift handeln wir nur von solchen — ist das Rechteck aus dem Halbmesser des Inkreises und dem halben Umfang gleich der Vieleckfläche. Euklid hat gezeigt, daß man leicht das geometrische Mittel aus dem fraglichen Halbmesser und dem halben Umfang bilden kann.

Da dieses Mittel die Seite des flächengleichen Quadrates ist, kennt man aus der ausgestreckten Umfangslinie auch die Quadratur des Kreises. Und dies ist der sicherste Nachweis. Aber indem Archimedes des Glaubens war, vermittels seiner Spirale das Erstere gefunden zu haben, hat er die Wahrheit verfehlt. Die Spirale läßt sich nämlich nur dadurch beschreiben, daß sich ein Punkt in der nämlichen Zeit über den Halbmesser hin bewegt, in der der Halbmesser durch eine Umdrehung den Kreis beschreibt. Die Beschreibung der Spirale setzt also jene Bewegungen voraus, die sich verhalten wie der Halbmesser zum Umfang. Er setzt also voraus, was er sucht. Es läßt sich leichter eine Strecke gleich der Kreislinie geben als die Spirale richtig darstellen.

Wir gehen hier von der Überlegung aus, daß Dreieck und Kreis der Fläche nach Extreme bilden. Im Gegensatz zum Kreis, wo Inkreis und Umkreis zusammenfallen, weichen im Dreieck Inkreis- und Umkreishalbmesser am stärksten voneinander ab. Dort ist der Umkreishalbmesser am größten, der Inkreishalbmesser am kleinsten, und ihre Summe ist a m kleinsten; umgekehrt ist die Summe im Kreis gleich dem Kreisdurchmesser und am größten. Deshalb wissen wir, daß alle dazwischen liegenden umfangsgleichen regelmäßigen Vielecke entsprechend ihrer Fläche in jenen Strecken sich der Gleichheit mit dem Kreishalbmesser nähern. Wenn also eine Größe bezeichnet wird als Uberschuß des Kreishalbmessers über den Inkreishalbmesser im Dreieck, und eine andere Größe, um die der Kreishalbmesser kleiner ist als der Umkreishalbmesser am Dreieck, dann wird sich jedes dazwischen liegende Vieleck entsprechend seiner Fläche im Überschuß seines Inkreishalbmessers über den des Dreiecks und im Unterschied zwischen seinem Umkreishalbmesser und dem des Dreiecks proportional verhalten. Denn da sich jene Größen verändern, weil die Flächen verschieden groß sind, kann ihr Verhältnis kein anderes sein als das Verhältnis der Flächen. Also muß notwendig gelten: Wie sich Überschuß zu Überschuß verhält, so verhält sich Unterschied (diminutio) zu Unterschied, da die Fläche der einen Verschiedenheit ebenso folgt wie der anderen, und der einen nicht mehr als der anderen. Es werden also in allen Vielecken Überschuß und Unterschied, da sie sich so zueinander verhalten, in der nämlichen Proportion stehen. Wenn also ein Verhältnis gegeben ist, und wenn man diese beiden Beträge in einem bekannten Vieleck kennt, dann kennt man sie auch i m Kreis. Und weil Überschuß und Unterschied im Kreis zusammen gleich dem Halbmesser des Inkreises im Dreieck sind, wie von selbst klar ist, deshalb hätte man auch den Halbmesser des isoperimetrischen Kreises und alles Gesuchte, wenn man entsprechend dem gefundenen Verhältnis den Inkreishalbmesser des Dreiecks teilen und den größeren Abschnitt eben diesem Inkreishalbmesser des Dreiecks hinzufügen würde.

Abb. 21

Abb 22.

Dies wollen wir Dir auf folgende Weise klarer machen: Die Strecke $ab$ werde gedrittelt und Dreieck $cde$ gebildet. Auf der Seite $cd$ werde $ik$ gleich dem vierten Teil der Strecke $ab$ angetragen und daraus Quadrat $iklm$ gebildet. Man zeichne die Inkreise und Umkreise. Für das Dreieck sei der Inkreishalbmesser $fa$, der Umkreishalbmesser $th$, für das Quadrat sei der Umkreishalbmesser $th$, fInkreishalbmesser $ng$, der Umkreishalbmesser $no$. Dann werde $jh$ mit dem Mittelpunkt $g$ gezeichnet. Aus den Punkten $f,g,h$ ziehe man Gerade von beliebiger Länge und dann zu $fh$ gleichlaufend $tn$ mit dem Mittelpunkt $aa$. Dann werde der Inkreishalbmesser eines beliebigen isoperimetrischen Vielecks, z. B . des Quadrats, gleich np angetragen, und der Umkreishalbmesser gleich $no$. Lege nun aus $g$ durch $p$ eine Gerade von unbegrenzter Länge und ebenso eine Gerade aus $h$ durch $o$; der Schnittpunkt beider sei mit $g$ bezeichnet. Dann lege man durch $g$ zu $fh$ die Parallele $sr$ mit dem Mittelpunkt $bb$. Ich behaupte: $rg$ ist der Halbmesser des gesuchten Kreises, dessen Umfang gleich der Strecke ab ist.

Dies läßt sich auf vielerlei Arten leicht beweisen. Die vorige Figur werde beibehalten. Angenommen, die Strecke $gbb$ entspreche der Flächendifferenz zwischen Dreieck und isoperimetrischem Kreis, und aus $rs$ werde eine Gerade immer gleichlaufend gegen $fh$ zu bewegt. Offenbar schneiden $hq$ und $gq$ auf ihr alle Differenzen aus zwischen den Inkreis- und Umkreishalbmessern in allen Vieleckfiguren vom Dreieck bis zum Kreis, wo Inkreis und Umkreis zusamenfallen. Ferner steht fest, daß diese bewegte Gerade auf $bbg$ gleichzeitig alle Flächendifferenzen zwischen Dreieck und Kreis abschneidet; denn je kleiner die Differenz der besagten Halbmesser ist, desto größer ist die Fläche. Also ist der Kreis der Fläche nach die größte Figur, weil diese Halbmesser dort zusammenfallen, und das Dreieck die kleinste, weil sie sich dort am stärksten unterscheiden. Die bewegte Gerade sei $tn$, die im Punkte aa die Gerade $gbb$ schneidet; $po$ sei die Halbmesser-Differenz im Quadrat. Wenn also $gbb$ der Flächendifferenz von Dreieck und isoperimetrischem Kreis entspricht, dann entspricht gaa der Flächendifferenz von Dreieck und Quadrat. Und weil $np$ nach Voraussetzung der Halbmesser des Inkreises im Quadrat ist, und $aap$ sein Überschuß über den Inkreishalbmesser $fg$ im Dreieck, wird $bbq$ der Überschuß des Halbmessers im isoperimetrischen Kreis über den Inkreishalbmesser im Dreieck sein; denn $bbg$ verhält sich zu $aag$ wie $bbq$ zu $aap$, wie bekannt ist. Es entsprechen aber die Unterschiede der Inkreishalbmesser in isoperimetrischen Vielecken den Differenzen der Flächen; die Flächendifferenz in regelmäßigen isoperimetrischen Vielecken ergibt sich nämlich nur aus der Differenz der Inkreishalbmesser. Denn, wie bekannt, entsteht die Fläche als Produkt aus dem besagten Halbmesser, der sich in den verschiedenen derartigen Figuren ändert, und dem halben Umfang, der immer der nämliche bleibt. Wenn Du also die Strecke $bbs$, d.h. den Betrag der beiden Halbmesserüberschüsse, dem Überschuß der Kreisfläche über das Dreieck entsprechen lässest, dann wird im Quadrat ein derartiger Flächenüberschuß einer Strecke entsprechen, die gleich ist den beiden Strecken $to$ und $paa$, und weil das Verhältnis dieser Strecken zu $sbb$ das gleiche ist wie das Verhältnis von $paa$ zu $bbq$, deshalb gilt der nämliche Schluß wie oben. Oder, wenn D u behauptest, die Dreieckfläche sei kleiner als die Kreisfläche entsprechend der Strecke $hg$, dann wird die Quadratfläche kleiner sein entsprechend der Strecke $po$.

Abb. 23

Aber wenn Du fernerhin Einwendungen machst und behauptest, der Kreishalbmesser sei kleiner, z .B.: er ende im Mittelpunkt $u$ zwischen $s$ und dem Endpunkt der Linie $g$, so daß $ru$ der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises ist; wenn dann $us$ so verlängert wird, daß die entstehende Strecke [$ux$] gleich $ru$ wird – so entsteht $rx$ - und ebenso $fh$ zu $fz$ gleich $rx$; dann ziehe $xz$, lege aus $u$ die Geraden nach $g$ und $h$, bezeichne ihre Schnittpunkte mit in als 2 und 9 und verlängere in bis zu $zx$, und so sei $ccn$ gleich $rx$. Ich behaupte: Wenn der Halbmesser des Inkreises im isoperimetrischen Kreiszum Inkreishalbmesser des Dreiecks den Betrag bbu hinzufügt, dann fügt der Inkreishalbmesser im Quadrat die Strecke $aa2$ hinzu. Wenn also der Inkreishalbmesser im Quadrat die Strecke $aap$ hinzufügt, dann fügt der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises $bbg$ hinzu. Das ist von selbst klar, wenn sich die zugefügten Strecken verhalten wie $bbu$ zu $aa2$ und die zugefügte Strecke i m Quadrat bekannt und gleich $aap$ ist. Also wird sie im Kreis gleich $bbq$ sein, da sich $aap$ zu $bbq$ verhält wie $aa2$ zu $bbu$.

Daß aber dies das Verhältnis ist, läßt sich beweisen. Wenn man ru als Inkreishalbmesser im Kreis annimmt, dann ist $ux$ der Umkreishalbmesser; beide fallen im isoperimetrischen Kreis zusammen. Es ist klar, daß $rx$ die Summe aus diesen beiden Halbmessern ist; $fz$ ist ihr gleich und gleich der Summe aus dem Inkreis- und Umkreishalbmesser im Dreieck.

In allen Vielecken zwischen Dreieck und Kreis werden diese beiden Halbmesser zusammen weder kleiner sein als $fz$ noch größer als $ra$, also immer gleich. Im Quadrat wird also nco gleich diesen beiden Halbmessern sein; 29 ist notwendig gleich $po$ — Dreieck $ghq$ ist gleich Dreieck $ghu$, da $qu$ und $gh$ parallel sind und ebenso $o2$ parallel zu $gh$ —; deshalb ist $92$ gleich $po$, wie Dir aus Euklid I, 37 und VI, 4 bekannt ist., $po$ ist aber der Überschuß des Umkreishalbmessers über den Inkreishalbmesser im Quadrat, also auch $29$; und da $n2$ gleich $cc9$ ist, wird also $n2$ gleich dem Inkreishalbmesser im Quadrat und $2cc$ gleich dem zugehörigen Umkreishalbmesser. Wenn man also annimmt, daß der Kreishalbmesser um $bbu$ größer ist als der Inkreishalbmesser im Dreieck, dann ist der Inkreishalbmesser im Quadrat notwendig um $aa2$ größer als der Inkreishalbmesser im Dreieck. Diese zugefügten Strecken könnte man als Flächenüberschüsse über die Dreieckfläche bezeichnen, da bei regelmäßigen isoperimetrischen Vielecken die Flächenüberschüsse einzig und allein aus diesen Streckenüberschüssen entstehen. Das Zugefügte verhält sich also wie $aa2$ zu $bbu$, was zu beweisen war.

Und ebenso wie im Quadrat kann man bei allen Vielecken vorgehen. Damit steht der Satz fest.

Abb. 24

Anders: Der Überschuß der Kreisfläche über die Dreieckfläche ist der größte, die Differenz zwischen Inkreis- und Umkreishalbmesser ist Null oder die schlechthin kleinste, weil sie nicht kleiner sein kann. Aber die Differenz des Inkreis- und Umkreishalbmessers im Dreieck ist die größte und der Überschuß der Dreieckfläche über sich selbst Null oder der schlechthin kleinste. Eine Strecke $ab$ entspreche der Differenz der beiden Halbmesser im Dreieck und dem Überschuß der Kreisfläche über die Dreieckfläche. $ab$ sei die Seite des Quadrats $abcd$ und entspreche der Differenz der Halbmesser [im Dreieck] und dem schlechthin kleinsten Flächenunterschied des Dreiecks von seiner eigenen Fläche; $cd$ entspreche dem0 Überschuß der Kreisfläche über die Dreieckfläche und dem schlechthin kleinsten Unterschied der fraglichen Halbmesser [im Kreis]. Dann werde die Diagonale $bc$ gezogen. Ich behaupte: In allen zwischen Dreieck und Kreis gelegenen Vielecken können die Strecken, die den Flächenüberschuß über dasDreieck darstellen, zusammen mit der Differenz der Halbmesser weder größer noch kleiner sein als $ab$ oder $cd$, wie von selbst klar ist. Es werde nun $ef$ gleich und gleichlaufend zu $ab$ und $cd$ gelegt und mit $bc$ in $g$ geschnitten; $ge$ entspreche der Differenz der Halbmesser i m Quadrat. Es ist klar, daß $gf$ dem Überschuß der Quadratfläche über die Dreieckfläche entspricht. Der Überschuß der Quadratfläche über die Dreieckfläche verhält sich zum Überschuß der Kreisfläche über die Dreieckfläche wie $gf$ zu $cd$. Auf $gf$ trägt man den Überschuß $hf$ des Inkreishalbmessers im Quadrat über den im Dreieck an; dann ziehe man aus $b$ durch $h$ nach $cd$ hin eine Gerade mit dem Schnittpunkt $i$. Ich behaupte: $di$ ist der Überschuß des Halbmessers im isoperimetrischen Kreis über den Inkreishalbmesser im Dreieck. Es verhält sich nämlich $fg$ zu $dc$ wie $fh$ zu $di$. Der Flächenunterschied der regelmäßigen isoperimetrischen Vielecke gegenüber der Dreieckfläche ergibt sich nur aus dem Unterschied zwischen Inkreishalbmesser im Vieleck und Inkreishalbmesser im Dreieck. Das , Verhältnis des Flächenüberschusses über die Dreieckfläche ist also das Verhältnis der Differenzen zwischen dem Inkreishalbmesser in den Vielecken und dem Inkreishalbmesser im Dreieck. Damit ist das Gesuchte klar.

Daraus wird sich jetzt leicht ein vollkommenes Wissen über Sehnen und Bögen entwickeln lassen. Wenn das Verhältnis zwischen dem Uberschuß des Inkreishalbmessers in einem auf das Dreieck folgenden regelmäßigen isoperimetrischen Vieleck über den Inkreishalbmesser im Dreieck und dem Überschuß des Umkreishalbmessers a m Dreieck über den Umkreishalbmesser a m Vieleck immer das gleiche ist, und wenn diese Überschüsse zusammen mit der Differenz oder dem Pfeil gleich dem Pfeil der Dreieckseite sind, wie aus dem Früheren klar hervorgeht, dann hat man, wenn man das Verhältnis dieser Überschüsse kennt — dieses Verhältnis wird von einer Zahl nicht genau erreicht, so wenig wie $\sqrt{2}$–, einen Weg gefunden zu allem, was man über Sehnen und Bögen wissen kann.

Das Verhältnis der Überschüsse kann man näherungsweise finden wie folgt: Der Umkreishalbmesser am Dreieck sei 14, der Inkreishalbmesser 7, sein Quadrat 49, das Quadrat der halben Dreieckseite dreimal soviel, also 147, das Quadrat des Umkreishalbmessers viermal soviel, also 196. Die halbe Quadratseite beträgt demnach die Wurzel aus neun Sechzehnteln vom Quadrat der halben Dreieckseite, d.h. $\sqrt{82}\frac{11}{16}$; dies ist auch der Halbmesser des Inkreises. Der Umkreishalbmesser wird die Wurzel aus dem Doppelten sein, d.h. $\sqrt{165}\frac{6}{16}$. Zieht man $\sqrt{49}$ ab von $\sqrt{82}\frac{11}{16}$, dann ist die Differenz der Überschuß des Inkreishalbmessers im Quadrat über den im Dreieck, und das ist etwas mehr als 2. Zieht man $\sqrt{165}\frac{6}{16}$ ab von $\sqrt{196}$ [dann ist die Differenz der Überschuß des Umkreishalbmessers am Dreieck über den am Quadrat], und das ist etwas mehr als 1. Damit hast Du die Uberschüsse, und ihr Verhältnis ist dasjenige, durch das man alles untersuchen kann. Wenn man nämlich diese Überschüsse vom Pfeil der Dreieckseite, d.h. von 7, abzieht, dann bleibt der Pfeil der Quadratseite. Teilt man 7 im vorgenannten Verhältnis der Überschüsse und fügt man den größeren Teil dem Halbmesser des Dreieck-Inkreises an, dann hat man den Halbmesser des isoperimetrischen Kreises.

Auf diese Weise kann man auch aus dem Quadrat der Dreieck- oder Quadratseite das Quadrat einer beliebigen Vieleckseite finden, und aus dieser Kenntnis und dem Verhältnis der Uberschüsse kommt man zum Pfeil und Inkreishalbmesser. Und so kennt man die Sehne. Das ist die letzte Vollendung der geometrischen Kunst. Wir lesen nicht, daß die Alten soweit vorgestoßen sind. Jetzt ist auch die Kunst der Geometrischen Verwandlungen vollendet, die wir früher nicht so eingehend, aber, was die Kreisquadratur anlangt, hinreichend behandelt haben. Und wir glauben, daß von dem, was man auf geometrischem Gebiet wissen kann, jetzt nichts mehr verborgen bleiben kann, wenn sich einer mit Hingabe diesen Untersuchungen widmen will. Das Vorliegende habe ich vor allem geschrieben, um die Kraft des Schlusses von den Koinzidenzen aufzuweisen; vermittels dieser Kunst kann man auf jedem Gebiet das Verborgene durchdringen. Einzig und allein aus der Koinzidenz der In- und Umkreishalbmesser, die in allen Vielecken verschieden sind, und nur im Kreis zusammenfallen, hat uns diese Untersuchung zum Ziel geführt.

Lob sei Gott.