Werk:Zur Geschichte der griechischen Mathematik/Die Arithmetik der Pythagoreer I.

siehe Gespräch:Die Arithmetik der Pythagoreer I. OCR und Analyse

Mathematische Annalen 120 (1947/49), S. 127–153 und 676–700.

Von B. L. VAN DER WAERDEN

Constantin Carathéodory in Freundschaft und Verehrung zum 70. Geburtstag gewidmet.

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Die beliebtesten Quellen für die Arithmetik der Pythagoreer waren bisher die populären Schriften des Nikomachos von Gerasa und des Theon von Smyrna. Gewiß enthalten diese sehr viel Interessantes, und das meiste daran wird wohl auch auf die Pythagoreer zurückgehen, aber der Gesamteindruck, den man aus diesen Werken erhält, ist doch für einen Mathematiker nicht recht befriedigend. Nikomachos und Theon sind ja auch keine Mathematiker und schreiben vor allem nicht für Mathematiker, sondern für Philosophen, die etwas über Zahlen zu erfahren wünschen, teils um Platon besser zu verstehen, teils um daran neupythagoreische Spekulationen anzuknüpfen, jedenfalls aber leicht faßlich und unterhaltend, um Gottes willen nicht mit schwerfälligen Beweisen versehen! So erzählt denn Nikomachos über Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Polygonalzahlen, über Rechtecks- und Gnomonzahlen, über Kubikzahlen und Balkenzahlen, über Verhältnisse und ihre Klassifikation, über Primzahlen, über geometrische Reihen, alles an tausend Beispielen erläutert, aber immer ohne Beweise, sogar ohne eine Andeutung der Gedankengänge, die zu alledem führen.

Aber die Pythagoreer verstanden unter μαϑηματα ein geordnetes System von Sätzen mit Beweisen, und die größte und erste von diesen Wissenschaften war ihnen die Lehre von den Zahlen (Epinomis 990 C). Wie finden wir den Zugang zu dieser Wissenschaft?

Einen ersten Zugangsweg haben BECKER und REIDEMEISTER angegeben. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im 9. Buch der Elemente Euklids stellt sich als ein ältestes Stück pythagoreischer Wissenschaft heraus, das sich aus dem Zusammenhang des 9. Buches leicht herauslösen läßt. Sie gipfelt in dem Satz über die vollkommenen Zahlen, und mit ihr hängt auch der Beweis der Irrationalität der Quadratdiagonale zusammen, auf den Aristoteles mehrfach anspielt und der als Anhang zum 10. Buche Euklids angefügt ist (X 114a).

Den zweiten Weg haben TANNERY und neuerdings wiederum REIDEMEISTER gezeigt: er führt über die Musiklehre der Pythagoreer, die wir aus der Darstellung des Ptolemaios und aus der Sectio canonis des Euklid kennen. In dieser Musiklehre werden nämlich gewisse zahlentheoretische Sätze benutzt, die wiederum andere Sätze aus den zahlentheoretischen Büchern VII und VIII Euklids voraussetzen. Sehr zustatten kommt uns dabei, daß ein Beweis eines solchen Satzes von Archytas von Taras uns durch Boethius überliefert ist. Durch logische Analyse dieser Beweise kann man große Teile der genannten Bücher als pythagoreisch erkennen. Eine Timaiosstelle führt zu weiteren Beziehungen. Wir werden nun auf diesem Wege noch weiter fortschreiten und durch Analyse der Bücher VII–IX tiefer in die Gedankengänge der Pythagoreer einzudringen versuchen. Die Ergebnisse dieser Analyse sind folgende:

Buch VII ist die Grundlage der pythagoreischen Arithmetik. Es bildet ein geschlossenes Ganzes von großer Schönheit und ist von Euklid ohne nennenswerte Änderung in die Elemente übernommen. Nur die letzten drei Sätze könnten einen späteren Zusatz darstellen. Es enthält die Theorie der Zahlenproportionen, die Lehre von der Teilbarkeit der ganzen Zahlen, vom größten gemeinsamen Teiler, vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen und von den teilerfremden Zahlen. Historisch ist das Buch aus der Bruchrechnung entstanden. Weil die Eins unteilbar ist, hat man die Brüche nicht anerkennen wollen und sie durch Zahlenverhältnisse ersetzt; den gekürzten Brüchen entsprechen dabei teilerfremde Zahlenpaare, das Kürzen selbst führt auf den größten gemeinsamen Teiler, das Gleichnamigmachen auf das kleinste gemeinsame Vielfache, usw.

Buch VIII ist später als VII entstanden: es rührt aller Wahrscheinlichkeit nach von Archytas her. Es ist durch viele Wiederholungen, durch langwierige Beweise und andere logische Unzulänglichkeiten gekennzeichnet. Es handelt von geometrischen Proportionen und geometrischen Mitteln, von Quadrat- und Kubikzahlen und von endlichen ebenen und körperlichen Zahlen. Das Hauptproblem des Buches ist: unter welchen Bedingungen lassen sich zwischen zwei gegebenen Zahlen eine oder mehrere mittlere Proportionale einschalten? Das Problem hängt mit der Frage nach der Teilung musikalischer Intervalle in gleiche Teilintervalle, aber auch mit der Würfelverdoppelung des Archytas zusammen. Alle diese Zusammenhänge werden auch in der Epinomis hervorgehoben, die überhaupt stark unter dem Eindrucke des mathematischen Werkes des Archytas steht.

Die erste Hälfte des Buches IX beruht wiederum auf Buch VIII und ist später entstanden, also nicht mehr pythagoreisch. Der letzte Teil, die Lehre von Geraden und Ungeraden, ist aber, wie schon bemerkt, altpythagoreisch.

Dies ist in kurzen Worten der Inhalt des vorliegenden Teiles I. In einem anschließenden Teil II soll die Beziehung der pythagoreischen Zahlentheorie zu der Lehre vom Irrationalen untersucht werden. Die Hauptquellen dafür sind der Platonische Dialog Theaitetos, das X. Buch Euklids und einige Mitteilungen aus dem Papposkommentar dazu. Es handelt sich vor allem um die Frage: Wie hat sich die im X. Buch dargestellte Lehre vom Irrationalen aus der pythagoreischen Arithmetik, Logistik und Geometrie heraus entwickelt, und welchen Anteil haben die Personen des Platonischen Dialoges, Theodoros und Theaitetos, an dieser Entwicklung?

ZEUTHEN hat die Ansicht vertreten, eine Hauptleistung des Theaitetos sei die exakte Begründung der grundlegenden Sätze über Teilbarkeit der ganzen Zahlen, die wir aus dem Buch VII kennen, und auf diese Leistung beziehe sich das Lob, das der Theodoros im Dialog dem jungen Theaitetos spendet. Nun haben wir aber gesehen, daß das ganze Buch VII pythagoreisch ist und zur Zeit des Theaitetos schon fertig vorlag. Die Leistung des Theaitetos muß also anders bestimmt werden. Durch Analyse des Dialoges und Vergleich mit dem Anfang des Buches X kommen wir zur Schlußfolgerung, daß Theaitetos allererst auf Grund von exakten Definitionen der Begriffe meßbar, quadriert meßbar, rational und irrational die Sätze X 5, 6 und 9 bewiesen hat, welche diese Begriffe zu dem des Zahlenverhältnisses in Beziehung setzen und so die Anwendung der Arithmetik auf die Lehre von den rationalen und irrationalen Größen ermöglichen. Auf Grund dieser Sätze und der ihm bekannten Arithmetik des Buches VII hat er dann bewiesen: Die Seite eines Quadrates, dessen Fläche n-mal so groß ist als die des Einheitsquadrates, ist nur dann meßbar, wenn n eine Quadratzahl ist. Dieser Satz steht zwar nicht im Buch X, wird aber im Dialog vom Theaitetos klar ausgesprochen.

Die Leistung des Theaitetos beschränkt sich nicht auf diese grundlegenden Begriffe und Sätze, sondern das ganze Buch X und das damit zusammenhängende XIII mit den bewunderungswürdigen Konstruktionen der regulären Körper sind Werke des Theaitetos, wie EVA SACHS nachgewiesen hat. Theaitetos erweist sich damit als hervorragender Geometer und als der größte Algebraiker des Altertums. Man könnte ihn mit Galois vergleichen.

Die Beweise der Sätze X 9–10 muß Theaitetos anders geführt haben als in der Darstellung des Euklid, da er die Proportionenlehre des Eudoxos noch nicht hatte. Wir werden nachweisen, daß er eine ältere Definition der Proportion benutzt hat, die auf der Wechselwegnahme (Antanairesis oder Anthyphairesis) beruht. Die Wechselwegnahme ist ein aus der Arithmetik entlehntes Verfahren: von zwei ungleichen Größen wird die kleinere so oft als möglich von der größeren weggenommen, mit dem Rest und der kleineren Größe wird in derselben Weise verfahren, usw. X 2 besagt: Wenn die Wechselwegnahme ins Unendliche weitergeht, sind die beiden Größen inkommensurabel. X 3 besagt: Wenn das Verfahren abbricht, sind sie kommensurabel. Bei Zahlen dient die Wechselwegnahme bekanntlich zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers. Läßt die kleinere Größe sich n₁​-mal von der größeren wegnehmen, der Rest n₂​-mal von der kleineren usw., so ist die endliche oder unendliche Zahlenfolge n₁​,n₂​,… für das Verhältnis der beiden Größen maßgebend: Haben die Größen a und b dieselbe Zahlenfolge (oder wie Aristoteles es ausdrückt: dieselbe Wechselwegnahme) wie c und d, so besteht die Proportion a:b = c:d. Dies ist die Definition der Proportion, welche „die Alten“ nach Alexander von Aphrodisias zugrunde legten. Wie O. BECKER gezeigt hat, kann man aus dieser Definition eine Reihe von grundlegenden Eigenschaften der Proportion leicht beweisen. Nur die Vertauschung der Mittelglieder einer Proportion bereitet Schwierigkeiten: sie wurde nach Aristoteles getrennt für Zahlen, Strecken, Zeiten usw. bewiesen.

Der Satz über die Inkommensurabilität der Quadratseiten, deren Quadratflächen n-mal so groß sind als das Einheitsquadrat, wurde von Theaitetos zum ersten Male allgemein bewiesen, aber nach dem Dialog hat Theodoros von Kyrene diese Irrationalität für die einzelnen Werte n = 3, 5, …, 17 nachgewiesen oder wenigstens „aufgezeigt“, indem er jeden einzeln vornahm. In welcher Weise er dabei vorgegangen ist, darüber kann man nur Vermutungen aufstellen: verschiedene Möglichkeiten sind von ZEUTHEN und ANDERHUB angegeben worden. Wir werden, an ZEUTHEN anknüpfend, mit den Methoden der geometrischen Algebra einen Beweis ausführen, den Theodoros möglicherweise verwendet haben kann, ohne behaupten zu wollen, daß er wirklich so verfahren ist.

Eines ist den von ZEUTHEN, von ANDERHUB und von mir aufgestellten Hypothesen gemeinsam: die Herleitungen beruhen alle auf dem eben angeführten Irrationalitätskriterium X 2. Wir können daher mit großer Wahrscheinlichkeit annehmen, daß Theodoros das Kriterium der unendlichen Wechselwegnahme gekannt und benutzt hat. Anders ist nämlich nicht einzusehen, warum Theodoros jeden Wert einzeln vorgenommen und bei n = 17 haltgemacht hat.

Im letzten Teil III kommen wir auf die Beziehung der pythagoreischen Mathematik zur babylonischen zu sprechen. Am klarsten wird diese Beziehung nach NEUGEBAUER durch einen Vergleich der babylonischen Algebra mit der geometrischen Algebra der Griechen. Die Normalformen, auf welche die Babylonier ihre algebraischen Probleme zurückführten, sind die folgenden:

A. Gleichungen mit einer Unbekannten.

(A 1) $ax=b$

(A 2) $x^2=a$

(A 3) $x^2+ax=b$

(A 4) $x^2-ax=b$

(A 5) $x^3=a$

(A 6) $x^2(x+1)=a$

B. Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.

(B 1) $\{\begin{array}{c}x+y=a\\ xy=b\end{array}$

(B 2) $\{\begin{array}{c}x-y=a\\ xy=b\end{array}$

(B 3) $\{\begin{array}{c}x+y=a\\ x^2+y^2=b\end{array}$

(B 4) $\{\begin{array}{c}x-y=a\\ x^2+y^2=b\end{array}$

Diese Normalformen sind durchaus typisch für die babylonische Algebra. Die arabische Algebra z. B. kennt (A 6) und (B 1–4) nicht, sondern reduziert alle Probleme auf Gleichungen mit einer Unbekannten. Es ist also ein vollgültiger Beweis für die Beziehungen zwischen der babylonischen und der griechischen Mathematik, daß wir sämtliche Probleme (A 1–5) und (B 1–4) in geometrischer Formulierung bei den Griechen wiederfinden und sogar Spuren von (A 6) in den ’Aριϑμoιˋ παραμηκϵπιˊπϵδoι der griechischen populären Arithmetik. Und auch die Lösungen dieser Probleme sind nicht etwa geometrisch gedacht, sondern sie sind wörtliche Übersetzungen der algebraischen Lösungen, wie die Keilschrifttexte sie geben, ins Geometrische. Nur insofern haben die Griechen eine Vereinfachung erreicht, als sie die Gleichungen (A 3–4) ständig auf die „hyperbolische Flächenanpassung“ (B 2) zurückführen.

Der Grund, warum die Griechen die algebraischen Probleme und Lösungen der Babylonier ins Geometrische übersetzen mußten, liegt in der Erkenntnis des Irrationalen. Die Lösung der Gleichungen in Zahlen, d. h. nach griechischen Begriffen in rationalen Zahlen, ist nicht immer möglich, und mit einer nur genäherten Lösung haben die Griechen sich nicht begnügen wollen. Die geometrische Lösung aber ist exakt und allgemeingültig, und die geometrische Algebra läßt sich auf beliebige, auch irrationale Strecken anwenden.

Die geometrische Formulierung und Lösung der Probleme A 1 (parabolische Flächenanlegung), B 1 (elliptische Flächenanlegung) und B 2 (hyperbolische Flächenanlegung) ist nach Eudemos eine Erfindung der Pythagoreer. Sie sind es also, die die babylonische Algebra den Griechen übermittelt und dabei geometrisch umgestaltet haben.

Auch für die populäre pythagoreische Arithmetik, die wir aus Theon und Nikomachos kennen, lassen sich mehrere Beziehungen zur babylonischen Mathematik nachweisen. Quadrat- und Kubikzahlen sowie spezielle Körperzahlen der Form n²(n + 1) oder n²(n − 1) spielen in beiden eine Rolle; Summationsformeln für arithmetische und geometrische Reihen, für Quadrate und Kuben haben die Babylonier wie die Griechen interessiert; der Platonische Näherungsbruch 7/5 für $\sqrt{2}$ stimmt mit dem Wert $1\frac{24}{60}$ der Keilschrifttexte überein.

Man hat die traditionelle Zuschreibung des „Pythagoreischen Lehrsatzes“ an Pythagoras mehrfach in Zweifel gezogen, weil man sich nicht hat erklären können, wie die Erkenntnis dieses Satzes in einem so frühen Stadium der Wissenschaft möglich war. Jetzt aber, wo die Beziehung der altpythagoreischen Mathematik zur babylonischen nachgewiesen ist und wo der Lehrsatz in den Keilschrifttexten der Hammirapizeit aufgezeigt werden kann, verliert die Zuschreibung alles Verwunderliche. Die griechische Mathematik steht eben, wie Neugebauer sagt, nicht mehr am Anfang der Geschichte der Wissenschaft, sondern etwa in der Mitte. Die Leistung der ersten griechischen Mathematiker wie Thales, Pythagoras und die Pythagoreer ist nicht die Entdeckung der Mathematik, sondern ihre Systematisierung und exakte Begründung: Sie haben aus einer verwirrenden Fülle von Rechenvorschriften eine exakte Wissenschaft gemacht.

Wir sehen hier in der Mathematik wie in der Astronomie, wie die Griechen die wertvollsten Errungenschaften der Kultur des Zweistromlandes sich angeeignet, dabei aber umgeformt und ausgebaut haben. Sie haben der alten Wissenschaft ein eigenes, neues Gepräge gegeben und sie zu vorher ungeahnter Höhe weiterentwickelt. In der Astronomie sind die ionischen Naturphilosophen die Vermittler der orientalischen Wissenschaft an die Hellenen, in der Mathematik aber in erster Linie die Pythagoreer, angefangen mit Pythagoras selbst, dessen Orientreisen gar nicht so unglaubwürdig oder so schlecht belegt sind, als man vielfach angenommen hat.

§ 1. Die in der Musiktheorie gebrauchten arithmetischen Sätze.

In der Begründung der pythagoreischen Musiktheorie, über die Ptolemaios kurz berichtet und die in der Sectio canonis des Euklid ausführlich dargestellt wird, werden folgende zwei zahlentheoretische Sätze benutzt:

A. Wenn ein Zahlenverhältnis, verdoppelt, ein Vielfaches bildet, so ist es selbst vielfach.

B. Zu zwei Zahlen in einem überteiligen Verhältnis können niemals mittlere Proportionale, weder eine noch mehrere, gefunden werden.

Dabei sagt man, eine Zahl $a$ steht zu einer Zahl $b$ in einem vielfachen Verhältnis, wenn $a$ ein Teil von $b$ ist, d. h. $b$ ein Vielfaches von $a$ ist: $a=b/n$ oder $b=na$. In einem überteiligen Verhältnis steht $b$ zu $a$, wenn sie $a$ um einen Teil von $a$ übertrifft, d. h. wenn $b=a+a/n$ oder $a:b=n:(n+1)$ ist. Die Verdopplung eines Verhältnisses schließlich ist durch die 9. Definition des V. Buches der Elemente Euklids erklärt:

V Def. 9. Wenn drei Größen in stetiger Proportion stehen, so sagt man von der ersten, daß sie zur dritten zweimal im Verhältnis stehe wie zur zweiten.

Die Verdopplung eines Verhältnisses entspricht offenbar der Multiplikation eines Bruches mit sich selbst; denn wenn $a:b=b:c$, so ist

$\frac{a}{c}=\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}={\left(\frac{a}{b}\right)}^2$.

Die Griechen haben diese Multiplikation von Brüchen natürlich genau so gut gekannt wie wir: Sie ist in kaufmännischen und technischen Rechnungen unentbehrlich und wird auch in der altägyptischen Rechentechnik, die die Griechen kannten, immerfort geübt.

Der Ausdruck „verdoppeltes Verhältnis“ stammt, wie schon TANNERY bemerkt hat, aus der Musiklehre. Wenn nämlich zwei gleiche Teilintervalle $A$, $B$ und $B$, $C$ zu einem größeren Intervall $A$, $C$ vereinigt werden ($A$, $B$, $C$ stellen Töne dar), so ist es ganz natürlich, von Verdopplung des Intervalles $A$, $B$ zu sprechen. Da aber die Intervalle nach der pythagoreischen Lehre durch Zahlenverhältnisse dargestellt werden, so hat man den Begriff Verdopplung in der angegebenen Weise auf Zahlenverhältnisse übertragen. Überträgt man in derselben Weise den Begriff der Zusammensetzung von ungleichen Intervallen, so kommt man auf die Zusammensetzung von zwei Verhältnissen $a:b$ und $b:c$ zu einem Verhältnis $a:c$. Dieser Begriff des „zusammengesetzten Verhältnisses“ (συγκείμενος λoγoς) wird in Euklid VI 23 und VIII 5 benutzt; seine Eindeutigkeit ist durch V 22 gesichert.

Nachdem so die Bedeutung der Sätze A und B geklärt ist, fragen wir, wie die Pythagoreer diese Sätze bewiesen haben. Für Satz B ist ein Beweis des Archytas überliefert, der, wie TANNERY nachgewiesen hat, in allen wesentlichen Punkten mit dem Beweis der Sectio canonis übereinstimmt. Der Beweis des Archytas verläuft so:

„Es sei $A,B$ das gegebene überteilige Verhältnis. Die kleinsten Zahlen in diesem Verhältnis seien $C,DE$. Da nun also $C,DE$ die kleinsten in diesem Verhältnis und überteilig sind, so übertrifft $DE$ die Zahl $C$ um einen Teil von sich selbst und von ihr. Es sei $D$ der Überschuß. Ich behaupte, daß $D$ keine Zahl ist, sondern die Einheit. Denn wenn $D$ eine Zahl ist und ein Teil von $DE$, so mißt die Zahl $D$ die Zahl $DE$, also mißt sie $E$. Das heißt, sie mißt auch $C$. Somit mißt die Zahl $D$ die beiden Zahlen $C$ und $DE$, was unmöglich ist. Denn die kleinsten Zahlen, die dasselbe Verhältnis haben wie andere Zahlen, sind zueinander prim. Also ist $D$ eine Einheit. Also übersteigt $DE$ die Zahl $C$ um eine Einheit. Daher kann es keine mittlere Zahl geben, die mit ihnen gleiche Verhältnisse bildet. Deshalb kann es auch zwischen denen, die dasselbe Verhältnis haben wie sie, keine mittlere Zahl geben, die mit ihnen gleiche Verhältnisse bildet.“

Die Bezeichnung der Zahlen in diesem Beweis durch je einen Buchstaben und der Summe $D+E$ durch $DE$ weicht ganz ab von dem, was wir aus Euklid und der späteren Literatur gewöhnt sind. Es ist daher anzunehmen, daß der Beweis wirklich alt ist. Dafür spricht auch die inhaltliche Übereinstimmung mit dem Beweis in der Sectio canonis. – Der Beweis beruht auf den folgenden Sätzen der Elemente Euklids:

VII 22. Die kleinsten unter den Zahlen, die dasselbe Verhältnis haben wie sie, sind gegeneinander prim.

VIII 8. Wenn sich zwischen zwei Zahlen Zahlen in stetiger Proportion einschalten lassen, dann lassen sich ebenso viele Zahlen wie zwischen jene auch zwischen solche Zahlen, die dasselbe Verhältnis haben, in stetiger Proportion einschalten.

Satz A aber wird in der Sectio bewiesen unter Berufung auf den folgenden, im Grunde mit Satz A gleichwertigen Satz der Elemente:

VIII 7. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Reihe und mißt die erste dabei die letzte, dann muß sie auch die zweite messen.

Wir schließen daraus, daß die Sätze VII 22, VIII 7 und VIII 8 zur Zeit des Archytas bekannt waren. Dabei sind VIII 7 und 8 keineswegs selbstverständlich. Die Tatsache, daß Archytas alle anderen Schritte seines Beweises mit peinlicher Sorgfalt ausführt, VII 22 und VIII 8 aber einfach als bekannt voraussetzt, deutet darauf hin, daß es zu seiner Zeit schon so etwas wie Elemente der Arithmetik gegeben hat, in denen diese Sätze vorkamen. Dieser Ansicht ist auch TANNERY.

Wir können diese Schlußfolgerung noch in anderer Weise bestätigen und vertiefen. Die Pythagoreer haben sich nach dem einstimmigen Zeugnis von Plato, Aristoteles und allen späteren aufs intensivste mit den mathematischen Wissenschaften: Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie befaßt. Das Merkmal der pythagoreischen μαϑηματα, durch das sie sich von anderen Kenntnissen und Künsten unterscheiden, war aber der logische Aufbau, die Gliederung in Sätzen und Beweisen. Wir finden diese logische Struktur bereits in voller Reife in dem ältesten uns zugänglichen Stück Mathematik, der Mondchenquadratur des Hippokrates. Denn daß Eudemos diese kunstvollen Beweise nachträglich hinzugefügt hat, ist völlig ausgeschlossen. Wir erfahren von Eudemos, daß die Pythagoreer den Satz von der Winkelsumme im Dreieck so und so bewiesen haben, ja sogar Thales soll nach Eudemos bei Proklos seine Sätze nicht nur gefunden, sondern bewiesen haben. Ob das nun richtig ist oder nicht, jedenfalls beweist es, daß auch für Eudemos die ältesten ihm zugänglichen mathematischen Schriften bereits mit Beweisen versehen waren. Es ist also unbedingt anzunehmen, daß die Pythagoreer ihre arithmetischen Sätze, insbesondere die zur Begründung ihrer Musiktheorie notwendigen Sätze VII 22, VIII 7 und VIII 8 nicht nur formuliert, sondern auch bewiesen haben.

Das achte Buch und der Anfang des neunten handeln von geometrischen Reihen und geometrischen Mitteln, von ebenen und körperlichen Zahlen, von Quadrat- und Kubikzahlen. Diese Gegenstände gelten aus guten Gründen allgemein als pythagoreisch. Besonders zu erwähnen sind die Sätze VIII 18 und 19 und ihre Spezialfälle VIII 11 und 12, die besagen, daß man zwischen zwei ähnlichen ebenen Zahlen, speziell zwischen zwei Quadratzahlen, eine mittlere Proportionale, und ebenso zwischen zwei ähnliche körperliche Zahlen (speziell zwei Kubikzahlen) zwei mittlere Proportionale einschalten kann. Im Platonischen Timaios 31 B 4 und 32 A 7 wird auf diese Sätze angespielt; sie sind also vorplatonisch und, da Plato sie dem Pythagoreer Timaios in den Mund legt, sicherlich pythagoreisch.

Die Verallgemeinerung liegt nahe, daß die pythagoreische Arithmetik sich nicht auf diese zufällig überlieferten Sätze beschränkt hat, sondern daß die ganzen Bücher VII–VIII pythagoreisches Gedankengut darstellen. Wir wollen aber in unseren Schlüssen vorsichtig sein, da ZEUTHEN, dieser vorzügliche Kenner der griechischen Geometrie, anderer Meinung war und wesentliche Teile des VII. Buches dem Theaitetos zuschreiben wollte. Wir gehen daher so vor, daß wir von den bereits als pythagoreisch gesicherten Sätzen VIII 7–8 und VIII 11–12 ausgehen und Schritt für Schritt rückwärts schließend die pythagoreische Arithmetik rekonstruieren. Dieses Verfahren hat auch noch den Vorzug, daß wir nicht nur vereinzelte Sätze, sondern ganze Beweiszusammenhänge betrachten und so in die Gedankengänge der Pythagoreer selbst eindringen.

§ 2. Zergliederung der Beweise der Sätze VIII 7, 8, 11, 12.

Wir gehen so vor, daß wir von jedem der genannten Sätze einen Stammbaum aufstellen, in den alle die vorangehenden Sätze aufgenommen werden, die zu ihrem Beweis unbedingt gebraucht werden.

Am einfachsten ist der Stammbaum der Sätze VIII 11–12. Sie heißen:

VIII 11. Zwischen zwei Quadratzahlen gibt es eine mittlere Proportionalzahl; und die Quadratzahl steht zur Quadratzahl zweimal im Verhältnis wie die Seite zur Seite.

VIII 12. Zwischen zwei Kubikzahlen gibt es zwei mittlere Proportionalzahlen; und die Kubikzahl steht zur Kubikzahl dreimal im Verhältnis wie die Seite zur Seite.

Die mit „und“ beginnenden Zusätze lasse ich außer Betracht, da sie nicht aus dem Timaios belegbar sind (obwohl man auf Grund der Würfelverdopplung des Archytas schließen könnte, daß Archytas sie gekannt hat).

VIII 11 wird nun so bewiesen: $a^2$ und $b^2$ seien die gegebenen Quadratzahlen, dann ist die Rechteckszahl $ab$ die gesuchte mittlere Proportionale. Denn es ist $a^2:ab=a:b=ab:b^2$. Der Beweis von VIII 12 ist ganz analog.

Der einzige Satz, der beim Beweis benutzt wird, aber auch notwendigerweise benutzt werden muß, ist VII 17 (bzw. der damit äquivalente VII 18):

VII 17. Wenn irgendwelche Zahlen entstehen, indem eine Zahl zwei Zahlen vervielfältigt, dann müssen die Ergebnisse dasselbe Verhältnis haben wie die Zahlen, die vervielfältigt werden.

Damit ist der Stammbaum der Sätze VIII 11–12 bereits fertig, denn VII 17 gehört zu den grundlegenden Sätzen über Proportionen, die am Anfang des siebenten Buches direkt aus der Definition der Proportion hergeleitet werden. Der Stammbaum sieht einfach so aus:

Stammbaum-Schema:

• Zentrum (Wurzel): VII 17-18. $ab:ac=b:c$
  • VIII 11. Zwischen zwei Quadratzahlen gibt es eine mittlere Proportionale.
  • VIII 12. Zwischen zwei Kubikzahlen gibt es zwei mittlere Proportionale.

Wir kommen nun zu den Sätzen VIII 7 und 8, deren Formulierung in §1 schon gegeben wurde. Der Spezialfall von VIII 7, der in der Musiktheorie Verwendung findet, hieß: Hat man drei Zahlen in geometrischer Proportion und mißt die erste die dritte, so muß sie auch die zweite messen. Der einfachste Beweis mit klassischen Mitteln verläuft so: Die kleinsten Zahlen, die sich wie die drei gegebenen $a,b,c$ verhalten, seien $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$. Dann sind $a^{\prime }$ und $c^{\prime }$ relativ prim (VIII 3), und weil $c$ ein Vielfaches von $a$ war, ist $c^{\prime }$ ein Vielfaches von $a^{\prime }$ (Def. der Proportion); also muß $a^{\prime }=1$ sein. Somit ist $b^{\prime }$ ein Vielfaches von $a^{\prime }$ und daher auch $b$ ein Vielfaches von $a$.

Genau so geht auch Euklid vor, nur ist die Formulierung umständlicher. VIII 7 wird zunächst auf VIII 6 zurückgeführt, der dasselbe besagt wie VIII 7, aber ins Negative gewendet:

VIII 6. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Reihe und mißt dabei die erste die zweite nicht, dann kann auch sonst keine irgendeine (spätere) messen.

Diese umständliche Formulierung ist ein Zeichen für die Altertümlichkeit des Beweises. Hätte man VIII 7 ursprünglich anders bewiesen und die Beweise später überarbeitet, so hätte man wohl den einfachsten Weg gewählt. Ich nehme also an, daß die Pythagoreer dasselbe Beweisverfahren verwendet haben, und kann ihnen daher die folgenden beim Beweis von VIII 6 verwendeten Sätze zuschreiben:

VII 33. Zu beliebig vielen gegebenen Zahlen die kleinsten von denen zu finden, die dasselbe Verhältnis haben wie sie.

VIII 3. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Reihe, die kleinsten unter denen, die dasselbe Verhältnis haben wie sie, dann sind die äußeren Glieder gegeneinander prim.

Eine Bestätigung finden wir darin, daß der Beweis von VIII 8 bei Euklid ähnlich anfängt und ebenfalls die Sätze VII 33 und VIII 3 verwendet. Der Beweis von VIII 8 fängt damit an, daß zunächst folgende Teilaussage bewiesen wird, die übrigens zum Beweis des Satzes B bereits hinreicht:

VIII 8'. Zwischen die kleinsten Zahlen, die dasselbe Verhältnis haben wie zwei gegebene Zahlen $a$ und $c$, kann man ebenso viele mittlere Proportionale einschalten wie zwischen $a$ und $c$.

Beweis: Es sei etwa $b$ eine mittlere Proportionale zwischen $a$ und $c$. Die kleinsten Zahlen, die sich wie $a,b,c$ verhalten, seien $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ (VII 33). Dann sind $a^{\prime }$ und $c^{\prime }$ relativ prim (VIII 3), also sind $a^{\prime }$ und $c^{\prime }$ die kleinsten Zahlen im Verhältnis $a:c$ (VII 21). Somit läßt sich zwischen diese kleinsten Zahlen eine mittlere Proportionale einschalten.

Der Beweis bei Euklid ist etwas umständlicher, benutzt aber genau dieselben Sätze VII 33, VIII 3 und VII 21. Damit sind diese Sätze als pythagoreisch nachgewiesen. Verfolgen wir ihren Stammbaum weiter!

Zum Beweis von VII 33 könnte man wohl am einfachsten so vorgehen:

Wenn es kleinere Zahlen im Verhältnis der gegebenen gibt, so nehme man diese an ihre Stelle und fahre so fort, bis man die kleinsten gefunden hat. Jedoch war ein solcher reiner Existenzbeweis anscheinend dem Denken der antiken Zahlentheoretiker fremd. Auch wird niemand in der Praxis, wenn er ein Verhältnis auf kleinste Glieder zu bringen hat, so verfahren, daß er alle möglichen kleineren Zahlen durchmustert, die dasselbe Verhältnis haben wie die gegebenen, sondern man wird so vorgehen wie Euklid, indem man zuerst das größte gemeinsame Maß der gegebenen Zahlen bestimmt. So führt VII 33 zurück auf

VII 3. Zu drei gegebenen Zahlen, die nicht prim gegeneinander sind, ihr größtes gemeinsames Maß zu finden.

Diese Aufgabe wird naturgemäß gelöst durch Zurückführung auf die entsprechende für zwei Zahlen:

VII 2. Zu zwei gegebenen Zahlen, die nicht prim gegeneinander sind, ihr größtes gemeinsames Maß zu finden.

Zur Lösung dieser Aufgabe dient der berühmte „Euklidische Algorithmus“.Daß dieser Algorithmus unseren Pythagoreern bekannt gewesen sein muß, kann man auch noch auf anderem Wege belegen. Die Sätze X 2–3 enthalten nämlich ein Verfahren zur Entscheidung, ob zwei Größen kommensurabel sind, welches darin besteht, daß abwechselnd immer die kleinere von der größeren weggenommen wird. Bricht das Verfahren nach endlich vielen Schritten ab, so sind die Größen kommensurabel, sonst nicht.

Es wird jedem Mathematiker einleuchten, daß dieses Verfahren der „Wechselwegnahme“ seinen eigentlichen Ursprung nicht in der Theorie der Irrationalitäten, sondern in der Zahlentheorie hat. Das ursprüngliche, sich von selbst bietende Problem ist: Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen? und nicht: Wie findet man das größte gemeinsame Maß zweier Strecken, falls es ein solches gibt.

Nun zur Analyse von VIII 3! Die zunächst gar nicht evidente Behauptung VIII 3 wird sofort klar, wenn man sich überlegt, wie man kleinste Zahlen in geometrischer Reihe in gegebenem Verhältnis tatsächlich finden kann. Das Verfahren ist im Beweise von VIII 2 angegeben: Es sei $a:b$ das gegebene Verhältnis. Man multipliziere beide Zahlen $a,b$ mit $a$ und multipliziere auch noch $b$ mit sich selbst. So erhält man drei Zahlen $a^2,ab,b^2$ in geometrischer Reihe. Um vier Zahlen zu erhalten, multipliziere man die drei gefundenen wieder mit $a$ und die letzte, $b^2$, auch noch mit $b$. So erhält man vier Zahlen $a^3,a^{2}b,a{b}^2,b^3$ usw.

Daß dieses Verfahren tatsächlich von den Pythagoreern angewandt wurde, dafür haben wir zwei weitere Belege: Erstens das Vorkommen desselben Verfahrens bei Nikomachos von Gerasa, der nirgends aus Euklid schöpft und auch sonst viel Altpythagoreisches überliefert, zweitens die Beziehung zu den Sätzen VIII 11–12, die wir oben auf Grund des Timaios direkt als pythagoreisch nachgewiesen haben. Denn daß $a^2,ab,b^2$ bzw. $a^3,a^{2}b,a{b}^2$ und $b^3$ je eine geometrische Proportion bilden, das ist gerade der wesentliche Inhalt der Sätze VIII 11–12. Wir sind also bei unserer Analyse der Gedankengänge der alten Arithmetiker nicht vom richtigen Wege abgeirrt.

Zur Vervollständigung des Beweises von VIII 3 ist noch zu zeigen, daß die äußersten Glieder $a^2$ und $b^2$ bzw. $a^3$ und $b^3$ zueinander prim und die gefundenen Zahlen $a^2,ab$ und $b^2$ bzw. $a^3,a^{2}b,a{b}^2$ und $b^3$ tatsächlich die kleinsten in den gegebenen Verhältnissen sind. Die letzte Behauptung folgt aus der ersten auf Grund des schon früher beim Beweis von VIII 8' benutzten Satzes:

VII 21. Zahlen, die gegeneinander prim sind, sind unter denen, die dasselbe Verhältnis haben wie sie, die kleinsten.

Daß aber $a^2$ zu $b^2$ und $a^3$ zu $b^3$ prim ist, folgt aus

VII 27. Sind zwei Zahlen gegeneinander prim und bildet jede der beiden, indem sie sich selbst vervielfältigt, eine weitere, so müssen die Ergebnisse gegeneinander prim sein; und wenn die ursprünglichen Zahlen, indem sie die Ergebnisse vervielfältigen, weitere bilden, so müssen auch diese gegeneinander prim sein.

VII 27 ist für die ganze Arithmetik der geometrischen Reihen und der mittleren Proportionalen fundamental. Um die Benutzung dieses Satzes kommt man auf keinen Fall herum, wie man auch den Beweis der Sätze VIII 7–8 in Angriff nehmen möge. Die vorhin schon besprochene Lösung der Aufgabe VIII 2: Kleinste Zahlen in geometrischer Reihe in gegebenen Verhältnissen zu finden, so viele verlangt werden, beruht ausschließlich auf VII 27 und auf den einfachsten Eigenschaften der Produkte und Proportionen. VII 27 muß also unbedingt den Pythagoreern bekannt gewesen sein.

An dieser Stelle könnte man den Einwand machen, daß die Pythagoreer vielleicht Sätze wie VII 21 und 27 ursprünglich als selbstverständlich betrachtet haben, und daß erst später, etwa in nachplatonischer Zeit, als an die Strenge der Beweise höhere Ansprüche gestellt wurden, diese Sätze ausdrücklich formuliert und bewiesen worden sind. Darauf ist folgendes zu erwidern: Bereits in sehr viel früherer Zeit waren gerade in der pythagoreischen Mathematik die Ansprüche an die Strenge des Beweises sehr hoch. Das sehen wir etwa an der Lehre vom Geraden und Ungeraden im IX. Buch der Elemente, die BECKER und REIDEMEISTER als sehr alt nachgewiesen haben. Sätze wie IX 21–29 sind jedem Rechner selbstverständlich, werden aber ausdrücklich formuliert und bewiesen. IX 30–32 sind mindestens ebenso einleuchtend wie VII 21 und 27, werden aber peinlich exakt aus noch einfacheren Tatsachen hergeleitet. In dem Beweis des Archytas, den wir in § 1 dargestellt haben, wird die genaue Ausführung aller einzelnen Beweisschritte sogar bis zur Pedanterie übertrieben.

In dem Hippokrates-Fragment über die Quadratur der Mondchen werden Ungleichungen, die man ohne weiteres aus einer Figur hätte entnehmen können, auf das sorgfältigste bewiesen. Aus alledem schließen wir, daß die Pythagoreer die Sätze VII 21 und 27 ausdrücklich formuliert und bewiesen haben müssen.

Euklid beweist VII 27 durch wiederholte Anwendung (über die Mittelglieder VII 25–26) aus:

VII 24. Sind zwei Zahlen gegen irgendeine Zahl prim, so muß auch ihr Produkt gegen dieselbe prim sein.

Heute würde man VII 24 etwa so beweisen: Sind a und b gegen c prim, und ist p irgendeine Primzahl, die in der Faktorzerlegung von c vorkommt, so geht p weder in a noch in b auf. Unter Berufung auf die eindeutige Primfaktorzerlegung oder auf VII 30: „Wenn eine Primzahl ein Produkt mißt, so muß sie einen der Faktoren messen“ folgt dann, daß p auch nicht in ab aufgeht. Also haben ab und c keinen Primfaktor gemeinsam, also sind sie teilerfremd.

Es wäre nun an sich denkbar, daß die Alten ursprünglich ebenso geschlossen hätten wie wir und dabei die eindeutige Primfaktorzerlegung oder den Satz VII 30 zunächst als selbstverständlich angenommen und erst später den Beweis hinzugefügt hätten. Wenn das so wäre, so müßte man erwarten, daß die jetzige Fassung des VII. Buches, der alten Tradition möglichst weit folgend, VII 24 aus VII 30 und 31 gefolgert hätte, was ohne weiteres möglich gewesen wäre. Aber VII 30 kommt erst 6 Sätze später, und VII 24 wird durch einen ganz kurzen Beweis direkt aus VII 19–21 gefolgert. Wir schließen daraus, daß bereits die Pythagoreer in ihrem Aufbau nicht etwa von der eindeutigen Primfaktorzerlegung (die im ganzen Buch VII nicht vorkommt) ausgegangen sind, sondern daß sie VII 24, so wie es im Text steht, aus VII 19–21 gefolgert haben. Der Beweis verläuft so:

Wären c und ab nicht prim gegeneinander, so müßte eine Zahl c und ab messen. Dies geschehe, die Zahl sei e. Da c und a gegeneinander prim sind, e aber in c aufgeht, so wären e und a gegeneinander prim. Da e auch ab mißt, kann man ab = ef setzen. Daraus folgt e : a = b : f (VII 19). Die Zahlen e und a wären, weil gegeneinander prim, auch die kleinsten im Verhältnis b: f (VII 21), also messen sie die Zahlen b, f gleich oft (VII 20), das Vorderglied das Vorderglied und das Hinterglied das Hinterglied. e mäße also b. Nun soll e aber auch c messen. e mäße also b und c, während sie gegeneinander prim sind; dies ist unmöglich.

Ist dieser Beweis nicht wunderbar? Er beruht auf

VII 19. Stehen vier Zahlen in Proportion, dann muß das Produkt aus der ersten und vierten dem Produkt aus der zweiten und dritten gleich sein; und wenn das Produkt aus der ersten und vierten Zahl dem aus der zweiten und dritten gleich ist, dann müssen die vier Zahlen in Proportion stehen.

VII 20. Die kleinsten unter den Zahlen, die dasselbe Verhältnis haben wie sie, messen Zahlen, die dasselbe Verhältnis haben, gleich oft, die größere die größere und die kleinere die kleinere.

VII 21. Zahlen, die gegeneinander prim sind, sind unter denen, die dasselbe Verhältnis haben wie sie, die kleinsten.

Daß VII 20–21 notwendige Bestandteile der pythagoreischen Zahlentheorie sind, ergibt sich auch noch auf einem zweiten Wege. Wir haben nämlich oben schon VII 21 als notwendig zum Beweise von VIII 8' erkannt. VII 21 beruht aber seinerseits auf VII 20; der Beweis liegt unmittelbar auf der Hand: Sind $a,b$ relativ prim und sind $c,d$ die kleinsten Zahlen im gleichen Verhältnis, so ist nach VII 20 $a=nc$ und $b=nd$; da aber $a$ und $b$ relativ prim waren, muß $n=1$ sein.

VII 20 ist also der zentrale Satz, aus dem die ganze Lehre von den relativ primen Zahlen entspringt. Das ursprüngliche Interesse an diesem Satz wird verständlich, wenn man annimmt, daß die im VII. Buche dargestellte Proportionenlehre aus der Bruchrechnung hervorgegangen ist, daß also die Zahlenverhältnisse gewissermaßen getarnte Brüche sind. VII 20–21 beziehen sich dann auf gekürzte Brüche, wo Zähler und Nenner teilerfremd sind: VII 21 besagt, daß Zähler und Nenner eines solchen Bruches eindeutig bestimmt sind, und VII 20 gibt an, in welcher Beziehung die ungekürzten Darstellungen eines Bruches zu der gekürzten stehen.

VII 19 ist ein unentbehrlicher Bestandteil einer jeden Proportionenlehre. Sein Beweis fußt auf den beiden gleichwertigen Sätzen VII 17–18, die bereits im Stammbaum von VIII 11 und 12 vorkamen.

Die drei eben genannten Sätze VII 17–19 sind die letzten einer Reihe von formalen Sätzen VII 11–19, die das Rechnen mit Proportionen und Produkten beherrschen und auf denen auch die Beweise von VII 20 und allen folgenden Sätzen beruhen. VII 15 ist ein Hilfssatz zum Beweis des kommutativen Gesetzes der Multiplikation VII 16. Diese beiden Sätze könnten eventuell in der ursprünglichen Theorie gefehlt haben, denn das kommutative Gesetz der Multiplikation folgt auch unmittelbar aus der geometrischen Deutung des Produktes als Rechteckszahl, die den Pythagoreern geläufig war. Jedoch deutet die doppelte Fassung von VII 17–18 darauf hin, daß man bereits in der ursprünglichen Fassung zwischen $a\cdot b$ und $b\cdot a$ unterschieden hat. Wenn nämlich die Unterscheidung erst später eingeführt wäre, so wäre es deswegen noch nicht nötig gewesen, den einen Satz VII 17 in zwei Sätze aufzuspalten. Offenbar haben die Pythagoreer das Bedürfnis gehabt, die Arithmetik rein arithmetisch ohne Zuhilfenahme geometrischer Vorstellungen zu begründen. So heißt es auch in der Epinomis (990 C). Die größte und erste von den Wissenschaften ist die Lehre von den Zahlen.

Die vier ersten Sätze der genannten Gruppe VII 11–14 haben denselben Wortlaut wie die entsprechenden Sätze 19, 12, 16, 22 des V. Buches, nur daß statt „Größen“ hier „Zahlen“ steht. Sie hätten also als Spezialfälle aus dem V. Buch übernommen werden können. Aus mehreren Aristotelesstellen geht nämlich hervor, daß der allgemeine Größenbegriff des Eudoxos auch die Zahlen umfaßte. Daß die Sätze VII 11–14 für Zahlen neu bewiesen werden, hängt damit zusammen, daß die Definition der Proportion für Zahlen eine andere ist als die für allgemeine Größen im V. Buche. Sie heißt:

VII Def. 20. Zahlen stehen in Proportionen, wenn die erste von der zweiten Gleichvielfaches oder derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen ist wie die dritte von der vierten.

Hätte Euklid die allgemeine Definition V Def. 5 auch für Zahlen zugrunde gelegt, so hätte er VII 11–14 nicht für Zahlen neu zu beweisen brauchen. Man nimmt daher allgemein an, daß VII Def. 20 eine ältere Definition der Proportion darstellt, die schon existierte, bevor Eudoxos die Proportionenlehre für allgemeine Größen aufstellte, und daß Euklid aus Respekt vor der Tradition diese ältere Definition übernommen hat. Diese ältere Definition muß man dann natürlich auch den älteren Zahlentheoretikern, d. h. eben den Pythagoreern zuschreiben. Das stimmt aufs beste zu unserer Untersuchung, die ja dazu geführt hat, den wesentlichen Inhalt des Buches VII den Pythagoreern zuzuschreiben. Euklid hat offenbar eine ältere Zahlentheorie vorgefunden, die ganz auf der Definition VII 20 aufgebaut war und die er neu hätte aufbauen müssen, wenn er die allgemeine Definition V 5 auch für Zahlen zugrunde gelegt hätte. Er hat es mit Recht vorgezogen, die ältere Definition beizubehalten und den geschlossenen Aufbau der Zahlentheorie nicht zu zerstören.

VII 13 besagt, daß man die Mittelglieder einer Proportion vertauschen darf. Nach Aristoteles (Anal. post. 74a 17) hat man diesen Satz früher getrennt bewiesen für Zahlen, Strecken, Körper und Zeiten, aber nach der Aufstellung des allgemeinen Größenbegriffs, unter den sowohl Zahlen als Strecken, Körper und Zeiten fallen, konnte der Satz allgemein bewiesen werden. Dieser allgemeine Beweis ist offenbar der uns aus Euklid V 16 bekannte. Der Satz für Zahlen ist also älter und gehört natürlich in die pythagoreische Arithmetik, da er dort unentbehrlich ist.

Nach alledem ist es verantwortet, die Definition VII 20 und die Satzgruppe VII 11–14 den Pythagoreern zuzuschreiben. Zum Beweise dieser Satzgruppe aus der Definition dienen aber die Sätze VII 5–10, und zwar dienen VII 5–6 zum Beweise von VII 12, VII 7–8 zum Beweise von VII 11, VII 9–10 zum Beweiseweise von VII 13. Kein Stück aus diesem Gebäude ist entbehrlich, das Ganze von einer wunderbaren Symmetrie und Harmonie.

Schließlich wird bei den Beweisen der erwähnten Hilfssätze VII 5–10 noch von dem Satz über die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (VII 2) Gebrauch gemacht, den wir früher schon in anderer Weise auch als pythagoreisch erkannt haben.

Das Ergebnis der bisherigen Untersuchung ist der folgende Stammbaum der Sätze VIII 7–8 und der aus ihnen folgenden musiktheoretischen Sätze A und B:

Grafische Struktur des Stammbaums (Textliche Umsetzung):

Fundament (Links):

$\text{VII 1–2. Euklidischer Algorithmus. Größtes gem. Maß.}$

↓

$\text{VII 3. Größtes gem. Maß zu 3 Zahlen.}$

↓

$\text{VII 33. Zu mehreren Zahlen die kleinsten zu finden, die sich verhalten wie sie.}$

(Führt zu VIII 7 und VIII 8)

Fundament (Rechts):

$\text{Hilfssätze über Teile und Mengen von Teilen VII 4–10.}$

↓

$\text{Formale Sätze über Proportionen und Produkte VII 11–19.}$

↓

$\text{VII 20. Die kleinsten Zahlen, die sich wie }a:b\text{ verhalten, messen }a\text{ und }b\text{ gleich oft.}$

↓

$\text{VII 21. Relativ prime Zahlen sind die kleinsten ihres Verhältnisses.}$

Zentrale Verzweigung (Mitte):

Aus VII 20/21 folgt: $\text{VII 24. Sind }a\text{ und }b\text{ prim gegen }c,\text{ so ist ihr Produkt }ab\text{ es auch.}$

↓

$\text{VII 25–26. Einfache Folgerungen.}$

↓

$\text{VII 27. Ist }a\text{ gegen }b\text{ prim, so auch }{a}^2\text{ gegen }{b}^2\text{ und }{a}^3\text{ gegen }{b}^3.$

↓

$\text{VIII 2. Geometr. Reihe in kleinsten Zahlen bei gegebenem Verhältnis }(a^2:ab:b^2\text{ bzw. }{a}^3:a^{2}b:a{b}^2:b^3).$

↓

$\text{VIII 3. Bei geometrischen Reihen in kleinsten Zahlen sind die äußersten Glieder prim.}$

Musiktheoretische Abschlüsse (Unten):

Aus VII 33 und VIII 3 folgt: $\text{VIII 7. Mißt in einer geometrischen Reihe die erste Zahl die letzte, so mißt sie auch die zweite.}$

↓ $\text{Satz A über die Teilung der vielfachen Intervalle.}$

Aus VIII 3 folgt ebenso: $\text{VIII 8. Wenn }a:b=e:f\text{ u. wenn sich zwischen }a\text{ und }b\text{ Zahlen in stetiger Proportion einschalten lassen, so ebenso viele auch zwischen }e\text{ u. }f.$

Zusätzlich aus VII 22 (ganz rechts außen) zu Satz B:

↓ $\text{Satz B des Archytas über die Teilung der überzähligen Intervalle.}$

§ 3. Das siebente Buch Euklids.

Daß der größte Teil des Buches VII pythagoreisch ist, nicht nur dem Inhalte der Sätze, sondern auch der logischen Gliederung nach, ist im vorstehenden nachgewiesen. Welche Sätze bleiben noch übrig?

Die Sätze VII 29–32 handeln von Primzahlen:

• VII 29. Jede Primzahl ist gegen jede Zahl, die von ihr nicht gemessen wird, prim.
• VII 30. Wenn zwei Zahlen, indem sie einander vervielfältigen, irgendeine Zahl bilden und irgendeine Primzahl dabei das Produkt mißt, dann muß diese eine der ursprünglichen Zahlen messen.
• VII 31. Jede zusammengesetzte Zahl wird von irgendeiner Primzahl gemessen.
• VII 32. Jede Zahl ist entweder Primzahl oder wird von irgendeiner Primzahl gemessen.

Sie werden in den Elementen nirgends mehr benutzt. Es ist also nicht gut denkbar, daß Euklid oder einer seiner Vorgänger im vierten Jahrhundert sie neu hinzugefügt hätte, sondern es ist viel wahrscheinlicher, daß sie in der pythagoreischen Vorlage bereits vorhanden waren.

Die letzten sechs Sätze des Buches VII handeln von dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Zunächst werden die Existenz des K.G.V. und seine Haupteigenschaft bewiesen:

• VII 34. Zu zwei gegebenen Zahlen die kleinste zu finden, die von ihnen gemessen wird.
• VII 35. Wenn zwei Zahlen irgendeine Zahl messen, muß auch die kleinste von ihnen gemessene Zahl dieselbe messen.
• VII 36. Zu drei gegebenen Zahlen die kleinste Zahl zu finden, die von ihnen gemessen wird.

Dann folgen drei merkwürdige, im Grunde überflüssige Sätze:

• VII 37. Wird eine Zahl von irgendeiner Zahl gemessen, so muß die gemessene Zahl einen Teil besitzen, dessen Nenner der messenden Zahl gleich ist.
• VII 38. Wenn eine Zahl einen Teil besitzt, einerlei welchen, so läßt sie sich durch eine Zahl messen, die dem Nenner des Teiles gleich ist.
• VII 39. Die kleinste Zahl zu finden, die vorgeschriebene Teile besitzt.

Der Beweis von VII 39 wird nur für 3 Zahlen a, b, c geführt; der Satz besagt also nichts Neues gegenüber VII 36. Was mag wohl der Sinn dieser neuen Formulierung sein?

Vielleicht wirft eine Platonstelle einiges Licht auf diese Frage. Im Staat 525 E heißt es, man solle nur von reinen Zahlen reden und nicht dulden, daß man etwa mit Zahlen komme, die mit sichtbaren oder greifbaren Körpern vermischt sind. „Denn du weißt ja, wie es die geschulten Mathematiker machen: wenn einer versucht, die reine Eins in Gedanken zu teilen, so lachen sie ihn aus und weisen ihn ab, und während du sie zerstückelst, antworten sie mit der Vervielfältigung derselben.“

Veranschaulichen wir uns die Meinung Platons einmal an einem konkreten Zahlenbeispiel! Die "zu Zwecken der Krämerei" geübte Rechenkunst, die die Einheiten als teilbar betrachtet, möge irgendeine Rechnung vornehmen, wie wir sie aus der ägyptischen Bruchrechnung kennen, z. B. 1/2 — 1/3 = 1/6. Wahrend die Eins hier zerstückelt, nämlich halbiert und gedrittelt wird, wird der ,,fachkundige Mathematiker‘ sie vervielfachen, in diesem Fall versechsfachen. Er geht also von 6 Einheiten aus; von dieser Menge kann er dann ohne weiteres die Hälfte (nämlich 3) und ein Drittel (nämlich 2) bilden; die Differenz ergibt dann in der Tat ein Sechstel der Menge, nämlich l. So kann er jede Bruchrechaung in eine Rechnung mit ganzen Zahlen verwandeln.

Um dieselbe Überlegung allgemein für irgendwelche Bruchrechnungen durchzuführen, ist es nötig, jeweils eine Zahl zu finden (wie die 6 in meinem Beispiel), von der man irgendwelche vorgegebenen Bruchteile bilden kann. Daß das immer möglich ist, besagt gerade unser Satz VII 39. Zu seiner Vorbereitung dienen VII 37-38.

Damit ist, aber noch nicht gesagt, daß diese drei Sätze zum ursprünglichen Bestand der pythagoreischen Theorie gehören. Sie könnten ganz gut einen Zusatz aus platonischer Theorie darstellen. Wohl halte ich die vorangehenden Sätze VII 34-36 für ursprünglich. Denn eine Theorie der kleinsten gemeinsamen Vielfachen gehört, schon wegen der Anwendung auf die Bruchrechnung, zu einer abgerundeten Teilbarkeitstheorie, wie sie dae Buch VII bietet, unbedingt, dazu.

Wir haben nunmehr das Ganze des Buches VII mit Ausnahme der letzten drei Satze 37-39 als pythagoreisch erkannt. Das Ganze ist von außerordentlicher Geschlossenheit und Schönheit: ein Werk aus einem Guß, ohne Nähte und Flickstellen, ein Gebäude, aus dem man keinen Stein herausbrechen kann. Die Ausdrucksweise ist manchmal archaisch und umständlich (so die immer wiederkehrende Wendung: ,,Wenn eine Zahl eine Zahl vervielfacht und daduroh eine Znhl entsteht"), aber die Beweise sind fast immer die kürzest denkbarren. Die Beweismethode des Hauptteiles läßt sich so charakterisieren: Sätze über Produkte werden konsequent auf Sätze über Proportionen zurückgeführt, diese ihrerseits auf gleichlautende Sätze über Teile und Mengen von Teilen. Der euklidische Algorithmus liegt dem Ganzen zugrunde. Die Proportionenlehre ist in 6 Sätzen (VII 11-14 und 17-18) zusammengedrängt. Darauf fußend, werden nacheinander die Theorie der relativ primen Zahlen und die Kürzung von Verheältnissen behandelt, dann die Haupteigensohaftan der Primzahlen, schließlich das K.G.V.

Die Tatsache, daß Archytas in dem bei Boethius dargestellten Beweis (§ 1) einen Satz VII 22 wörtlich zitiert und eine Folgerung aus der Theorie, nämlich VIII 8, wesentlich benutzt, beweist, daß die ganze Theorie dem Archytas im wesentlichen fertig vorgelegen hat. Wie wir gesehen haben, zeigt das Buch VII keine Spuren einer späteren Überarbeitung, Ich nehme also an, daß Bach VII einen Lehrgang der pythagoreischen Zahlentheorie oder einen Teil eines solchen Lehrganges darstellt, der schon vor 400 schriftlich fixiert wurde und den Euklid ohne erhebliche Änderungen übernommen hat.

Diese Schlussfolgerung geht weiter als die von HEATH: „We have seen reason to suppose that there existed Elements of Arithmetics partly (at all events) on the lines of Euclid, Book VII, while some propositions of Book VIII (e. g. Propositions 11 and 12) were also common property“ und steht in direktem Gegensatz zur Ansicht ZEUTHENS, nach der die Sätze des Buches VII von Theaitetos zuerst bewiesen worden seien.

§ 4. Das achte Buch Euklids.

Während das siebente Buch durch die Konzentration und zwingende Logik seines Aufbaues unsere Bewunderung erregte, ist das achte viel weniger straff gegliedert. Die meisten Beweise enthalten überflüssige Bestandteile. Im Beweis von VIII 3 z. B. ist die Bildung und Benennung von vier neuen Zahlen, die sich wie $a,b,c,d$ verhalten und die kleinsten ihres Verhältnisses sind, überflüssig, da $a,b,c,d$ nach Voraussetzung schon selber die kleinsten ihres Verhältnisses sind. Der Beweis von VIII 4 ist von einer unausstehlichen Weitschweifigkeit. Daß VIII 6 und 7 genau dasselbe besagen, mithin einer von beiden entbehrlich ist, wurde oben schon bemerkt. Aber auch VIII 14 und 16 besagen dasselbe, ebenso VIII 15 und 17, auch VIII 18 und 26 sowie VIII 19 und 27.

Derselbe Mangel an Prägnanz zeigt sich im ganzen Aufbau des Buches VIII. Eine Hauptfrage des Buches heißt: Wie müssen zwei Zahlen $a$ und $d$ beschaffen sein, damit man zwischen sie oder zwischen zwei Zahlen im gleichen Verhältnis irgendeine Anzahl von mittleren Proportionalen einschalten kann? Die einfachste Antwort auf diese Frage steht nicht ausdrücklich im Text; sie heißt so: Sind $a^{\prime }$ und $d^{\prime }$ kleinste Zahlen im Verhältnis $a:d$, so müssen diese, damit man $n$ mittlere Proportionale zwischen sie einschieben kann, $(n+1)$-te Potenzen sein, oder in griechischer Ausdrucksweise: Jede der beiden Zahlen $a^{\prime }$ und $d^{\prime }$ muß durch $n$-mal wiederholte Vervielfältigung einer Zahl mit sich selbst entstehen. Daß das richtig ist, folgt sehr leicht aus VIII 2 und VIII 3, nämlich so:

Es mögen etwa 2 mittlere Proportionale $b$ und $c$ zwischen $a$ und $d$ verlangt werden. Sind solche vorhanden, so ist also $a:b=b:c=c:d$. Die kleinsten Zahlen in diesem Verhältnis $a:b$ seien $p$ und $q$. Dann sind nach VIII 2 die kleinsten Zahlen, die sich wie die Glieder der Proportion $a,b,c,d$ verhalten, die Zahlen $p^3,p^{2}q,p{q}^2$ und $q^3$. Die äußeren Glieder $p^3$ und $q^3$ sind nach VII 27 oder nach VIII 3 zueinander prim; sie sind also die kleinsten Zahlen im Verhältnis $a:d$ (VII 21). Also sind diese kleinsten Zahlen tatsächlich dritte Potenzen.

Umgekehrt: Wenn $a^{\prime }$ und $b^{\prime }$ dritte Potenzen sind: $a^{\prime }=p^3,b^{\prime }=q^3$, so bilden sie die äußersten Glieder einer nach VIII 2 gebildeten geometrischen Reihe $p^3,p^{2}q,p{q}^2,q^3$. Nach VII 20 messen $a^{\prime }$ und $b^{\prime }$ die gegebenen Zahlen $a$ und $b$ gleich oft, etwa $n$-mal. Multipliziert man nun die Glieder der Reihe $p^3,p^{2}q,p{q}^2,q^3$ alle mit $n$, so erhält man eine viergliedrige geometrische Reihe mit den Endgliedern $a$ und $b$. Damit ist alles bewiesen.

Dieser Beweis verwendet im Grunde genau dieselben Überlegungen wie der Text der Elemente selbst. Daß sie nur am Beispiel einer viergliedrigen Proportion erklärt wurden, entspricht dem ständigen Verfahren Euklids. Aber wieviel umständlicher verfährt dieser! Nach dem entscheidenden und unentbehrlichen Satz VIII 2 wird zunächst VIII 3 aufgestellt, im Grunde nur ein Duplikat von VII 27. Nach einer Abschweifung über andere Gegenstände (VIII 4–7) kommt der uns schon bekannte Satz VIII 8, der es gestattet, sich künftig auf den Fall zu beschränken, wo die gegebenen Zahlen $a$ und $d$ die kleinsten ihres Verhältnisses, also relativ prim sind. Nun wird bewiesen:

VIII 9. Sind zwei Zahlen gegeneinander prim und kann man zwischen sie Zahlen in stetiger Proportion einschalten, dann müssen sich ebenso viele Zahlen, wie sich zwischen jene in stetiger Proportion einschalten lassen, auch zwischen jede von ihnen und die Einheit in stetiger Proportion einschalten lassen.

VIII 10. Kann man zwischen jede von zwei Zahlen und die Einheit (gleichviele) Zahlen in stetiger Proportion einschalten, dann müssen sich ebenso viele Zahlen, wie sich zwischen jede der beiden und die Einheit in stetiger Proportion einschalten lassen, auch zwischen jene in stetiger Proportion einschalten lassen.

Damit ist das gestellte Problem prinzipiell gelöst, und die Lösung ist auch mit der oben angegebenen gleichwertig, denn die Zahlen einer mit der Einheit anfangenden geometrischen Proportion $1,p,p^2,\dots$ sind genau die Potenzen von $p$. Der Autor des Buches VIII ist aber mit dieser Formulierung noch nicht ganz zufrieden: er will insbesondere noch ausdrücklich sagen, daß man zwischen zwei Quadratzahlen eine, zwischen Kubikzahlen zwei mittlere Proportionale einschalten kann (VIII 11 und 12). Dabei werden aber VIII 11 und 12 nicht als Spezialfälle aus VIII 10 erhalten, sondern neu bewiesen. Die Umkehrungen von VIII 11 und 12 werden nicht formuliert.

Nachdem unser Autor in der angegebenen Weise die Frage, unter welchen Bedingungen es eine oder zwei mittlere Proportionale gibt, einmal ganz und einmal halb gelöst hat, nimmt er sie noch ein drittes Mal in Angriff, diesmal mit Hilfe der Begriffe „ähnliche ebene Zahlen“ und „ähnliche Körperzahlen“. Die Sätze VIII 18–21 besagen nämlich: Dann und nur dann gibt es zwischen zwei Zahlen eine bzw. zwei mittlere Proportionale, wenn diese Zahlen ähnliche ebene bzw. körperliche Zahlen sind.

Der Begriff „ähnliche Zahlen“ verführt leicht zu Trugschlüssen. Im Beweis von VIII 22 steckt ein solcher; darauf hat schon REIDEMEISTER (Arithm. d. Gr. § 4) aufmerksam gemacht. Es heißt dort nämlich: $a$ ist zu $c$ ähnlich und $a$ ist eine Quadratzahl, also ist $c$ eine Quadratzahl. Das ist zwar richtig, aber es muß bewiesen werden, denn $a$ und $c$ könnten ja auch ähnliche Rechteckszahlen mit ungleichen Seiten sein.

Wir sehen, daß unser Autor ständig mit der Ausdrucksweise ringt: er hat die Probleme, die er sich gestellt hat, wohl gelöst, aber er weiß die Lösung nicht kurz und prägnant, ein für allemal gültig zu formulieren. Nicht zuletzt liegt das auch daran, daß kurze Worte wie Produkt und Potenz ihm fehlen. Während aber der Autor des Buches VII mit der umschreibenden Ausdrucksweise für Produkt usw. leicht fertig wird und seine Hauptsätze klar und logisch aneinanderreiht, ist das dem Autor des Buches VIII nicht gelungen. Ein weiteres Beispiel dafür: Er bringt den entscheidenden Satz VIII 2, auf dem im Grunde das ganze Buch beruht, nicht als Satz, sondern als Aufgabe, was zufolge hat, daß er sich später nicht auf eine fertige Formulierung berufen kann, sondern immer ein Stück des Beweises mit zitieren muß.

Nach dieser Stiluntersuchung des Buches VIII wird es klar, daß das ganze Buch das Werk eines einzigen Autors ist. Dieser Autor muß ein Pythagoreer sein. Es ist unmöglich, zwischen den als pythagoreisch nachgewiesenen Sätzen VIII 2–3, 7–8, 11–12, 18–21 und den nachfolgenden Sätzen irgendwo eine Trennungslinie zu legen, wo das Werk eines Späteren anfangen sollte. Die mit VIII 2–3 und 8 eingeleitete Problemstellung verlangt eine Lösung, wie sie eben durch VIII 9–10 gegeben ist. Sachlich fängt zwar mit VIII 11 ein neuer Abschnitt an, der von den ebenen und körperlichen Zahlen, von Quadrat- und Kubikzahlen handelt, aber dieser neue Abschnitt ist ebenso pythagoreisch wie der erste und die Stileigentümlichkeiten und logischen Mängel sind dieselben.

Es wäre an sich denkbar, daß die größere Prägnanz des Buches VII eine Folge einer späteren Überarbeitung wäre. Der Bearbeiter hätte dann alles überflüssige ausgeschieden, das Ganze straffer zusammengefaßt und die Beweise ganz zwingend gemacht. Jedoch scheint das nicht wahrscheinlich. Das Problem des Buches VII: die Begründung der Lehre von den Zahlenproportionen und von den Teilbarkeitseigenschaften der ganzen Zahlen ist ein logisches Problem. Ein solches Problem stellt sich nur einer, dem es auf die logische Gliederung der Wissenschaft und die völlige Schärfe der Beweise als Hauptsache ankommt. Ein solcher scharfer Logiker stellt aber auch präzis dar, er wiederholt sich nicht und macht keine Fehlschlüsse.

Buch VIII ist jünger als VII, denn es benutzt dessen Ergebnisse. Wir können dasselbe aber noch tiefer begründen. Die in VII behandelten Probleme und Begriffe: Proportion, Primzahl, G.G.T., K.G.V. haben die Zahlentheoretiker naturgemäß von jeher interessiert. Die Probleme des Buches VIII dagegen hängen aufs engste mit der Lehre des Irrationalen zusammen, die nach einer gut begründeten Ansicht erst kurz vor 400 aktuell wurde. Das VIII. Buch enthält nämlich die Erkenntnis, daß es unter Umständen unmöglich ist, eine rationale mittlere Proportionale zwischen zwei Zahlen zu finden. Stellt man aber diese Zahlen durch Strecken dar, so gibt es zwischen diesen Strecken wohl immer eine mittlere Proportionale. Diese geometrisch konstruierte mittlere Proportionale kann also nicht durch eine ganze oder gebrochene Zahl dargestellt werden, d. h. sie ist irrational. So hängt das VIII. Buch mit der Lehre vom Irrationalen zusammen, die ja bekanntlich auch von den Pythagoreern begründet wurde.

§ 5. Der Verfasser des achten Buches.

Unter den pythagoreischen Mathematikern am Anfang des 4. Jahrhunderts ragt Archytas von Taras, der Freund und Lehrer Platons, hervor. Wir haben oben schon gesehen, daß die zahlentheoretischen Sätze des achten Buches eng mit den musiktheoretischen Untersuchungen des Archytas, nämlich mit der von ihm bewiesenen Unmöglichkeit der Teilung der überteiligen Intervalle in zwei oder mehr gleiche Teilintervalle, zusammenhängen. Aber noch in anderer Hinsicht berührt sich das achte Buch mit dem Werke des Archytas. Die Archyteische Lösung des Delischen Problems der Würfelverdopplung geht davon aus, daß dieses Problem gleichbedeutend ist mit der Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen zwischen zwei gegebenen Strecken. Mit der Einschaltung von mittleren Proportionalen befaßt sich auch das achte Buch. Den Zusammenhang zwischen dem Problem der Würfelverdopplung und den ähnlichen Körperzahlen betont auch die Epinomis mit allem Nachdruck.

So könnte man auf die Vermutung kommen, daß Archytas selbst der Autor des achten Buches sei. Und in der Tat besteht eine auffallende Ähnlichkeit im Stil zwischen diesem Buch und den überlieferten Archytasfragmenten. Man vergleiche zunächst den oben mitgeteilten, von Boethius überlieferten Beweis des Satzes B mit Buch VIII. Hier wie dort dieselbe Umständlichkeit und Weitschweifigkeit, dieselbe pedantische Ausführlichkeit in den kleinsten Beweisschritten! Wortreichtum und viele Wiederholungen kennzeichnen auch das bekannte Archytasfragment über die hohen und tiefen Töne.

In meiner Abhandlung über die Harmonielehre der Pythagoreer habe ich die Vermutung aufgestellt, daß die in der Sectio canonis mitgeteilte Begründung der pythagoreischen Musiktheorie von Archytas stammt. In dieser Begründung findet sich, wiederum typisch für Archytas, an der entscheidenden Stelle (nämlich im Beweis von Satz 11) ein Fehlschluß. Aber auch sonst ist die Sectio in mancher Hinsicht dem VIII. Buche der Elemente ähnlich. Satz 5 der Sectio ist nur eine Wiederholung des Satzes 1. Der Beweis des Satzes 6 ist unnötig kompliziert, weswegen auch ein späterer Bearbeiter einen zweiten, kürzeren hinzugefügt hat. Auch der Beweis des Satzes 10 läßt sich kürzen. So erkennt man in der Sectio canonis trotz der erheblichen späteren Überarbeitung (namentlich in der Einleitung, wo sich der Einfluß des Herakleides Pontikos nachweisen läßt, und in den Sätzen 17 und 18, die das enharmonische Tongeschlecht anders definieren als Archytas) den Stil des Tarentiners deutlich wieder.

Die Würfelverdopplung des Archytas zeugt von einer hervorragenden Raumanschauung und einer starken Erfindungsgabe. Die Körper und Raumkurven, die er als Hilfsmittel heranzieht, werden durch mechanische Bewegungen erzeugt. Archytas soll auch ein Werk über Mechanik (oder über Maschinen) geschrieben und selber Maschinen konstruiert haben. Wir können ihn also charakterisieren als einen erfindungsreichen Geometer und hervorragenden Mechaniker und Musiktheoretiker mit einer unglücklichen Liebe zur Logik und zur exakten Arithmetik.

Wie alle Pythagoreer, war Archytas immer geneigt, alles auf Zahlen zurückzuführen und durch Zahlen auszudrücken, und so gibt er auch der Logistik den Vorrang vor der Geometrie, „weil sie deutlicher als diese behandeln kann, was sie will“. Die anschließende Bemerkung: „Und wo die Geometrie wiederum versagt, bringt die Logistik Beweise zustande“, ist wiederum typisch für die schwache Logik des Archytas. Er hat das Problem des Irrationalen nicht klar erkannt und nicht gesehen, daß gerade umgekehrt die Geometrie, nämlich die geometrische Algebra, strenge und allgemeine gültige Beweise für algebraische Formeln wie $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ zu geben vermag, wo die Logistik im Falle der Irrationalität der Größen $a$ und $b$ versagt.

§ 6. Das neunte Buch Euklids.

Der Anfang des Buches IX (Satz 1–13) schließt sich sachlich unmittelbar an VIII an: hier wie dort ist von geometrischen Reihen, von Quadrat- und Kubikzahlen die Rede. Aber der Stil verrät einen anderen Autor. Hier keine Wiederholungen, keine überflüssigen Sätze, keine Weitschweifigkeit in den Beweisen. Die 13 Sätze werden nach einer ganz einheitlichen Methode bewiesen, und zwar ist diese Beweismethode eine ganz andere als die in VIII meistens angewandte. Die Sätze des Buches VIII beruhen nämlich letzten Endes alle auf VIII 2: Kleinste Zahlen in geometrischer Reihe in gegebenem Verhältnis zu finden, soviel verlangt werden. In IX 8–13 nun handelt es sich um geometrische Reihen von der 1 aus. Würde man die Konstruktionsmethode VIII 2 auf diesen Fall anwenden, so würde herauskommen, daß die Glieder einer solchen Reihe alle durch Vervielfältigung einer Zahl $a$ mit sich selbst entstehen: $1,a,a^2,\dots$ Daraus könnte man Sätze wie IX 8, 9, 11 unmittelbar herleiten. Aber das neunte Buch verfährt anders: die Vervielfältigungsmethode wird nirgends angewandt, sondern vorzugsweise die Sätze über ähnliche ebene und körperliche Zahlen. Um z. B. zu beweisen, daß das 5. Glied $d$ einer geometrischen Reihe $1,a,b,c,d,\dots$ eine Quadratzahl ist (IX 8), wird nicht etwa bemerkt, daß $d$ das Quadrat von $b$ ist, sondern es heißt: Aus $b:c=c:d$ folgt nach VIII 22, da $b$ eine Quadratzahl ist, daß auch $d$ eine sein muß.

Diese Beweismethode hat den Vorzug, daß sie es gestattet, gewisse Umkehrsätze ebenso einfach zu beweisen wie die Sätze selbst. Z. B. besagt IX 10, die Umkehrung von IX 9: Wenn das vierte Glied $c$ eine Quadratzahl ist, so auch das zweite Glied $a$. Beweis: Wegen $a:b=b:c$ sind $a$ und $c$ ähnliche ebene Zahlen.

Nach dieser Beweismethode werden alle Sätze IX 1–14 einheitlich und ohne Umwege bewiesen.

Der Verfasser des Buches IX ist demnach ein anderer als der von VIII. Da er die Sätze des Buches VIII dauernd anwendet, müssen wir ihn später als Archytas ansetzen. Wahrscheinlich gehörte er dem Kreise der Platonischen Akademie an: Proklos nennt in seinem Mathematikerverzeichnis eine ganze Reihe von Mathematikern aus diesem Kreise, die zur Vervollkommnung der Elemente beigetragen haben.

IX 14–20 haben wenig Zusammenhang untereinander und mit dem Vorangehenden und Folgenden. IX 20 ist mit Recht berühmt: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Wann und von wem diese Sätze aufgestellt worden sind, wissen wir nicht.

Den Schluß des Buches IX bildet die Lehre von Geraden und Ungeraden. Nach O. BECKER muß der Beweis von IX 32 ursprünglich anders gelautet haben: IX 32 kann ohne Verwendung des in den Zusammenhang nicht hineingehörigen IX 13 direkt aus einem der beiden vorangehenden Sätze IX 30 oder 31 hergeleitet werden. Nach dieser Bereinigung bilden IX 21–34 ein geschlossenes Satzgefüge, welches nirgends auf die übrigen arithmetischen Bücher Bezug nimmt.

Schon daraus geht das hohe Alter dieser Gruppe von Sätzen hervor. Als Bestätigung kommt noch ein Epicharmfragment hinzu, das auf das „Gerade und Ungerade“ anspielt. Ich möchte die Entstehung dieses „ältesten μάθημα der Pythagoreer“ (REIDEMEISTER) in die 1. Hälfte des 5. Jahrhunderts verlegen.

Die Krönung der Lehre vom Geraden und Ungeraden ist der Satz über die vollkommenen Zahlen IX 36, zu dessen Beweis die Sätze IX 21–34, wie BECKER gezeigt hat, vollkommen ausreichen. Der bei Euklid dargestellte Beweis scheint, wie REIDEMEISTER es ausdrückt, „aus dem sachlich nicht gerechtfertigten Bemühen hervorzugehen, den Satz in den allgemeinen Zusammenhang des Buches hineinzustellen, die Lehre von den geometrischen Reihen“. Deshalb wurde auch die Summenformel der geometrischen Reihe als Satz IX 35 vorausgeschickt.

Die vollkommenen Zahlen sind verwandt mit den „befreundeten Zahlen“, das sind Paare von Zahlen, von denen jede gleich der Summe der Teiler der anderen ist. Als man Pythagoras fragte, was ein Freund sei, sagte er „ein zweites Ich“ und gab dazu die befreundeten Zahlen 220 und 284 an.

Die einzige Anwendung der Lehre vom Geraden und Ungeraden bei Euklid selbst ist der Beweis des Satzes X 115 a, der am Schluß des X. Buches steht, aber aus dessen Zusammenhang herausfällt:

X 115 a. Man soll zeigen, daß in jedem Quadrat die Diagonale der Seite linear inkommensurabel ist.

Auf diesen Beweis spielt Aristoteles mehrfach an. Er läuft darauf hinaus, daß man zeigt: Wenn die Diagonale der Seite kommensurabel wäre, so wäre eine und dieselbe Zahl gleichzeitig gerade und ungerade. Wenn die obige Datierung der Lehre vom Geraden und Ungeraden richtig ist, so hätte man um 450 schon über die Elemente dieses Beweises verfügt.

Einen Terminus-ante quem für die Entdeckung der Irrationalität der Quadratdiagonale gewinnen wir nach ZEUTHEN folgendermaßen: Theodoros von Kyrene, der nach der dichterischen Fiktion Platons (im Theaitetos) als alter Mann um 400 in Athen gelehrt haben soll, setzte bei seinen Hörern die Irrationalität von $\sqrt{2}$ offenbar als bekannt voraus, denn er verlor kein Wort über $\sqrt{2}$, sondern ging gleich zu $\sqrt{3}$ und dann zu $\sqrt{5}$ bis $\sqrt{17}$ über. Es ist anzunehmen, daß Platon, der sich in diesem seinem verstorbenen Freunde Theaitetos zu Ehren geschriebenen Dialog an die Hervorhebung der Verdienste des Freundes sehr viel gelegen sein läßt, die Abgrenzung der mathematischen Leistungen der dramatis personae gegeneinander wahrheitsgetreu dargestellt hat. Danach hat also Theodoros (der nach Diog. Laert., Jamblichos und Proklos in der 2. Hälfte des 5. Jahrhunderts, etwa gleichzeitig mit Hippokrates von Chios gewirkt hat) die Irrationalität der Quadratseiten $\sqrt{3},\sqrt{5},\dots \sqrt{17}$ aufgezeigt, aber die von $\sqrt{2}$ war schon vor ihm bekannt.

Durch die Aufzählung der Lerngebiete, in die Theodoros den jungen Theaitetos unterrichtet haben soll: Geometrie, Astronomie, Harmonielehre und Rechenkunst erweist sich Theodoros als Pythagoreer oder zumindest den Pythagoreern nahestehend. Auch Pappos bestätigt uns, daß die Theorie der irrationalen Größen in der pythagoreischen Schule ihren Anfang genommen hat (und dann von Theaitetos weiter ausgebaut wurde). Der Irrationalitätsbeweis für $\sqrt{2}$ muß also auch den Pythagoreern zugeschrieben werden, und zwar den vor Theodoros lebenden. So kommen wir von der anderen Seite auf dieselbe Zeit: Um 450, jedenfalls aber vor 420 ist der Irrationalitätsbeweis für $\sqrt{2}$ auf Grund der pythagoreischen Lehre vom Geraden und Ungeraden geführt worden.