Werk:Die mathematischen Schriften/Zur Einführung

Oportet autem attingere sensum volentem potius auрта verborum vim intellectum efferre quam proprietatibus vocabulorum insistere, quae tantis intellectualibus mysteriis proprie adaptari non possunt. De doct. ign. I, 2.

Wenn wir den mathematischen Schriften des CUSANERS gerecht werden wollen, müssen wir uns stets vor Augen halten, daß hier nicht der Fachmatbematiker zu uns spricht, sondern der Philosoph, dem es letztlich nicht um das reine Fachwissen geht, sondern um die symbolhafte Ausdeutung matbematischer Zusammenhänge. Die Worte in der Docta ignorantia I, 11, wo gesagt wird, daß wir im Streben nach der Erfassung göttlicher Wahrheiten die stärkste Unterstützung von der Mathematik erhoffen dürfen — als Gewährsleute werden PYTHAGORAS, PLATON, ARISTOTELES, BOËTHIUS und AUGUSTINUS angeführt - gelten nicht der Fachwissenschaft, sondern der auf mathematische Bezeichnungen und Einsichten zu stützenden Symbolik, wie das in I, 12 des Näheren ausgeführt wird.

Aber der CUSANER begnügt sich nicht mit dieser Auffassung, die das ganze Mittelalter hindurch die herrschende war, sondern er ringt ernsthaft um mathematische Fragestellungen und Beweise, und seine mathematischen Trakltate behandeln wirklich mathematische Gegenstände, obwohl sie im Schatten seiner Philosophie stehen. Während REGIOMONTAN, der Fachmathematiker und etwas jüngere Zeitgenosse, das Wissen seiner Zeit in der Trigonometrie, in der Geometrie und in der Zahlentheorie um ein Bedeutendes vermehrt, bescbränkt sich der CUSANER ausschließlich auf das Doppelproblem der Ausstreckung und Quadratur des Kreises, das er von der Abbandlung über die Geometrischen Verwandlungen des Jahres 1445 bis zum Goldenen Satz in der Mathematik vom Jahr 1459 auf immer wieder neuen Wegen angegangen und behandelt hat. Fast in jeder der elf Schriften, die sich auf diese 14 Jahre verteilen, spricht er ausdrücklich davon, daß er diese mühevollen Untersuchungen nur um eines wichtigen Zweckes willen anstellt; denn es gelte den Zugang zu höheren Wissenszweigen zu gewinnen, und in der letzten Abhandlung, der Aurea propositio, steht am Schluß der Hinweis auf den dreieinigen Urgrund, auf den alle höhere Spekulation hinzielen müsse.

So ist die Mathematik für den CUSANER eine Hilfswissenschaft, aber doch eine echte Wissenschaft, deren Eigenart anerkannt und deren Problematik durchaus ernst genommen wird. Deshalb ist es interessant, des Näheren zu verfolgen, wie sich der Philosoph mit dieser Wissenschaft auseinandersetzt und wie er sich mit ihren Ideenbildungen immer besser vertraut macht.

Über das, was der CUSANER von früher her an mathematischem Rüstzeug mitgebracht hat, sind wir nur unzureichend unterrichtet. Als sicher dürfen wir annehmen, daß er bereits während seiner Studienzeit beim obligatorischen Besuch der allgemeinen Vorlesungen in der Artistenfakultät mit den Institutiones arithmeticae des BOËTHIUS bekannt wurde, deren zum Teil zahlenmystisch gefärbter Inhalt seinen eigenen Ansichten in besonderem Maße zusagen mochte. Schon in der Docta ignorantia wird an mehreren Stellen auf das Gedankengut der Institutiones arithmeticae Bezug genommen, vor allem in dem oben erwähnten 11. Kapitel des ersten Buches, und in den späteren Schriften häufen sich derartige Anspielungen.

Sicher hat der CUSANER auch die einfacheren Teile der EUKLID-Übersetzung des CAMPANUS kennengelernt — vielleicht zunächst nicht unmittelbar, sondern in der stark verkürzten Bearbeitung des BRADWARDINE, dessen Geometria speculativa als ein brauchbares und hinlänglich einfaches Schulbuch sehr geschätzt wurde. Dieses Werk, dessen Einfluß auf die mathematischen Schriften des CUSANERS außerordentlich weit reicht, enthält auch Hinweise auf einige mathematische Stellen bei ARISTOTELES; ferner werden die Hauptsätze aus der damals gerade in lateinischer Übersetzung bekanntgewordenen isoperimetrischen Abhandlung des ZENODOROS wiedergegeben. Besonders interessant ist die Erwähnung der ARCHIMEDISCHEN Circuli dimensio, über die man auf so engem Raum nicht eingehender berichten könne. BRADWARDINE kennt zwar den Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Kreisläche, hält jedoch den Wert $\pi \approx \frac{22}{7}$, für genau und beruft sich hierfür ausdrücklich auf ARCHIMEDES als Autorität; das wäre nicht möglich gewesen, wenn er wirklich eine lateinische Übersetzung der Abhandlung vor Augen gehabt hätte. Wer sein Gewährsmann war, ist nicht sicher festzustellen.

In der Docta ignorantia wird weder EUKLID noch CAMPANUS noch auch BRADWARDINE namentlich erwähnt, aber zwei interessante Einzelheiten stehen vermutlich in engerer Beziehung zu BRADWARDINE bzw. z u CAMPANUS. Die eine findet sich in I, 13, wo der CUSANER jene Kreise betrachtet, die einander in einem Punkte gleichsinnig berühren. Er sieht die gemeinsame Tangente als den größten unter diesen Kreisen an, dem das Maximum an rectitudo und das Minimum an curvitas zukomme. Die beigesetzte Figur stimmt im wesentlichen mit einer aus der Geometria speculativa überein, nicht aber mit jener der Vorlage aus CAMPANUS. Die CUSANISCHE Überlegung mag aus dem ihm vorliegenden Text durch selbständige Weiterbildung entstanden sein.

Eine weitere Bezugnahme auf BRADWARDINE oder CAMPANUS sehen wir im Text der Docta ignorantia III, 1, wo die Frage angeschnitten wird, ob man aus der Existenz kleinerer und größerer Werte hinsichtlich einer bestimmten Größe auf die Existenz einer zu ihr gleichen Größe schließen dürfe. Der CUSANER leugnet dies mit aller Entschiedenheit; z. B. dürfe man weder aus der Existenz des einbeschriebenen und umbeschriebenen Quadrats am Kreise auf die Existenz eines zum Kreise flächengleichen Quadrats schließen, noch auch aus der Existenz zweier geradliniger Winkel, von denen der eine kleiner, der andere größer sei als der sog. Inzidenzwinkel (zwischen Kreissehne und Kreisbogen) auf die Existenz eines zum Inzidenzwinkel gleichen geradlinigen Winkels. Auf diese Angelegenheit werden wir unten (s. XX/XXI) noch genauer zurückkommen.

Anscheinend hat sich der CUSANER schon während seiner Studienzeit lebhaft für mathematische Dinge interessiert. Diese Vorliebe hat ihn, der seit 1417 an der Universität Padua die Rechte betrieb, noch im Jahr 1422 — also kurz vor Abschluß seiner Studien — in die mathematischen Vorlesungen BELDOMANDIS geführt, der eben erst die Professur für Musik und Astrologie erhalten hatte, und sich als Verfasser wohldurchdachter und ziemlich selbständiger Lebrbücher eines bedeutenden Rufes erfreute.

Unter den Hörern BELDOMANDIS befand sich auch TOSCANELLI, der Sohn eines Florentiner Arztes, mit dem der CUSANER alsbald in enge freundschaftliche und wissenschaftliche Beziehungen trat, TOSCANELLI hatte sich vorzügliches Fachwissen auf dem Gebiete der Mathematik und Astronomie erworben; von ihm hat der CUSANER auf dem Gebiete der exakten Naturwissenschaften viele allgemeine und fachliche Anregungen empfangen. Wie boch er das Können des klugen Florentiners einschätzte, zeigt uns der Umstand, daß er ihm seine ersten beiden mathematischen Abhandlungen, die Transmutationes geometricae und die Complementa arithmetica, gewidmet bat.

Ob sich der CUSANER auch unmittelbar nach Abschluß seiner Studien noch mit rein mathematischen Gegenständen befaßt hat, wissen wir nicht. Daß in ihm das Interesse an mathematischen Fragen rege geblieben ist, lehrt uns eine interessante Einzelheit: Im Jahr 1428 hat er sich LULLS Traktat von der Quadratur und Triangulalur des Kreises eigenhändig abgeschrieben, und zwar kennzeichnenderweise nur den ersten mathematischen Teil, nicht aber die symbolisch-theologische Fortsetzung.

Die LULLSCHE Abhandlung ist vom rein mathematischen Standpunkt aus sehr unbedeutend; sie enthält jedoch einige allgemeine Gedanken, die sich mit der Auffassung des CUSANERS stark berühren. Besonders interessant ist für uns die einleitende Bemerkung: Strecken und Kreisbögen können als ungleichartige Größen nicht ins Verhältnis gesetzt werden, und Bögen sind auch nicht vermittels des Zirkels durch Strecken meßbar. Deshalb muß man als Mathematiker in seinem Sinne an Stelle der wirklichen Strecken und Bögen ihre Ideen setzen und diese in der Vorstellung zum Vergleich bringen.

Mit der Tatsache, daß sich Strecken und Bögen nicht ins Verhältnis setzen lassen, war der CUSANER aus ARISTOTELES wohlvertraut; in De beryllo 27 wird sogar ausdrücklich auf eine einschlägige Stelle in den Metaphysica verwiesen. Dort wird auch erwähnt, daß diese Inkommensurabilität das Hauptargument des ARISTOTELES gegen die Möglichkeit einer exakten Kreisquadratur sei.

Wahrscheinlich kannte der CUSANER nicht nur einige der einschlägigen Stellen bei ARISTOTELES, sondern auch etwas von den zugehörigen Kommentaren, wie etwa den des BOËTHIUS und den des AVERROËS . Hingegen hatte er von der Quadratur vermittels der Möndchen, die in den Complementa mathematica erwähnt wird, nur ganz unbestimmte Vorstellungen. Vielleicht lag ihm hierüber nichts anderes vor als die kurze und nichtssagende Bemerkung bei BRADWARDINE: „Bei ARISTOTELES wird auch eine Quadratur vermittels der Möndchen erwähnt, jedoch als unrichtig bezeichnet, und deshalb ist es überflüssig, genauer darauf einzugehen." Daraus folgt, daß der CUSANER weder den Kommentar des SIMPLIKIOS zur ARISTOTELISCHEN Physik gesehen hat, in dem die Möndchenquadratur eingehend behandelt wird, noch auch den des PHILOPONOS zu den Analytica posteriora", der eine verkürzte Darstellung enthält, und ebensowenig die unter dem Titel Quadratura circuli per lunulas umlaufenden lateinischen Fassungen, von denen eine dem ALBERT VON SACHSEN vorlag, Der Traktat ALBERTS zur Kreisquadratur scheint dem CUSANER nicht bekanntgeworden zu sein, und ebensowenig die älteren Studien des FRANCO VON LÜTTICH und des JORDANUS NEMORARIUS zum gleichen Gegenstand.

Auch das (etwas billige) Verfahren LULLS, an Stelle der wirklichen Figuren gedachte treten zu lassen, um vermutete, aber nicht unmittelbar aus der Anschauung erkennbare Zusammenhänge nachweisen zu können, war dem CUSANER nichts Neues. Er kannte Ähnliches schon längst aus den von ihm mit Leidenschaft studierten NEUPLATONISCHEN Schriften; später zitiert er als maßgebliche Autorität die Schrift De divinis nominibus des von ihm so hoch verehrten PSEUDO-DIONYSIOS. Das von ihm selbst verwendete Verfahren ist viel feiner und besser durchdacht: es ist die sog. visio intellectualis, die bereits in der Docta ignorantia I, 4 und etwas eingehender in De coniecturis II, 2 und dann ganz genau in De beryllo geschildert und auch in den mathematischen Schriften immer wieder angewendet wird.

Die Erkenntnis ist für den CUSANER im wesentlichen von dreifacher Art: sensibilis, rationalis und intellectualis. Die Dinge der Sinnenwelt sind ihrem Wesen nach durchaus unvollkommen, wie etwa eine auf einer Tafel eingeritzte Figur. Nicht von diesen Gebilden handelt der Mathematiker, sondern von den nur in seiner Vorstellung vorhandenen und rein gedachten Figuren. Was hierbei durch die gewöhnliche Schlußweise hergeleitet werden kann, würde vom CUSANER in den Bereich der rationalen Erkenntnis verwiesen werden. Tiefer dringt die visio intellectualis, die als letztes Hilfsmittel dienen muß, wenn die rationalen Methoden versagen. Dies tritt z . B. bei Betrachtung unendlich großer Gebilde ein, wie sie in der Docta ignorantia I, 1 4 und 1,15 behandelt werden. Vermöge der visio intellectualis wird das unendliche Dreieck gleichzeitig auch als Kreis angesehen. Ähnlich liegen die

Dinge bei Untersuchung unendlich kleiner Gebilde; nur in diesem Bereich ist es möglich, daß Sehne und Bogen zusammenfallen. Etwas anders muß man vorgehen, wenn es gilt, den Kreis zu quadrieren. Das ist in der Welt des Gedachten grundsätzlich unmöglich; hingegen läßt sich die Quadratur des Kreises im Bereich des Handgreiflichen immer genauer und genauer vollziehen — schließlich so genau, daß ein sinnfälliger Unterschied überhaupt nicht mehr feststellbar ist.

In der visio intellectualis und allem, was mit ihr zusammenhängt, steckt der entscheidende außermathematische Bestandteil der CUSANISCHEN Mathematik. Gewiß ist dieses Verfahren vom streng wissenschaftlichen Standpunkt aus völlig unzulässig, aber es wird mit soviel Takt verwendet, daß im Grunde nur äußere Einzelergebnisse unrichtig werden; der tiefere Zusammenhang ist fast immer richtig erfaßt. Dieses feine Empfinden für das, was möglich und was unmöglich ist, macht die eigentliche Stärke des CUSANERS auf mathematischem Gebiet aus. Es läßt uns die vielen Unvollkommenheiten in der Einzeldurchführung vergessen und nötigt uns die höchste Achtung vor dem kühnen Denker ab, der es als Nichtfachmann gewagt hat, mit seinen noch gänzlich unzureichenden Hilfsmitteln bis zur Untersuchung funktioneller Zusammenhänge vorzustoßen, deren Bedeutung selbst dem tüchtigsten seiner Zeitgenossen nur von ferne dämmerte.

Das entscheidend Neue, was der CUSANER mit seiner visio intelleclualis gefunden hat, ist das Prinzip der coincidentia oppositorum, das ihm auf der Rückfahrt von Konstantinopel im Jahre 1437/38 eingebungsgleich aufgegangen ist. In der Docta ignorantia vom Frühjahr 1440 wird ein erster Überblick über die Kraft der neuen Betrachtungsweise gegeben, und das unter fortwährender Heranziehung mathematisierender Schlußweisen, die jedoch nicht im Sinne strenger oder gefühlsmäßiger Fachbetrachtungen, sondern in sinnbildlich vergleichender Form verwendet werden. Der CUSANER will z. B. in I , 3 klarmachen, daß all unser irdisches Wissen nur Stückwerk ist, und daß uns die volle Wahrheit für immer verschlossen bleibt. Dies geschiebt durch einen doppellen Vergleich. Einerseits wird die Wahrheit als das ewig Unveränderliche, Absolute und Unendliche erklärt, das sich der artgemäßen Erkennbarkeit durch unsern zeitlich bedingten und auf das Endliche beschränkten Verstand entzieht und daher prinzipiell unerkannt bleibt, ähnlich wie das Unendliche, das niemals zum Endlichen in ein meßbares Verhältnis zu treten vermag. Andrerseits wird die uns allein zugängliche gradweise Erkenntnis und die uns unzugängliche Wahrheit mit den Beziehungen zwischen den einbeschriebenen regelmäßigen Vielecken und dem Kreise verglichen. Wohl läßt sich unser Einzelwissen stufenweise vergrößern und damit der Wahrheit stärker annähern, genau so, wie das Vieleck dem Kreis durch Vergrößern seiner Eckenzahl immer ähnlicher wird; aber niemals ist eine volle Übereinstimmung erzielbar, genau so wenig wie beim Vieleck, das auch nicht bei Vergrößern der Eckenzahl bis ins Unendliche zum Kreise wird. Demgemäß ist unser Wissen nur sehr unvollkommen; so erscheint uns die Wahrheit als eine Möglichkeit: in Wirklichkeit ist sie die vollendete Notwendigkeit und überdies das absolute und unveränderliche Maximum des Erkennbaren. Auf Grund dieser Überlegung kommt der CUSANER zu der Auffassung, daß zwischen Größen, die sich sensualiter, rationaliter oder intelleclualiter unterscheiden, niemals eine präzise Gleichheit möglich ist; denn dies würde auf ein Maximum an Gleichheit hinauskommen, das selbst die Welt des Intelligibeln überschritte.

Nun wendet sich der CUSANER zur näheren Untersuchung der absoluten Extreme. Er unterscheidet zwischen Maximum und Minimum und erklärt das Größtmögliche als das Maximum an Großheit, das Kleinstmögliche als das Maximum an Kleinheit. Mit Hilfe einer visio intelleclualis sieht er vom Begriff der Großheit und Kleinheit ab und kommt auf diese Weise zu der Auffassung, daß das Maximum und das Minimum — jedes von ihnen als ein reines Maximum aufzufassen — miteinander zusammenfallen müssen. Hierin besteht das Wesen der coincidentia oppositorum, mittels deren er auf allen Wissensgebieten neue Erkenntnisse zu gewinnen und bisher als unlösbar angesehene Probleme zu meistern hofft.

Zunächst stellt er fest, daß es nur ein Maximum geben kann. Alsdann geht er zur Anwendung seiner Methode auf die gewöhnlichen Zahlen über. Jede ganze Zahl entsteht durch Setzen von Einheiten; eine größte endliche Zahl kann es nicht geben, da jede Zahl vergrößerungsfähig ist. Als kleinstmögliche Zahl muß die Eins angesehen werden; denn sie läßt sich nicht weiter vermindern. Daher ist sie die schlechthin kleinste unter den Zahlen und muß mit der größtmöglichen Zahl, die als unendliche nicht benannt werden kann, zusammenfallen. Sie ist Ursprung aller Zahlen, aber noch nicht selbst Zahl. Mit dieser letzten Bemerkung tritt der CUSANER der alten PYTHAGOREISCHEN Lehre bei, die ihm aus BOËTHIUS bekannt war. Er hält es nicht mit BELDOMANDI, der als einer der ersten bereit war, die Eins als Zahl anzuerkennen. An späterer Stelle erklärt der CUSANER den Extremwert als das natürliche Maß der Zwischenwerte. Er äußert sich auch genauer darüber, wie jede Zahl aus der Einheit durch fortwährendes Setzen von Einheiten entsteht. Diese Erzeugung bezeichnet er als eine explicatio, das Enthaltensein der Einheit in jeder Zahl als eine complicatio. Er betont, daß die Einheit deshalb als die größtmögliche Zahl anzusehen ist, weil sie als einzige Zahl ausnahmslos in jeder andern enthalten ist.

Eine ähnliche Sonderstellung wie der Einheit unter den Zahlen (diskrete Größen) kommt dem Punkt unter den geometrischen Gebilden (kontinuierliche Größen) zu. Durch eine erste explicatio geht aus dem Punkt die Linie, durch je eine weitere explicatio die Fläche und der Körper hervor, und bei dieser explicatio entstehen der unendliche Kreis und die unendliche Kugel als zusammenfallende Maxima, die ihrerseits wieder mit dem erzeugenden Punkt koinzidieren. In diesem Sinne besteht die Linie aus der Gesamtheit der auf ihr gelegenen Punkte.

Was der CUSANER hier andeutet, kommt auf ein Wiederaufleben der Indivisibeln-Vorstellungen der Atomistiker hinaus, die von der PLATONISCHEN Akademie und später von der NEUPLATONISCHEN Schule aufs heftigste bekämpft worden waren. Wir sind nicht sicher, ob der CUSANER seine Auffassung selbständig entwickelt hat oder ob er hier einer für uns noch nicht klar erkennbaren, vielleicht mündlichen Tradition folgt. Als Übermittler käme der Skeptiker SEXTUS EMPIRICUS in Frage, der in seiner Schrift Adversus mathematicos eine sehr klare Darstellung der Indivisibeln-Lehre gibt, um sie dann mit vielen Gegengründen als unhaltbar zu erklären und zu verwerfen. Auf jeden Fall steht fest, daß die Indivisibeln-Vorstellungen des 17. Jahrhunderts mit der Auffassung des CUSANERS in Verbindung gebracht werden müssen, doch sind die näheren Einzelheiten noch nicht hinreichend genau bekannt.

Bei einer Diskussion über die Dreieinigkeit der göttlichen Personen spricht der CUSANER davon, daß das Dreieck die einfachste unter allen geradlinigen geometrischen Figuren und daher das Minimum unter den Vieleckfiguren sei und sich zu diesen verhalte wie die Einheit zu den Zahlen. Aus der weiteren Erörterung geht hervor, daß der CUSANER hier von unendlich großen Vielecken spricht, so daß wir es mit einer außermathematischen Angelegenheit zu tun haben. Aber gerade diese Stelle ist es, aus der durch Umwenden und Kombination mit dem Inhalt des Kapitels aus BRADWARDINE über die isoperimetrischen Figuren etwas Neues entstehen sollte, nämlich die Methode zur Quadratur des Kreises in der ersten Prämisse der Transmutationes geometricae. Wir erfahren aus dem Vorwort zu dieser seiner mathematischen Erstlingsschrift, was den CUSANER veranlaßt hat, das bisher ausschließlich beackerte Feld der symbolischen Mathematik zu verlassen und zur reinen Fachwissenschaft überzugehen: es war das ungelöste Problem der Kreisquadratur, das ihn reizte, und das er vermittels seiner coincidentia oppositorum zu bezwingen hoffte. Unzählige Ansätze hatte er erfolglos unternommen und alles ihm Zugängliche über den Gegenstand durchgearbeitet: er hatte sich vor allem mit der Lösungsmöglichkeit des Problems eingehend beschäftigt und war schließlich zu der Erkenntnis vorgedrungen, daß man hier vermittels der gewöhnlichen mathematischen Methoden nicht zum Ziel kommen könne.

Insbesondere aus der De circuli quadratura, wo das ganze Existenzproblem mit allem Für und Wider durchgesprochen wird, ersehen wir, was der CUSANER in den Schriften seiner Vorgänger gefunden hatte. Zwei Grundauffassungen stellt er einander entgegen: nach der einen ist die Kreisquadralur möglich, weil es dort, wo ein Größer und ein Kleiner vorhanden ist, immer auch ein Gleiches gibt (Zwischenwertsatz); nach der andern ist die Kreisquadratur unmöglich, weil der Zwischenwertsatz ungültig ist. Der CUSANER bekennt sich nach eingehender Diskussion zur zweiten Auffassung und beschränkt sich darauf, eine näherungsweise Kreisquadratur zu geben — näherungsweise jedoch nur in der Welt des Intelligibeln, während sie in der Welt des Sinnlich-Greifbaren so genau ist, daß man auch mit den feinsten Maßen keinen Unterschied zwischen dem näherungsweise konstruierten Quadrat und der Kreisfläche feststellen kann.

Wir wissen nicht genau, welche Autoritäten es waren, in deren Schriften der CUSANER lesen konnte, daß die Kreisquadratur möglich sei, falls die Gültigkeit des Zwischenwertsatzes zugegeben werde. Wir dürfen jedoch mit ziemlicher Sicherheit annehmen, daß hier eine antike Tradition vorliegt, die sich auf die Methode des BRYSON bezieht. Über diese sind wir aus den ARISTOTELES-Kommentaren des ALEXANDER VON APHRODISIAS und des PHILOPONOS unterrichtet, allerdings nur in unzureichender Form. BRYSON soll am gegebenen Kreis ein einbeschriebenes und ein umbeschriebenes und ein zwischen beiden seitenparallel gelegenes regelmäßiges Vieleck konstruiert und behauptet haben, das letztere sei zum Kreis flächengleich; denn Zwischenvieleck und Kreis seien beide kleiner als das umbeschriebene und größer als das einbeschriebene Vieleck, und was größer und kleiner als dasselbe sei, sei auch gleich. Über das Verfahren des BRYSON können wir uns hieraus kein Urteil bilden; denn es fehlt die Hauptsache: die konstruktive Bestimmung des Zwischenvielecks. Anders lägen die Dinge, falls wir annehmen dürften, daß ALEXANDER — er ist der Gewährsmann für PHILOPONOS, jedoch gleich diesem in mathematischen Angelegenheiten unzuverlässig — seine Vorlage mißverstanden hätte. Vielleicht wollte BRYSON nur die Möglichkeit der Kreisquadratur dartun! Dann wäre die lateinische Tradition, auf die sich der CUSANER stützt, von größter Bedeutung; denn in dieser Fassung heißt es nicht mehr, wie im griechischen Text: τὰ δὲ τοῡ αὺτοῡ μείζονα και ὲλάττονα ῐσα ὰλλήλοις ὲστίν, sondern einfach: ubi dare est magis et minus, et est dare aequale. In dieser Fassung ist der Zwischenwertsatz (unter Annahme stetiger Veränderungen) richtig und die Betrachtungsweise BRYSONS für uns sinnvoll geworden, nicht aber für die antiken Philosophen und Mathematiker, die dem direkten Schluß bei Stetigkeitsbetrachtungen seit der Kritik ZENONS mißtrauten und nur mehr den indirekten Schluß verwendeten: was weder größer noch kleiner ist, ist gleich.

Im ausgehenden Mittelalter hatte sich die geistige Situation von Grund aus verändert. Man studierte — vor allem im Kreise der Pariser Nominalisten — die Stetigkeitseigenschaften des Kontinuums mit heißem Bemühen und wäre gern bereit gewesen, den Zwischenwertsatz anzuerkennen, hätte nicht die Kontingenzwinkelfrage und alles, was mit ihr zusammenhängt, ein unüberwindliches Hemmnis gebildet. Sie ist entstanden aus der etwas eigenartigen Fassung des Satzes III, 15 in den EUKLIDISCHEN Elementen, wo gesagt wird, der Winkel zwischen Kreisbogen und Tangente (der sog. Kontingenzwinkel) sei kleiner als jeder spitze Winkel. An dieser Stelle schaltet CAMPANUS den Zusatz ein, der sich gegen die Zulässigkeit des Zwischenwertsatzes richtet und, kurz gesagt, so lautet: Der Halbkreiswinkel (zwischen dem Kreisdurchmesser und dem Kreisbogen) ist größer als jeder spitze und kleiner als der rechte Winkel; für ihn wären also die Voraussetzungen des Zwischenwertsatzes erfüllt. Trotzdem gibt es keinen geradlinigen Winkel, der gleich dem Halbkreiswinkel ist. Die nämliche Schlußweise findet sich auch bei BRADWARDINE, der sich ausdrücklich auf CAMPANUS bezieht, aber den EUKLIDISCHEN Satz und die zusätzliche Bemerkung um der Übersichtlichkeit willen auf zwei getrennte conclusiones verteilt. Diese Stelle ist es, auf die sich der CUSANER schon in der Docta ignorantia III, 1 bei Ablehnung des Zwischenwertsatzes berufen hatte (vgl. oben S. XII).

Da also der Zwischenwertsatz für den CUSANER ungültig ist, ist auch die Kreisquadratur und alles, was daraus folgt, in der Welt des Intelligibeln unmöglich; möglich ist sie allein in der Welt des Sinnlich-Greifbaren, wo man grundsätzlich auf die letzte Präzision verzichten muß und an Stelle der strengen Gleichheit die näherungsweise zu setzen hat. Dort läßt sich die Quadratur sogar rational leisten — und das nach Ansicht des CUSANERS mit einem solchen Grad von Genauigkeit, daß die noch vorhandene Abweichung durch keinerlei irdisches Maß festgestellt werden kann.

Bei seinem ersten großen Ansturm auf das Problem der Kreisquadratur, von dem er in der Einleitung der Transmutationes geometricae berichtet, bedient sich der CUSANER der coincidentia oppositorum in folgender Weise: Er sucht zwischen der Fläche des Kreises und der des Dreiecks andere geradlinig begrenzte und daher elementar quadrierbare Flächen so einzuschalten, daß die Dreieckfläche zum Minimum und die Kreisfläche zum Maximum wird. Dies gelingt ihm, indem er lauter umfangsgleiche regelmäßige Vielecke benutzt - ein Gedanke, den er wohl aus BRADWARDINES Bericht über die isoperimetrischen Figuren entnommen hat. Bis hierher ist alles Auseinandergesetzte auch mathematisch einwandfrei; jetzt aber werden nicht weiter begründete Irrationalitätssätze vorgebracht wie etwa jener, daß die Fläche $f_n$ eines willkürlich herausgegriffenen unter den umfangsgleichen regelmäßigen Vielecken und ebenso die Flächen $r_n^2\pi$ und ${\rho }_n^2\pi$ der zugehörigen Um- und Inkreise zur Fläche $f$ des Kreises irralional seien: Man könne ebensowenig durch Vervielfachen der Eckenzahl $n$ zum Kreise gelangen wie im Bereich der natürlichen Zahlen zu einer (endlichen) größten. Hier fühlen wir das Nachwirken der symbolischen Vorstellungen der Docta ignorantia deutlich durch; sie verführen den CUSANER zu der Meinung, ein Grenzwert $f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n$ sei grundsätzlich ganzzahlig unvergleichbar mit den Gliedern $f_n$ der den Grenzwert erzeugenden Folge.

Das Entscheidende ist nun, wie die isoperimetrische Ausrundung des gleichseitigen Dreiecks vollzogen werden soll. Um sie durchführen zu können, bedient sich der CUSANER einer Vorüberlegung von folgender Art: ${\rho }_3=af$ sei der Inkreishalbmesser, $r_3=ab$ der Umkreishalbmesser des Dreiecks und $r=ah$ der Halbmesser des isoperimetrischen Kreises. Dann wird es (in der Welt des Greifbaren!) Lagen von $ah$ geben, in welchen sich die Dreieckseite $bc$ Abb. 1. und $ah$ nach ganzzahlig angebbaren Streckenverhältnissen schneiden.

Der CUSANER beginnt seine Konstruktion damit, daß er die Halbseite $fb$ des gleichseitigen Dreiecks vermöge der Teilpunkte $i$, $e$, $l$ in vier gleiche Teile teilt und durch sie Strecken aus dem Dreieckmittelpunkt $a$ legt, die in bestimmtem Streckenverhältnis verlängert werden; z.B. — wenn wir den nach $i$, $e$, oder $l$ fallenden Punkt mit $p$ und den zugehörigen Endpunkt der Verlängerung mit $q$ bezeichnen - so, daß $\frac{pq}{ap}=\frac{ip}{ap}$ oder $={\left(\frac{fp}{fb}\right)}^2$ oder $=\frac{pb}{cb}$ wird.

In der De circuli quadratura sagte der CUSANER ganz often, daß es sich hier um eine visio intellectualis handle. Wissenschaftlich läßt sich sein Verfahren in keiner Weise begründen, und nur der Erfolg gibt ihm eine tiefere Berechtigung. Der Erfolg, der den CUSANER lehrt, daß die sich ergebenden Strecken $ag$ in der Lage $p=i$ zu klein und in der Lage $p=l$ zu groß werden. Daraus wird ganz naiv geschlossen, dall in der Mittellage $e$ die richtige Strecke $ah$ herauskommen muß. Durch die für ihn höchst auffällige Tatsache, daß sich jetzt in allen drei Fällen das nämliche Verhältnis $\frac{eh}{ae}=\frac{1}{4}$ ergibt, sieht sich der CUSANER in seiner Auffassung wesentlich bestärkt.

Aus dem Bisherigen kann der Fachmann keine besondere Achtung vor den mathematischen Leistungen des CUSANERS gewinnen; vielleicht ist er sogar gewillt, das Ganze als hoffnungslose Phantastereien eines schlecht unterrichteten Dilettanten abzutun. Diese Beurteilung wäre ungerecht und würde am Kernpunkt der Sache vorbeigehen. Zunächst belehrt uns eine Stelle aus der De circuli quadratura darüber, daß der CUSANER sehr wohl imstande ist, den sich ergebenden Wert von $ah$ zu berechnen; er setzt das Verhältnis des Kreisdurchmessers $2r$ zum Dreieckumfang $3bc$ gleich $2\frac{1}{2}\sqrt{1575}:6\sqrt{2700}$ und verrät uns durch diese Schreibweise, daß er den Inkreishalbmesser ${\rho }_3$, von dem er ursprünglich als Einheit ausgegangen war, nunmehr durch Übergang zur nächsten Untereinheit gleich $60$ gesetzt hat.

Andrerseits fügt er der Entwicklung in den Transmutationes geometricae eine über das Bisherige hinausgehende Verallgemeinerung des Ausrundungssatzes für irgendeines der isoperimetrischen Vielecke bei :

wird $bc$ als die Seite des Vielecks $f_n$ angesehen, dessen umfangsgleicher Kreis den Halbmesser $ah=r$, so läßt sich auch hier ein Teilpunkt $p$ auf der Halbseite bestimmen, so daß $\frac{pq}{ap}$ entweder gleich $\frac{fp}{cb}$ oder gleich $={\left(\frac{fp}{fb}\right)}^2$ wird. In beiden Fällen, so behauptet der CUSANER völlig zu Recht, rückt der richtige Teilpunkt $p$ mit zunehmendem $n$ gegen den Punkt $f$, mit abnehmendem $n$ gegen den Punkt $b$ hin und erreicht mit $n\to \mathrm{\infty }$ den Punkt $f$, mit $n=3$ den Mittelpunkt $e$ auf $fb$. Ein Beweis wird nicht gegeben; vielleicht hat sich der CUSANER den Zusammenhang nur durch Übergang vom gleichseitigen Dreieck zum regelmäßigen Sechseck klar gemacht.

Abb. 2.

Weit interessanter als die Ausrundung ist die zweite Prämisse der Transmutationes geometricae, bei der es um die Feststellung des Streckenverhältnisses zweier Kreisbögen geht. Der CUSANER schickt eine längere Erörterung über Dreiecke voraus, deren Seiten teilweise von Kreisbögen gebildet werden (wobei Überschneidungen nicht zulässig sein sollen) — eine Angelegenheit, die anscheinend von ihm selber ausgesonnen wurde. Im geradlinigen Dreieck, so beginnt er, besteht Proportionalität zwischen entsprechenden Abschnitten, die von einer Seitenparallelen erzeugt werden; z.B. ist die Verbindungslinie zweier Seitenmitten genau gleich der Hälfte der dritten Seite. Werden die Seiten durch Kreisbögen ersetzt, die sinngemäß durch Bogenteilungen in entsprechende Abschnitte zu unterteilen sind, so ändert sich das Bild: wird ein Dreieck betrachtet, das zwei geradlinige Seiten enthält, während die dritte hinsichtlich des Dreieckinnern konvex gekrümmt ist, so ist die Verbindungsstrecke der Bogenmitte mit einer Seitenmitte größer als die Hälfte der dritten Seite, und Ähnliches gilt auch beim allgemeinen Abschnittverhältnis. Ist der Bogen hinsichtlich des Dreieckinnern konkav, so haben wir das Umgekehrte. Entsprechendes ist auch dann noch erfüllt, wenn man von Dreiecken ausgeht, bei denen die eine Seite eine Strecke ist, während sich die beiden andern Seiten gleichartig hinsichtlich des Innern krümmen. Sind die beiden Bögen kongruent, jedoch hinsichtlich des Innern verschiedenartig gekrümmt, so ist die Verbindungsstrecke entsprechender Teilpunkte auf den Bögen stets größer als der zugehörige geradlinige Abschnitt. Der CUSANER deutet für den Fall, daß die Teilpunkte auf die Bogenmitten zu liegen kommen, einen sehr zierlichen Beweis an, und zwar nicht nur für kongruente Bögen, sondern auch für inkongruente des nämlichen Halbmessers, sofern der konkave der kürzere ist. Soll aber in einem Dreieck Proportionalität zwischen den Verbindungsstrecken entsprechender Teilpunkte auf den Bögen stets größer als der zugehörige geradlinige Abschnitt. Der CUSANER deutet für den Fall, daß die Teilpunkte auf die Bogenmitten zu liegen kommen, einen sehr zierlichen Beweis an, und zwar nicht nur für kongruente Bögen, sondern auch für inkongruente des nämlichen Halbmessers, sofern der konkave der kürzere ist. Soll aber in einem Dreieck Proportionalität zwischen den Verbindungsstrecken Abb. 2. entsprechender Bogenteilpunkte und den zugehörigen Abschnitten der geradlinigen Seite bestehen, so muß der konkave Bogen der längere sein.

Abb. 3.

Nun konstruiert der CUSANER ein Dreieck, dessen einer Bogen gleich einem Viertelkreis $bc$ und dessen abschliee Bende gerade Seite gleich dem zugehörigen Halbmesser $cm$ ist. Damit wäre der noch fehlende Bogen eigentlich schon bestimmt und abhängig von einer Gleichung vierten Grades. Das vermag der CUSANER nicht zu übersehen; deshalb versucht er es mit einer rein konstruktiven Lösung. Er zeichnet den zum cmcm Bogen $bc$ kongruenten $ai$ und den Halbkreis $ade$. Was nun den Ergänzungsbogen $blm$ betrifft, so gebe es für seinen Mittelpunkt zwei Grenzlagen, nämlich entweder den Punkt $a$ (dann würde der Ergänzungsbogen mit $bdc$ zusammenfallen), oder den Punkt $i$ (unzutreffend). Im ersten Falle entstehe auf $ade$ der Schnittpunkt $d$, im zweiten Falle der Schnittpunkt $n$; die richtige Lage für die dritte Ecke sei die Bogenmitte $m$ des Viertelbogens dn. Nun habe man den Bogen $be$ in $f$ zu halbieren und hierauf den Bogen $bm$ mit dem Kreis vom Halbmesser $\frac{cm}{2}$ um $f$ in $l$ zu schneiden; dann träfen sich die beiden verlängerten Strecken $lf$ und $mc$ in einem Punkte $o$. Werde durch diesen Punkt und durch irgendeinen Punkt $f$ des Viertelbogens be eine Gerade gezogen, so verhalte sich der auf dieser entstehende Abschnitt $fl$ zwischen den beiden begrenzenden Dreieckbögen zur dritten Seite $cm$ wie der Teilbogen $df$ zum ganzen Viertelbogen $bc$.

Was der CUSANER hier vorführt, ist sehr dunkel ausgedrückt. OMNISANCTUS, der Herausgeber des Textes in der Parisina, kam mit seiner (obendrein noch verderbten) Vorlage nicht zurecht und entschloß sich daher zur Wiedergabe einer — wie er glaubte — sinngemäß ergänzten Konstruktion, die jedoch mit der vorstehenden Originalkonstruktion nichts Wesentliches gemein hat und daher übergangen werden kann. Über die vielen geometrischen Unzulänglichkeiten des CUSANISCHEN Verfahrens wollen wir kein weiteres Wort verlieren, aber den originellen Grundgedanken gebührend hervorheben: ein krummliniges Dreieck zu ermitteln, worin die Verbindungsstrecke der Bogenmitten gleich der Hälfte der dritten Seite wird, und hieraus eine Näherungskonstruktion zur Teilung des Kreisbogens in einem gegebenen Streckenverhältnis zu entwikkeln. Diese Näherung muß sehr gut werden; denn die Konstruktion trifft bei Durchlaufen des Viertelbogens in den Punkten $b$, $f$ und $c$ genau zu. Der CUSANER hatte also einen sehr brauchbaren Gedanken konzipiert; die unverhältnismäßig großen Schwierigkeiten bei der praktischen Durchführung, denen er schließlich zum Opfer gefallen ist, konnte man bei dem damaligen Stand der Mathematik noch nicht überblicken: fehlte doch die wichtigste Grundvoraussetzung für derartige Untersuchungen, die algebraische Methode.

Zu diesen beiden Prämissen fügt der CUSANER in den Transmutationes geometricae zwei weitere hinzu, von denen sich die eine auf die Einschiebung zweier geometrischer Mittel zwischen zwei gegebene Strecken, die andere auf die Konstruktion der vierten Proportionale bezieht. Alsdann folgen in drei Kapiteln, auf die wir ebensowenig eingehen wollen wie auf ähnliche Konstruktionen in den späteren Schriften, die praktischen Anwendungen der vier Prämissen bei der Vergleichung von Strecken und Bögen, von Flächen- und von Körperinhalten. Wissenschaftlich interessant ist nur die dritte Prämisse, worin die sog. PLATONISCHE Konstruktion der beiden geometrischen Mittel unter Verwendung beweglicher rechter Winkel vorgeführt wird — uns wohlbekannt aus dem Kommentar des EUTOKIOS zu ARCHIMEDES, De sphaera et cylindro II, 1 und erstmals von VALLA veröffentlicht, worauf von OMNISANCTUS ausdrücklich verwiesen wird. Wir glauben nicht, daß der CUSANER diesen Text damals schon kannte; vielleicht hat er sich auf die quaestio des ALBERT VON SACHSEN gestützt: Datis duabus lineis inaequalibus, inter eas duas medias proporlionales invenire. Dort wird die bewegungsgeometrische Konstruktion mit geringfügiger Abweichung gegenüber der PLATONISCHEN vorgeführt. Vielleicht spielt der CUSANER mit der einleitenden Bemerkung, die Frage sei bisher nur von wenigen und unklar behandelt worden, auf ALBERTS quaestio an.

Bedeutend ist der mathematische Inhalt der Complementa arithmetica, die unmittelbar nach den Transmutationes geometricae entstanden sind. In der Einleitung wird die Ungleichung $3\frac{10}{71}<\pi <3\frac{10}{71}$ erwähnt, und dies unter ausdrücklicher Nennung von ARCHIMEDES. Wahrscheinlich hat der CUSANER in eine der damals handschriftlich umlaufenden lateinischen Übersetzungen der Circuli dimensio Einsicht nehmen können, auf die er durch den oben (S: XI) erwähnten Hinweis bei BRADWARDINE aufmerksam gemacht worden sein mag. In der nun folgenden schwer verständlichen Entwicklung geht es dem CUSANER darum, aus den Inkreis- und Umkreishalbmessern er, In umfangsgleicher regelmäßiger Vielecke den Halbmesser $r$ des isoperimetrischen Kreises zu ermitteln. Er beginnt mit einer Konstruktion am Dreieck und Sechseck, die gegen Ende der Abhandlung fortgesetzt und ergänzt wird. Deuten wir sein Verfahren in modernem Sinne aus, so würde es durch den Ansatz $r\approx r_3-(\lambda -1)(r_3-{\rho }_3)\approx r_6-(\lambda -1)(r_6-{\rho }_3)$erklärt werden können. Der CUSANER fügt hinzu, die fragliche Beziehung gelte ganz allgemein; freilich drückt er sich bei Behandlung des von ihm gewählten Beispiels (Achteck) sehr unklar aus. Hier wird auch behauptet, da $r$ aus $r_3$ und es bestimmt werden könne, lasse sich $r_n$, ${\rho }_n$ aus $r_n-{\rho }_n$ ermitteln. Im Text wird auf die „letzte Figur der Transmutationes geometricae" Bezug genommen — ein Rückverweis, der sich mit der uns bekannten Fassung der Transmutationes nicht in Übereinstimmung bringen läßt. Vielleicht kann aus dieser Stelle und aus dem Inhalt der De circuli quadratura geschlossen werden, daß die Transmutationes ursprünglich nur aus der ersten Prämisse bestanden haben und daß alles Weilere späterer Zusatz ist.

Sachlich und gedanklich gehören die Transmulationes, die Complementa arithmetica und die De circuli quadralura aufs engste zusammen. Sie bezeichnen die erste Stufe der CUSANISCHEN Mathematik und verraten uns, daß sich ihr Verfasser mit größter Sorgfalt um die fachlichen Einzelfragen gekümmert und die ganze ihm zugänglich gewordene Literatur mit Eifer und Verständnis durchgearbeitet hat. Er ist zwar keineswegs hinreichend in der strengen Beweismethode geübt; auch fehlen ihm Zeit und Geduld zu einer ausgefeilten Darstellung im Sinne der Fachwissenschaft, aber er will ja durchaus nicht Spezialist sein, sondern nur andeuten, wie sich seine philosophischen Vorstellungen auf mathematischem Gebiet auswirken könnten.

Dem Ideengehalt nach steht das Vorgebrachte hoch über den Durchschnittsleistungen selbst bestunterrichteter Fachleute der damaligen Zeit. Wir haben es mit den Studien eines phantasierollen Kopfes zu tun, dem originelle Einfälle in reichem Strome zufließen. Er glaubt zunächst, das Problem der Kreisquadratur und alles damit Zusammenhängende auf Grund der Ausrundung des gleichseitigen Dreiecks gemeistert zu haben, soweit das überhaupt möglich ist — nämlich approximativ in der Welt des Intelligiblen, aber so, daß sich in der Welt des Sensiblen keine Abweichung feststellen läßt. Durch die Widmung an TOSCANELLI, den allseits anerkannten Mathematiker, bekundet er, dab er gewillt ist, sich der Kritik der Fachleute zu stellen. Leider wissen wir nichts Näheres darüber, wie die Beurteilung der Transmutationes ausgefallen ist, und ob man damals festzustellen vermocht hat, daß der erzielte Näherungswert 3,1423 für π — er liegt innerhalb der ARCHIMEDISCHEN Grenzen 3,1409 und 3,1429 — zu groß ist. Der eigentliche Wert der ersten Prämisse liegt jedoch nicht in diesem Ergebnis, sondern in der einigermaßen richtig beurteilten Ausrundung des allgemeinen Vielecks. Wahrhaft genial ist die angenäherte Bogenteilung der zweiten Prämisse, aber noch bedeutsamer ist der Grundgedanke der Complementa arithmetica; die langsam aufkeimende Überzeugung, daß sich $r$ in einfacher Weise aus $r_n$ und ${\rho }_n$ annähern lassen muß. Dieser Gedanke wird in der nächstfolgenden Studie des CUSANERS, der Quadratura circuli, in voller Klarheit ausgesprochen und sinnvoll angewendet.

Rund fünf Jahre hat es gedauert, bis aus dem Einfall der Complementa arithmetica eine wirkliche Methode geworden ist, und ein äußerer Anlaß, so meinen wir, hat den werdenden Gedanken zur Reife gebracht. Dieser Anlaß war das nähere Bekanntwerden mit ARCHIMEDES. Wir wissen, daß die Kreisquadratur der Transmulationes geometricae dem CUSANER bei Fachleuten und bei Fernstehenden den Ruf eines bedeutenden Mathematikers eingetragen hatte. Es war selbstverständlich, daß ihm, dem Freund des Papstes, als einem der ersten Einblick in die Übersetzung des JACOB VON CREMONA gewährt wurde, die auf Befehl NIKOLAUS V. angefertigt worden war. Damals war der Kardinal mit den Vorbereitungen für die Deutsche Legation beschäftigt und konnte das Werk nur flüchtig ansehen. Ihn interessierte zunächst nicht etwa die Circuli dimensio, die er ja schon kannte, sondern die Spiralenabhandlung, in der die ARCHIMEDISCHE Ausstreckung des Kreisbogens vermittels der Spiralentangente vollzogen wird. Bei der Durcharbeit ist dem CUSANER ein Irrtum unterlaufen: er glaubt, ARCHIMEDES habe bei Erzeugung der Spirale die Proportion$r:a\phi =a:2a\pi$ benutzt, also unzulässigerweise ungleichartige Größen (Strecken und Bögen) ins Verhältnis gesetzt, und deshalb sei die ARCHIMEDISCHE Methode unbrauchbar, da in ihr eine petitio principii vorliege und die Konstruktion nicht durchgeführt werden könne.

Ergänzend müssen wir hinzufügen, daß man die Erzeugung der Spirale durch Zusammensetzen einer geradlinigen und einer kreisförmigen Bewegung schon etwas früher kannte: sie wird z.B. von ORESME in seinem französischen Kommentar zu der angeblich ARISTOTELISCHEN Schrift De coelo et mundo erwähnt. Ob der CUSANER hiervon Kenntnis hatte und aus ARCHIMEDES nur noch die Bogenausstreckung gelernt hat, ist im Augenblick nicht feststellbar und übrigens für uns belanglos. Hauptsache ist, daß der CUSANER nunmehr die seit längerer Zeit unterbrochenen mathematischen Studien wieder aufnimmt und sein neuestes Ergebnis in der Quadratura circuli festhält.

Jetzt schließt der CUSANER aus der Zunahme des Flächeninhaltes $F_n$ regelmäßiger umfangsgleicher Vielecke mit abnehmendem $r_n-{\rho }_n$ auf eine „gleichmäßige" Abnahme von $f-f_n$ und $r_n-{\rho }_n$, so daß also $(f-f_3):(f-f_n)\approx (r_3-\rho :n)$ wird. Wegen $f_k=\frac{u}{2}\cdot {\rho }_k$ folgt hieraus, daß $\frac{r-{\rho }_3}{r_3-{\rho }_3}\approx \frac{r-{\rho }_n}{r_3-{\rho }_n}$ fast unabhängig von $n$ wird, woraus sich $r\approx {\rho }_3+\lambda (r_3-{\rho }_3)\approx {\rho }_n+\lambda (r_n-{\rho }_k)$ ergibt. Für uns ist dies nur eine Modifikation des Ergebnisses aus den Complementa arithmetica (vgl. ob. S.XXVIII). Daß sich auch der CUSANER über die Gleichwertigkeit beider Methoden klargeworden ist, steht zu bezweifeln. Er gibt der Flächenproportionen die Fassung $\frac{f-f_3}{f_n-f_3}\approx \frac{(r-{\rho }_3)-(r_3-r)}{({\rho }_n-{\rho }_3)+r_3-r_n)}$ und bestimmt $r$ aus $r\approx {\rho }_3+\frac{{\rho }_n-{\rho }_3}{({\rho }_n-{\rho }_3)+(r_3-r_n)}\cdot \stackrel{={\rho }_3}{\overbrace{({\rho }_3-{\rho }_3)}}$. Das Ganze wird in hübscher Form geometrisch veranschaulicht und sogar durch eine Näherung für $n=4$ erläutert, die jedoch mit allzu rohen Näherungszahlen abgebrochen wird. Der Zusatz, wer die nötige Sorgfalt und Geduld aufwende, könne auf ähnliche Weise an jedem Vieleck $f_n$ die Größe $r_n-{\rho }_n$ (und daraus $r_n$ und ${\rho }_n$) bestimmen, berührt sich mit dem in den Complementa aritlemetica Gesagten.

Die Quadratura circuli ist ein erster Entwurf, bei dem es nur um die Fixierung der Ideen geht. Die nähere Einzelausfübrung wird im ersten Buch der Complementa mathematica vollzogen, das erst nach der Rückkehr des Kardinals von der Deutschen Legation entstanden ist. Beabsichtigt ist eine ausführliche Darstellung, die auch dem mathematisch Ungeübten zugänglich ist. Im Satzgefüge ist freilich nicht mehr viel von Beweisen die Rede; bestenfalls ist an Stelle des Demonstrierens ein Exemplifizieren getreten. Immer stärker schiebt sich die indirekte Schlußweise (was weder größer noch kleiner ist, muß gleich sein) in den Vordergrund und verdrängt die direkte Schlußweise vermittels des Zwischenwerisatzes (was größer und kleiner ist, muß gleich sein). Im indirekten Schluß sieht der CUSANER geradezu dasjenige, was der coincidentia oppositorum auf mathematischem Gebiete entspricht. Er hat jedoch nur ganz allgemeine und unklare Vorstellungen von der anzuwendenden Schlußtechnik; an keiner einzigen Stelle ist ihm eine im einzelnen methodisch einwandfreie Durchführung gelungen. Die beiden Hauptergebnisse der Quadratura circuli erscheinen nunmehr in etwas abweichender Fassung. Die Flächenproportionalität erhält die Form $\frac{f-f_3}{f_n-f_3}\approx \frac{r_3-{\rho }_3}{(r_3-{\rho }_3)+(r_n-{\rho }_n)}$, und entsprechend wird der Ausdruck für $r$ modifiziert. Auf die praktischen Anwendungen, wobei instrumentale Auflösungen der Grundaufgaben dargeboten werden, sei nur nebenher verwiesen.

Das erste Buch der Complementa mathematica ging an die Freunde und Vertrauten des Kardinals, inslesondere auch an TOSCANELLI. Dieser fand alsbald den entscheidenden Fehler: die Flächenproportionalität des Hauptsatzes I , 11 ist durch nichts erwiesen. Zufällig ist uns ein diesbezügliches Schreiben TOSCANELLIS an den Kardinal erhalten, das vom CUSANER zusammen mit einer Abschrift der Quadratura circuli und weiteren Entwürfen an PEURBACH geleitet wurde und nach dessen Tod in REGIOMONTANS Besitz überging. Dieser hat alles im Nachlaß PEURBACHS Vorgefundene im Sommer 1462 sorgfältig durchgesehen und nachgerechnet und dabei zu seinem großen Ärger feststellen müssen, daß der vorliegende Näherungsversuch des CUSANERS wie auch die vielen späteren Ansätze zumeist wesentlich ungenauer sind als die ARCHIMEDISCHEN Grenzen. Der Ärger um die vertane Zeit und Mühe hat dem temperamentvollen 28jährigen die Feder geführt, als er seine Streitschrift gegen die CUSANISCHEN Versuche niederschrieb und das Ganze an TOSCANELLI abgehen ließ.

SCHÖNER, der die vorgefundenen Papiere zwei Menschenalter nach REGIOMONTANS Tod herausgab und die Zusammenhänge nicht mehr überblickte, hielt das Gutachten TOsCANELLIS versehentlich für ein Schriftstück des Kardinals und hat es deshalb mit in die von ihm besorgte Nürnberger Ausgabe übernommen. Es ist heute ganz sicher, daß das unsignierte Schreiben von TOSCANELLI stammt; denn wir kennen zwei vom Kardinal eigenhändig in die Cueser Abschrift der Complementa mathematica eingefügte Randnoten, die sich auf die Einwände TOSCANELLIS beziehen. In der ersten wird ausgesprochen, TOSCANELLI habe die Richtigkeit der Flächenproportionalität bezweifelt und gefunden, daß sich unter Verwendung der ARCHIMEDISCHEN Näherung eine erhebliche Abweichung ergebe; in der zweiten wird gesagt, möglicherweise seien die vorgebrachten Einwände berechtigt, und deshalb solle ein zweites Buch mit weiteren Versuchen zum bisherigen Text hinzugefügt werden. Diese Fortsetzung enthält mehr an interessanten mathematischen Einzelheiten als die andern einschlägigen Schriften des CUSANERS. Sie ist keineswegs so straff gegliedert wie das Bisherige. In loser Aufeinanderfolge werden Studien zur Bewegungslehre, isoperimetrische Sätze an Kegelstumpfen, damit zusammenhängende Betrachtungen über unmittelbare Bogenausstreckungen und schließlich Kreisquadraturen vermittels der Möndchen und durch Strekkenausgleich aneinandergereiht.

In der ziemlich umfangreichen Einleitung wird einiges über die geometrische Bewegungslehre gebracht. Der CUSANER beschäftigt sich im vorliegenden Text weder mit der Untersuchung der mechanischen Bewegungsursache, noch auch mit dem „fließenden" Bewegungsvorgang, sondern ausschließlich mit dem geometrischen Zusammenhang nach vollzogener Bewegung. Dabei bleibt er durchaus im Bereich der infinitesimalen Vorstellungen, die wir aus seinen philosophischen Schriften kennen (vgl. oben S. X/XI, XIV/XIX).

Ausgangspunkt ist das Studium einiger Bewegungsvorgänge in der Ebene und im Raum. Als gleichartige Bewegung einer Strecke wird die Drehung um den einen Endpunkt oder die Parallelverschiebung senkrecht zur Richtung der Strecke bezeichnet: ungleichartig heißt die Bewegung dann, wenn sich die Endpunkte der Strecke nicht mehr parallel zueinander bewegen, wie bei Drehung der Strecke um eine Achse ihrer Ebene, die nicht parallel zur Strecke ist. Die hierbei entstehenden Kegelstumpfmäntel werden in noch recht unbeholfener Weise untersucht; schließlich denkt sich der CUSANER die mantelerzeugende Seitenlinie durch einen Kurvenbogen ersetzt, kommt jedoch nur zu unzulässigen Verallgemeinerungen. Eigenarlig ist die Quadraturmethode, um die von einer sich drehenden Strecke überstrichene Fläche zu bestimmen, wenn der Drehpunkt geradlinig verschoben wird. Das Zustandekommen dieser Vorschrift aufzuklären, ist uns nicht gelungen.

Nun wendet sich der CUSANER zur Übertragung isoperimetrischer Sätze von der Ebene auf den Raum. Er geht aus von einem Drehzylinder und bestimmt zuerst den mantelgleichen Drehkegel, dann (durch unzulässige geometrische Mittelbildung) die mantelgleichen Kegelstumpfe über dem nämlichen Grundkreis; schließlich wird die mantelgleiche Kugelkappe hinzugefügτ. Unter den Kegelstumpfen hält er jenen für besonders ausgezeichnet, dessen Seitenkante ebensolang ist wie der erzeugende Bogen der mantelgleichen Kugelkappe. So wird er zum Problem der direkten Bogenausstreckung geführt, das er durch recht annehmbare Näherungen behandelt, ohne jedoch zu bemerken, daß seine Regeln einfache Konstruktionen mit Zirkel und Lineal zulassen würden. Die beigegebenen „Beweise" durch indirekten Schluß sind methodisch unzureichend. Das gilt auch für die später an PEURBACH gegangene Declaratio rectilineationis, worin der Beweis für die erste der beiden Ausstreckungen etwas deutlicher auseinandergesetzt wird.

Der letzte Teil des zweiten Buches gehört der Kreisquadratur vermittels der Möndchen — eine Angelegenheit, mit der die Alten nicht zurechtgekommen seien. Der CUSANER versteht hierunter das richtige Abschneiden der $n$ Segmente außerhalb der Seiten eines konzentrischen regelmäßigen flächengleichen Vierecks, so daß sie gleich den n über den Kreis hinausragenden Flächenstücken des Vielecks werden. Er geht aus von seitenparallelen $n$-Ecken in und um den Kreis (Seite $s$ und $S$) und denkt sich das seitenparallele umfangsgleiche (Seite $x$) und inhaltsgleiche (Seite $y$) Vieleck gelegt. Dann konstruiert er seinerseits aus $S^2:s^2\approx (S^2-y^2):(x^2-s^2)$, andererseits auf Grund der Annahme, daß $\frac{s+S}{y}$ eine Konstante ist, die nicht von der Eckenzahl abhängt. Diese letzte Überlegung ist deshalb von Interesse, weil in der vom CUSANER gewählten Fassung der Keimling für eine neue und fruchtbringende Idee liegt, nämlich für die Methode des Streckenausgleichs bei der Bogenausstreckung (siehe unten S. XXXVII).

An das Ende des zweiten Buches waren ursprünglich nur einige kurze zusammenfassende Worte gesetzt, die den Leser unbefriedigt lassen. Im ganzen gesehen, ist dieser zweite Teil der Complementa mathematica eine sehr anstrengende Lektüre; er ist schlecht komponiert und in den Einzelheiten flüchtig ausgeführt — so flüchtig, daß der Sinn der Sache manchmal kaum erkannt werden kann. Wir brauchen uns nicht zu wundern, daß der gedankliche Inhalt fast völlig unbeachtet blieb; nur die infinitesimalgeometrische Einleitung hat später einiges Interesse gefunden.

Bald nach Bekanntwerden der ganzen Schrift äußerten die Fachleute ihre kritischen Einwände; vor allem wünschten sie einfachere Vorschriften zu erhalten. Der Kardinal sah sich genötigt, auf Einzelheiten näher einzugehen. Mit zäher Energie hielt er an der näherungsweisen Lösbarkeit fest und entschloß sich zur Mitteilung immer neuer Ansätze. Unter ihnen sollte sich schließlich einiges von vorzüglichem Wert befinden.

Abb. 4.

Wir erwähnen zunächst die von ihm später als Facillima circuli rectilineatio an den Text der Complementa mathematica angefügte Bogenausstreckung — eine sehr ungenaue und auch methodisch unbefriedigende Näherung. Interessanter ist die De una recti curvique mensura mit eigenartigen sprachlichen Formulierungen. Fast möchte man glauben, hier einen der ältesten Versuche des CUSANERS in späterer Umarbeitung vor sich zu haben. Auch im Dialogus de circuli quadratura, dem literarischen Niederschlag einer wissenschaftlichen Unterredung zwischen TOSCANELLI und dem Kardinal, geht es um eine Ausstreckung, und zwar wird diesmal der Umkreisdurchmesser $2r_3$ eines gleichseitigen Dreiecks aus dem Halbmesser $r$ des umfangsgleichen Kreises in der Form $r+r\sqrt{2}$ dargestellt. In dem Beweisverfahren durch Iteration, die bis ins Unendliche fortgesetzt werden soll, sehen wir den frühesten Versuch eines direkten Grenzüberganges vor uns — noch unzulänglich in der Ausführung, aber doch dem Gedanken nach richtig erfaßt. Ein handschriftlicher Zusatz von unbekannter Hand in der Vaticanischen Abschrift des Dialogus enthält wichtige Bemerkungen hierzu, vor allem wird von einem processus in infinitum und seiner Berechtigung gesprochen.

Abb. 5.

Eine einfache Näherungsregel zu gewinnen, das ist das Ziel der letzten mathematischen Abhandlungen des CUSANERS. Der erste Schritt in dieser Richtung wird in der Caesarea circuli quadratura getan. Hier wird der Durchmesser $2r$ des zum gleichseitigen Dreieck (Seite $s_3$, Inkreishalbmesser ${\rho }_3$) isoperimetrischen Kreises in der Form $2r\approx {\rho }_3+\frac{2}{3}\cdot s_3$ gegeben. Diese Regel erscheint als Sonderfall einer umfassenderen, die in der Perfectio mathematica klar formuliert wird. Ist $abc$ ein rechtwinkliges Dreieck ($\sphericalangle bac\le 45^{\circ }$) und wird an ihm der Kreisbogen $ch$ durch $c$ um $a$ gelegt, so ist $\frac{\text{Halbbogen}hc}{\text{Halbsehne}bc}\approx \frac{3ac}{2ac+ab}$.

In dieser Regel ist die der Caesarea quadratura (durch Ubergang zum Sechseck) enthalten, sie wird auch ausdrücklich unter den Folgerungen aus dem Hauptsatz der Perfectio mathematica aufgeführt. Bei Erläuterung [99]seiner neuen Vorschrift betont der CUSANER erneut, daß Sehne und Bogen als ungleichartige Größen niemals in ganzzahliges Verhältnis treten und nur annäherungsweise durch ein Streckenverhältnis dargestellt werden können. Daher ist eine visio intellectualis vonnöten; sie bezieht sich auf die Gleichheit von Bogen und Sehne, die nur im Kleinsten möglich ist. Aus der unbeschränkten Teilbarkeit des Kontinuums folgt jedoch, daß auch bei Übergang zum Infinitesimalen keine der beiden zu vergleichenden Größen wirklich gleich Null (d.h. gleich dem Minimum schlechthin) werden kann, aber aus der angenäherten Gleichheit zwischen Bogen und Sehne im Infinitesimalen läßt sich ein Schluß auf vorhandene Beziehungen im Endlichen ziehen. Hier ist der Begriff des geometrischen Grenzübergangs zwar noch unvollkommen, aber doch mit überraschender Feinfühligkeit erfaßt.

Abb. 6.

Die Regel erscheint nochmals in etwas anderer Formulierung in der letzten Schrift des CUSANERS, der Aurea propositio 11:

$\frac{ab+ad+ac}{\text{Bogen}bdc}\approx \frac{ab+ah+ac}{\text{Sehne}bhc}\approx \frac{ae+ad+ag}{\text{Tangente}edg}$. Neuartig ist die Begründung: Damit die Strecke $ikl$ gleich dem Bogen $bdc$ werde, müsse man den Bogenmittelpunkt $d$ um ebensoviel an den Kreismittelpunkt annähern als die Bogenendpunkte $b$, $c$ vom Kreismittelpunkt entfernt werden. Das ist das Prinzip des Streckenausgleichs, das im Grunde schon am Ende der Complementa mathematica (siehe oben S. XXXV) ausgesprochen war. Jetzt ist die visio intellectualis nicht mehr nötig; die Näherung kann durch reine Vernunftschlüsse plausibel gemacht werden.

In dieser Wendung von der transzendenten zur rationalen cc, die nicht durch Zufall am Ende der geistigen Entwicklung des CUSANERS erscheint, liegt die wissenschaftsgeschichtliche Bedeulung des groBen Denkers. Als Vertreter einer symbolhaften Ausdeutung der Mathematik hat er begonnen: im Ringen um ein schwieriges mathematisches Problem ist er mehr und mehr zum Fachwissenschaftler herangereift; mit der Haltung des echten Naturforschers, der in der sachlichen Begründung seiner Ergebnisse (nicht in der heuristischen Form der Untersuchung) nur Tatsachen und auf Tatsachen gestützte logische Schlüsse verwenden will, schließt er ab.

Was an Einzelheiten auf diesem Wege liegen mag, ist ziemlich belanglos; es kommt in diesem Falle nur auf die Hauptlinie an, die uns zeigt, daß und wie der CUSANER aus der mittelalterlichen Denkweise hineinführt in die Haltung der Renaissancemenschen — auch auf mathematischem Gebiet. Es mag sein, daß dieser Prozeß merklich beeinflußt ist durch den Leidensweg, den der Bischof von Brixen von den verheißungsvollen Anfängen seiner Reformversuche bis zum bittern Ende des Jahres 1458 gehen mußte. Der Zug zum Rationalen ist freilich auch ein Kennzeichen des voranschreitenden Alters, das die stürmische Phantasie der Jugendjahre langsam dämpft. Diese Veränderung in der allgemeinen geistigen Haltung des CUSANERS wird schrittweise vorbereitet durch die Art, wie er sich mit den Einzelheiten auseinandersetzt. In den Transmutationes geometricae glaubt er das große Problem gemeistert z u haben, und das durch eine geometrische Konstruktion, die im speziellen Fall des Dreiecks sehr einfach ist, nicht aber am allgemeinen regelmäßigen Vieleck. In den Complementa arithmetica spricht er aus, daß es ihm in erster Linie auf eine möglichst einfache rationale Darstellung von $r$ aus r. und $r_n$ ankommt; aber wie das im einzelnen geht, sieht er noch nicht klar, sondern nur wie im Nebel. In der Quadratura circuli ist ihm seiner Meinung nach der große Wurf gelungen; aber unter dem Eindruck der Fachkritik muß er nach Abschluß des ersten Buches der Complementa mathematica zugeben, daß sich die behauptete Proportionalität zwischen $f-f_n$ und $r_n-{\rho }_n$ nicht erweisen läßt. Vergeblich häuft er Versuch auf Versuch: er fühlt es selbst, daß mit den gegebenen komplizierten Regeln nichts zu gewinnen ist. Der matte Abschluß des zweiten Buches der Complementa mathematica in der ursprünglichen Fassung ist nicht nur das Anzeichen geistiger Erschöpfung, sondern ebensosehr die Folge der ihn quälenden inneren Unsicherheit, und der fehlende Schluß in der letzten Fassung der Complementa mathematica drückt wohl das Wissen u m die Mängel des Vorgebrachten noch etwas deutlicher aus. Zufriedenstellen kann einzig und allein eine einfache und umfassende Regel. Sie kristallisiert sich nur ganz langsam heraus: in der Caesarea quadratura an einem Spezialfall und erst in der Perfectio mathematica in der allgemeinen Fassung.

Das Allerinteressanteste ist die Tatsache, daß die Regel der Perfectio mathematica — umgeschrieben in die Form $r\approx \frac{1}{3}(2r_n+{\rho }_n)$ — völlig gleichwertig ist mit dem Ansatz aus der Quadratura circuli, ja schon mit dem Versuch in den Complementa arithmetica. Von diesem Standpunkt aus gesehen, läßt sich nun die einheitliche Linie in der Auffassung des CUSANERS ganz deutlich verfolgen. In den Complementa arithmetica soll $r$ und $\lambda$ bestimmt werden aus der Anwendung der Beziehung $r\approx r_n-(\lambda -1)(r_n-{\rho }_n)$. Das geschieht unzweckmäßigerweise aus zwei verschiedenen, viel zu nahe beieinander liegenden Werten von $n$, und so kommt noch gar nicht richtig zutage, daß $\lambda$ kaum von dem Wert abweicht. In der Quadratura cireuli und in den von ihr abhängigen Complementa mathematica wird aus der Proportionalität von $f-f_n$ mit $r_n-{\rho }_n$ die Beziehung $r\approx {\rho }_n+\lambda (R_n-{\rho }_n)$ entnommen; ja, gelegentlich des indirekten Beweisverfahrens wird sogar der Wert $\lambda =\frac{2}{3}$ ausführlich diskutiert, aber nicht in seiner Eigenschaft als der richtige Näherungswert, sondern nur als Beispiel für die angenommene Konstanz von $\lambda$. Erst i n der Perfectio mathematica sieht der CUSANER gänzlich von der unzweckmäßigen Verbindung zweier Vielecke ab und geht von einem einzigen aus, und jetzt vermag er seine Regel sogleich in der bestmöglichen Gestalt auszusprechen.

Wir sind sicher, daß sich der CUSANER des Zusammenhangs zwischen seinen beiden Regeln gar nicht bewußt geworden ist. Dieser Zusammenhang drückt sich in dem Umstand aus, daß $\frac{f-f_n}{r_n-{\rho }_n}=\frac{u}{2}\cdot \frac{r-{\rho }_n}{r_n-{\rho }_n}$ nur wenig kleiner ist als $\frac{u}{3}$ und mit wachsendem $n$ sehr rasch von unten her gegen diesen Wert hin konvergiert. Aus diesem Grunde ist die Verwendung zweier verschiedener endlicher Werte von $n$ so sehr viel unzweckmäßiger als das Zusammennehmen eines endlichen Wertes mit dem Wert $n=\mathrm{\infty }$. Für den Kardinal ist die Regel der Perfectio mathematica etwas anderes als die der Complementa mathematica, und deshalb sucht er sie auch auf anderm Wege zu begründen. Dieser Fall von Bewußtseinsenge bei einer so reich begabten Persönlichkeit erweckt unser psychologisches Interesse. Er zeigt uns, wie das menschliche Denken auch dort, wo ihm die letzte Klarheit verschlossen bleibt, wenigstens unbewußt infolge der individuellen Eigenart an der einmal eingeschlagenen Gedankenbahn festhält. Es gibt zahlreiche Beispiele für diese wohlbekannte Tatsache; das vorliegende ist besonders schön in den Einzelheiten näher zu verfolgen.

Wer Gedanken nach ihrer Fruchtbarkeit und Wirksamkeit zu werten vermag und nicht nur nach der Schärfe der Formulierung oder der Güte der Einzelausführung, der muß zugestehen, daß in dem Ringen des genialen Laien um die mathematische Wahrheit etwas Großartiges und auch menschlich Bezwingendes gelegen ist, mag es ihm nun gelungen sein, das ursprünglich erstrebte Ziel zu erreichen oder nicht. Daher ist die Kritik REGIOMONTANS an den ihm zugänglich gewordenen Schriften des Kardinals bei aller Berechtigung im einzelnen doch als Ganzes ungerechtfertigt und kleinlich; sie beschränkt sich nach langwierigen und mühsamen Rechnungen auf die durchaus nicht von Animosität freie Feststellung, daß dem CUSANER nur recht unbefriedigende Näherungen gelungen seien. Daß hinter den Versuchen des Kardinals viel mehr steckt, nämlich ein funktionell gemeinter Ansatz, das konnte nicht einmal REGIOMONTAN erkennen, der doch weitaus der bedeutendste Fachmathematiker des Jahrhunderts war!

Die Früchte sollten erst reifen, als die naturwissenschaftliche Betrachtungsweise von einer größeren Anzahl schöpferischer und kritischer Denker verständnisvoll aufgenommen worden war. Wir wollen hier nicht sprechen vom Weiterwirken der infinitesimalen Vorstellungen des CUSANERS; denn die Einzelheiten dieses Vorgangs sind noch nicht mit der nötigen Genauigkeit feststellbar. Wir beziehen uns im folgenden ausschließlich auf die systematische Fortbildung der Kreisnäherungen, so weit sich diese unmittelbar an den CUSANER anschließt. Hinsichtlich der Ausrundung in den Transmutationes geometricae mag es genügen, auf die zahlreichen späteren Erwähnungen in der Fachliteratur hinzuweisen: etwas Neues ist hieraus nicht entstanden. Diese Angelegenheit hatte also nur episodischen Charakter.

Abb. 7.

Ganz anders steht es mit der Regel $r\approx \frac{1}{3}(2r_n+{\rho }_n)$. Der erste, der diese Regel genauer untersucht hat, war VIÈTE. Da seine Studie völlig in Vergessenheit geraten zu sein scheint, mag das Wesentliche kurz in moderner Schreibweise angedeutet werden. Wir gehen aus von einem Kreissektor $AOS$ des Halbmessers $a$ mit dem Öffnungswinkel $\alpha$ und konstruieren den Kreis vom Durchmesser $a:\sin \alpha$, welcher $OA$ in $A$ berührt: dieser Kreis hat in Polarkoordinaten (Ursprung $O$, $X$-Achse $OA$) die Gleichung $r=a\cdot \frac{\sin \phi }{\sin \alpha }$ sind Dann wird die ARCHIMEDISCHE Spiralo gozeichnet, welche die $X$-Achse in $O$ berührt und durch $S$ hindurchgeht. Ihre Gleichung in Polarkoordinaten ist $r=a\cdot \frac{\phi }{\alpha }$. Ist nun $O<\phi <\alpha <\frac{\pi }{2^{,}}$, so ist $\frac{\sin \alpha }{\alpha }<\frac{\sin \phi }{\phi }<1$; also bleibt die Spirale.zwischen $O$ und $S$ gänzlich innerhalb des Kreissegments; das von ihr erzeugte Spiralensegment $\frac{a^2\alpha }{6}$ ist kleiner als das Kreissegment ${\underbrace{4{\sin }^2\alpha }}_{2(1-\cos 2\alpha )}\cdot \frac{2\alpha -\sin 2\alpha }{2}$ ergibt sich nach Erweitern mit $\frac{12(1-\cos 2\alpha )}{{\alpha }^2}$ due Ungleichung $2\alpha \{1-\cos 2\alpha \}<3\{2\alpha -\sin 2\alpha \}$ oder $\frac{\sin 2\alpha }{2\alpha }<\frac{2+\cos 2\alpha }{3}$.

Nun betrachten wir das rechtwinklige Dreieck MST, dessen einer Winkel $2\alpha$ ist, als das charakteristische Dreieck eines regelmäßigen Vielecks im Kreis um $M$ durch $S$, dessen zugehöriger Inkreishalbmesser ${\rho }_n=\frac{\alpha \cdot \cos 2\alpha }{2\sin \alpha }$ und dessen Umkreishalbmesser $r_n=\frac{\alpha }{2\sin \alpha }$ ist. Die Halbseite $\frac{\alpha \sin 2\alpha }{2\sin \alpha }$ swa Vielecks läßt sich als Bogen $r\cdot 2\alpha$ des umfangsgleichen Kreises auffassen, so daß $r=\frac{a\cdot \sin 2\alpha }{2\alpha \cdot 2\sin \alpha }$ wird. Indem wir die Ungleichung mit $\frac{a}{2\sin \alpha }$ erweitern, erhalten wir also $r<\frac{1}{3}(2r_n+{\rho }_n)$. Damit ist gezeigt, daß die CUSANISCHE Näherung niemals den isoperimetrischen Halbmesser selbst, sondern immer nur eine obere Schranke liefert.

Von dieser Feststellung VIÈTES hat SNELL in seinem Cyclometricus einen sehr zweckmäßigen Gebrauch gemacht. Ihm geht es darum, die bisher immer nur nach der ARCHIMEDISCHN Methode vollzogene Berechnung des Kreisinhaltes sinnvoll zu verkürzen. Das gelingt ihm unter Verwendung einer Regel, die wir in moderner Schreibweise so ausdrücken können: $\frac{3}{2+\cos \phi }<\frac{\phi }{\sin \phi }<\frac{1+2\cos \phi }{3\cos \phi }$. Due untere Schranke stimmt mit der Vorschrift der Perfectio mathematica überein, die obere ist neu hinzugefügt. SNELL steht auf dem Standpunkt, daß dem elementaren Gegenstand ein höheres Hilfsmittel, wie die Spiralenquadratur, nicht angemessen ist. Und deshalb versucht er einen elementaren Beweis zu geben, aber ohne Erfolg.

Erst HUYGENS hat den SNELLSCHEN Gedanken richtig durchzuführen vermocht. Er verwendet als untere Schranke die etwas ungenauere $\frac{1}{3}(4-\cos \phi )$, drückt die in Frage stehenden Beziehungen als Flächensätze aus und nähert das Kreissegment durch Folgen ein- und umbeschriebener Dreiecke an. Sein Verfahren ist offenkundig durch VIÈTE beeinflußt; nur wird jetzt an Stelle der Spiralenquadratur die gleichwertige Parabelquadratur gesetzt. Darnach ist das Ganze sorgfältig hinter direkten geometrischen Betrachtungen verborgen. Das eingeschlagene Verfahren läßt sich ganz leicht im Zusammenhang mit der Parabelquadratur erklären, wenn man nämlich das anzunähernde Kreissegment je durch ein sehnengleiches einbeschriebenes und umbeschriebenes Parabelsegment ersetzt. Die eine Parabel berührt den Kreis in der Bogenmitte von innen, die andere in den Endpunkten der Sehne von außen.

Nicht weniger klar durchschaut GREGORY den Sachverhalt. Er bedient sich eines methodisch völlig neuen Beweisverfahrens, das sich auf die Verwendung einbeschriebener und umbeschriebener regelmäßiger Vielecke von den Eckenzahlen $n$ und $2_n$ stützt. Sind $f_n$, $f_{2n}$ die Flachen der einbeschriebenen und $F_n$, $F_{2n}$ die der umbeschriebenen Vielecke, so ist $f_{2n}$ an das geometrische Mittel zwischen $f_n$ und $F_n$, $F_{2n}$ das harmonische Mittel zwischen $f_{2n}$ und $F_n$, also $f_{2n}^2=f_n{F}_n$ und $\frac{2}{F_{2n}}=\frac{1}{f_{2n}}+\frac{1}{F_n}$. Durch fortgesetzte Iteration gewinnt GREGORY hieraus den Grenzwert $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_n=f$, und das ist die gesuchte Kreisfläche. Das Interessanteste an dieser Methode ist, daß man passende Parameter einführen kann, durch die GREGORY den Übergang von $f_n$, $F_n$ zu $f_{2n}$, $F_{2n}$ rational auszudrücken vermag. Das Verfahren ist übrigens verallgemeinerungsfähig und liefert den gedanklich einfachsten Weg zur Entwicklung jener berühmten rationalen Näherungsformeln für die Sektorfläche des Mittelpunktkegelschnittes, die GREGORY im Spätherbst 1668 mitgeteilt hat. LEIBNIZ, der sich lange vergeblich um einen Beweis bemüht hatte, hielt sie für so bedeutend, daß er gern seine allgemeine Quadraturmethode um eine Herleitung gegeben hätte.

Mit dem Gedankengang GREGORYS verwandt ist die Methode von DESCARTES, um den isoperimetrischen Halbmesser $r$ aus $r_n$ und ${\rho }_n$ zu bestimmen. Es handelt sich um eine geometrische Konstruktion, aus der wir erkennen können, daß eine schrittweise Annäherung unter Verwendung der leicht verifizierbaren Formeln ${\rho }_{2n}=\frac{1}{2}({\rho }_n+r_n)$, $r_{2n}=\sqrt{{\rho }_{2n}{r}_n}$ vollzogen wurde. Später hat EULER diese Methode näher ausgebaut. HUYGENS, der einen Teil der mathematischen Papiere von DESCARTES zu Gesicht bekommen hatte, spielt schon 1654 auf Studien des Philosophen zur Kreisquadratur an, jedoch ohne Mitteilung von Einzelheiten. Wir glauben nicht, daß GREGORY auf diesem oder einem anderen Wege Genaueres über die CARTESISCHE Methode erfahren konnte. Schließlich wäre zu sagen, daß die rechnerisch noch vorteilhaftere flächengleiche Ausrundung, auf die in den Complementa mathematica hingewiesen wird, bei LEGENDRE wieder auftritt. Jetzt ist vermittels ${\rho }_{2n}=\sqrt{\frac{1}{2}{\rho }_n(r_n+{\rho }_n)}$, $r_{2n}=\sqrt{r_n{\rho }_n}$ zu rechnen.

Aus diesem kurzen Überblick läßt sich entnehmen, wieviel Wertvolles hinter den Gedanken des CUSANERS steckt. Abschließend wollen wir zeigen, wie einfach sich die Hauptregel $r<\frac{1}{2}(2r_n+{\rho }_n)$ herleiten läßt, wenn man die wirksamste der später entwickelten Methoden heranzieht, nämlich das rationalisierende Verfahren von GREGORY. Es sei $\lambda$ ein positiver Proportionalitätsfaktor; mit $p$, $q$ seien zwei positive Parameter bezeichnet, die der Bedingung $p^2<q^2<2p^2$ genügen sollen. Setzen wir $\left\{\begin{array}{c}\lambda {\rho }_n=2p^2-q^2\\ \lambda r_n=q^2\end{array}\right\}$ in die oben erwähnten CARTESISCHEN Formeln ein, so erhalten wir $\left\{\begin{array}{c}\lambda {\rho }_{2n}=p^2\\ \lambda r_{2n}=pq\end{array}\right\}$ . Jetzt ist $\frac{r_{2n}-{\rho }_{2n}}{r_n-{\rho }_n}=\frac{p}{2(p+q)}<\frac{1}{4}$, also nimmt die Differenz $r_n-{\rho }_n$ bei Durchführung des Verfahrens unbeschränkt ab. Andererseits ist $\frac{2r_{2n}+{\rho }_{2n}}{2r_n+{\rho }_n}=\frac{p^2+2pq}{2p^2+{\rho }^2}=1-\frac{(p-q{)}^2}{2p^2+q^2}<1$; der Ausdruck $\frac{1}{3}(2r_n+{\rho }_n)$ nimmt bei fortwährender Verdoppelung der Eckenzahl monoton ab, bleibt jedoch stets größer als der Halbmesser $r$ des umfangsgleichen Kreises. Durch sinngemäße Anwendung des hier Angedeuteten lassen sich alle die vom CUSANER ausgesprochenen Sätze über umfangsgleiche Figuren, aber auch die über einbeschriebene und umbeschriebene regelmäßige Vielecke am Kreise, soweit sie überhaupt richtig sind, in wenigen Zeilen erweisen und weitgehend verschärfen.

Mit diesen rein fachlichen Ergänzungen zu unserem Thema, die auf einen besonders einfachen und elementaren Weg zur sachlichen Aufklärung der wichtigsten der berührten mathematischen Zusammenhänge hinweisen sollten, mag es sein Bewenden haben. Unser Ziel war ein anderes: wir wollten in der vorstehenden Einführung in ganz kurzen Zügen auf die historischen Zusammenhänge und ihre wissenschaftsgeschichtliche Bedeutung eingehen, um dem Leser durch einen allgemeinen Überblick das Verständnis für die feierlichen Worte des unermüdlich mit einem spröden Gegenstand ringenden Denkers und Forschers zu erleichtern, der sich als Laie auf diesem Gebiete seines eigenen Nichtwissens wohlbewußt war.