Werk:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/Progressio naturalis.

3.2.4. Progressio naturalis.

Der (mutmaßliche) Ursprung der Zahlenreihe

Die Ausfaltung der Dinge aus dem göttlichen Ur-Einen und die damit einhergehende Durchmischung von ‚Einheit‘ und ‚Andersheit‘ bestimmt nicht nur die geistigen Vermögen der mens, sie spiegelt sich auch in ihr selbst wieder. Die progressio naturalis, die durch die ratio vollzogene Entwicklung der natürlichen Zahlenreihe aus der mathematischen Einheit der ‚1‘, ist dieses Spiegelbild.

Nikolaus greift damit auf einen der zentralen Gedanken aus De docta ignorantia zurück, wo die Ausfaltung der mathemata, also der Zahlen und geometrischen Figuren aus dem schöpferischen Vermögen der ratio, bereits verhandelt wird. Diesmal aber beschränkt er sich (zumindest zunächst) allein auf die reine

Zahl:

Symbolice [...] de rationalibus numeris nostrae mentis ad reales ineffabiles divinae mentes coniecturantes, dicimus‚ in animo conditoris primum rerum exemplar ‘ ipsum numerum, uti similitudinarii mundi numerus a nostra ratione exurgens.

Deutlich lässt die Formulierung von der Zahl als erstes Urbild der Dinge im Geiste des Schöpfers Anklänge an das Konzept der Idealzahl aus dem platonischen Politikos erkennen. Die Ausfaltung der natürlichen Reihe aus dem unum commune, als das die mathematische ‚Eins‘ in De docta ignorantia eingeführt wird, vollzieht sich in der Schrift Über die Mutmaßungen in der Tetraktys, der Vierzahl. Nikolaus macht sich dabei eine elementare arithmetische Eigenschaft der ersten vier Glieder der Zahlenreihe zunutze:

Multiplicatio enim binarii quaternarium efficit, sicut additio unitatis ad ternarium; quaternarius igitur ordinatissime ex his procedit, et in quibuscumque quattuor aliis numeris talis reperiri nequit.

Die ‚4‘ fasst also durch ihre zweifache Ableitung, einerseits aus dem theologisch bestimmten Uni-Trinum, der Dreieinheit (1 + 3 = 4), andererseits der elementaren Zweiheit (2 + 2 = 2 · 2 = 4), ‚Einheit‘ und ‚Andersheit‘, den gesamten symbolischen Gehalt des Tetraktys und der ihn konstituierenden Zahlen zusammen. Diese grundlegenden rechnerischen Zusammenhänge will Nikolaus allerdings nicht als abschließendes Diktum, sondern lediglich als Hinweis auf die tatsächliche Ordnung der progressio naturalis durch die Dichotomie von unitas und alteritas verstanden wissen. Denn die Zahl ist nicht wesentlich Größe (quantitas). Es gilt erst in zweiter Linie (als quantitative, nicht wesenhafte Bestimmung), dass 4 = 2 + 2 = 2 · 2. Die Möglichkeit der Konstruktion gerader Zahlen aus zwei gleichen Größen ist für Nikolaus dabei eine lediglich ‚scheinbare‘. Denn in erster Linie ist jede Zahl als aus der Koinzidenz von ‚Geradem‘ und ‚Ungeradem‘, den mathematischen Modi von ‚Einheit‘ und ‚Andersheit‘, zu begreifen. Für die ‚4‘ bedeutet das: Quaternarius ex ternario impari et quaternario pari compositus est. Es wird später noch zu klären sein, wie dieser auf den ersten Blick recht merkwürdige Gedanke zu verstehen ist. Als Ergebnis kann man aber schon jetzt festhalten: Zur Erkenntnis der alteritas, die in jeder Zahl angelegt ist und sie überhaupt erst per rationem fassbar macht, bedarf es zwingend der Betrachtung bzw. Vorstellung verschiedener Dinge. Dies ist natürlich bei der Vorstellung der ‚4‘ als aus zwei ‚Zweiern‘ zusammengesetzter Zahl nicht der Fall. Die Zahl kann also nicht aus Gleichem zusammengesetzt sein:

Omnis igitur numerus, compositus ex oppositis differentibus atque ad invicem proportionabiliter se habentibus, taliter exsistit, quo illa sunt ipse.

Das ist nun geradezu schulmäßig argumentiert. Die Vorstellung der heterogenen Zusammensetzung der Zahl stammt wohl (direkt oder vermittelt) aus den Boëthianischen Institutiones arithmeticae. Dort heißt es:

Constat [...], quoniam coniunctus est numerus, neque ex similibus esse coniunctum neque ex his, quae ad se invicem nulla ratione proportionis haerent.

De coniecturis steht noch ganz im Zeichen jenes Drangs nach Originalitätssicherung, der auch die Quellenfrage für De docta ignorantia so schwierig macht. So wird die Boëthianische Provenienz des numerus compositus ex oppositis differentibus nicht expressis verbis verdeutlicht. Zu Beginn der 1460er Jahre, in der Schrift über das Globusspiel (De ludo globi), wird Nikolaus den ganzen Gedankengang aber noch einmal in verallgemeinerter Form vorbringen und es dabei nicht versäumen, seine prominente Quelle auch zu benennen.

Wahrscheinlich ist bei der Entwicklung des dichotomischen Zahlbegriffs für Nikolaus auch die jüngere neuplatonisch-mystische Schule maßgeblich gewesen. Es ist Heymericus de Campo, Nikolaus’ Kölner Mentor, der den entscheidenden Hinweis liefert. In dessen Prinzipiensammlung, von der Nikolaus eine Abschrift besaß, finden wir die folgende kongeniale Anmerkung:

Unita quinaria est actus formalis quaternarii resultans ex victoria proporcionis inequalis supra equalem propter dominium potentie super actum quod relucet.

Auch Heymeric versteht also die Zahl als aus ‚Gleichem‘ und ‚Ungleichem‘, respektive ‚Einheit‘ und ‚Andersheit‘ zusammengesetzt. Was aber ihre formale Disposition durch actus und potentia betrifft, so geht die cusanische Konzeption andere Wege. Es geht Nikolaus auch hier wieder nicht um eine Unterscheidung von Akt und Potenz in der Wesenheit der Zahl. Im Gegenteil: Alle Zahlen sind für ihn stets zugleich verwirklicht (compositum simul). Nikolaus verbleibt deshalb in seiner eigenen, differenzierteren Terminologie von explicatio, implicatio, unitas und alteritas, die gegenüber dem auf das Sein ausgerichteten Akt-Potenz-Denken die Erkenntnisvorgänge in den Vordergrund rückt. Auch hier ist die Wirkung Platons spürbar. In der Politeia sind die entscheidenden Elemente des Gedankengangs aus De coniecturis über die Bestimmung der Zahl als einer kontrakten Gegensätzlichkeit bereits in Grundzügen versammelt.

Auch Platon sieht in der ‚Eins‘, insofern sie unmittelbar im Geiste, also losgelöst von den Erkenntnisobjekten der sinnlichen Erfahrung betrachtet wird, zugleich auch immer ihr Gegenteil, das (unbestimmte) ‚Viele‘ (πολλά) angelegt. Und auch bei ihm wird, genau wie bei Nikolaus, das diskursive Denken erst durch ein Koinzidenzereignis angestoßen:

Wenn die Einheit durch das Gesicht oder durch irgend einen anderen Sinn in voller Reinheit aufgefasst wird, so würde ihr keine Zugkraft nach dem Sein hin beiwohnen […], wenn aber die Sinnesanschauung immer auch etwas ihr (der Einheit) Gegenteiliges zeigt, so dass sie sich ebenso sehr als Nicht-Eines wie als Eines darstellt, dann müsste die Seele doch nach einem Richter ausschauen, denn es würden sich ihr dann unabweisbare Zweifel aufdrängen und sie nötigen unter Aufbietung ihrer eigenen Überlegungskraft nachzuforschen und zu fragen, was denn eigentlich die Eins an und für sich ist; und so würde denn die auf die Eins bezügliche Wissenschaft zu dem gehören, was die Seele hinleitet und umwendet zu der Betrachtung des Seienden.

Grundbedingung dieser Überlegung ist, dass die ‚Eins‘ die Gesamtheit der Zahlen bereits zumindest der Möglichkeit nach einfaltet, also genau das, was auch Nikolaus zur Essenz der ‚Eins‘ erklärt. Dass die epistemologische Dichotomie zwischen ‚Einheit‘ und ‚Vielheit‘ Platon zur Ideenlehre, Nikolaus aber in eine ganz andere Richtung, nämlich zur Einheitsmetaphysik führt, ist hier zunächst nicht von Belang. Entscheidend ist, dass sich Nikolaus in seinen Ausführungen zu den epistemologischen Implikationen der zahlenmäßigen ‚Eins‘ voll im Einklang mit der platonischen Lehrtradition befindet. Die ‚4‘ stellt nun für Nikolaus zugleich auch einen gewissen Abschluss dar, denn in der Tetraktys ist für ihn die Keimzelle der gesamten Zahlenreihe bereits angelegt, denn aus der einmaligen Addition je verschiedener Elemente des Quaternars lassen sich, wie leicht zu sehen ist, alle nachfolgenden Zahlen bis zur ‚10‘ gewinnen:

3 + 2 = 5

4 + 2 = 6

4 + 3 = 7

4 + 3 + 1 = 8

4 + 3 + 2 = 9

4 + 3 + 2 + 1 = 10

So schreitet die ratio über die vier ersten Zahlen der progressio naturalis von der ‚1‘, die schon in De docta ignorantia nicht selbst Zahl, sondern die erste mathematische Einheit ist, über den Tetraktys durch Addition zur nächst niedrigeren Einheitsstufe des Zahlenkörpers herab, der ‚10‘. Die ‚10‘ wird nun ihrerseits zur Einheit eines neuen Ausfaltungsprozesses:

10 + 20 + 30 + 40 = 100

Die vierte und letzte Einheit der progressio naturalis wird nun analog gewonnen durch:

100 + 200 + 300 +400 = 1000

Als Elemente (elementa) bezeichnet Nikolaus die so gewonnenen Einheiten, denn jede beliebige Zahl soll auf sie rückführbar sein. Die treibende Kraft ist das schöpferische Vermögen der ratio. So steht dem dreieinigen Gott als Schöpfer der Welt in De coniecturis die ‚viereinige‘ ratio als Entwicklungskeim der natürlichen Zahlenreihe gegenüber. Dabei ist das logisch-mathematische Denken allerdings selbst ein vermitteltes, dem Menschen beigegebenes Vermögen, so dass die kreativen Prozesse innerhalb des rationalen Denkens lediglich Nachahmungen des eigentlichen göttlichen Schöpfungsaktes sind. Mit der dreifachen Wiederholung des Viererfortschritts sind für Nikolaus nun die für die natürliche Zahlenreihe konstitutiven Einheiten bereits gefunden:

[…] nec ultra solidum denariae radices, millenarium fit repetitionis variatio. Cum hic progressione quaternaria, triniter reperita, denario exsurgat ordine […].

Wie ist das zu verstehen? In rein quantitativer Hinsicht kann die natürliche Zahlenreihe ja nicht als abgeschlossen gedacht werden und das wird von Nikolaus auch gar nicht bestritten:

[...] Cum itaque omni dabili numero per unitatis virtutem maior absque statu haberi possit, per solius unius potentiam inexhauribilem constat omnipotentem eam esse.

Dass der Zählende zu einem schlechthin ‚Größten‘ nicht gelangen kann, muss gemäß den bereits früher in De docta ignorantia bestimmten Anschauungsmodi der ratio, also aufgrund der eingeschränkten Perspektive des rein quantisierend unterscheidenden Denkens, auch für die natürliche Zahlenreihe gelten. Solange die Zahl allein als ‚vervielfachte Einheit‘ begriffen wird, können die verschiedenen Zahlen zudem nichts weiter als reine Größenunterschiede indizieren. Damit ist aber für die Einheitsmetaphysik, auf die Nikolaus abzielt, nichts gewonnen. Damit sich die mens ihrer schöpferischen Kraft und damit ihrer selbst vergewissern kann, muss die in der Verhältnislosigkeit des Unendlichen begründete wesenhafte Unbestimmtheit ihrer ureigentlichen Schöpfung, der Zahl, aufgehoben werden.

Nur wenn die Zahlenreihe in irgendeiner Weise eingeschränkt wird, kann die endliche mens sie überhaupt für den Aufstieg in höhere Erkenntnisbereiche urbar machen. Die mathemata müssen deshalb auf die ihr zugrundliegenden Ordnungsprinzipien, und das heißt im Hinblick auf die Zahl bei Nikolaus, auf die progressive Relation auf der Grundlage des Tetraktys zurückgeführt werden, damit auch ihre qualitative Bestimmung erkennbar werden kann: Quod autem ex duobus binariis combinatus videtur, non ad quaternarii essentiam, sed quantitatem referri debet.

Im Überstieg zu den höheren Einheiten der Vier- und der aus ihr abgeleiteten Zehnzahl, die ihrerseits die zwei untergeordneten Einheiten von 100 und 1000 hervorbringt, liegt dann zugleich ein höheres Maß an Wahrheit.

Die Notwendigkeit zur qualitativen Beschränkung der Zahlenreihe ist nun evident. Warum genau aber führt für Nikolaus über den Tausender hinaus der Prozess des Zählens zu keinen wesentlich neuen Gehalten mehr? Die Antwort erschließt sich über das geometrische Analogon. Die einzelnen Einheitsstufen der Zahlengenese werden geometrisch gedeutet: Prima sit unitas simplicissimi puncti, secunda simplicis lineae, tertia simplicis superficiei, quarta simplicis corporis.

Jetzt erst, im geometrischen Übertrag wird klar, warum Nikolaus die vier Einheiten 1, 10, 100 und 1000 als elementa bezeichnet: Es ist sicherlich als ein Verweis auf die euklidischen στοιχεία (Elemente) zu verstehen. Die den vier zahlenhaften Einheiten entsprechenden Figuren sind selbst elementar und sie sind es dann auch, die die gesamte Geometrie begründen:

Duo igitur puncta linea continuantur in invicem, tria autem puncta superficie simpliciori, quae tribus clauditur lineis, quattuor vero puncta corpore in invicem mutua constrictione firmantur. Nec potest in quinario haec haberi conexio, ut quilibet in quolibet innectatur, ut in omnibus poteris figuris experiri.

In der Gesamtkonzeption der mathematischen Einheiten lassen sich also Geometrie und progressio naturalis einfach schematisieren:

Der 3x3-fache Ausfaltungsprozess der natürlichen Zahlenreihe nach De coniecturis

Was also über die Vierzahl hinausgeht, ist zusammengesetzt. Dabei ist das Tetraeder, der erste unter den platonischen Körpern, die Basis aller weiteren räumlichen Formen. Er kann durch seine vier kennzeichnenden Dreiecksflächen, bzw. die vier kennzeichnenden Ecken, vollständig beschrieben werden. Man erkennt sogleich den Rückverweis auf die pyramides der figura paradigmatica. Im Tetraeder wirkt die Vierzahl also auf ganz ähnliche Weise, wie in der Tetraktys der natürlichen Zahlenreihe – er ist der erste unter allen Körpern: Omne enim quaternarium punctorum egrediens non primum corpus solidum, sed ex primis compositus esse constat [...]. Die Tetraktys markiert also auch einen formalen Abschluss in der Entwicklung der geometrischen Figuren. Mit der ‚fünf’ aber wird der Bereich des Endlichen und Bestimmten in jeder Hinsicht überschritten. Auch hier spielt De coniecturis wohl auf konkrete mathematische Problemstellungen an. Denn mit der Fünfzahl ist in der Geometrie auch die Irrationalitätsfrage verknüpft, und das spätestens seit dem Pythagoreer Hippasos von Metapont (5 Jhdt. v. Chr.). In seinen Untersuchungen am regelmäßigen Fünfeck taucht bereits das Verfahren der Wechselwegnahme auf, das als Euklidischer Algorithmus in die Mathematikgeschichte eingegangen ist.

Zur Iteration am regelmäßigen Fünfeck nach: Tropfke: Elementarmathematik, S. 132

Dadurch wird klar, dass Seite und Diagonale des regelmäßigen Fünfecks inkommensurable Größen sind. Das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonale wird bestimmt zu $\frac{d}{2}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5}$, dem Verhältnis des Goldenen Schnitts.

In Dreieck und Tetraeder sind alle Punkte miteinander direkt verbunden. Nikolaus betont diese Eigenschaft besonders, denn sie bestimmt das Dreieck als Ursprung der Vielecke, das Tetraeder als einfachsten Körper. Das Pentagon ist dagegen eine ‚dynamische‘ Figur, da sie nur im unendlichen Iterationsprozess vollständig bestimmt werden kann. Im Überschreiten der Vierzahl gerät das Denken bei Nikolaus analog unweigerlich in ungeordnete Bewegung, beginnt der Vorgang des reinen, unbestimmten Zählens:

Quattuor primorum elementorum in elementatum primum progressio imperfectissimum tale eius regionis ens constituit, ut eius unitas in fluxibili atque continua mutabilitate versetur.

Wie sind nun diese Ausweichungen vom Bereich der progressio naturalis auf die Geometrie zu verstehen? Denkt Nikolaus etwa daran, die Grundsätze seiner Zahlentheorie aus der Geometrie, über die geometrischen Einheiten von Punkt, Linie, Fläche und Körper zu begründen? Das wäre immerhin konsequent pythagoreisch gedacht und würde sich gut mit Nikolaus’ Positionen aus De docta ignorantia, wo den geometrischen Figuren in Hinblick auf die Symboltheologie ja deutlich der Vorrang gegenüber der Zahl eingeräumt wird, in Einklang bringen lassen. Tatsächlich aber muss es sich anders verhalten. Man muss den Text hier ganz genau nehmen: Die Umdeutung der zahlenhaften Einheitsstufen in geometrische Formen wird ja konjunktivisch vollzogen, statt eines ‚est‘ setzt Nikolaus an oben zitierter Textstelle ganz bewusst ‚sit‘. Bei allem Drang nach struktureller Vereinheitlichung der mathemata hütet er sich vor beliebiger Gleichmacherei. Geometrie und Arithmetik bleiben wohl geschiedene Denkbereiche. Die Zahlenlehre wird nicht zur geometrischen Hilfswissenschaft degradiert. Die Zahlen werden also keineswegs nach dem Vorbild der geometrischen Formen und ihrer Beziehungen untereinander hervorgebracht, sie sind diesen nicht nachgeordnet. Vielmehr wirken in Geometrie und Arithmetik schlicht die gleichen konstitutiven Prinzipien. Nur deshalb können sich die Formen und Symbole beider mathematischer Teilbereiche gegenseitig vertreten.

Das Ausweichen von der Betrachtung der reinen Zahlen auf die geometrischen Figuren hat seinen Grund hier wohl vor allem in der hohen Anschaulichkeit des Geometrischen, in dem sich die ‚Andersheit‘ ‚in einem Blick‘ offenbart. Diesen Grad der Anschaulichkeit versucht Nikolaus nun auch ohne Zuhilfenahme der geometrischen Substitution zu erreichen. Er will dem Leser ein passendes Schaubild geben, um zu zeigen, dass die Vierzahl, die Ausfaltung der Einheit, die

Macht für jede Zahl enthält:

Schaubild zur progressio naturalis aus De coniecturis nach: h3, lib. 1, cap. 3, n 11

Das Schema bedarf wohl keiner weiteren inhaltlichen Erläuterung, es fasst schlicht noch einmal die gesamte cusanische Konzeption der Zahlengenese zusammen.

Auffallend ist aber, dass sich Nikolaus mit seinem Schaubild durchaus an praktischen Vorbildern orientiert haben könnte. Die Anordnung der tetraktysschen Entwicklungsstufen in Spalten und Zeilen mit ihrer besonderen Hervorhebung der Zehnerpotenzen erinnert allgemein an die Kolumnenstruktur mittelalterlicher Rechenbretter, insbesondere aber an die Beschreibung und die zugehörigen bildlichen Darstellungen des Abakus in den mittelalterlichen Fassungen der ars geometriae des Pseudo-Boëthius, wenngleich sich schwer sagen lässt, ob Nikolaus mit seinem Schaubild auch eine praktische Anwendbarkeit im Sinn hatte. Die Rechenpraktiken der Abazisten mit ihrem Instrumentarium von Rechenschiebern und -tafeln ist Nikolaus aber sicher vertraut gewesen. Immerhin war er nicht nur als Kaufmannssohn und ausgebildeter Jurist in Fragen von Gewerbe und Handel sicher erfahren, sondern hatte zudem einige Zeit in Norditalien, einem entwicklungsgeschichtlichen Kerngebiet der neuen kaufmännischen Mathematik, verbracht. Es spricht deshalb einiges dafür, in unserem Zahlenschaubild mehr zu sehen als ein gänzlich abstraktes Zahlenschema. Man muss sich, um die Bedeutung dieser Verbildlichung richtig zu verstehen, die vorherrschenden Rechenpraktiken des 15. Jahrhunderts vor Augen führen. Zwar hatte das indisch-arabische Ziffernsystem den abendländischen Kulturkreis längst erreicht, hatte aber weder die römische Zahlenschreibweise noch das darauf aufbauende Rechnen mit dem Abakus (also mit Rechenbrettern, -tischen und tüchern) wirklich verdrängt. Zunächst scheint die zögerliche Übernahme des dekadischen Stellenwertsystems erstaunlich, liegen dessen Vorteile doch recht klar auf der Hand. Zudem hatte die neue Schreibweise vergleichsweise früh einen prominenten Fürsprecher. Gerbert de Aurillac, der universal gebildete spätere Papst Silvester II., lernte das ‚neue‘ Ziffernsystem bereits um 970 in der spanischen Westmark kennen und setzte sich stark für die Übernahme der neuen Schreibweise im christlichen Westen ein. Allerdings verwendete Gerbert die indisch-arabischen Ziffern noch im Kontext des traditionellen Abakus-Rechnens – die Vorzüge der neuen Schreibweise konnten sich auf diese Weise natürlich nicht voll entfalten. Zumeist wird deshalb auch einem Anderen zugeschrieben, den neuen Ziffern zum Durchbruch verholfen zu haben: Leonardo von Pisa (Fibonacci) (ca. 1170–ca. 1240), der geniale italienische Kaufmannssohn, verfasst um 1202 seinen berühmten Liber abbaci gänzlich auf der Grundlage der novem figurae indorum und eröffnet damit nicht nur spätmittelalterlichen Wirtschaftswesen neue Möglichkeiten der Buchführung und Bilanzierung, die schließlich prototypisch für die frühneuzeitliche Rechenkunst werden, sondern erschließt dem Abendland bisher nahezu unbekannte oder kaum entwickelte mathematische Teilbereiche. Dabei enthalten der Liber abbaci und die nachfolgenden Schriften (der Liber quadratorum (um 1225) und die Flos) nicht nur fundierte und gut verständliche Anleitungen zur Bruch- und Wurzelrechnung, Zinsberechnungen sowie zur hochentwickelten arabischen Algebra, sondern entwickelt diese Bereiche auch weiter.

Die neue Mathematik, für die Leonardo steht, hatte zunächst vor allem für das im 14. und 15. Jahrhundert wirtschaftlich prosperierende Norditalien Folgen, was sich etwa an den weit verbreiteten Abbakustexten (zumeist eng angeleht an den Liber abbaci) und den vielen Gründungen von scuole d’abbaco, Rechenschulen für die kaufmännische Mathematik, wider. Die unmittelbare Wirkung Fibonaccis auf Schulmathematik und Rechnungswesen darf allerdings nicht überschätzt werden. Gerade das kaufmännische Gewerbe begegnete dem neuen Ziffernsystem mit einiger Skepsis, nicht zuletzt, weil die indisch-arabischen Ziffern im Vergleich zur römischen Schreibweise viel leichter verfälscht werden konnten. Religiöse Vorbehalte dagegen scheinen keine allzu große Rolle gespielt zu haben, wie überhaupt sich der Wissenschaftstransfer aus dem islamischen in den christlichen Kulturraum überraschend schnell und ‚reibungslos‘ vollzog‘. Für den durchschnittlich gebildeten Leser des 15. Jahrhunderts, vor allem für jene, die den transalpinen Kulturkreisen angehörten, blieb der Umgang mit den ‚neuen‘ Ziffern aber noch bis ins 16. Jahrhundert ungewohnt, was sich etwa auch in den Schriften der Rechenmeister widerspiegelt. Noch Adam Ries (1492/93–1559) stellte in seiner einflussreichen Schrift Rechenung auff der linihen und federn von 1522 dem „Rechnen mit der Feder“, also dem schriftlichen Rechnen mit indisch-arabischen Ziffern, noch das klassische „Linienrechnen“, also Anleitungen zum Umgang mit dem Rechenbrett, zur Seite.

Zu Nikolaus’ Lebenszeiten war der Umgang mit den indisch-arabischen Ziffern also längst keine Selbstverständlichkeit und genau dem trägt Nikolaus, dessen, wie Erich Meuthen so treffend bemerkt hat, ausgeprägtes Kaufmannserballenthalben [...] durchschlägt, in De coniecturis (im wahrsten Wortsinne) Rechnung. Der sich darin abzeichnende didaktische Anspruch, das für den Fachmann Selbstverständliche auch dem mathematisch-naturwissenschaftlich weniger Bewanderten in aller Ausführlichkeit darzulegen, wird sich später, in den drei Idiota-Schriften aus dem Jahr 1450, zu einer echten Laienphilosophie auswachsen.

Die Ausführungen zur progressio naturalis sind in Hinblick auf die operativ-arithmetischen Aussagen natürlich nicht bedeutsam. Die drei mal drei Ausfaltungen der zahlenmäßigen Einheiten vollziehen sich über einfachste Rechenwege und bieten zudem kaum etwas, das über die pythagoreisch-neuplatonische Zahlenlehre hinausgeht. Der Sinn hinter der schematischen Darstellung am vertrauten Bild – dem ‚Rechentisch‘ – liegt weniger in der nochmaligen Verdeutlichung von (offensichtlichen) rechnerischen Zusammenhängen, als vielmehr im zusammenfassenden Überblicken eines neuen Zeichensatzes und zwar mit ‚missionarischem‘ Ziel.

Nicht das Bezeichnete, das Zeichen selbst steht dabei im Mittelpunkt der Betrachtung. Genau deshalb nimmt Nikolaus sich in De coniecturis sogar die Zeit, das Stellenwertsystem der dekadischen Zahlendarstellung in aller Ausführlichkeit zu erläutern:

Unitas enim generalis quattuor unitatibus distinguitur, quae ordine congruo figurantur: prima simplicissime, secunda habet ordinis tantum nihili figuram adiectam, ut alterae congruit unitati, tertia huius naturae duas adicit, quarta tres, ut 1, 10, 100, 1000.

Man kann wohl (mit aller gebührenden Vorsicht) sagen, dass das erste Buch De coniecturis in Teilen auch als ein Plädoyer für das indisch-arabische Ziffernsystem zu lesen ist.

Nikolaus hat dabei eine nicht unerhebliche Transferleistung zu erbringen: Einiges von dem, was er an zahlensymbolischen Entwürfen vorzubringen hat, wird deshalb auch sehr viel verständlicher, wenn es auf der Grundlage des römischen Zahlensystems betrachtet wird. Dass die Ausfaltung der Zahlenreihe im ‚Tausender‘ einen strukturellen Abschluss hat, wird erheblich plausibler, wenn das römische Zahlzeichen ‚M‘, das ja den höchsten numerischen Index des römischen Systems kennzeichnet, der Überlegung zugrundegelegt wird. Während die indisch-arabische ‚1000‘ sich morphologisch gegenüber der ‚10‘ ja ‚nur‘ durch das Hinzufügen von Nullstellen abhebt, indiziert die römische Schreibweise mit jeder Zehnerpotenz (‚X‘, ‚C‘, ‚M‘) deutlich eine neue numerische Qualität.

Nikolaus muss, wie wir gesehen haben, den Analogieschluss zur Geometrie vollziehen, um einen vergleichbaren Grad der semiotischen Anschaulichkeit zu erreichen. Vor diesem Hintergrund wird nun auch klarer, warum er mit solcher Nachdrücklichkeit die Zusammensetzung der Vierzahl aus zwei gleichen Teilen, den beiden ‚Zweiern‘, verwirft. Nikolaus’ Hauptsorge scheint es vor allem zu sein, dass nicht deutlich genug werden könnte, dass die Vierzahl sich wesentlich von den übrigen die progressio naturalis konstituierenden Zahlen des Tetraktys unterscheidet. Nach arabischer Chiffrierung ergeben sich dabei aber eigentlich keine Probleme, die Zahlzeichen ‚2‘ und ‚4‘ sind wohl unterschieden. In römischen Zahlzeichen aber wird das eigentliche Problem evident:

II + II = IIII

Hier wird, wie leicht zu sehen ist, in der Verbildlichung der ‚Vier‘ keine neue ‚Gestalt‘ gegenüber den beiden ‚Zweiern‘ evoziert, also nicht hinreichend verdeutlicht, dass mit der elementaren ‚Vierzahl‘ eine neue Stufe und zugleich eine neue Einheit im Ausfaltungsprozess der progressio naturalis erreicht wird. Deren hervorgehobene Stellung gegenüber den übrigen Zahlen muss deshalb besonders betont werden. Nikolaus hält an dieser Implikation wie an einer Konvention fest, obwohl der semiotische Kontext ein ganz anderer ist.

Man versteht nun auch besser, warum sich Nikolaus die ‚4‘ als aus dem ‚Dreier‘ und ‚Vierer‘ zusammengesetzt vorstellt. Die III ist, sofern sie mit dem Vermögen des intellectus geschaut wird, die ‚Einheit‘, von der aus zur IIII und damit in die ‚Andersheit‘ fortgezählt wird. Die Zahlen gehen also im Bereich der Vernunft nicht durch die Addition eines bestimmten Zahlenwertes, sondern durch eine Veränderung im Verhältnis von ‚Einheit‘ und ‚Andersheit‘ hervor. Dabei sind dann sowohl die Dreizahl als auch die Vierzahl aus einem Zeichen ablesbar, die ‚Drei‘ (III) ist auch bildlich in der ‚Vier‘ (IIII) enthalten. Dieses Prinzip gilt für Nikolaus ganz allgemein. Gerade Zahlen sind, da sie in zwei Teile geteilt werden können und dadurch im wahrsten Wortsinne weniger ‚eindeutig’ sind, mehr durch die ‚Andersheit‘ bestimmt, während die ungeraden Zahlen, denen die Teilbarkeit fehlt, stärker zur Einheit der ‚Eins‘, die selbst auch unteilbar ist, hinstreben. In der ‚4‘ wird also die ‚Einheit‘ der ‚3‘ gewissermaßen verschluckt (absorbere).

Es offenbart sich hier, wie sehr Nikolaus nicht nur um eine schlüssige Verbildlichung der wichtigsten Grundsätze seines Denkens bemüht war, sondern dass mitunter auch der Vorgang der Verbildlichung auf die Lehre selbst zurückwirkte.

Die Entwicklung der Zahlenreihe verläuft also in jeder Hinsicht in Kongruenz zum Seins- und Erkenntnismodell von unitas und alteritas. Man kann nun, das ist ganz in Nikolaus’ Sinne, der die Darstellung bei allen Untersuchungen benutzt wissen will, die figura paradigmatica schematisch auch auf die natürliche Reihung anwenden:

Anwendung der figura paradigmatica auf die progressio naturalis nach: Oide, S. 164