Werk:Anfangsgründe aller mathematischen Wissenschaften Erster Teil/Anfangsgründe der Rechenkunst
—Untrvrzchnß: Werk:AamW1/AGRK/
Anfangs-Gründe der Rechen-Kunst.
(Arithmetik entspricht Rechenkunst)
§. 1. Die 1. Erklrng.
Die Rechenkunst ist eine Wissenschaft aus einigen gegebenen Zahlen andere zu finden, von denen eine Eigenschaft in Ansehung der gegebenen Zahlen bekannt gemacht wird. Z. E. man soll eine Zahl finden, die so groß ist, wie 6 und 8 zusammen.
§. 1. Die 1. Erklrng.
Die Rechenkunst ist eine Wissenschaft (zu rechnen, das ist,) aus einigen gegebenen Zahlen andere zu finden, von denen eine Eigenschaft in Ansehung der gegebenen Zahlen bekannt gemacht wird. —Z. E. man soll eine Zahl finden, die so groß ist, wie 6 und 8 zusammen.
§. 2. Zus. 1.
Weil die Wissenschaft eine Fertigkeit andeutet, alles dasjenige, was man von einer Sache behauptet, aus unumstößlichen Gründen unwidersprechlich darzuthun; so muß man nicht allein in Erklärung der Rechenkunst die Regeln zeigen, nach welchen man die verlangten Zahlen finden kann, sondern man muß auch deutlich begreifen, warum durch dieselben Regeln die verlangten Zahlen können gefunden werden.
§. 2. Zstz 1.
Weil die Wissenschaft eine Fertigkeit andeutet, alles dasjenige, was man von einer Sache behauptet, aus unumstößlichen Gründen unwidersprechlich darzuthun; so muß man nicht allein in Erklärung der Rechenkunst die Regeln zeigen, nach welchen man die verlangten Zahlen finden kann, sondern man muß auch deutlich begreifen, warum durch dieselben Regeln die verlangten Zahlen können gefunden werden.
§. 3. Zus. 2.
Die Rechenkunst ist ein besonderer Theil der Erfindungskunst, und man kann demnach durch reifes Überlegen von ihren Regeln die allgemeinen Maximen der Kunst verborgene Dinge zu zu erfinden absondern.
§. 3. Zstz 2.
Die Rechenkunst ist ein besonderer Teil der Erfindungskunst, und man kann demnach durch reifes Überlegen von ihren Regeln die allgemeinen Maximen der Kunst verborgene Dinge zu zu erfinden absondern.§. 4. Anm.
Dergleichen haben in etwas gethan des Cartes in seinem Buche de Methodo und Malebranche in seinem Werke von Erfindung der Wahrheit, so er in französischer Sprache unter dem Titel la Recherche de la Verité herausgegeben. Auch gehöret hierher meistentheils, was der erstere von Leitung des Gemüths in Erfindung der Wahrheit geschrieben, so unter seinen Werken, die nach seinem Tode herausgekommen, befindlich. Etwas umständlicher zeige ich solches in den lateinischen Elementis Arithmeticae §. 125.
§. 4. Anmrkng .
Dergleichen haben in etwas getan des Cartes in seinem Buche de Methodo und Malebranche in seinem Werke von Erfindung der Wahrheit, so er in französischer Sprache unter dem Titel la Recherche de la Verité herausgegeben. Auch gehöret hierher meistenteils, was der erstere von Leitung des Gemüt in Erfindung der Wahrheit geschrieben, so unter seinen Werken, die nach seinem Tode herausgekommen, befindlich. Etwas umständlicher zeige ich solches in den lateinischen Elementis Arithmeticae §. 125.§. 5. Die 2. Erklärung.
Wenn man viele einzelne Dinge von einer Art zusammen nimmt, entstehet daraus eine Zahl. Und daher errkläret Euclides die Zahl durch eine Menge der Einheiten. Z. E. Wenn man zu einer Kugel noch eine andere leget, so hat man zwey Kugeln. Leget man noch eine dazu, so hat man derselben drey u. s. w.
§. 5. Die 2. Erklrng.
Wenn man viele einzelne Dinge von einer Art zusammen nimmt, entsteht daraus eine Zahl. Und daher errklärt Euklid die Zahl durch eine Menge der Einheiten. —Z. E. Wenn man zu einer Kugel noch eine andere legt, so hat man zwe Kugeln. Legt man noch eine dazu, so hat man derselben drei u. s. w.
§. 6. Zus. 1.
Zählen heisset demnach so viel als andeuten, wie viel Sachen von einer Art beysammen sind.
§. 6. Zstz 1.
Zählen heißt demnach so viel als andeuten, wie viel Sachen von einer Art beisammen sind.
- Anm. KF:: folgerichtiger ist "Zählen heißt demnach so viel als durch die Ergebnißzahl zu vermitteln, wie viel Einheiten als Menge von einer Art beisammen oder zusammen genommen sind.
§. 7. Zus. 2.
Jede Sache, in so weit sie vor sich angesehen wird, macht Eins aus, und in so weit sie zu einer Zahl Anlaß geben soll, muß sie durch gewisse Eigenschaften dem Verstande vorgestellet werden. Denn alle diese Dinge, bey denen man solche Merkmale findet, machen gleichfalls Eins aus, und diese Einheiten zusammengenommen, geben eine Zahl. Z. E. Eine Kugel hat viele Eigenschaft, daraus sie erkannt wird, daß alle Punkte in ihrer Fläche von dem innern Mittelpunkt gleich weit abstehen. Wenn man nun diese Eigenschaft zum Merkmale der Eins machet, so werden alle Körper, die eben dergleichen Eigenschaft haben, zu einer solchen Eins. Und eben diese Eigenschaft dienet mir zum Merkmale, daraus ich erkennen kann, wie viel dergleichen Einheiten in einem gegebenen Orte anzutreffen, das ist, wie viel Kugeln vorhanden sind.
§. 7. Zstz 2.
Jede Sache, in so weit sie vor sich angesehen wird, macht Eins aus, und in so weit sie zu einer Zahl Anlaß geben soll, muß sie durch gewisse Eigenschaften dem Verstand vorgestellt werden. Denn alle diese Dinge, bei denen man solche Merkmale findet, machen gleichfalls Eins aus, und diese Einheiten zusammengenommen, geben eine Zahl. Z. E. Eine Kugel hat viele Eigenschaft, daraus sie erkannt wird, daß alle Punkte in ihrer Fläche von dem innern Mittelpunkt gleich weit abstehen. Wenn man nun diese Eigenschaft zum Merkmale der Eins macht, so werden alle Körper, die eben dergleichen Eigenschaft haben, zu einer solchen Eins. Und eben diese Eigenschaft dient mir zum Merkmale, daraus ich erkennen kann, wie viel dergleichen Einheiten in einem gegebenen Orte anzutreffen, das ist, wie viel Kugeln vorhanden sind.§. 8. Zus. 3.
Also erfordert jede Zahl eine gewisse Einheit, und lassen sich keine Zahlen mit einander vergleichen, noch zusammen setzen, welche nicht aus einerley Einheiten entstanden.
§. 8. Zstz 3.
Also erfordert jede Zahl eine gewisse Einheit, und lassen sich keine Zahlen mit einander vergleichen, noch zusammen setzen, welche nicht aus einerlei Einheiten entstanden.§. 9. Zus. 4.
Doch weil das Wesen der Zahl bloß darinnen bestehet, daß man einerley Einheiten etliche mal zusammen nimmt (§. 5.); so hat man in Erwegung der Zahlen überhaupt keinesweges auf die Merkmale der Einheiten zu sehen, die sich das Gemüthe in Zählung gewisser Dinge vorstellet: denn man stellet sich alsdenn dieselben bloß als Dinge von einer Art.
§. 9. Zstz 4.
Doch weil das Wesen der Zahl blos darinnen besteht, daß man einerlei Einheiten etliche mal zusammen nimmt (§. 5.); so hat man in Erwegung der Zahlen überhaupt keineswegs auf die Merkmale der Einheiten zu sehen, die sich das Gemüt in Zählung gewisser Dinge vorstellt: denn man stellt sich alsdenn dieselben blos als Dinge von einer Art.§. 10. Zus. 5.
Eine Zahl wird grösser gemacht oder vermehrt, wenn man andere Zahlen von ihrer Art hinzusetzet. Hingegen wird sie vermindert, wenn man eine oder mehrere Zahlen von ihrer Art wegnimmt. Und weiter kann man keine Veränderung mit den Zahlen vornehmen (§. 5.).
§. 10. Zstz 5.
Eine Zahl wird größer gemacht oder vermehrt, wenn man andere Zahlen von ihrer Art hinzusetzt. Hingegen wird sie vermindert, wenn man eine oder mehrere Zahlen von ihrer Art wegnimmt. Und weiter kann man keine Veränderung mit den Zahlen vornehmen (§. 5.).§. 10. Zus. 6.
Wenn eine Zahl vermehret wird, so sind die Zahlen, welche ihr zugesetzt werden, entweder alle vor sich derselben gleich, oder sie sind grösser und kleiner als dieselbe. Und dannenhero sind zwey verschiedene Arten eine Zahl zu vermehren.
§. 10. Zstz 6.
Wenn eine Zahl vermehrt wird, so sind die Zahlen, welche ihr zugesetzt werden, entweder alle vor sich derselben gleich, oder sie sind größer und kleiner als dieselbe. Und dannenhero sind zwei verschiedene Arten eine Zahl zu vermehren.§. 12. Zus. 7.
Eben so ist klar, daß, wenn eine Zahl vermindert wird, man entweder eine oder mehrere kleinere Zahlen nach einander von ihr wegnimmt, oder auch nur eine Zahl so vielmal von ihr wegthut, als man kann. Und demnach sind zwey verschiedene Arten eine Zahl zu vermindern.
§. 12. Zstz 7.
Eben so ist klar, daß, wenn eine Zahl vermindert wird, man entweder eine oder mehrere kleinere Zahlen nach einander von ihr wegnimmt, oder auch nur eine Zahl so vielmal von ihr wegtut, als man kann. Und demnach sind zwey verschiedene Arten eine Zahl zu vermindern.§. 13. Zus. 8.
Da nun keine andere Veränderung mit den Zahlen vorgenommen werden kann, als daß sie vermehret oder vermindert werden (§. 10.); mehr aber als zwey Arten der Vermehrung (§. 11.) und zwey Arten der Verminderung (§1. 13.) nicht möglich sind: so können auch aus gegebenen Zahlen keine andere gefunden werden, als durch diese Arten der Vermehrung und Verminderung. Nemlich man kann eine Zahl finden, die so groß ist, wie verschiedene andere zusammen genommen, oder wie eine Zahl etliches mal genommen (§. 11.): ingleichen eine Zahl, welche mit einer gegebenen Zahl eine andere gegebene ausmacht, oder auch eine Zahl, welche andeutet, wie vielmal man eine gegebene Zahl von einer andern wegnehmen kann (§. 12.).
§. 13. Zstz 8.
Da nun keine andere Veränderung mit den Zahlen vorgenommen werden kann, als daß sie vermehret oder vermindert werden (§. 10.); mehr aber als zwey Arten der Vermehrung (§. 11.) und zwey Arten der Verminderung (§1. 13.) nicht möglich sind: so können auch aus gegebenen Zahlen keine andere gefunden werden, als durch diese Arten der Vermehrung und Verminderung. Nehmlich man kann eine Zahl finden, die so groß ist, wie verschiedene andere zusammen genommen, oder wie eine Zahl etliches mal genommen (§. 11.): ingleichen eine Zahl, welche mit einer gegebenen Zahl eine andere gegebene ausmacht, oder auch eine Zahl, welche andeutet, wie vielmal man eine gegebene Zahl von einer andern wegnehmen kann (§. 12.).§. 14. Anm.
Diese vier Rechnungsarten werden mit besondern Namen Addiren, Subtrahiren, Multipliziren und Dividiren genennet, um eine von der andern zuu unterscheiden: welche Namen hier ferner zu erklären sind, damit wir nicht allein kurz von ihnen reden können, sondern auch gewisse Merkmale haben, daraus wie zu urtheilen vermögend sind, welcher man sich in jedem vorkommenden Falle zu bedienen hat.
§. 14. Anmrkng .
§. 15. Die 3. Erklärung.
Addieren heisset eine Zahl finden, welche verschiedene Zahlen zusammen genommen gleich ist. Die gegebenen Zahlen werden die Summierenden; die gefundene aber wird die Summe oder das Aggregat genennet.
§. 15. Die 3. Erklrng.
Addieren heißt eine Zahl finden, welche verschiedene Zahlen zusammen genommen gleich ist. Die gegebenen Zahlen werden die Summanden; die gefundene aber wird die Summe oder das Aggregat genennet.§. 16. Zus.
Weil eine jede Zahl von von vielen Einheiten zusammen gesetzt ist (§. 5.), so geschiehet das Addiren, wenn man zu der einen gegebenen Zahl die Einheiten der anderen nach und nach zählet.
§. 16. Zstz.
Weil eine jede Zahl von von vielen Einheiten zusammen gesetzt ist (§. 5.), so geschiehet das Addieren, wenn man zu der einen gegebenen Zahl die Einheiten der anderen nach und nach zählt.§. 17. Anm.
Die Einheiten der Zahlen stellet man sich anfangs durch die Finger vor, und verrichtet das zum Addiren nöthige so lange durch die Fnger, bis man in dem Gedächtnisse behalten, wie viel eine jede kleine Zahl mit einer andern Zahl zusammen genommen ausmacht, z. E. daß zwey und drey, fünf; sechs und acht oder vierzehn ist.
§. 17. Anmrkng .
Die Einheiten der Zahlen stellt man sich anfangs durch die Finger vor, und verrichtet das zum Addieren nötige so lange durch die Fnger, bis man in dem Gedächtniß behalten, wie viel eine jede kleine Zahl mit einer andern Zahl zusammen genommen ausmacht, —z. E. daß zwei und drei, fünf; sechs und acht oder vierzehn ist.§. 18. Die 4. Erklärung.
Subtrahiren oder Abziehen ist so viel als eine Zahl finden, welche mit einer gegebenen Zahl zusammen genommen einer andern gegbenen Zahl gleich ist. Die Zahl, welche durch das Subtrahiren gefunden wird, heisset die Differenz oder der Unterschied der gegebenen Zahlen.
§. 18. Die 4. Erklrng.
Subtrahieren oder Abziehen ist so viel als eine Zahl finden, welche mit einer gegebenen Zahl zusammen genommen einer andern gegebenen Zahl gleich ist. Die Zahl, welche durch das Subtrahiren gefunden wird, heißt die Differenz oder der Unterschied der gegebenen Zahlen.§. 19. Zus.
Weil eine jede Zahl aus vielen Einheiten bestehet (§. 5.); so geschiehet das Substrairen, wenn man von der einen angegebenen Zahl die Einheiten der andern nach und nach wegnimmt.
§. 19. Zstz.
Weil eine jede Zahl aus vielen Einheiten besteht (§. 5.); so geschieht das Subtraieren, wenn man von der einen angegebenen Zahl die Einheiten der andern nach und nach wegnimmt.§. 20. Anm.
Was in der Anmerkung über die vorhergehende Erklärung von dem Addiren (§. 17) erinnert worden, findet auch hier bey dem Subtrahiren statt.
§. 20. Anmrkng .
Was in der Anmerkung über die vorhergehende Erklärung von dem Addieren (§. 17) erinnert worden, findet auch hier bey dem Subtrahieren statt.§. 21. Die 5. Erklärung.
Multipliciren ist aus zwey gegebenen Zahlen eine dritte finden, in welcher die eine von den gegebenen so vielmal enthalten ist, als die andere von ihnen Eins in sich begreift. Die Zahl, so gefunden wird, heisset das Produkt, oder Factum: die gegebenen Zahlen werden die Factores genennet.
§. 21. Die 5. Erklrng.
Multiplizieren ist aus zwei gegebenen Zahlen eine dritte finden, in welcher die eine von den gegebenen so vielmal enthalten ist, als die andere von ihnen Eins in sich begreift. Die Zahl, so gefunden wird, heißt das Produkt, oder Faktum: die gegebenen Zahlen werden die Faktoren genennt.§. 22. Anm.
Wenn man multipliciret, findet man eine Zahl, die so groß ist, wie eine andere etliche mal genommen (§. 13.). Also muß nothwenig die Zahl, welche etliche mal genommen werden soll, so vielmal in der gefundenen Zahl enthalten seyn, als diejenige, welche andeutet, wie vielmal man die eine gegebenen nehmen soll, Eins in sich begreift.
§. 22. Anmrkng .
Wenn man multipliziert, findet man eine Zahl, die so groß ist, wie eine andere etliche mal genommen (§. 13.). Also muß notwenig die Zahl, welche etliche mal genommen werden soll, so vielmal in der gefundenen Zahl enthalten sein, als diejenige, welche andeutet, wie vielmal man die eine gegebenen nehmen soll, Eins in sich begreift.§. 23. Zus.
Multipliciren ist also nichts anders als eine Zahl etlichemal zu sich selbst addiren. (§. 15.)
§. 23. Zstz.
Multiplizieren ist also nichts anders als eine Zahl etlichemal zu sich selbst addieren. (§. 15.)§. 24. Die 6. Erklärung.
§. 24. Dividiren ist aus zwey gegebenen Zahlen, ein dritte finden, welche andeutet, wie vielmal die eine von den gegebenen in der andern enthalten ist, und dennenhero Quotos oder die Quotient genennet wird.
§. 24. Die 6. Erklrng.
§. 24. Dividieren ist aus zwei gegebenen Zahlen, ein dritte finden, welche andeutet, wie vielmal die eine von den gegebenen in der andern enthalten ist, und dennenhero Quotos oder die Quotient genennet wird.§. 25. Zus. 1.
Also ist dividiren nichts anders, als eine Zahl von einer andern so vielmal subtrahiren, als möglich ist (§. 18.)
§. 25. Zstz 1.
Also ist dividieren nichts anders, als eine Zahl von einer andern so vielmal subtrahieren, als möglich ist (§. 18.)§. 26. Zus. 2.
Und wie vielmal die eine gegebene Zahl (welche Divisor genennet wird) in der andern (die man den Dividendus nennet) enthalten ist, so vielmal muß Eins in dem Quotienten enthalten seyn.
§. 26. Zstz 2.
Und wie vielmal die eine gegebene Zahl (welche Divisor genennet wird) in der andern (die man den Dividend nennt) enthalten ist, so vielmal muß Eins in dem Quotient enthalten sein.§. 27. Der 1. Grundsatz.
Eine jede Zahl und Grösse ist ihr selber gleich.
§. 27. Der 1. Grndstz.
Eine jede Zahl und Größe ist ihr selber gleich.§. 28. Anm.
Man sagt, daß zwey Zahlen einander gleich sind, wenn eine so viel Einheiten in sich hält, als die andere. Derowegen weil jede Zahl aus ihren gehörigen Einheit bestehet (§. 5. 8.), und nicht mehr dieselbe Zahl bleibet, wenn man eine hinzu thut, oder davon nimmt (§. 10. 13.); so ist nothwendig jede Zahl ihr selber gleich. Es hat aber dieser Grundsatz seinen Nutzen, weil man eine Zahl ansehen kann, wie sie durch verschiedene Zusammensetzungen oder Veränderungen anderer Zahlen heraus kommt. Z. E. Sechs entstehet, wenn ich 4 und 2 addire; wenn ich 3 und 2 multiplicire; wenn ich 2 von 8 subtrahire: wenn ich 12 durch 2 dividire. Also sind vermöge unseres Grundsatz die Summe von 4 und 2, das Produkt aus 3 in 2, die Differenz zwischen 1 und 8, der Quotient aus 12 und 2 einander gleich. Anfänger verstehen diesen Nutzen nicht, der sich hauptsächlich im Erfinde, und daher auch in der Algebra zeiget.
§. 28. Anmrkng .
Man sagt, daß zwei Zahlen einander gleich sind, wenn eine so viel Einheiten in sich hält, als die andere. Derowegen weil jede Zahl aus ihren gehörigen Einheit bestehet (§. 5. 8.), und nicht mehr dieselbe Zahl bleibt, wenn man eine hinzu tut, oder davon nimmt (§. 10. 13.); so ist notwendig jede Zahl ihr selber gleich. Es hat aber dieser Grundsatz seinen Nutzen, weil man eine Zahl ansehen kann, wie sie durch verschiedene Zusammensetzungen oder Veränderungen anderer Zahlen heraus kommt. Z. E. 6 entsteht, wenn ich 4 und 2 addiere; wenn ich 3 und 2 multipliziere; wenn ich 2 von 8 subtrahiere: wenn ich 12 durch 2 dividiere. Also sind vermöge unseres Grundsatz die Summe von 4 und 2, das Produkt aus 3 in 2, die Differenz zwischen 1 und 8, der Quotient aus 12 und 2 einander gleich. Anfänger verstehen diesen Nutzen nicht, der sich hauptsächlich im Erfinden, und daher auch in der Algebra zeigt.§. 29. Der 2. Grundsatz.
Wenn zwey Zahlen oder Grössen einer dritten gleich sind, so sind sie einander selber gleich.
§. 29. Der 2. Grndstz.
Wenn zwei Zahlen oder Größen einer dritten gleich sind, so sind sie einander selber gleich.§. 30. Anm.
Ich habe z. E. drey Haufen Geld. In dem ersten sind so viel Thaler, als wie in dem anderen; in dem dritten gleichfalls so viel, als in den andern. Also müssen auch so viel in dem dritten, als in dem ersten seyn.
§. 30. Anmrkng
§. 31. Der 3. Grundsatz.
Wenn man gleiches zu gleichem addiret, so kommen gleiche Summen heraus. Wenn man aber gleiches zu dem grösseren und zu dem kleineren addiret, so ist die Summe in dem Falle grösser, als in dem anderen (§. 15.)
§. 31. Der 3. Grndstz.
Wenn man Gleiches zu Gleichem addiert, so kommen gleiche Summen heraus. Wenn man aber Gleiches zu dem Größeren und zu dem Kleineren addiert, so ist die Summe in dem Falle größer, als in dem anderen (§. 15.)§. 32. Der 4. Grundsatz.
Wenn man gleiches von gleichem subtrahiret, so bleibt gleiches übrig. Wenn man aber gleiches von dem grösseren und kleineren subtrahiret, so bleibt in dem ersten Falle mehr übrig, als in dem andern (§. 18.).
§. 32. Der 4. Grndstz.
Wenn man Gleiches von Gleichem subtrahiert, so bleibt Gleiches übrig. Wenn man aber Gleiches von dem Größeren und Kleineren subtrahiert, so bleibt in dem ersten Falle mehr übrig, als in dem andern (§. 18.).§. 33. Der 5. Grundsatz.
Wenn man gleiches durch gleiches multipliziret, so kommen gleiche Produkte heraus. Wenn man aber das grössere und das kleinere durch gleiches multipliciret; so ist das Produkt in dem ersten Falle grösser, als in dem andern (§, 21.).
§. 33. Der 5. Grndstz.
Wenn man Gleiches durch Gleiches multipliziert, so kommen gleiche Produkte heraus. Wenn man aber das Größere und das Kleinere durch Gleiches multipliciert; so ist das Produkt in dem ersten Falle größer, als in dem andern (§, 21.).§. Der 6. Grundsatz.
Wenn man gleiches durch gleiches dividiret, so sind die Quotienten einander gleich. Wenn man abder das grössere und das kleinere durch gleiches dividiret; so ist der Quotient in dem ersten Falle grösser, als in dem andern (§. 24.).
§. Der 6. Grndstz.
Wenn man Gleiches durch Gleiches dividiert, so sind die Quotienten einander gleich. Wenn man abder das Größere und das Kleinere durch Gleiches dividiert; so ist der Quotient in dem ersten Fall größer, als in dem andern (§. 24.).§. 35. Zus.
Daher wenn zwey ein Exempel rechnen, und keiner von beiden fehlet, muß einerley herauskommen; so sie aber verschiedenes herausbringen, muß wenigstens einer von beiden gefehlet haben.
§. 35. Zstz.
Daher wenn zwei ein Exempel rechnen, und keiner von beiden fehlt, muß einerlei herauskommen; so sie aber verschiedenes herausbringen, muß wenigstens einer von beiden gefehlt haben.§. 36. Der 7. Grundsatz.
Was grösser ist als eine von zwey gleichen Grössen, das ist auch grösser als die andere von ihnen.
§. 36. Der 7. Grndstz.
Was größer ist als eine von zwei gleichen Größen, das ist auch größer als die andere von ihnen.§. 37. Der 8. Grundsatz.
Das Ganze ist seinen Theilen zusammen genommen gleich, und daher grösser als ein jeder von seinen Theilen.
§. 37. Der 8. Grndstz.
Das Ganze ist seinen Teilen zusammen genommen gleich, und daher größer als ein jeder von seinen Teilen.§. 38. Der 1. willkürliche Satz.
§. 38. Der 1. willkürliche Satz.
Man gehe im Zählen nicht weiter fort als bis zehn. Wenn man bis zehn gezählet, so fange man wieder von neuem an, nur daß man jederzeit dazu setze, wie vielmal man schon zehn gezählet.
Man gehe im Zählen nicht weiter fort als bis zehn. Wenn man bis zehn gezählt, so fange man wieder von neuem an, nur daß man jederzeit dazu setze, wie vielmal man schon zehn gezählt.§. 39. Anm.
Dieses ist das allgemeine oder decadische Gesetz, darnach man sich im Zählen richtet: und weil wir desselben von Jugend auf so gewohnet sind, scheinet es eine Nothwendigkeit zu haben. Es hat aber nicht allein Weigelius in seiner Arithmetica Terractica gewiesen, daß man nur bis auf vier zählen könne, sondern der vortreffliche Leibnitz hat auch eine Arithmeticam binariam oder dyadiam erfunden, welche nicht über zwei zählet, und den Gelehrten, die verborgene Eigenschaften der Zahlen zu untersuchen, dienen kann, indem sie dieselbe in ihre erste Elemente 0 und 1 auflöset (§. 5.). Vid. Memories de l`Academie Royale des Sciences A. 1703. p. 195.& Seqq. Die Ursache aber, warum man nur bis auf zehn zählet, ist sonder Zweifel daher zu holen, weil die Menschen die Sachen an ihren Finger zu zählen pflegen, ehe sie sich im Rechnen geübet (§. 17.).
§. 39. Anmrkng .
Dieses ist das allgemeine oder dekadische Gesetz, darnach man sich im Zählen richtet: und weil wir desselben von Jugend auf so gewohnet sind, scheinet es eine Notwendigkeit zu haben. Es hat aber nicht allein Weigelius in seiner Arithmetica Terractica gewiesen, daß man nur bis auf vier zählen könne, sondern der vortreffliche Leibniz hat auch eine Arithmeticam binariam[1] oder dyadiam[2] erfunden, welche nicht über zwei zählt, und den Gelehrten, die verborgene Eigenschaften der Zahlen zu untersuchen, dienen kann, indem sie dieselbe in ihre erste Elemente 0 und 1 auflöst (§. 5.). Vid. Memories de l`Academie Royale des Sciences A. 1703. p. 195.& seqq. Die Ursache aber, warum man nur bis auf zehn zählet, ist sonder Zweifel daher zu holen, weil die Menschen die Sachen an ihren Finger zu zählen pflegen, ehe sie sich im Rechnen geübet (§. 17.).
Auf dem Sarg ließ Hofrat von Eckhart ein Ornament anbringen, das eine Eins innerhalb einer Null zeigte, mit der Inschrift OMNIA AD UNUM (deutsch: ‚Alles [bezieht sich] auf das Eine‘), als Hinweis auf das von Leibniz entwickelte binäre Zahlensystem und dessen theologische Deutung: Für Leibniz stand die 1 für Gott und die 0 für das Nichts.
Anm. KF: Hätte Leibniz die Bedeutung von 0 und 1 gekehrt gesetzt, so wäre er der Wahrheit näher gelegen!Leibniz befasste sich intensiv mit Logik und propagierte erstmals eine symbolische Logik in Kalkülform. Seine Logikkalkül-Skizzen veröffentlichte er allerdings nicht; erst sehr verspätet (1840, 1890, 1903) wurden sie publiziert. Seine charakteristischen Zahlen aus dem Jahr 1679 sind ein arithmetisches Modell der Logik des Aristoteles. Seinen Hauptkalkül entwickelte er in den Generales Inquisitiones von 1686. Er entwarf dort die erste Gleichungslogik und leitete in ihr fast zwei Jahrhunderte vor der Boole-Schule die Gesetze der booleschen Verbandsordnung ab. Innerhalb dieses Kalküls formulierte er die traditionelle Begriffslogik bzw. Syllogistik auf gleichungslogischer Grundlage. Er erfand die Mengendiagramme lange vor Leonhard Euler und John Venn und stellte mit ihnen die Syllogistik dar.[56] Das Leibniz’sche Gesetz geht auf ihn zurück.
Leibniz versuchte zeitlebens, die Idee einer Universalsprache (characteristica universalis) umzusetzen: Die „[…] Idee eines ‚Alphabets des menschlichen Denkens‘, dessen ‚Buchstabenkombinationen‘ alle menschlichen Begriffe mechanisch auf Grundbegriffe zurückführt, mit denen man alle wahren Sätze mechanisch erhält.“[57] Dieses universelle Logikkalkül soll dabei nicht nur über alle Begriffe in der Wissenschaft verfügen, sondern überdies zur Verständigung aller Menschen dienen. Leibniz verknüpfte mit der Konzeption einer solchen Sprache die Hoffnung, man könne die Philosophie auf ein festeres rationalistisches Fundament (im Sinne einer Mathesis universalis) stellen und Übereinkunft über die Wahrheit von Aussagen erlangen:
„Und wenn dies geschieht [die Realisierung einer solchen Sprache], werden zwei Philosophen, die in einen Streit geraten, nicht anders argumentieren als zwei Rechenmeister. Es genügt, dass sie eine Feder in die Hand nehmen, sich vor ein Täfelchen setzen und zueinander sagen: ‚Calculemus!‘ (Rechnen wir!)“
§. 40. Zus.
Also hat man vor jede von den zehn Zahlen einen besondern Namen von nöthen, und wiederum andere Namen, dadurch die Vielheit der Zehner bemerket wird. Jene sind: eins, zwey, drey, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn; diese aber zwanzig, dreyzig, vierzig, funfzig, sechzig, siebenzig, achtzig, neunzig, hundert.
§. 40. Zstz.
Also hat man vor jede von den zehn Zahlen einen besondern Namen von nöten, und wiederum andere Namen, dadurch die Vielheit der Zehner bemerket wird. Jene sind: eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn; diese aber zwanzig, dreizig, vierzig, fünfzig, sechzig, siebzig, achtzig, neunzig, hundert.§. 41. Der 2, willkürliche Saz.
§. 41. Der 2, willkürliche Saz.
Gleichwie man zehnmal zehn hundert nennet; also nennet man ferner zehnmal hundert, tausend; tausendmal tausend eine Million; tausend mal tausend Millionen, eine Billion oder Doppelmillion; tausendmal tausend Billionen, eine Trillion oder dreyfach Million, u. s. w.
Gleichwie man zehnmal zehn hundert nennet; also nennt man ferner zehnmal hundert, tausend; tausendmal tausend eine Million; tausend mal tausend Millionen, eine Billion oder Doppelmillion; tausendmal tausend Billionen, eine Trillion oder dreifach Million, u. s. w.§. 42. Anm.
Diese Benennung geschiehet bloß zu dem Ende, damit man sich in grossen Zahlen nicht verwirret; sondern von jedem Theile derselben einen deutlichen Begriff formiren kann: woraus der Nutzen der Kunstwörter erhellet.
§. 42. Anmrkng .
Diese Benennung geschieht blos zu dem Ende, damit man sich in großen Zahlen nicht verwirrt; sondern von jedem Teil derselben einen deutlichen Begriff formen kann: woraus der Nutzen der Kunstwörter erhellt.§. 43. Der 3. willkürliche Satz.
§. 43. Der 3. willkürliche Satz.
Die neun Zahlen bemerke man mit folgenden Zeichen: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9, damit man aber auch die Zehner, Hunderte, Tausende, u. s. w. dadurch andeuten kann, so gebe man ihnen ihre Bedeutung von der Stelle, in welcher sie stehen. Nemlich wenn sie entweder allein, oder on der ersten Stelle zur Rechten anzutreffen sind, sollen sie Einer bedeuten; in der andern, Zehner, in der dritten, Hunderte, in der vierten, Tausende, u. s .w. Die leeren Stellen werden mit der Nulle (0) vollgefüllet, welche nemlich andeutet, daß in denselben keine Zahl anzutreffen.
Die neun Zahlen bemerke man mit folgenden Zeichen: 1 2 3 4 5 6 7 8 9, damit man aber auch die Zehner, Hunderter, Tausender, u. s. w. dadurch andeuten kann, so gebe man ihnen ihre Bedeutung von der Stelle, in welcher sie stehen. Nemlich wenn sie entweder allein, oder on der ersten Stelle zur Rechten anzutreffen sind, sollen sie Einer bedeuten; in der andern, Zehner, in der dritten, Hunderter, in der vierten, Tausender, u. s .w. Die leeren Stellen werden mit der Null (0) vollgefüllt, welche nemlich andeutet, daß in denselben keine Zahl anzutreffen.§. 44. Die 1. —Afgb
Eine geschriebene Zahl auszusprechen, das ist, einem jeden Zeichen in derselben seinen Werth zuzueignen.
—Aflsng 1) Theilet die gegebene Zahl in Classen, von der Rechten an gegen die Linke zu, vermittelst kleiner Strichlein, und eignet jeder Classe drey Stellen zu. Am Ende gegen die Linke mögen drey oder wenigere übrig bleiben.
—Aflsng 2) Ueber die Zahl, welche nach dem andern Strichlein kommt, machet einen Punct, und über die, so nach dem vierten folget, zwey Puncte, u. s. w.
—Aflsng 3) Sprechet ein blosses Strichlein durch Tausend aus, einen Punct durch Million, zwey Puncte durch Billion, u. s. w. Hingegen die erste Zahl gegen die Linke in einer Classe durch Hunderte; die mittlere durch Zehner, und die letzte durch Einer. So ist geschehen, was man verlangte. Z. E. Wenn ihr folgende Zahl aussprechen wollet, 2''', 125, 473'', 613, 578', 432, 597. so saget: zwey Trillionen, hundert und fünf und zwanzig tausend, vierhundert und drey und siebenzig Billionen, sechshundert und dreyzehen tausend, fünf hundert und acht und siebenzig Millionen, vierhundert zwey und dreyßig tausend, fünfhundert sieben und neunzig.
§. 44. Die 1. Afgb.
Eine geschriebene Zahl auszusprechen, das ist, einem jeden Zeichen in derselben seinen Wert zuzueignen.
—Aflsng 1) Teilt die gegebene Zahl in Klassen, von der Rechten an gegen die Linke zu, vermittelst kleiner Strichlein, und eignet jeder Klasse drei Stellen zu. Am Ende gegen die Linke mögen drei oder wenigere übrig bleiben.
—Aflsng 2) Über die Zahl, welche nach dem andern Strichlein kommt, macht einen Punkt, und über die, so nach dem vierten folgt, zwei Punkte, u. s. w.
—Aflsng 3) Sprecht ein bloßes Strichlein durch Tausend aus, einen Punkt durch Million, zwey Punlte durch Billion, u. s. w. Hingegen die erste Zahl gegen die Linke in einer Klasse durch Hunderte; die mittlere durch Zehner, und die letzte durch Einer. So ist geschehen, was man verlangte. —Z. E. Wenn ihr folgende Zahl aussprechen wollet, 2''', 125, 473'', 613, 578', 432, 597. so sagt: zwey Trillionen, hundert und fünf und zwanzig tausend, vierhundert und drey und siebenzig Billionen, sechshundert und dreyzehen tausend, fünf hundert und acht und siebenzig Millionen, vierhundert zwey und dreyßig tausend, fünfhundert sieben und neunzig.
Es ist alles klar aus den vorhergesetzten willkürlichen Sätzen (38. 41. 43.).§. 45. Die 2. —Afgb.
Verschiedene Zahlen zu addiren.
—Aflsng 1) Schreibet die gegebenen Zahlen dergestalt unter einander, daß die Einer unter den Einern, die Zehener unter den Zehern, die Hunderte unter den Hunderten u. s. w. zu stehen kommen (§. 8.).
—Aflsng 2) Ziehet unter den geschriebenen Zahlen einen Strich, [um die Verwirrung zu vermeiden:] und
—Aflsng 3) Zählet besonders zusammen die Einer (§. 17.), und schreibet unter sie ihre Summe. Enthält die etliche Zehner in sich, so zählet dieselben zugleich mit den gegebenen Zehnern zusammen, und setzet ihre Summe gleichfalls unter die Reihe der Zehner. Wenn ihr so fortfahret, werdet ihr endlich die verlangte Summe aller Zahlen heraus bekommen.
Oder: Streichet in jeder Reihe so vielmal zehn weg, als ihr könnet, und zählet stets so viel Einheiten zu der folgenden, wie vielmal ihr zehn weggestrichen: Was übrig bleibet, setzet unter den Strich an seinen gehörigen Ort, wie vorhin,
Z. E. wenn ihr folgende Zahlen addiren sollet
3578
524
63
4165
so sprechet: 3 und 4 ist 7, noch 8 darzu ist 15. Setztet die 5 unter die Einer: den 1 Zehner aber zählet zu den gegebenen Zehnern, sprechet ferner: 1 (nemlich Zehner) und 6 sind 7 (Zehner), noch 2 darzu sind 9, noch 7 darzu sind 16 (Zehner). Setzet die 6 Zehner unter die Zehner der gegebenen Zahlen, und die übrigen 10 Zehner, das ist 1 Hundert, zählet zu den Hunderten der gegebenen Zahlen.[3] Sprechet demnach 1 und 5 sind 6, noch 4 dazu sind 10 (nemlich Hunderte). Setzt 1 unter die Hunderte der gegebenen Zahlen, und die übrigen 10 Hunderte der gegebenen Zahlen, und die übrigen 10 Hunderte, daß ist 1 Tausend, zählet zu den Tausenden der gegebenen Zahlen. Sprechet also endlich: 1 und 3 ist 4 (nehmlich Tausend,) und setzet die 4 unter die Tausende, der gegebenen Zahlen, so habt ihr die verlangte Summe 4165. Oder sprechet: 8 und 2 ist 10, so gehet 1 hinüber; 2 und 3 ist 5. Setzet 5 unter die Einer und den 1 Zehner zählet zu der folgenden Reihe. Saget nehmlich; 7 und 1 ist 8, noch 2 dazu sind 20. Setzet die übrigen 6 unter die Zehner, und 1 zählet zu den Hunderten. Saget ferner: 5 und 5 sit 10, und zählet davor 1 zu den 3 Tausenden; so bekommt ihr endlich 4 in die Stelle der Tausende.
Bew. Vermöge der geschehenen Rechnung enthält die gefundene Zahl in sich alle Einer, alle Zehner, alle Hunderte, alle Tausende u. s. w. der vorgegebnenen Zahlen, das ist, alle ihre Theile (§. 38. 41. 43.). Und also ist sie so groß, wie alle gegebene zusammen [gemnommen] (§. 37.): folglich sind die gegebenen Zahlen zusammen addiret worden (§. 15.). W. Z. E.
§. 45. Die 2. Afgb.
Verschiedene Zahlen zu addiren.
—Aflsng 1) Schreibet die gegebenen Zahlen dergestalt unter einander, daß die Einer unter den Einern, die Zehner unter den Zehnern, die Hunderte unter den Hunderten u. s. w. zu stehen kommen (§. 8.).
—Aflsng 2) Zieht unter den geschriebenen Zahlen einen Strich,[4] und
—Aflsng 3) Zählt besonders zusammen die Einer (§. 17.), und schreibt unter sie ihre Summe. Enthält die etliche Zehner in sich, so zählt dieselben zugleich mit den gegebenen Zehnern zusammen, und setzt ihre Summe gleichfalls unter die Reihe der Zehner. Wenn ihr so fortfahrt, werdet ihr endlich die verlangte Summe aller Zahlen heraus bekommen.
Oder: Streicht in jeder Reihe so vielmal zehn weg, als ihr könnt, und zählt stets so viel Einheiten zu der folgenden, wie vielmal ihr zehn weggestrichen: Was übrig bleibt, setzt unter den Strich an seinen gehörigen Ort, wie vorhin,
Z. E. wenn ihr folgende Zahlen addieren sollt
3578
524
63
4165
so sprecht: 3 und 4 ist 7, noch 8 darzu ist 15. Setztt die 5 unter die Einer: den 1 Zehner aber zählt zu den gegebenen Zehnern, sprecht ferner: 1 (nemlich Zehner) und 6 sind 7 (Zehner), noch 2 darzu sind 9, noch 7 darzu sind 16 (Zehner). Setzet die 6 Zehner unter die Zehner der gegebenen Zahlen, und die übrigen 10 Zehner, das ist 1 Hundert, zählt zu den Hunderten der gegebenen Zahlen. porecht demnach 1 und 5 sind 6, noch 4 dazu sind 10 (nemlich Hunderte). Setzt 1 unter die Hunderte der gegebenen Zahlen, und die übrigen 10 Hunderte der gegebenen Zahlen, und die übrigen 10 Hunderte, daß ist 1 Tausend, zählt zu den Tausenden der gegebenen Zahlen. Sprecht also endlich: 1 und 3 ist 4 (nehmlich Tausend,) und setzt die 4 unter die Tausende, der gegebenen Zahlen, so habt ihr die verlangte Summe 4165. Oder sprecht: 8 und 2 ist 10, so geht 1 hinüber; 2 und 3 ist 5. Setzt 5 unter die Einer und den 1 Zehner zählt zu der folgenden Reihe. Sagt nehmlich; 7 und 1 ist 8, noch 2 dazu sind 20. Setzt die übrigen 6 unter die Zehner, und 1 zählt zu den Hunderten. Sagt ferner: 5 und 5 sit 10, und zählt davor 1 zu den 3 Tausenden; so bekommt ihr endlich 4 in die Stelle der Tausende.
Bew. Vermöge der geschehenen Rechnung enthält die gefundene Zahl in sich alle Einer, alle Zehner, alle Hunderte, alle Tausende u. s. w. der vorgegebnenen Zahlen, das ist, alle ihre Theile (§. 38. 41. 43.). Und also ist sie so groß, wie alle gegebene zusammen[5] (§. 37.): folglich sind die gegebenen Zahlen zusammen addiert worden (§. 15.). —W. Z. E.§. 46. Anm. 1.
Wenn ihr alle Theile der gegebenen Zahlen als lauter Einer ansehet, so werdet ihr wahrnehmen, daß ihr in die Summe nur allezeit den Ueberschuß der summirten Zahlen über 9 schreibet. Denn anstatt funfzehn schreibet ihr die Zahlen 1 und 5, welche 6 machen, wenn man sie beide für Einer hält, und also der Ueberschuß der Zahl funfzehn über neune sind. Eben so schreibet ihr an statt sechzehn unter die Reihe der Zehner 6, und unter die Hunderte 1, welche beide Zahlen zusammen genommen 7 ausmachen, wenn man sie für Einer ansiehet, und demnach der Ueberschuß von sechzehn über neune sind u. s. w. Hieraus ist klar, daß man bey Summirung der Zahlen bey jeder Reihe so viel Neunen weglässet, als man Einheiten zu der folgenden Reihe zählet.
§. 46. Anmrkng
1.
§. 47. Anm. 2.
Wollet ihr demnach wissen, ob die gefundene Zahl so groß sey, wie die gegebenen zusammen genommen, so merket 1.) die besagten Einheiten auf der Seite, und nach vollbrachter Rechnung zählet sie zusammen, damit ihr sehet, wie vielmal 9 im Summiren weggelassen worden. 2.) Werfet über dieses noch aus der Summe so vielmal 9 weg, als ihr könnet, und zählet die im Summiren weggelassenen mit dazu; die Zahl aber, so übrig bleibet, merket sowohl, als die Anzahl der weggeworfenen Neunen. 3.) Endlich gebet auch Acht, wie vielmal ihr aus den gegebenen Zahlen 9 wegwerfen könnet, und was zuletzt für eine Zahl übrig bleibt. Denn, so die Anzahl der weggeworfenen Neunen beiderseits gleich ist, auch einerley Zahl beiderseits übrig bleibet, so ist die gefundene Zahl so groß, wie die gegebenen zusammen genommen (§. 32.), und ihr seyd daher gewiß, daß ihr nach der Regel richtig verfahren (§. 38.). Als, in dem vorigen Exempel sind während der Rechnung drey Neunen weggelassen worden: und eine lässet sich noch von der gefundenen Summe wegwerfen, worauf 7 übrig bleiben. Wenn man aber aus den gegebenen Zahlen, die über der Linie stehen, gleichfalls 4 mal 9 ausstreichet, bleiben auch 7 übrig. Demnach ist recht addiret worden. Diese Probe kann kann niemals trügen als wenn man in einer Stelle eben so viel zu viel zählet, als man in einer andern zu wenig gezählet: welcher Fehler man im Rechnen nicht leicht begehet.[6] Man kan sich auch der Richtigkeit im Rechnen versichern, wenn man ein Exempel auf verschiedene Art rechnet, entweder auf beide vorgeschriebene Manieren, oder daß man einmal von unten hinauf, das anderemal von oben herunter die Zahlen in einer Reihe zusammen zählet. [7]
§. 47. Anmrkng
2.Wollt ihr demnach wissen, ob die gefundene Zahl so groß sei, wie die gegebenen zusammen genommen, so merkt 1.) die besagten Einheiten auf der Seite, und nach vollbrachter Rechnung zählt sie zusammen, damit ihr seht, wie vielmal 9 im Summieren weggelassen worden. 2.) Werft über dieses noch aus der Summe so vielmal 9 weg, als ihr könnt, und zählt die im Summieren weggelassenen mit dazu; die Zahl aber, so übrig bleibt, merkt sowohl, als die Anzahl der weggeworfenen Neunen. 3.) Endlich gebt auch Acht, wie vielmal ihr aus den gegebenen Zahlen 9 wegwerfen könnt, und was zuletzt für eine Zahl übrig bleibt. Denn, so die Anzahl der weggeworfenen Neunen beiderseits gleich ist, auch einerlei Zahl beiderseits übrig bleibt, so ist die gefundene Zahl so groß, wie die gegebenen zusammen genommen (§. 32.), und ihr seid daher gewiß, daß ihr nach der Regel richtig verfahren (§. 38.). Als, in dem vorigen Exempel sind während der Rechnung drei Neunen weggelassen worden: und eine lässt sich noch von der gefundenen Summe wegwerfen, worauf 7 übrig bleiben. Wenn man aber aus den gegebenen Zahlen, die über der Linie stehen, gleichfalls 4 mal 9 ausstreicht, bleiben auch 7 übrig. Demnach ist recht addiert worden. Diese Probe kann kann niemals trügen als wenn man in einer Stelle eben so viel zu viel zählt, als man in einer andern zu wenig gezählt: welcher Fehler man im Rechnen nicht leicht begeht.[6] Man kann sich auch der Richtigkeit im Rechnen versichern, wenn man ein Exempel auf verschiedene Art rechnet, entweder auf beide vorgeschriebene Manieren, oder daß man einmal von unten hinauf, das anderemal von oben herunter die Zahlen in einer Reihe zusammen zählt. [7]
§. 48. Anm. 3.
Die Mathematiker haben ein besonderes Zeichen, dadurch sie die Addition andeuten, nemlich das Zeichen +, welches sie durch mehr aussprechen. Demnach schreiben sie die Summe zweyer Zahlen, als 3 und 7, also: 3 + 7.
§. 48. Anmerkung 3.
Die Mathematiker haben ein besonderes Zeichen, dadurch sie die Addition andeuten, nemlich das Zeichen +, welches sie durch mehr aussprechen. Demnach schreiben sie die Summe zweier Zahlen, als 3 und 7, also: 3 + 7.§. 49 Anm. 4.
In benannten Zahlen streichet man, wie in der andern Art zu addiren (§.45.) so viele aus, als zusammen ein Ganzes von der grösseren Art ausmachen, und setztet davor eins zu der folgenden Reihe, z. E. von den Pfennigen streichet man so vielmal 12 aus, als man kann, und setzet davor jedes mal 1 zu den Groschen, weil 12 Pfennige einen Groschen machen. Von den Groschen wirft man auf einmal 24 weg, und schreibet dafür 1 zu den Thalern, weil 24 Groschen einen Thaler machen. Und auf eine gleiche Art verfähret man in andern Fällen. Als:
Und diese Manier zu addiren zeiget, daß das Addiren eine Aehnlichkeit mit dem Geldzählen hat, und daher dieses zu der Erfindung des andern Anlaß gegeben, oder wenigstens geben kann. Und dieser Nutzen bleibet noch einem jeden übrig, wenn er die Regeln der Addition vergessen, und sie vor sich wieder finden soll.—Abvrschrftng
§. 49 Anmerkung 4.
In benannten Zahlen streicht man, wie in der andern Art zu addieren (§.45.) so viele aus, als zusammen ein Ganzes von der grösseren Art ausmachen, und setztet davor[6] eins zu der folgenden Reihe, z. E. von den Pfennigen streicht man so vielmal 12 aus, als man kann, und setzt davor[6] jedes mal 1 zu den Groschen, weil 12 Pfennige einen Groschen machen. Von den Groschen wirft man auf einmal 24 weg, und schreibt dafür 1 zu den Talern, weil 24 Groschen einen Taler machen. Und auf eine gleiche Art verfährt man in andern Fällen. Als:
§. 50. Die 3. Aufgabe.
Eine kleinere Zahl von einer grössern zu subtrahiren.
Aufl. 1) Schreibet die kleinere Zahl unter die grössere, auf die Art, wie im Addiren geschehen (§. 45.).
2) Ziehet unter die geschriebenen Zahlen einen Strich.
3) Subtrahiret besonders die Einer von den Einern, die Zehner von den Zehnern, die Hunderte von den Hunderten u. s. w. (§. 20.) und setzet allezeit die Zahl, so übrig bleibet, an ihren gehörigen Ort unter den Strich: nemlich was bey den Einern übrig bleibet, unter die Einer; was bey den Zehnern übrig bleibet, unter die Zehner u. s. w.
4) Geschiehet es aber, daß eine grössere Zahl von der kleinern weggenommen werden soll; so nehmet aus der folgenden Reihe eines weg, und setzet es in die vorhergehende, wo es zehn gilt (§. 43.). Also kann von der um zehen vermehrten Zahl die Subtraction geschehen: die Zahl aber in der folgenden Stelle, ist um eines kleiner worden, welches durch einen Punkt bemerket wird.
5. Endlich wenn in der folgenden Stelle zur Linken 0 stehet, gehet so weit fort gegen die Linke, bis ihr eine Zahl antreffet, und nehmet von derselben 1 weg, so ist es eben so viel, als wenn ihr in alle leere Stellen 9, und in die, wo man nicht subtrahiren konnte, 10 setzet (§. 43.).
Nach diesen Regeln kann man eine jede gegebene Zahl subtrahiren. W. Z. E.
Z. E. wenn ihr folgende Zahlen von einander subtrahiren sollet,
9800403459
4743865263
5056538196
so sprechet: 3 von 9 lässet 6, und schreibet 6 unter den Strich in die Stelle der Einer. Sprechet ferner: 6 (nemlich Zehner) von 5 kan ich nicht (wegnehmen). Borget demnach 1 von 4 in der folgenden Stelle; so bleibet in derselben 3, und ihr habt 15 an statt der 5 (§. 43.). Nehmet 6 von 15, so bleiben 9 übrig, welche ihr wiederum unter den Strich in die Stelle der Zehner schreibet. Hierauf fahret fort, uns sprechet: 2 von 3 lässet 1, 5 von 3 kann ich nicht (subtrahiren), derowegen borge ich 1 von 4, und setzte es in die leere Stelle, so habe ich in derselben 10; davon nehme ich 1 weg, so bleibet in derselben 9, und anstatt 3 bekomme ich 13. Nun nehmet 5 von der 13, so bleiben 8 übrig, und 6 von 9 lässet 3. Weil 8 von 3 wieder nicht angehet, so nehmet 1 von 8, und setzet es an die erste leere Stelle, so habet ihr daselbst 10 und dorten noch 7. Von den 10 nehmet 1 weg, und setzet es in die andere leere Stelle gegen die Rechte, so bleiben an statt der 10 noch 9, und in dieser habt ihr 10. Davon nehmet wieder 1 weg, so bleiben in derselben noch 9, und an statt 3 bekommet ihr 13. Sprechet nun: 8 von 13 lässet 5; 3 von 9 lässet 6; 4 von 9 lässet 5; 7 von 7 lässet 0; 4 von 9 lässet 5. Wenn ihr nun das übrige allezeit unter den Strich an seinen gehörigen Ort schreibet, so habet ihr die verlangte Zahl gefunden.
Bew. Vermöge der geschehenen Rechnung hält die gefundene Zahl in sich den Rest aller Einer, aller Zehner, aller Hunderte, aller Tausende u. s. w. das ist, den Rest aller Theile. Da nun der Rest aller Theile zusammen dem ganzen Reste gleich ist (§. 37.); so ist die gefundene Zahl der Rest, welcher übrig bleibet, wenn man eine Zahl von der andern wegnimmt, und folgends mit der weggenommenen Zahl zusammen der andern gegebenen Zahl gleich. Derowegen geschiehet durch die gegebenen Regeln die Subtraction (§. 18.); W. Z. E.
§. 50. Die 3. Afgb.
Eine kleinere Zahl von einer größern zu subtrahieren.
Aufl. 1) Schreibt die kleinere Zahl unter die größere, auf die Art, wie im Addieren geschehen (§. 45.).
2) Zieht unter die geschriebenen Zahlen einen Strich.
3) Subtrahiert besonders die Einer von den Einern, die Zehner von den Zehnern, die Hunderte von den Hunderten u. s. w. (§. 20.) und setzt allezeit die Zahl, so übrig bleibt, an ihren gehörigen Ort unter den Strich: nemlich was bei den Einern übrig bleibt, unter die Einer; was bei den Zehnern übrig bleibt, unter die Zehner u. s. w.
4) Geschieht es aber, daß eine grössere Zahl von der kleinern weggenommen werden soll; so nehmt aus der folgenden Reihe eines weg, und setzt es in die vorhergehende, wo es zehn gilt (§. 43.). Also kann von der um zehen vermehrten Zahl die Subtraction geschehen: die Zahl aber in der folgenden Stelle, ist um eines kleiner worden, welches durch einen Punkt bemerkt wird.
5. Endlich wenn in der folgenden Stelle zur Linken 0 steht, geht so weit fort gegen die Linke, bis ihr eine Zahl antrefft, und nehmt von derselben 1 weg, so ist es eben so viel, als wenn ihr in alle leere Stellen 9, und in die, wo man nicht subtrahieren konnte, 10 setzt (§. 43.).
Nach diesen Regeln kan man eine jede gegebene Zahl subtrahieren. W. Z. E.
Z. E. wenn ihr folgende Zahlen von einander subtrahieren sollt,
9800403459
4743865263
5056538196
so sprecht: 3 von 9 lässt 6, und schreibt 6 unter den Strich in die Stelle der Einer. Sprecht ferner: 6 (nemlich Zehner) von 5 kann ich nicht (wegnehmen). Borget demnach 1 von 4 in der folgenden Stelle; so bleibt in derselben 3, und ihr habt 15 an statt der 5 (§. 43.). Nehmt 6 von 15, so bleiben 9 übrig, welche ihr wiederum unter den Strich in die Stelle der Zehner schreibt. Hierauf fahrt fort, uns sprecht: 2 von 3 läßt 1, 5 von 3 kann ich nicht (subtrahieren), derowegen borge ich 1 von 4, und setzte es in die leere Stelle, so habe ich in derselben 10; davon nehme ich 1 weg, so bleibt in derselben 9, und anstatt 3 bekomme ich 13. Nun nehmt 5 von der 13, so bleiben 8 übrig, und 6 von 9 läßt 3. Weil 8 von 3 wieder nicht angeht, so nehmt 1 von 8, und setzt es an die erste leere Stelle, so habet ihr daselbst 10 und dorten noch 7. Von den 10 nehmt 1 weg, und setzt es in die andere leere Stelle gegen die Rechte, so bleiben an statt der 10 noch 9, und in dieser habt ihr 10. Davon nehmt wieder 1 weg, so bleiben in derselben noch 9, und an statt 3 bekommt ihr 13. Sprecht nun: 8 von 13 läßt 5; 3 von 9 lässt 6; 4 von 9 lässt 5; 7 von 7 lässt 0; 4 von 9 lässt 5. Wenn ihr nun das übrige allezeit unter den Strich an seinen gehörigen Ort schreibt, so habet ihr die verlangte Zahl gefunden.
Bew. Vermöge der geschehenen Rechnung hält die gefundene Zahl in sich den Rest aller Einer, aller Zehner, aller Hunderte, aller Tausende u. s. w. das ist, den Rest aller Teile. Da nun der Rest aller Teile zusammen dem ganzen Reste gleich ist (§. 37.); so ist die gefundene Zahl der Rest, welcher übrig bleibt, wenn man eine Zahl von der andern wegnimmt, und folgends mit der weggenommenen Zahl zusammen der andern gegebenen Zahl gleich. Derowegen geschieht durch die gegebenen Regeln die Subtraktion (§. 18.); —W. Z. E.§. 51. Anm. 1.
Wollet ihr wissen, ob ihr recht gerechnet, so addiret, nach der zweyten Aufgabe (§. 45.), die gefundene Zahl zu der kleineren von den gegebenen; die Summe ist die grössere (§. 18.).
98.0.0.4.0.34.5947 4 3 8 6 52 6350 5 6 5 3 81 9698 0 0 4 0 34 59
§. 51. Anmrkng
1.
Wollt ihr wissen, ob ihr recht gerechnet, so addiert, nach der zweiten Aufgabe (§. 45.), die gefundene Zahl zu der kleineren von den gegebenen; die Summe ist die grössere (§. 18.).
98.0.0.4.0.34.5947 4 3 8 6 52 6350 5 6 5 3 81 9698 0 0 4 0 34 59
AnmWerk:AamW1/AGRK/52. Anmerkung 2.
AnmWerk:AamW1/AGRK/53. Anmerkung 3.
AnmWerk:AamW1/AGRK/
Seite:
- ↑ Explication de l’Arithmetique Binaire, 1703
- ↑ De progressione Dyadica, 1679
- ↑ Im Auszug endet es an dieser Stelle mit einem etc. und der Rest bis zur 1. Anmerkung ist ausgelassen.
- ↑ Im Auszug zugefügt ist: "um die Verwirrung zu vermeiden"
- ↑ Im Auszug steht zusammengemnommen
- ↑ a b c d Im Auszug ist vorangehender Satz "Diese Probe …" nicht enthalten. Referenzfehler: Fehlerhaftes
<ref>-Element: Der Einzelnachweis mit dem Namen „:0“ wurde mehrere Male mit unterschiedlichen Inhalten definiert. - ↑ a b Im Auszug hinzugefügt ist: "Denn einerley Irrthum lässet sich nicht wohl begehen, wenn man auf verschiedene Art rechnet."