Werk:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/Dunkle Bücher.

4.5. DUNKLE BÜCHER.

DIE QUADRATURTRAKTATE DER 1450ER JAHRE

Mit den großen mathematischen Abhandlungen der 1450er Jahre, Quadratura circuli und De mathematicis complementis, ging ein für die gesamte Genese der cusanischen Mathematik überaus bedeutsames Ereignis einher. Nikolaus lernte zwischen 1450 und 1453 das neue lateinische Archimedes-Corpus nach Jakob von Cremona kennen, das dem frisch ernannten Kardinal durch keinen Geringeren als Papst Nikolaus V. übermittelt wurde.

Der lombardische Graezist Jacobus war 1449 von dem humanistisch gesinnten Pontifex als Übersetzer an den päpstlichen Hof in Rom berufen worden und dort, wo er sich zeitweilig in der Gesellschaft solch illustrer Intellektueller wie Paolo Toscanelli, Leon Battista Alberti und Kardinal Bessarion befand, wohl vom Papst selbst mit einer Neuübersetzung der archimedischen Schriften beauftragt worden.

Dass der mathematisch interessierte Nikolaus, selbst häufiger Gast in Rom und mit einigen der wichtigsten Köpfe des italienischen Humanismus gut bekannt, an dieser Wiederentdeckung des Archimedes teilhaben sollte, war selbstverständlich. Er hat das neue Corpus nicht nur einsehen dürfen, sondern offensichtlich sogar eine eigene Abschrift erhalten. Der Verbleib dieser Kopie ist ungewiss. Sie ist erstaunlicherweise nicht in die Kueser Hospitalsbibliothek überstellt worden, was annehmen lässt, dass sie zum festen Reiseinventar des Kardinals gehörte.

Ebenso unklar ist, wann genau Nikolaus mit der neuen Übersetzung in Berührung kam. Der Zeitpunkt ante quem hängt wesentlich von der Datierung der Schrift Quadratura circuli, für die Nikolaus das Corpus mit Sicherheit zur Verfügung stand, ab. Nikolaus erwähnt die neue Archimedes-Übersetzung zwar erst in der Widmungsepistel zu den Complementa mathematica. Die vorangegangene Quadratura circuli steht dieser Schrift aber methodisch sehr nah, was es mehr als wahrscheinlich macht, dass beide sich aus der gleichen Quelle speisten. Besonders deutlich wird das an einer kurzen Passage, die sich einleitend in fast identischer Form in beiden Traktaten findet und sich dem archimedischen Quadraturverfahren vermittels der Spirale widmet.

Archimedes zeigt in seiner Abhandlung Über die Spirale die Möglichkeit auf, aus der mechanischen Kurve einer Spiralbewegung die Kreisquadratur approximativ zu ermitteln, ein Ansatz, der auch in der mittelalterlichen Literatur häufig aufgegriffen wurde. Dem cusanischen Verständnis einer ‚reinen‘ Geometrie mit Zirkel und Lineal musste eine solche physikalisch-empirische Herleitung der Kreisquadratur als mathematisch unzureichend gelten. Zwar zieht Nikolaus durchaus in Erwägung, die Spirale auf rein rechnerischem Wege zu ermitteln, glaubt aber (fälschlicherweise), diese Berechnung nur unter der Voraussetzung leisten zu können, dass das Verhältnis von Kreisradius und Kreisumfang bereits bekannt ist:

[Archimedes (Einfügung d. Aut.)] supponit igitur id, quod quaerit. Citius enim recta dari potest circulari lineae aequalis, quam helica vera figurari.

In Hinblick auf das Rektifikationsproblem wird die Spirale als Konstruktionsmittel für Nikolaus damit völlig unbrauchbar. Diese Einschätzung wiederholt er nun in zwei direkt aufeinanderfolgenden Schriften. Es ist schwer vorstellbar, dass die beiden Passagen aus Quadratura circuli und De mathematicis complementis nicht im Zusammenhang mit der Sichtung des neuen Archimedes-Corpus stehen.

In den älteren Schriften bis zu und einschließlich De circuli quadratura finden sich nur Hinweise auf die Dimensio circuli und De sphaera et cylindro. Daraus lässt sich schließen, dass Nikolaus wahrscheinlich erst nach der Abfassung von De circuli quadratura, aber noch vor der Quadratura circuli tiefergehende Kenntnisse der archimedischen Spiralenabhandlung erlangt hat. Wenn Nikolaus den Cremona-Corpus aber schon für die Quadratura circuli zur Verfügung stand, dann lassen sich hieraus einige wichtige Ableitungen für die Datierung der Quadraturschrift ziehen.

In der älteren Literatur, so bei Edmond Vansteenberghe und Joseph Hofmann, wird die Schrift zumeist auf den Jahreswechsel 1450/51 und damit auf einen Zeitpunkt kurz vor der deutschen Legationsreise datiert. Nikolaus spricht nun zwar in der Vorrede zu De complementis mathematicis davon, die neuen Übersetzungen erst einige Tage zuvor (proximis diebus) empfangen zu haben. Es ist aber keinesfalls ausgeschlossen, dass er im Umfeld der Vorbereitungen der Legation durch die deutschen Lande noch in Rom, also im Winter 1450, eine erste Einsicht in die neue Übersetzung nehmen konnte. Nicht weniger wahrscheinlich ist aber auch, dass Nikolaus sie erst nach seiner Rückkehr von der über ein Jahr währenden Gesandtschaft kennen lernte. Im Frühjahr 1453 weilte er erneut nachweislich in Rom und hätte in den zwei Monaten seines Aufenthaltes sicherlich genug Zeit für einige eingehendere Quellenstudien gehabt.

Sollte er das archimedische Corpus aber tatsächlich erst 1453 kennen gelernt haben, so kann dieses nur dann für die Ausführungen in der Quadratura circuli bestimmend gewesen sein, wenn die Arbeiten an dieser Schrift sehr viel später begannen, als Hofmann und Vansteenberghe vermutet haben. Fritz Nagel hat entsprechend überzeugend argumentiert, Nikolaus sei im Winter 1450 bereits zu sehr mit den Vorbereitungen der bevorstehenden Legationsreise beschäftigt gewesen, um sich in ausreichender Gründlichkeit mathematischen Studien zu widmen.

Schwerer wiegt aber noch ein zweites Argument, das der Einleitung zur Quadratura circuli selbst zu entnehmen ist. Der Kardinal gibt hier an, dass ihn eine höhere Betrachtung und das allgemeine Beste schon lange von geometrischen Studien abgehalten hätten. Die (soweit wir wissen) direkt vorangegangene Schrift De circuli quadratura wäre nach den älteren Datierungen aber nur etwa fünf Monate vor der Quadratura circuli verfasst worden. Nagel hat die Entstehungszeit der Quadratura circuli deshalb erst auf die Zeit nach der großen Legationsreise des Kardinals, und zwar genauer gesagt auf den Sommer des Jahres 1453 verlegt. Vor dem Hintergrund der mannigfaltigen inhaltlichen Bezüge zwischen der Quadratura circuli und den Complementa mathematica erscheint eine zeitliche Nähe der beiden Abhandlungen insgesamt sehr wahrscheinlich.

Die Quadratura circuli steht der nachfolgenden Quadraturschrift über die Mathematischen Ergänzungen methodisch sehr viel näher als allen vorangegangenen Quadraturversuchen. Nikolaus hat diese textübergreifende Korrelation auch selbst herausgestellt. Die Mathematischen Ergänzungen sollten das Grundsatzverfahren der Quadratura circuli für all jene in Ausführlichkeit verständlich machen, die auf das Studium der Mathematik keine Mühe verwendet haben.

Es scheint vor allem die Schrift über die Kreismessung (Dimensio circuli) gewesen zu sein, die Nikolaus’ Aufmerksamkeit bei seiner Sichtung des Cremona-Corpus auf sich gezogen hat. Zu diesem Zeitpunkt muss ihm der Inhalt der Schrift zumindest in groben Zügen schon längere Zeit bekannt gewesen sein, war er doch mit den dort aufgefundenen Grenzen für die Kreisrechnung vertraut. Dass aber erst die Quadratura circuli konkrete methodische Bezüge zum archimedischen Quadraturverfahren aufweist, macht es wahrscheinlich, dass Nikolaus die Dimensio zuvor nur über Sekundärquellen oder aber in einer weniger verlässlichen Version kannte.

Das archimedische Verfahren basiert weitgehend auf dem von Euklid im zehnten Buch der Elementa bei der Berechnung der Pyramide angewandten, erstmalig bei Eudoxos nachweisbaren Exhaustionsverfahren. Mittels eingeschriebener Polygone wird der Kreis über stete Verdopplung der Eckenzahl approximiert. Archimedes selbst hatte seine Berechnungen bis zum eingeschriebenen 96-Eck ausgeführt und dabei die erwähnten Grenzen für das Verhältnis von Kreismesser und Umfang aufgefunden.

Durch die erneute intensive Auseinandersetzung mit dem archimedischen Traktat wurde Nikolaus zweifellos auf die eigenen, ähnlichen, aber noch recht vagen Erwägungen zur Approximation des Kreises mittels ein- und umbeschriebener Polygone aus den Transmutationes geometricae, De arithmeticis complementis und De circuli quadratura zurückverwiesen. In ihnen erkannte Nikolaus nun die Möglichkeit zu einer vollständig neuen Methode, die nicht mehr, wie die frühen Quadraturversuche, mit den Mitteln der Heuristik, sondern auf deduktivem Wege abgeleitet werden sollte. Der Dimensio circuli, nicht der Schrift über die Spirale, gilt auch daher die Bemerkung in der Quadratura circuli, dass niemand diesem Sachverhalt [der Kreisquadratur (Einfügung d. Aut.)] näher gekommen sei als Archimedes.

Die Quadratura circuli beginnt mit einer Grundsatzüberlegung, die Nikolaus bereits in ganz ähnlicher Form schon bei seinen Geometrischen Verwandlungen zwar nicht direkt zur Anwendung gebracht, aber als methodische Prämisse eingeführt hatte:

Nos autem considerantes trigonum et circulum in capacitate extrema loca tenere, in trigono semidiametros circulorum et inscripti et circumscripti contrario modo se habere, cum semidiametro circuli, in quo circuli inscriptus et circumscriptus coincidunt, qui differunt in trigono maxime […].

In der Quadratura circuli geht Nikolaus von hier aus fast unmittelbar zum eigentlichen Quadraturansatz über und überlässt es weitgehend dem Leser, die methodischen Zwischenschritte und Vorbedingungen aus dem programmatischen Satz über die Flächenextrema abzuleiten. In der ausführlicheren Fassung der Complementa mathematica aber wird das Notwendige Schritt für Schritt deduziert. Noch einmal führt Nikolaus dort aus, dass ein Polygon seinem Um- bzw. Inkreis durch stetige Erhöhung der Eckenzahl stetig angenähert werden kann, da mit der Erhöhung der Eckenzahl zugleich auch die Differenz zwischen In- und Umkreismesser beständig abnehmen muss, so dass mit wachsender Eckenzahl n die Summe der In- und Umkreisradien gegen den Kreisradius r selbst konvergiert. Es gilt dabei allgemein, dass der Inkreismesser (die Prim) bei allen endlichen Vielecken stets kleiner als der Umkreismesser (die Sekund) sein muss. Das alles geht über die grundsätzlichen Erwägungen aus den älteren Quadraturversuchen noch nicht hinaus. In Quadratura circuli/De mathematicis complementis aber kommt Nikolaus zumindest in die Nähe einer echt funktionalen Fassung des Gedankens:

Nos autem considerantes trigonum et circulum in capacitate extrema loca tenere: in trigono semidiametros circulorum, et inscripti et circumscripti, contrario modo se habere cum semidiametro circuli, in quo circuli inscriptus et circumsriptus coincidunt, qui differunt in trigono maxime, esseque ibi semidiametrum circumscripti maximam et inscripti minimam et simul iunctas brevissimas; contractio modo in circulo, ubi simul iunctae sunt diameter circuli maximae

Nikolaus kommt hier also zu der (richtigen) Grenzwertannahme$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}_n+{\delta }_n=2r$, wobei$r_n$dem jeweiligen Umkreis-, ∂n dem Inkreishalbmesser und$r$dem Radius des isoperimetrischen Kreises zum jeweiligen Polygonen entspricht. Die Summen$r_n$(Umkreishalbmesser) +${\delta }_n$(Inkreishalbmesser) regelmäßiger und umfangsgleicher Vielecke bilden demnach zwischen$n=3$(dem Dreieck) und$n=\mathrm{\infty }$(dem approximierten Kreis) eine monoton steigende Folge aus, deren Grenzwert der doppelte Radius$2r$des isoperimetrischen Kreises ist.

Hiermit hat Nikolaus nun, sicherlich inspiriert durch Archimedes, zugleich eine Möglichkeit gefunden, seine früher formulierten, allgemeinen Bedingungen für die Kreisquadratur konsequent in einen (proto-)funktionalen Zusammenhang zu stellen und für die Quadratur selbst direkt nutzbar zu machen. Tatsächlich offenbart sich hier, wie Nagel dargelegt hat, ein erster, wenn auch vorsichtiger Versuch, aus der Kenntnis funktionaler Beziehungen unter den Gliedern einer mathematischen Folge auf die mathematischen Eigenschaften des Grenzwerts dieser Folge zu schließen. In der Quadratura circuli und den Complementa mathematica gelten Nikolaus gerade und gekrümmte Strecken, und damit auch Kreis und Vieleck, immer noch als maßungleich. Durch die vorangegangenen grundsätzlichen methodischen Überlegungen zum Gleichheitsbegriff in De circuli quadratura hat diese Trennung in mathematischer Hinsicht aber deutlich an Schärfe verloren. Deshalb kann Nikolaus nun auch jenen Ansatz aus der Vorrede der Transmutationes mathematisch konsequent weiterführen, den er dort noch auf der Grundlage der regula doctae ignorantiae als dem Bereich der reinen Mathematik enthoben glaubte. Nun nämlich ist ihm der Kreis tatsächlich, wie er in De mathematicis complementis ausdrücklich anmerkt, ganz entgegen seiner früheren Auffassung gänzlich Winkel (undique angulus).

Was sich hier fast wie ein Zugeständnis an das Lager der mittelalterlichen ‚Infinitisten‘ liest, lässt Nikolaus in seinem Verständnis des mathematischen Unendlichen zu einigen der herausragendesten Theoretikern der Neuzeit aufrücken. Denn genau wie später für Viète und Leibniz ist für Nikolaus die Möglichkeit der Auseckung des Kreises zu einer innermathematischen Notwendigkeit geworden, zu ‚Induktionsanfang‘ und methodischer Prämisse, bei dem mögliche philosophisch-theologische Einsprüche durch die gewonnenen Einzelergebnisse, den Fortschritt in der Sache, aufgewogen werden können.

Um seine grundlegend neue Auffassung vom Wesen des ‚Geraden‘ und ‚Gekrümmten‘ für die geometrische Konstruktion nutzbar zu machen, postuliert Nikolaus nun, ohne allerdings stichhaltige Argumente vorbringen zu können, die folgende, einfache Flächenproportionalität:

[…] Tunc omnis polygonia media secundum suam capacitatem in excessu semidiametri sibi inscripti super semidiametrum inscripti trigono et diminutione semidiametri sibi circumscripti a semidiametro circumscripti trigono proportionaliter se habebit.

Gemeint ist hier also zunächst, dass die Differenz zwischen den Kreismessern an einem beliebigem Dreieck ($n=3$) und jenen am zugehörigen umfangsgleichen Vieleck ($n=k+1$(mit$k=1,2,3,4\dots$)) direkt proportional mit dem Flächenüberschuss dieses Vielecks über die Fläche des Dreiecks korrespondiert, also:

$\frac{{\delta }_n-{\delta }_3}{r_3-r_n}=\lambda$(λ bezeichnet den konstanten Proportionalitätsfaktor)

Zugleich ließe sich nun der Kreis über die folgende Extremwertbestimmung annähern. Für$n\to \mathrm{\infty }$ist demnach die zugehörige Fläche

$S_n=\frac{1}{2}{\delta }_{n}u=\frac{1}{2}ru={\pi }^2$(für$n\to \mathrm{\infty }$mit$u=$Umfang)

Entscheidend ist nun die Vorstellung, die Proportionalitätsbehauptung könne auf beliebige intermediäre Polygone ausgedehnt werden, so dass allgemein gelten soll:

$\frac{{\delta }_{n+k}-{\delta }_n}{r_n-r_{n+k}}=\lambda$

Nikolaus glaubt also an eine direkte Proportionalität zwischen den wachsenden Polygonflächen und den Differenzen der beteiligten Halbmesser. Er versucht sich auch an einem entsprechenden konstruktiven Nachweis:

Zur Flächenproportionalität nach: QC, h 20, n 4, S. 73 (= b, S. 1092)

Im Quadrat $◻hsrf$ sollen über der Strecke $\overline{fr}$ die In- und Umkreismesser isoperimetrischer Vielecke aufgetragen werden. Ausgehend von der Dreiecksfigur (${\delta }_3=\overline{fg},r_3=\overline{fh}$) soll dabei die Strecke $\overline{hq}$ die mit zunehmender Ecken- bzw. Winkelzahl (linear) abnehmenden Umkreis-, die Strecke sq die (ebenfalls linear) zunehmenden Inkreismesser repräsentieren. In ·q· liegt schließlich ein Schnittpunkt beider Strecken. Dort fallen für Nikolaus In- und Umkreismesser zusammen, so dass die Strecke $\overline{rq}$ sowohl den Kreisradius des isoperimetrischen Kreises, als auch den Radius des zugehörigen In- und Umkreises repräsentiert

($r_{n\to \mathrm{\infty }}={\delta }_{n\to \mathrm{\infty }}=r$).

Mit dieser Darstellung ist nun natürlich nichts bewiesen. Tatsächlich ist die Proportionalitätsbehauptung nicht nur in Hinblick auf die Entwicklung der regelmäßigen Polygone falsch, sondern selbst als Näherungsverfahren für die Kreiszahl ist das Ergebnis von geringer Qualität. Nikolaus selbst aber ist von seiner Idee so überzeugt, dass er in einem der Quadratura circuli nachträglich angehängten Abschnitt De sinibus et chordis zur Proberechnung ansetzt.

Dabei wählt er das gleichschenklige Dreieck mit $r_3=14$ (also ${\delta }_3=7$) und berechnet mit Hilfe des pythagoreischen Satzes die In- und Umkreise des isoperimetrischen Quadrats zu ${\delta }_4=\sqrt{82\frac{11}{16}}$ und $r_4=\sqrt{1}65\frac{6}{16}$.

Setzt man die so gewonnenen Werte gemäß der Proportionalitätsannahme für die Kreisberechnung ein, dann kann die Kreiszahl rekursiv ermittelt werden zu $\pi =\frac{U}{2r}=\frac{72,7461}{2\cdot 11,5317}=3,15417\dots$. Der Wert liegt klar außerhalb der archimedischen Grenzen, was Nikolaus so wohl nicht ganz deutlich geworden ist, denn in De mathematicis complementis wiederholt er den gesamten Rechenvorgang für die In- und Umkreise am Drei- und Viereck, auch dort allerdings ohne ihn direkt auf die Kreisrechnung anzuwenden. Dass die Flächenproportionalität überhaupt nur eine sehr grobe Näherung für die Verhältnisse isoperimetrischer Polygone liefert, zeigt sich auch, wenn man die Polygonfläche mit den Mitteln der modernen Trigonometrie in direkten Bezug zu den beteiligten In- und Umkreisradien setzt. Dabei gilt dann:

$S_n=\frac{1}{2}na{\delta }_n=n{\delta }_n^2\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}n{r}_n^2\sin \alpha =\frac{1}{4}n{\alpha }^2\cot \frac{\alpha }{2}$

(mit $\alpha$ für die Seitenlänge, $na=U=\text{konst.}$, $\alpha =\frac{360^{\circ }}{n}$ als Zentriwinkel und n als Index der Seitenzahl)

Es bedarf keines großen Rechenaufwandes, um einzusehen, dass sich die Proportionalitätsbehauptung der Quadratura circuli und der Complementa mathematica hiermit nicht vereinbaren lässt. Wie so häufig hat Nikolaus sich hier wohl von der schlagenden Einfachheit des eigenen Ansatzes verleiten lassen.

Dass die tatsächlichen Verhältnisse zwischen In- und Umkreisen und den zugehörigen Polygonflächen weitaus komplizierter sind, als es Nikolaus annimmt, steht seinem Anspruch, die Quadratur mit einfachsten Mitteln leisten zu können, klar entgegen. Es zeigt sich hier in aller Deutlichkeit, dass die Zielsetzung der einfachen Formel aus den Transmutationes geometricae mehr ist als ein didaktische Anliegen. Insofern das Quadraturproblem innerhalb der cusanischen Erkenntnismetaphysik in mannigfaltiger Hinsicht als Musterbeispiel des Koinzidenzdenkens angeführt wird, muss eine gültige Lösung geradezu zwingend dem Anspruch methodischer Stringenz und Transparenz genügen. Wenn im intellectus ‚Gerades‘ und ‚Gekrümmtes‘ koinzidierend ‚in-eins-geschaut‘ werden können, dann muss es in der hierarchischen Ordnung der Erkenntnisvermögen neben dem spekulativ-philosophischen Weg der Quadratur, wie ihn Nikolaus bei seinen Umwandlungen von Dreiecken zu Kreisen in De docta ignorantia beschreitet, auch einen entsprechenden mathematischen Zugang zum Vollzug der Rektifikation geben.

Ein derartiges Verfahren muss dann, im Sinne der coincidentia oppositorum, zugleich zur ‚Einfachheit‘ führen, das stets relationale Element mathematischer Bestimmungen muss im Überstieg zur Wesensschau gänzlich aufgelöst werden. Nicht umsonst gipfelt auch das dritte Buch Über den Laien, das in enger zeitlicher Nähe zu den Complementa entstand, in der Formulierung eines besonders leicht zu leistenden, ‚technischen‘ Quadraturverfahrens.

Im Kontext der Laienphilosophie, die in dieser Schaffensphase des Kusaners bestimmend ist, soll die Quadratura als ein zentrales aenigma für die Hinordnung des Denkens zur unitas dienen. Dass die Quadraturtraktate der 1450er Jahre mitunter so schwer verständlich, ja, in manchen Einzelheiten sogar völlig unverständlich sind, bedeutet keinesfalls, dass die Abhandlungen im Kern, in den eigentlichen Quadraturvorschriften, nicht durchaus ‚einfacher‘ Natur sind. Das zeigt sich vor allem dann, wenn mittels des trigonometrischen und infinitesimalmathematischen Instrumentariums die algebraische Ausdeutung vollzogen wird. Gerade an diesen im engeren Sinne mathematischen Elementen entzündete sich dann allerdings auch die Kritik der Fachwelt.

Dabei ist das Fundament des neuen Quadraturansatzes, wenn es konsequent infinitesimalmathematisch gesetzt wird, durchaus tragfähig. Aus den Verhältnissen der In- und Umkreismesser isoperimetrischer Polygone lassen sich ohne größere Schwierigkeiten zwei gekoppelte Folgen zur Näherung der Kreiszahl gewinnen.

Bei stetiger Verdopplung der Eckenzahl n eines beliebigen regelmäßigen Polygons mit dem Peripheriewinkel ${\delta }_n\frac{360^{\circ }}{n}$ gilt notwendig: ${\alpha }_{2n}=\frac{{\alpha }_n}{2}$.

Damit nun die Isoperimetrievoraussetzung erfüllt wird, muss dann der Inkreismesser des Polygons doppelter Eckenzahl zu $\mathrm{\delta }{\phantom{A}}_{2n}=\frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}\mathrm{+}\mathrm{\delta }{}_{\mathrm{n}}}{\text{2}}$ bestimmt werden.

Ausgehend vom gleichseitigen Dreieck kann nun mit Hilfe des Kathetensatzes leicht festgestellt werden, dass ${\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2+{\delta }_n^2=r_n^2$ und zugleich ${\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2+({\delta }_n=r_n{)}^2=(2r_{2n}{)}^2$. Die erste der beiden Gleichungen kann nun nach Umformung zu ${\left(\frac{p_n}{2}\right)}^2=r_n^2-{\delta }_n^2$ in die zweite Gleichung eingesetzt werden: $r_n^2-{\delta }_n^2+({\delta }_n+r_n{)}^2=(2r_{2n}{)}^2$. Nach Ausmultiplizieren und Kürzen erhält man dann: $r_{2n}^2=r_n\frac{(R_n+{\delta }_n)}{2}$. Da ja andererseits ${\delta }_{2n}=\frac{r_n+{\delta }_n}{2}$ ist nun $r_n{\delta }_n=r_{2n}^2$.

Damit lässt sich der Umkreisradius für das verdoppelte Polygon auf zwei Wegen errechnen, einerseits über 2 ∂= $r_{2n}=\sqrt{r_n{\delta }_{2n}}$und andererseits über $r_{2n}=\sqrt{r_n\frac{r_n+{\delta }_n}{2}}$.

Da ${\delta }_{2n}=\frac{r_n+{\delta }_n}{2}$ gilt dann nach Einsetzen ${\delta }_{2n}=\frac{r_n+{\delta }_n}{2}\cdot r_{2n}=\sqrt{r_n\frac{r_n+{\delta }_n}{2}}$.

Ausgehend vom gleichseitigen Dreieck lassen sich nun leicht zwei gekoppelte Folgen berechnen, deren Grenzwert bei $\frac{1}{2\pi }=0,159115\dots$ liegt. Wie schnell dabei Ergebnisse für die Kreiszahl erreicht werden, die innerhalb der archimedischen Grenzen liegen, lässt sich anhand der rekursiven Folgen für die In- und Umkreismesser leicht zeigen.

Von derartigen Grenzwertüberlegungen ist Nikolaus allerdings noch weit entfernt. Bedeutsam ist aber dennoch die methodische Vorüberlegung, dass im Differenzenquotient $\frac{{\delta }_n-{\delta }_m}{r_m-r_n}$ beim Übergang zum Kreis ein Grenzwert angelegt ist, der Kreis also durch die stete Erhöhung der Eckenzahl schrittweise ausgerundet werden kann. Mit der grundsätzlich richtigen Annahme eines funktionalen Zusammenhangs zwischen den In- und Umkreismessern und dem Grad der Ausrundung isoperimetrischer Polygone hat Nikolaus zugleich auch ein taugliches Mittel für den tatsächlichen Vollzug der Quadratur, natürlich nur unter Voraussetzung einer prinzipiell infiniten Entwicklung, gefunden.

Mit der Quadratura circuli legt er seinen Hang zu einfachen Zwischenwertbetrachtungen noch nicht ab. Er glaubt ja nach wie vor, den infiniten Rechenprozess bei der Ausrundung des Polygons durch das Postulat einer gemittelten Größe, die sich im Flächenproportionalitätsfaktor $\lambda$ manifestiert, gewissermaßen umgehen zu können. Gegenüber den einfachen Mittelwertkonstruktionen aus den Transmutationes geometricae und De circuli quadratura ist der Proportionalitätssatz aber, wenn auch im konkreten Ergebnis für die Kreiszahl von deutlich geringerer Güte, das Ergebnis einer sehr viel anspruchsvolleren und fundierteren methodischen Reflexion.

Umso schwerer müssen Nikolaus die kritischen Einsprüche seiner Mathematikerfreunde getroffen haben, die sich schon kurz nach der Fertigstellung einer ersten Version von De mathematicis complementis zu Wort meldeten.

Zum Flächenproportionalitätssatz nach: CM, h 20, n 31, S. 102 (= p 2, fol. 66^v)

Nikolaus hatte seine Überlegungen an wenigstens zwei der mit ihm befreundeten Fachleute weitergeleitet. Neben Paolo Toscanelli erhielt auch der Astronom und Mathematiker Georg Peurbach, der zu dieser Zeit Johannes Regiomontanus als Lehrer betreute, eine Abschrift des Traktats. Wie sich Peurbach zu Nikolaus’ Ausführungen in den Mathematischen Ergänzungen geäußert hat, ist nicht näher bekannt. Es ist aber wahrscheinlich, dass er dem Vorgebrachten ablehnend gegenüberstand. Hierauf weist ein Schreiben von Nikolaus an Peurbach aus der Folgezeit der Complementa hin, in dem dieser versucht, einen Plausibilitätsnachweis des dort formulierten Quadraturansatzes nachzureichen. Dieses Schreiben wurde später unter dem Titel Declaratio rectilineationis curvae in die Druckausgaben von Nürnberg und Basel übernommen. Die kurze Appendix zur Proportionalitätsregel aus den Complementa vermittelt insgesamt den Eindruck, dass Peurbach Nikolaus keine allzu detaillierte Bewertung seines Quadraturansatzes hat zukommen lassen. Vielmehr scheint er lediglich ein vages Unverständnis zum Ausdruck gebracht zu haben, was Nikolaus dann veranlasste, seine Mathematischen Ergänzungen mit der Abhandlung Über die Kurvenausstreckung noch einmal beispielhaft zu erläutern.

Was Toscanelli von dem neuen Quadraturansatz hielt, ist dagegen gut dokumentiert. Von ihm ist ein kurzes Schriftstück erhalten geblieben, das den zentralen Fehler der cusanischen Methode klar herausstellt. Um die Kritik Toscanellis richtig zu verstehen, muss man sich die Darstellung der Flächenproportionalität vor Augen führen, wie sie in den Complementa enthalten ist. Die Konstruktion ist mit jener aus der Quadratura circuli inhaltlich identisch, lediglich die Bestimmungspunkte sind etwas abweichend deklariert.

Nikolaus’ Behauptung, dass sich diminutio zu diminutio stets genauso verhalten müsse wie excessus zu excessus, kann, wie direkt einsichtig ist, nur dann Gültigkeit haben, wenn$\overline{hq}$und$\overline{gq}$gerade Strecken sind, In- und Umkreismesser also linear vom Flächenzuwachs der Polygone abhängen. Ein hinlänglicher Beweis für die Linearität dieser Größen ist aber weder in der Quadratura circuli noch in De mathematicis complementis zu finden, und Toscanelli hat diesen Mangel klar erkannt:

[...] Non video cur duae lineae ·hb· et ·bd·, concludentes omnes illos excessus primarum et secundarum, non possent esse curvi omni genere curvitatis […].

Tatsächlich können die benannten Strecken als gekrümmt vorgestellt werden, ohne den Prämissen der cusanischen Quadratur zu widersprechen. Nikolaus hatte lediglich vorausgesetzt, dass die Primen der endlichen Vielecke stets kleiner sein müssen als die zugehörigen Sekunden, und sich daher gemäß der Abbildung aus der Quadratura circuli$\overline{hq}$und$\overline{gq}$nur in ·q·, also beim Übergang zum Kreis, schneiden dürfen. Dem entspricht nun in den Complementa die gleiche konstruktive Einschränkung für den Schnittpunkt von$\overline{ch}$und$\overline{bh}$in ·h·. Diese Einschränkung ist aber, wie Toscanelli richtig einwendet, kein hinreichender Anlass für die Annahme, dass beide Strecken nicht auch krummlinig verlaufen könnten, also unter Umständen nicht direkt linear vom funktionalen Argument des Flächenzuwachses abhängen. Denn auch dann könnte noch gelten, was Nikolaus in der zehnten conclusio der Mathematischen Ergänzungen fordert und was er selbst zu einer seiner wichtigsten argumentativen Stützen macht: In capaciori polygonia necesse est prima[m] linea[m] esse longiorem et secunda[m] breviorem.

Tatsächlich wachsen zwar die Inkreismesser linear mit wachsender Eckenzahl $n$ an. Damit ist in der graphischen Repräsentation $\overline{gq}$, wie von Nikolaus behauptet, zwingend als Gerade bestimmt. Dies gilt aber nun nicht zugleich für die Umkreismesser.

Für die Entwicklung von $r_n$ bildet $\overline{hq}$ mit wachsendem $n$ eine wendepunktfreie Kurve aus und damit hängt nun die Entwicklung von $r_n$ eindeutig nicht linear von $n$ ab.

Der Eindruck, den der berechtigte Einspruch Toscanellis auf den Kardinal gemacht hat, kann nicht groß genug eingeschätzt werden. Mit einer wahren Fülle von nachgetragenen Schriften versucht er in der Folgezeit, den in den Mathematischen Ergänzungen so hart erarbeiteten Ansatz zu rechtfertigen. Neben der Declaratio rectilineationis curvae stehen ein umfangreiches zweites Buch De mathematicis complementis, die Nikolaus V. gewidmete Schrift Über die theologischen Ergänzungen (De theologicis complementis) sowie ein kurzer Traktat De una recti curvique mensura in direktem Zusammenhang mit den kritischen Einwänden der Fachwelt zum Quadraturentwurf der Complementa.

Nikolaus reagierte mit diesen Versuchen zur Nachbesserung und Erläuterung in zwei Richtungen zugleich. Einerseits hoffte er, den konkreten Quadraturansatz zumindest hinsichtlich seiner methodischen Prämissen doch noch beweisen zu können. Die Kritik Toscanellis war in dieser Frage ja keinesfalls eindeutig. Mit seinem abschlägigen Bescheid zu den Complementa stellte dieser weniger die Richtigkeit des Ansatzes als vielmehr die Hinlänglichkeit des Begründungsverfahrens ‚ad oculos‘ in Frage. Einen stichhaltigen Gegenbeweis zur cusanischen Proportionalitätsbehauptung lieferte er nicht, obwohl ihm im rechnerischen Vollzug die kaum hinnehmbare Grobheit der Kreisnäherung sicher nicht entgangen sein konnte. Nikolaus blieb damit wohl zumindest für einige Zeit die Hoffnung, durch strenge Revision doch noch eine fachliche Anerkennung für sein neues Rektifikationsverfahren zu erhalten. Spätestens im Dialogus de circuli quadratura von 1457 distanzierte sich Nikolaus dann aber endgültig von den dunklen und unsicheren Büchern über die Mathematischen Ergänzungen.

Diese Abkehr von den Complementa musste Nikolaus nicht nur aus rein fachinhärenten Gründen vollziehen. Denn die methodischen Mängel der in den libri obscuri entwickelten Quadratur drohten nicht nur Nikolaus’ Ansehen als Mathematiktreibender zu beschädigen, sondern auch die gesamte Grundsatzlehre von der Koinzidenz der Gegensätze in Frage zu stellen. Die immer wieder mit so viel Nachdruck formulierte symbolische Ausnahmestellung des Quadraturproblems erwies sich nun, in der Nachfolge der gescheiterten Versuche aus der Quadratura circuli und den Complementa mathematica, als echtes Problem. Wenn die Koinzidenzlehre, das stets mitzudenkende Fundament der cusanischen Mathematik, im Rektifikationsproblem keineswegs zu jener Erkenntnisgewissheit führen konnte, die für Nikolaus die mathematischen Zeichen und Formen auszeichnen sollte, war sie dann nicht selbst in ihrer Gesamtheit in Gefahr geraten?

Nikolaus hat dies ganz augenscheinlich so empfunden. Die Schrift Über die Theologischen Ergänzungen, die er dem zweiten Buch De mathematicis complementis in kurzem Abstand folgen ließ, ist ein groß angelegter apologetischer Gegenentwurf zu dem allzu optimistischen Vorgehen in den vorangegangenen Quadraturabhandlungen. Dies ist die zweite Stoßrichtung innerhalb der Nachtragsschriften zu den Mathematischen Ergänzungen: Mit den sprachlichen Mitteln der Symbolgeometrie, die deutlich auf De docta ignorantia verweisen, versucht Nikolaus in den Theologischen Ergänzungen noch einmal auf der Ebene der spekulativen Philosophie das zu leisten, was ihm vermittels der reinen Geometrie allein nicht gelungen war − nämlich einen überzeugenden Nachweis zu erbringen, dass die Mathematik den Weg zu den höchsten Formen der Erkenntnis weist. Dabei spricht Nikolaus nun nicht mehr von der visio intellectualis sondern allgemeiner von einer visio mentalis. Hier macht sich begrifflich das werkübergreifende Wirken der cusanischen mens-Metaphysik aus dem Idiota de mente bemerkbar, was noch einmal ganz deutlich werden lässt, dass die Complementa vor allem in ihrer Wechselwirkung mit den drei Idiota-Schriften gelesen werden muss.

Der Frage nach der Durchführbarkeit einer ‚Auseckung‘ des Kreises, wie sie in den Mathematischen Ergänzungen unternommen wird, räumt Nikolaus in den Theologischen Ergänzungen breiten Raum ein. Dabei kommt nun noch einmal die ältere Terminologie von Ein- und Ausfaltung der geometrischen Figuren zum Einsatz:

Quanto autem polygonia aequalium laterum plurium fuerit angulorum, tanto similior circulo; circulus enim, si ad polygonias attendas, est infinitorum angulorum. Et si ad ipsum circulum tantum respicis nullum angulum in eo reperies, et est interminatus, inangularis: et ita circulus inangularis et interminatus in se complicat omnes anulare (?) terminationes, polygonias datas et dabiles.

Merklich verunsichert durch die skeptische Resonanz der Fachwelt betont Nikolaus nun allerdings nachdrücklich, dass der Ursprung der ganzen Überlegung im Prinzip der Koinzidenz liege und deshalb über den Bereich des Mathematischen deutlich hinausweise. Dabei bleibt die Vorstellung einer Kontinuität zwischen metaphysischer Wahrheit und mathematischer Wahrheit durchweg erhalten. Im Theologischen liegt aber stets der höhere Wahrheitsgehalt gegenüber den mathematischen Wissenschaften, die Theologie ist die übergeordnete Bewertungsinstanz. So stellt Nikolaus zunächst fest, dass ein beliebiger Kreis in Hinblick auf Umfang und Radius mit seinem zugehörigen In- und Umkreis zusammenfallen muss. Diese Überlegung nun überträgt er auf die göttliche Trinität − und betont gesondert, dass er dieses Vorgehen für statthaft hält, da gelten muss: Si sic est in mathematicis [sic est] verius in theologicis. In ganz ungewohnter Manier zieht Nikolaus hier eine strenge Trennlinie zwischen Mathematik und Theologie. Wo in De docta ignorantia zwischen theologischen und mathematischen Symbolen nicht differenziert wurde, spricht er nun ausdrücklich von den theologicalia als den höchsten Erkenntnisinhalten der mens.

Wie groß seine Sorge war, ein mit den Feinheiten der Koinzidenzlehre Unvertrauter könnte anhand der Quadraturschriften in unzulässiger Weise rein mathematische Erkenntnisse mit intellektualen Einsichten verwechseln, offenbart sich in der nachdrücklichen Bitte, die Mathematischen und Theologischen Ergänzungen nur gemeinsam zu kopieren, sie also unter keinen Umständen als Einzelstücke in Umlauf zu bringen. Dahinter steht die schon in De docta ignorantia formulierte Ansicht, dass ratio und intellectus zwei wohl zu unterscheidende Geistesvermögen, zugleich aber nie gänzlich unabhängig voneinander zu denken sind. Dabei soll das Koinzidenzdenken von den Unwägbarkeiten und Irrtümern des diskursiven mathematischen Denkens unberührt bleiben.

Wenngleich die kritischen Reflexionen der Theologischen Ergänzungen damit einmal mehr in aller Deutlichkeit die engen Grenzen der rationalen Erkenntnis nachzeichnen, sind sie dennoch nicht das Produkt eines im konkreten Anliegen resignierenden Geistes, sondern im Gegenteil für die nachfolgenden mathematischen Beiträge des Kusaners von hohem Wert gewesen. Man darf die vergleichsweise scharf gefasste Trennung der mathematisch-rationalen und theologisch-intellektualen Koinzidenz in Hinblick auf die konkrete Fragestellung nach der Quadratur auch ein Stück weit als Befreiung von letztlich sachfremden Zwängen verstehen. So wie die Complementa theologica einerseits die Einzigartigkeit vernunftgeleiteter Erkenntnis hervorheben, so haben sie umgekehrt auch zu einer gewissen Emanzipation der verstandesgemäßen Methoden im Bereich der mathematicalia geführt. Der Drang zu tragfähigen, ‚innermathematischen‘ Beweisverfahren, die weitgehend ohne den Rekurs auf philosophische Allgemeinplätze auskommen, ist in den späteren Quadraturschriften dann auch sehr deutlich erkennbar.

Die einzelnen gedanklichen Ansatzpunkte und Entwicklungsstränge der Schrift sind sicher interessant, für die weitere Entwicklung der cusanischen Mathematik aber von untergeordneter Bedeutung. Wichtiger hierfür ist der auf das Quadraturproblem gerichtete Nachtrag in einem umfangreichen zweiten Buch über die Complementa mathematica. Dieser zweite Teil ist ein wahres Sammelsurium unterschiedlichster Quadraturansätze, die in ihrer Qualität teils erheblich voneinander abweichen, allesamt allerdings strenge mathematische Beweisverfahren vermissen lassen. Offensichtlich war Nikolaus der Auffassung, dass seine Kritiker sich zu sehr auf das konkrete Quadraturverfahren über die In- und Umkreise konzentrierten, anstatt die allgemeine Bedeutung der Methodik zu erkennen. Im seinem zweiten Buch Über die Mathematischen Ergänzungen, dass wohl im Winter 1454/55 entstanden ist, liefert er deshalb auch lediglich Impulse und Anregungen, ohne sich allzu sehr mit Detailfragen zu belasten. Sein Ziel ist es, die Koinzidenzlehre so im Mathematischen zu verorten, dass ihr die gleiche Allgemeingültigkeit zukommt, die sie auch für die geometrico-theologischen Symbole der Frühschriften hatte. Letztlich deutete Nikolaus damit das im ersten Teil der Complementa Vorgebrachte nachträglich zu einer reinen methodischen Grundsatzüberlegung um. Die Universalität des Koinzidenzprinzips ist ihm im zweiten Buch der Ergänzungen wichtiger als die konkreten Einzelergebnisse, die Flächenproportionalität des ersten Buches der Complementa nur eine in einer unbegrenzten Zahl möglicher Emanationen aus dem Grundsatz vom Zusammenfall der Gegensätze. In der Vielzahl neuer Ansätze aus dem neuen Buch Über die Mathematischen Ergänzungen versucht Nikolaus nun gewissermaßen induktiv zu zeigen, dass das Konzept vom Ausgleich des ‚Geraden‘ und ‚Gekrümmten‘ beim Übergang ins Unendliche prinzipielle Gültigkeit haben muss. Dass er dabei über bloße Denkanstöße kaum hinausgeht, hat nun seinen Grund allerdings nicht nur in solchen konzeptionellen, werkimmanenten Erwägungen, sondern ist auch noch von einer ganz anderen Seite bedingt worden.

Den zweiten Teil der Complementa verfasst Nikolaus in einer Zeit höchster politischer Beanspruchung, die aus dem Jahre währenden Streit um die ihm von Papst Nikolaus V. bei der offiziellen Kardinalserhebung 1450 mitverliehenen Brixener Bischofwürde resultierte. Wie sehr Nikolaus’ mathematisch-naturwissenschaftliche Arbeiten von biographischen Umständen beeinflusst waren, habe ich bereits an einigen Beispielen – der Begegnung mit byzantinischen Gelehrten, den Freundschaften zu Fachmathematikern, den Zugang zu den archimedischen Schriften etc. – zu zeigen versucht. Zu keinem Zeitpunkt aber spiegeln sich Nikolaus’ Lebensumstände so deutlich in den mathematischen Werken wider, wie in der Zeit des Brixener Bischofsstreits, und nirgendwo kann die Aufforderung von Paul Rose, historische mathematische Quellen immer auch als Psychogramme zu lesen, Anwendung finden.

Die Einzelheiten des Konflikts sind an anderer Stelle ausführlich dokumentiert, weshalb es hier genügen soll, nur die wesentlichen Zusammenhänge zu skizzieren. Nikolaus ist mit der Kardinalswürde auf dem Zenit seiner kirchenpolitischen Laufbahn angekommen. Der neue Kardinal war, ganz von umfassendem Reformeifer beseelt, zunehmend in Opposition zu den ansässigen Klöstern und Geistlichen geraten, allen voran der streitbaren Äbtissin des Klosters Sonneburg, Verena von Stuben, die sich frühzeitig die Unterstützung Herzog Sigismunds von Österreich gesichert hatte. Nicht zuletzt der Umstand, dass mit dem neuen Bischof ein fremdstämmiger Oberhirte, der mit den regional-kulturellen Besonderheiten nicht im Mindesten vertraut war, territorialherrschaftliche Ansprüche im Bistum erhob, rief den Widerstand der landsässigen politischen Eliten hervor. Kompromisslosigkeit und mangelndes diplomatisches Geschick auf beiden Seiten sollte den Konflikt schließlich zur bewaffneten Auseinandersetzung anschwellen lassen.

Kreissegment als ‚Möndchen‘ nach: CM, h 20, S. 129 (= p 2, fol. 80^v)

Das zweite Buch über die Mathematischen Ergänzungen spiegelt einerseits die innere Unruhe und Rastlosigkeit des Kusaners angesichts des sich zuspitzenden äußeren Konflikts wieder. Auf der anderen Seite steht die Schrift auch im Zeichen geistiger Erschöpfung und innerer Unsicherheit angesichts des Wissens um die Mängel der bisherigen Bemühungen um die Quadraturfrage.

Die Schrift ist das Produkt eines sprunghaften und unsteten Denkens, so dass die vorgestellten Verfahren, ohnehin überwiegend methodische Rudimente, zumeist schwer verständlich und undurchsichtig bleiben. Dies gilt unter anderem für ein nichtsdestoweniger interessantes Stück im hinteren Teil der Abhandlung, in dem Nikolaus sich an einer Quadratura per lunulas versucht. Im Unterschied zur ursprünglichen Definition der Möndchen bei Hippokrates von Chios (um 440 v. Chr.) betrachtet Nikolaus hier nicht die Überschüsse von Kreisflächen über eingeschriebene Polygone, sondern jene Sektoren am Kreissegment, die durch den jeweiligen Kreisbogen und die zugehörigen Sehnen und Tangenten gebildet werden.

Diese sehr freie Fassung des Möndchen-Begriffs ist umso erstaunlicher, als der Quadraturtraktat des Raimundus Lullus, der Nikolaus ja gut bekannt war, den Terminus ganz in Übereinstimmung mit der griechischen Lehrtradition verwendet. Die meisten analogen Verweise in den Nikolaus prinzipiell zugänglichen Quellen sind allerdings bei der Beschreibung des hippokratischen Verfahrens wenig genau. Dies gilt unter anderem für die sehr allgemein gehaltenen Ausführungen in der kurzen Quadraturabhandlung Thomas Bradwardines. Dort wird in der Frage nach der quadratura per lunulas lediglich auf die entsprechenden Ausführungen bei Aristoteles verwiesen und eine kurze Begründung für die insgesamt geringe Rezeption der hippokratischen Überlegung versucht:

Aliam probationem minoris tangit Aristoteles per portiones lunulares, quam tamen reputat in aliis locis philosophiae insufficientem, et ideo de ea non curo ad praesens.

Gemeint ist hier wohl die aristotelische Schrift De sophisticis Elenchis in der Übersetzung des Boëthius, wo die Möndchenquadratur ausdrücklich auf Hippo-

krates von Chios zurückgeführt wird. Dort wird das Verfahren interessanterweise zugleich gegenüber dem Brysonschen Quadraturansatz als zulässig

angesehen:

Ut quadratura quae est quidem per lunulas non litigiosa, Brissonis autem litigiosa; et hunc quidem non est transferre nisi ad geometriam tantum, eo quod ex propriis sit principiis, illum autem ad plures, quicumque non sciunt quid possibile est in unoquoque et quid impossibile; aptabitur enim.

Auffälligerweise hatte Nikolaus, im Gegensatz zu den Complementa, in der vorangegangenen Quadratura circuli den Begriff des Möndchens ganz übereinstimmend mit der ursprünglichen Bedeutung als ein Kreissegment, das den Halbkreis nicht übertrifft, eingeführt. An der hippokratischen Möndchenquadratur interessierte Nikolaus, ohne dass sich genau feststellen ließe, woher er seine Kenntnisse des Verfahrens gewonnen hatte, offensichtlich nur die Grundthese, dass der pythagoreische Lehrsatz nicht nur auf gerade Strecken anwendbar ist, sondern auch auf Bögen übertragen werden kann. In den Complementa gelingt es Nikolaus allerdings noch nicht, aus den diesbezüglichen Ableitungen ein eigenes, tragfähiges Quadraturverfahren zu entwickeln. Erst in den späten Traktaten De mathematica perfectione und Aurea propositio in mathematicis setzt Nikolaus die in seiner Möndchenquadratur gewonnenen Einsichten überaus fruchtbar zu Entwicklung der Rektifikation von Bögen am Kreissektor um.

Dass er die Quadratura per lunulas in den Complementa trotz der wohl recht ungenauen Vorstellungen, die er von der ursprünglichen Fassung des Verfahrens hatte, überhaupt erwähnt, ist wohl Ausdruck seines allgegenwärtigen Bestrebens, die umfassende Anwendbarkeit seiner Koinzidenzlehre lückenlos zu beweisen und dabei auch die Quadraturversuche der Alten nicht außer Acht zu lassen. Zu diesem geradezu enzyklopädischen Anspruch der Mathematischen Ergänzungen passen auch die bewegungstheoretischen Überlegungen im zweiten Teil der Complementa mathematica. An keiner anderen Stelle seiner mathematischen Abhandlungen hat sich Nikolaus mit derartigen Implikationen des Problemkreises der Quadratur beschäftigt.

Der ganze Gedankengang geht von der folgenden Konstruktion aus: Nikolaus lässt eine Kreisfläche aus der Rotationsbewegung einer Strecke ab um einen Mittelpunkt ·a· entstehen, so dass ab den Radius des zugehörigen Kreises repräsentiert. Nikolaus definiert nun den Bewegungsvorgang in seiner Gesamtheit als ungleichförmig (inaequaliter), da die jeweiligen Bahngeschwindigkeiten aller Punkte auf der rotierenden Linie notwendig verschieden sind. ‚Ungleichförmig‘ ist hier also keinesfalls im Sinne von ‚beschleunigt‘ zu verstehen, wie es in der kinematischen Beschreibung kreisförmiger Bewegungen in Hinblick auf die Wirkung der beteiligten Zentripetalkräfte seit der Newtonschen Mechanik üblich ist. Nikolaus greift hier vielmehr auf die Lehre von den Bewegungsqualitäten zurück, die vor allem von Oresme und den Oxforder Mertonisten mit dem Konzept der Formlatituden (latitudines formarum) entwickelt wurde.

Vorrangiges Ziel der calculatores war es dabei, die aristotelischen Qualitäten über die Ausdifferenzierung von Intensitätsänderungen in eine graphische Darstellung zu bringen. Man kann hierin nur mit großen Einschränkungen eine Vorstufe der neuzeitlichen Analytischen Geometrie erkennen, denn trotz der terministischen Perspektive ging man mit den latitudines formarum zunächst nicht darüber hinaus, Qualitäten unter voller Wahrung ihrer selbständigen Bedeutung quantitativ zu behandeln. Es kann daher nicht verwundern, dass unter anderem daran gedacht wurde, arithmetische und algebraische Argumentationen nicht nur bei naturwissenschaftlichen, sondern auch bei philosophischen und theologischen Problemen anzuwenden. Vor diesem geistesgeschichtlichen Hintergrund wird leicht verständlich, warum die Lehre von den Formlatituden für Nikolaus ein überaus lohnender Betrachtungsgegenstand sein musste.

Die ungleichförmigen Bewegungen der rotierenden Punkte überträgt der Nikolaus zunächst auf ein rechtwinkliges Dreieck ∆abc, in dem die einzelnen Bahngeschwindigkeiten gemäß ihrer Intensität aufgetragen werden:

Lineam figuram motus puncti concipio. Quae si recta fuerit, tunc si uno eius termino fixo manente movetur, hic motus recte per triangulum orthogonium figuratur. Ut si ·ab· linea movetur ·a· stante, motus figuratur per triangulum ·abc·. Si enim motus ·b· est ut latus ·bc·, tunc sic proportionabiliter omnia puncta dabilia. [...] Si vero ·ab· recta movetur equaliter in ·a· sicut in ·b·, motus configuratur per duplicem ortogonium sive quadrangulum ·abcd·; omnia enim puncta dabilia equaliter moventur.

Zur geometrischen Ausdeutung ungleichförmiger Bewegungen nach: CM, h 20, n 44/45, S. 112 (= p 2, fol. 71r)

Diese Konstruktionsvorschrift geht unzweifelhaft (direkt oder indirekt) auf die folgende Passage aus dem Tractatus de configurationibus qualitatum et mo-

tuum des Nicole Oresme zurück:

Sit [...] una qualitas ymaginabilis per triangulum ·abc· qu[a]e est uniformiter difformis terminata ad non gradum in puncto ·b·; et sit ·d· punctus medius line[a]e subiectiv[a]e, cuius quidem puncti gradus vel intensio ymaginatur per lineam ·de·. Igitur qualitas qu[a]e esset uniformis per totum subiectum secundum gradum de ymaginabilis est per quadrangulum ·afgb· [...].

Nikolaus nimmt nun an, dass sich die Umfänge der Kreisbahnen zueinander genau so verhalten, wie die sie repräsentierenden Strecken innerhalb des rechtwinkligen Dreiecks. So soll beispielsweise Strecke$\overline{de}$zu$\overline{bc}$in der gleichen Proportion stehen wie die zugehörigen Radien der Kreisbahnen der Punkte ·d· und ·b·. Dreiecks- und Kreisfläche werden hier also gemäß ihren Bewegungsproportionen miteinander vermittelt.

Die so ins Verhältnis gesetzten Flächen zieht Nikolaus im Anschluss zur Konstruktion verschiedener Körper heran, indem er Kreis- und Dreiecksflächen in kombinierte Bewegungsfolgen einbezieht. So lässt er beispielsweise ein Dreieck senkrecht zu einer gegebenen Kreisfläche rotieren, so dass nach vollständiger Drehung ein Kegelmantel beschrieben wird, dessen Basis durch den Radius des Grundkreises bestimmt ist. Wie Nikolaus sich nun aber genau vorstellt, solche bewegungstheoretischen Erwägungen für die Kreisquadratur einzusetzen, bleibt unausgesprochen, nur der Kontext der Mathematischen Ergänzungen weist darauf hin, dass er auch hier letztlich auf die Rektifikation hinauswill.

Mit der strengen Kritik an der archimedischen Abhandlung Über die Spirale ist der Exkurs zu den Bewegungsintensitäten auf den ersten Blick allerdings schwer vereinbar, scheint er doch im klaren Widerspruch zur Beschränkung der zulässigen Konstruktionsmittel auf Zirkel und Lineal zu stehen. Joseph Hofmann hat allerdings den wichtigen Einwand formuliert, dass Nikolaus an dieser Stelle nicht etwa der fließende Bewegungsvorgang, sondern vielmehr der geometrische Zusammenhang nach vollzogener Bewegung interessierte. Kinetische Qualitäten stellt sich Nikolaus, und darin stimmt er mit der Fassung der Formlatituden bei Oresme überein, in der quantitativen Analyse als geometrische Strecke vor. Innerhalb der Oxforder Merton-Schule unter Thomas Bradwardine und Richard Swineshead wird Quantität noch weitgehend als ein arithmetischer Mittelwert verstanden. Sollten die Formlatituden bei den calculatores noch die räumlichen und zeitlichen Änderungen von Intensitäten der aristotelischen Qualitäten (Wärme, Dichte, Geschwindigkeit etc.) vor allem in ihrer Dynamik repräsentieren,811 überführen sie Oresme (und Nikolaus) in eine rein statisch-geometrische Ausdeutung. Hier zeigt sich auch wieder dieallgegenwärtige Tendenz des Kusaners, die Geometrie gegenüber der Arithmetik höher anzusetzen.

Auf welche Vorlage sich Nikolaus bei seinen Ausführungen zur Kinetik bezog, ist unklar. Schon während der Heidelberger Studienzeit könnte er sowohl mit dem Originaltext Oresmes als auch mit den ähnlich gehaltenen Ausführungen im Liber de motu des Gerhard von Brüssel (erste Hälfte des 13. Jahrhunderts) in Berührung gekommen sein. Möglicherweise aber hat erst Paolo Toscanelli Nikolaus, dem in der Festung Andratz nach eigener Aussage der Zugang zur Fachliteratur gänzlich verwehrt war, den entscheidenden Impuls zu seinen Überlegungen geliefert. Dieser hatte im genannten Schreiben zu den Complementa mathematica angekündigt, Nikolaus im Zusammenhang mit dessen Koinzidenzüberlegungen einige Ausführungen zur Lehre von den Formlatituden zukommen zu lassen, um darin den Zusammenhang zwischen der Lehre von den Formlatituden und den Koinzidenzien im Rahmen des Quadraturproblems näher zu erläutern.

Das Nikolaus sich im Rahmen seiner mathematischen Ergänzungen auch mit Problemen der Bewegungslehre auseinandersetzt, steht beispielhaft für die insgesamt bemerkenswerte thematische Breite des zweiten Buchs über die Complementa: (Mehr oder minder) vollständige Quadraturverfahren stehen neben Grundsätzlichem zur Durchführbarkeit der Rektifikation und erweiterten geometrischen Anwendungen (so zum Beispiel der Berechnung von Kegelmänteln), ausführliche Detailbeschreibungen neben vagen Allgemeinplätzen. Aus diesem überwiegend schwer verständlichen Gemenge verschiedener, teils rudimentärer Ansätze hat Nikolaus in der Nachfolge nur einen einzigen der vertiefenden Weiterverfolgung für würdig erachtet.

Der zugehörige Abschnitt beginnt im Pariser Druck der Mathematischen Ergänzungen auf fol. 76v, und damit etwa in der Mitte des zweiten Buches, und endet mit dem Versuch, die zunächst entwickelte neue Quadraturregel zur Berechnung von Möndchen heranzuziehen, auf fol. 81^r. Es ist diese Quadraturmethode, die später zum Gegenstand eines längeren, von Nikolaus selbst verfassten Briefes wurde, der wahrscheinlich zunächst an Georg Peurbach, dem Nikolaus auch die schriftlichen Einwände Toscanellis zum Kernsatz der Mathematischen Ergänzungen übermittelt hatte, gegangen ist. Das Schreiben wurde sehr viel später in die Nürnberger Werkausgabe von Johannes Schöner aus dem Jahre 1533, sowie in den späteren Basler Druck, den Henricus Petri 1556 auf der Grundlage der Norimbergensis besorgte, aufgenommen. In beiden Drucken firmiert der Quadraturansatz unter dem Titel Declaratio rectilineationis curvae. Eine handschriftliche Fassung des Textes konnte bisher nicht aufgefunden werden.

Wann genau Nikolaus die Declaratio geschrieben hat, ist unklar. Sie muss aber relativ kurz nach dem zweiten Buch der Complementa fertig gestellt und, das legt die Titelgebung nahe, als Antwort auf eine vorangegangene Anfrage, die wohl von Peurbach ausging, verfasst worden sein. Terminus ante quem ist in diesem Falle das Jahr 1457, in dem Nikolaus sich im Dialogus de quadratura circuli klar von den Mathematischen Ergänzungen in ihrer Gesamtheit distanzierte.

Ich gebe hier zunächst die fragliche Konstruktionsvorschrift und -skizze, wie sie im zweiten Buch der Complementa erscheint, wieder:

Konstruktionsskizze nach: CM, h 20, n 62, S. 122 (= p 2, fol. 76^v)

Descripta quarta circuli et linea prima a centro ad principium arcus tracta, et secunda linea de contactu primae cum arcu orthogonaliter eiusdem quantitatis cum prima, et tertia a centro per finem, quae sit ut latus trigoni inscripti circulo, et quarta de fine secundae ad finem tertie. Si tunc de principio quadrantis lineam quintam duxeris ad quartam taliter, quod chorda, quae a contactu illius quintae, ubi curvam secaverit, ad finem totius quadrantis ducta, quae sit sexta linea, quintae fuerit aequalis, erit quinta minor quadrante quanta est medietas portionis eius cadentis inter curvam et quartam. Sit super ·a· centro quadrans ·be· descriptus et linea prima ·ab·, et secunda ·bc· angulum rectum cum ·ab· faciens aequalis eidem, et tertia linea, ·aed· ut latus trianguli inscripti, et quarta linea ·cd·. Trahe de ·b· lineam ad ·cd·, quae sit ·bg·, et ubi secaverit quadrantem ·be·, pone ·f·, et sit quinta linea. De ·f· trahe sextam, quae sit chorda ·fe·. Dico si ·fe· est ut ·bg·, tunc ·bg· est minor quadrante ·be· mediante ·fg·. Adde igitur mediatatem ·fg· super ·bg·, et sit ·gh· medietas ·fg·. Dico, ·bh· aequari curvae ·be·.

Gemeint ist hier also Folgendes: Es sei ein Viertelkreis $\stackrel{⌢}{be}$ um ·a· beschrieben, sowie die zugehörigen Radien $\overline{ab}$ und $\overline{ae}$ und eine (gleich lange) Strecke $\overline{bc}$, die als halbe Seite des Umquadrats senkrecht auf $\overline{ab}$ angelegt ist. Der Radius $\overline{ae}$ wird zu Punkt ·d· hin verlängert, so dass ad genau der Seitenlänge des eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks entspricht.

Schließlich werden die Punkte ·c· und ·d· miteinander verbunden. Ein Punkt ·f· wird nun auf dem Bogensegment $\stackrel{⌢}{be}$ soweit verschoben, bis die Sehne ·fe· genau so groß wird wie die Sekante $\overline{bg}$. In diesem Falle sollen dann die folgenden Verhältnisse gelten: $\overline{bg}+\frac{1}{2}\overline{fg}=\overline{bh}=\stackrel{⌢}{be}(=\frac{1}{2}\pi )$, mit dem bestimmenden Punkt ·g· auf $\overline{cd}$. Dass Punkt ·f· (und damit natürlich auch ·g·) dabei elementar, also unter Beschränkung auf Zirkel und Lineal konstruierbar ist, hat bereits Hofmann gezeigt und sich dabei auf eine Beweisführung gestützt, die dem möglichen Kenntnisstand des Kusaners Rechnung trägt. Nach Elem. 3,32, dem euklidischen Satz über Sehnentangentenwinkel, muss nach Voraussetzung gelten: ∢= cbg ∢bef.

Verlängert man $\overline{ac}$ nun bis zu einem Hilfspunkt ·x·, so dass $\overline{bx}=\overline{be}$, dann gilt (näherungsweise!) die Gleichheit der Dreiecke ∆bgx und ∆efb. Nach dem euklidischen Peripheriewinkelsatz in Elem. 3,20 lässt sich Punkt ·g· mit elementaren Hilfsmitteln auf $x\stackrel{⌢}{g}b$, dem zu $b\stackrel{⌢}{f}e$ kongruenten Bogen, abtragen.

Dass Nikolaus tatsächlich so vorgegangen ist, legt eine im Anschluss an die Kueser Handschrift der Complementa Mathematica im Cod. Cus. 219 auf fol. 66^v angefügte geometrische Skizze, die mehr als die halbe Seite einnimmt, aber nicht in direktem Zusammenhang mit den vorausgehenden und nachfolgenden Textpassagen steht, nahe. Sie korreliert allerdings eindeutig mit dem erwähnten Ansatz aus den Mathematischen Ergänzungen und der Declaratio. Die Abbildung enthält, abgesehen von den Benennungen der wichtigsten Punkte an der Figur, keinerlei Beschriftungen oder Erläuterungen. Es ist deshalb sehr wahrscheinlich, dass die Skizze nicht zum Zwecke der Illustration angefertigt wurde. Es scheint sich vielmehr um eine Hilfszeichnung zu handeln, die einen interessanten Einblick in das Vorgehen des Kusaners bei der Entwicklung bzw. Überprüfung seiner Quadraturvorschriften eröffnet.

Hilfskonstruktion aus der Handschrift: CM, Cod. Cus. 219, fol. 66^v

Schon die Größe der Abbildung und die Vielzahl von Hilfslinien machen es wahrscheinlich, dass der Kardinal seine Quadraturvorschrift aus dem zweiten Buch De mathematicis complementis an der Zeichnung durch Nachmessen zu verifizieren versuchte, oder aber den ganzen Ansatz vielleicht sogar durch reines Probieren zur leicht abgeänderten Fassung für die Declaratio hin modifizierte. Dabei scheint er für die Lagebestimmung von ·f· – wie von Hofmann vermutet – auf Elem. 3.32 zurückgegriffen haben, indem er $\overline{bc}$ zu einem (in der Skizze nicht ausdrücklich bezeichneten) Punkt ·x· erweitert hat, so dass $\overline{bx}=\overline{be}$. Man muss allerdings darauf hinweisen, dass das Nachmessen an der Figur zu sehr groben Werten führt, so dass andere Deutungen der Abbildung nicht auszuschließen sind. In jedem Falle hätte Nikolaus aufgrund der Geringfügigkeit der Ungenauigkeit der mit seiner Regel zu ermittelnden Werte beim rein messenden Prüfen nicht aufgehen können, dass die Quadraturvorschrift die archimedischen Grenzen verletzt.

Die Grundfrage hinter dem ganzen Ansatz ist nun, ob ·g· zur Bestimmung der Kreiszahl tatsächlich auf $\overline{cd}$ zu liegen kommen kann. Das wiederum lässt sich relativ leicht überprüfen: Wenn man die Radien der zu $x\stackrel{⌢}{g}b$ und $b\stackrel{⌢}{f}e$ gehörigen Vollkreise mit Variable $r$ kennzeichnet, dann ist nach Hofmann $\overline{bg}=\overline{ef}=1,1580r$ und zugleich $\overline{fg}=0,8237r$ und $\overline{bh}=1,5699r$. Setzen wir den gerundeten Wert der Kreiszahl ein zu $\stackrel{⌢}{be}\cong 1,5708r$ dann offenbart sich die Grobheit der cusanischen Konstruktion, die noch außerhalb der archimedischen Grenzen liegt. Tatsächlich müsste demnach Punkt ·g· deutlich rechts von $\overline{cd}$ angesetzt werden.

Nikolaus muss von der Qualität des Ansatzes sehr überzeugt gewesen sein. Noch in den mathematischen Ergänzungen verändert er die Grundkonstruktion hin zu einigen Näherungsvarianten, die zum Teil sogar zu sehr befriedigenden (sprich: innerhalb der archimedischen Grenzen liegenden) Ergebnissen führen. Schließlich wird er dann den ursprünglichen Ansatz als Exzerpt in den Hauptsatz der Declaratio einfließen lassen. Was allerdings die Beweisführung anbelangt, bleiben die entscheidenden Fragen offen: Nikolaus konzentriert sich in seinen Überlegungen zunächst auf die Ermittlung funktionaler Zusammenhänge zwischen den beteiligten Bögen und Strecken, offensichtlich in der Hoffnung, damit bereits den notwendigen Plausibilitätsbeweis erreichen zu können. Zunächst setzt er dabei voraus, dass $\overline{fg}+\overline{ef}-\overline{bg}=\overline{bf}$ um schließlich eine Relation medium mit $\frac{\overline{bg}+\overline{ef}+\overline{fg}}{2}=\overline{bg}+\frac{\overline{ef}-\overline{bf}}{2}$ zu bestimmen, die er in Beziehung zur Sehnendifferenz $\overline{ef}-\overline{bf}$ setzen will. Dabei soll zwischen dem medium und dem Sehnenunterschied eine direkte Proportionalität herrschen, was im fraglichen Abschnitt der Konstruktion tatsächlich zutreffend ist (wenngleich Nikolaus bei der Bestimmung des Funktionsminimums schlussendlich erhebliche Ungenauigkeiten unterlaufen). Die nachfolgenden Überlegungen dienen ausschließlich dazu, diese funktionale Abhängigkeit grundsätzlich zu beweisen und näher zu bestimmen.

Auf die entscheidende Frage aber wird zunächst nicht eingegangen, nämlich ob, und, wenn ja, warum Punkt ·g· auf der Strecke $\overline{ce}$ liegen muss (was unter den gegebenen Bedingungen ja nicht zutrifft). Wieder ist es eine elementare, hier in einer anschließenden Variante des Ansatzes angeführte Zwischenwertbetrachtung, die die notwendige Begründung indirekt liefern soll, aber, wie Hofmann dargestellt hat, ziemlich naiv geführt wird.

Trotz der Grobheit der Näherung und der sehr fragmentarischen Beweisführung: Bemerkenswert ist der ganze Ansatz doch, denn er zeigt, dass Nikolaus spätestens mit der Schrift Über die mathematischen Ergänzungen zunehmend bemüht war, seine heuristisch aufgefundenen Ansätze nachträglich ‚funktional‘ zu fassen. Dabei kann er zwar auf fragwürdige Konzepte wie den Zwischenwertsatz nicht vollständig verzichten. Er beweist aber insgesamt ein sehr gutes Gespür für funktionale Zusammenhänge und die Notwendigkeit, in der Quadraturfrage von statischen Verhältnis- zur Bestimmung von Entwicklungssätzen zu kommen. Dieses Bestreben sollte sich dann auch in den nachfolgenden Quadraturversuchen fortsetzen.